位矢位移速度加速度
位移速度加速度概念梳理
位移速度加速度概念梳理在物理学中，位移、速度和加速度是三个非常重要的概念，它们帮助我们描述物体的运动状态和运动过程。
让我们一起来深入理解一下这三个概念。
首先，位移是描述物体位置变化的物理量。
想象一下，有一个物体从 A 点移动到了 B 点，那么从 A 点指向 B 点的有向线段就是物体的位移。
位移不仅有大小，还有方向，是一个矢量。
比如说，一个人从家走到学校，走的路径可能弯弯曲曲，但位移就是家到学校的直线距离，并且方向是从家指向学校。
与位移容易混淆的是路程。
路程是物体运动轨迹的长度，只有大小没有方向，是一个标量。
举个例子，一个人绕着操场跑了一圈，他跑过的轨迹长度就是路程，但位移是零，因为他最终回到了起点，位置没有发生变化。
接下来，我们谈谈速度。
速度是用来描述物体运动快慢和方向的物理量。
它等于位移与发生这个位移所用时间的比值。
如果一个物体在一段时间内的位移是Δx，所用时间是Δt，那么速度 v 就等于Δx/Δt 。
速度同样是矢量，既有大小又有方向。
日常生活中，我们常常说的“速度”，很多时候其实指的是速率。
速率是物体运动的路程与所用时间的比值，只有大小没有方向，是标量。
比如，汽车仪表盘上显示的速度通常是速率。
再来说说平均速度和瞬时速度。
平均速度是在一段时间内的位移与时间的比值，反映的是物体在这段时间内运动的平均快慢程度。
而瞬时速度是物体在某一时刻或某一位置的速度。
当时间间隔非常非常小的时候，平均速度就趋近于瞬时速度。
举个例子，一辆汽车在一小时内行驶了 60 公里，那么这一小时内的平均速度就是 60 公里每小时。
但如果我们想要知道汽车在某个瞬间的速度，比如通过测速摄像头时的速度，那就是瞬时速度。
最后，我们来了解一下加速度。
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
它等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值。
如果物体的速度在Δt 时间内从 v1 变化到 v2 ，那么加速度 a 就等于（v2v1)／Δt 。
加速度也是矢量，它的方向与速度变化量的方向相同。
位置矢量位移速度加速度
洛伦兹力和安培力是电磁学中的基本力，它们分别描述磁场对运动电荷和电流的作用。这两种力的计算需要用到位置 矢量、位移、速度和加速度等概念。
电磁波的传播
电磁波是电磁场的一种传播形式，其传播速度与介质中的光速相同。电磁波的传播可以用位置矢量、位 移、速度和加速度等概念来描述和分析。
在光学中的应用
数值模拟
利用计算机模拟技术，对物体运动过程进行数值模拟和分 析，探究位置矢量位移速度加速度等概念的变化规律。
02 位置矢量与位移
位置矢量的定义和性质
位置矢量
描述物体在空间中位置的物理量 ，用从坐标原点到物体所在点的 矢量表示。
性质
位置矢量具有大小和方向，大小 表示物体距离坐标原点的远近， 方向表示物体相对于坐标原点的 方位。
加速度
曲线运动中物体的加速度是指物体在运动过程中速度随时间 的变化率。加速度也是矢量，既有大小又有方向。在求解曲 线运动中的加速度时，需要用到微分运算和矢量运算的法则 。
曲线运动中的位置矢量、位移、速度和加速度的综合应用
01
运动轨迹的描述
通过位置矢量和位移可以描述物体在曲线运动中的轨迹。结合速度和加
03 速度与加速度
速度的定义和计算
速度是描述物体运动快慢的物理量，定 义为位移与发生这个位移所用时间的比 值。在国际单位制中，速度的单位是米
每秒（m/s）。
瞬时速度是指物体在某一时刻或经过某 一位置时的速度，它反映了物体在运动 过程中某一时刻或某一位置的运动快慢
程度。
平均速度是指物体在某段时间内位移与 时间的比值，它反映了物体在这段时间
在现代科学和工程领域，对于物体运动状态的精确描述和控制是许多研究和应用的 基础。
深入研究位置矢量位移速度加速度等概念，有助于更好地理解物体运动的本质和规 律，为相关领域的研究和应用提供理论支持。
几阶向量可以表示哪些物理量？
几阶向量可以表示哪些物理量？一、一阶向量一阶向量是指只有一个分量的向量，它可以表示位移、速度和加速度等物理量。
位移是指物体在某个参考点的位置改变的量，是矢量，可以用一阶向量来表示。
速度是物体在单位时间内位矢的变化率，也是一阶向量。
加速度是物体在单位时间内速度的改变率，同样可以用一阶向量来表示。
1. 位移向量位移向量的方向由起始点指向终止点，长度表示位移的大小。
在几何上，我们可以构建一个坐标系，将位移向量的起点定为坐标原点，这样，位移向量就可以表示为一个具有坐标分量的一维向量。
2. 速度向量速度指物体在单位时间内位矢的变化率，它是一个矢量。
速度向量的方向由位移向量的方向确定，长度表示物体沿着位移方向的运动快慢。
以直线运动为例，如果物体做匀速直线运动，那么速度向量的方向与位移向量的方向相同；如果物体做加速直线运动，那么速度向量的方向则与位移向量的方向有所偏差。
3. 加速度向量加速度是指物体在单位时间内速度的改变率。
加速度向量的方向与速度变化的方向相同，它的长度则表示速度变化的快慢。
加速度向量有时也可以垂直于速度向量，这意味着速度的方向发生了变化，但速度的大小保持不变。
二、二阶向量二阶向量是指有两个分量的向量，它可以表示力、力矩等物理量。
力是物体相对于其他物体施加的作用，是一个矢量。
力矩是力对于某个转轴的力矩，也是一个矢量。
1. 力向量力是物体相对于其他物体施加的作用，它有大小和方向之分。
力的方向由受力物体偏离平衡位置的方向决定，力的大小则取决于施力物体与受力物体之间的相互作用。
根据牛顿第三定律，力的大小与受力物体产生的加速度成正比。
2. 力矩向量力矩是力对于某个转轴的力矩，它描述了力对物体转动的影响。
力矩的方向垂直于力的作用线，并遵循右手定则。
力矩的大小等于力的大小乘以力臂的长度，力臂是力的作用线到转轴的垂直距离。
三、三阶向量三阶向量是指有三个分量的向量，它可以表示力矩、电场强度、磁场强度等物理量。
加速度速度位移的公式
加速度速度位移的公式加速度、速度和位移是物理学中的重要概念，它们之间存在着一定的数学关系。
下面将介绍加速度、速度和位移的公式及其相关内容。
一、加速度的公式加速度是指物体在单位时间内速度改变的快慢程度。
加速度可以通过速度与时间的比值来计算，其公式如下：a = Δv/Δt其中，a表示加速度，Δv表示速度的变化量，Δt表示时间的变化量。
二、速度的公式速度是指物体单位时间内通过的位移。
速度可以通过位移与时间的比值来计算，其公式如下：v = Δx/Δt其中，v表示速度，Δx表示位移的变化量，Δt表示时间的变化量。
三、位移的公式位移是指物体从初始位置到终止位置所经过的路径长度。
位移可以通过速度与时间的积分来计算，其公式如下：Δx = ∫v dt其中，Δx表示位移，v表示速度，dt表示时间的微小变化量。
四、相关参考内容1. 牛顿第二定律：牛顿第二定律描述了物体的加速度与作用力之间的关系。
其公式为：F = ma其中，F表示物体所受的作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
2. 牛顿第一定律：牛顿第一定律也称为惯性定律，描述了物体在无外力作用下的运动状态。
其公式为：F = 0即物体所受的合力为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
3. 牛顿第三定律：牛顿第三定律描述了物体作用力和反作用力之间的关系。
其公式为：F12 = -F21即如果物体1对物体2施加了一个力，那么物体2对物体1也会产生一个大小相等、方向相反的反作用力。
4. 动力学方程：动力学方程是描述物体的运动状态的方程，可以通过牛顿第二定律推导得到。
其一维情况下的表达式为：ma = ΣF其中，ma表示物体的加速度与物体所受的合力之间的关系，ΣF表示作用在物体上的所有力的矢量和。
5. 弹簧振子的运动方程：弹簧振子是一种常见的振动系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律和胡克定律推导得到。
其表达式为：m(d²x/dt²) + kx = 0其中，m表示振子的质量，k表示弹簧的劲度系数，x表示振子的位移，t表示时间。
大 学 物 理 质点运动学
dr
dx
i
dy
j 3i 8tj (m/s)
dt dt dt
（3）由加速度的定义得
a
d
8 j (m/s2 )
dt
x
22
例2: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长 s按s＝t＋2t2的规律变化。问它在2 s末的速率、法向 加速度和切向加速度各是多少？
解 （1）由速率定义，有 ds 1 4t dt
小球的切向加速度量值 a，法向加速度量值an和轨道
的曲率半径 。
解：由图可知
a
g sin
gy
a g
gt
2 0
g 2t 2
g2t
02 g2t 2
an θ
x= 0
θ
a
y=gt
an
g cos
gx
g
an
g0 02 g2t 2
2
2 x
2 y
(02
g 2t 2 )3 / 2
an
an
g0
21
§1.4 运动学中的两类问题
r
Ｃ
Ｂ
r
r2
Ｏ
位置矢量的增量 ◆位矢增量的模 ◆位矢模的增量
r r2 r1 | r|| r2 r1 | r | r2 | | r1 |
位移在直角坐标系中的表示式
r
xi
yj
zk
9
路程 s t 时间内质点在空间内实际运行的路径距离。
注意
• s与 r的区别
s为标量, r为矢量
s r
d
s
dr
将t ＝2代入上式，得2 s末的速率为
＝1＋4×2＝9 (m·s-1)
（2）法向加速度的大小 （3）切向加速度的大小
质点的位置矢量速度加速度之间的关系式
质点的位置矢量速度加速度之间的关系式质点的位置矢量、速度和加速度是物理学中描述质点运动的三个重要概念。
它们之间有着密切的关系，并且通过运动学的理论来描述。
首先，我们来定义这三个概念：1.位置矢量（r）：位置矢量是用来描述一个质点在空间中的位置的向量，通常用r表示。
位置矢量的方向与从参考点指向质点所在位置的方向一致，其大小表示参考点到质点之间的距离。
2.速度（v）：速度是描述质点在某一时刻的位置变化率的物理量，即质点单位时间内所经过的位移。
速度是一个矢量量，包括大小（也称为速率）和方向两个方面。
3.加速度（a）：加速度是描述质点在运动过程中速度变化率的物理量，即单位时间内速度的变化量。
加速度也是一个矢量量，包括大小和方向两个方面。
接下来，我们来分析位置矢量、速度和加速度之间的关系。
1.速度与位置矢量的关系：在运动学中，速度与位置矢量之间存在着微分关系，即速度矢量等于位置矢量对时间的导数（v = dr/dt）。
这意味着速度的大小可以表示为位置矢量的变化率，方向与位置矢量的方向一致。
速度矢量的微分形式可以表示为：v = dx/dt * i + dy/dt * j + dz/dt * k其中，i、j和k分别表示了空间中的三个坐标轴的单位矢量。
2.加速度与速度的关系：加速度是速度的变化率。
在运动学中，通过对速度矢量对时间的导数，可以得到加速度矢量（a），即a = dv/dt。
加速度的大小表示速度的变化率，方向与速度矢量的方向一致。
加速度矢量的微分形式可以表示为：a = dv/dt = d²x/dt² * i + d²y/dt² * j + d²z/dt² * k3.速度与加速度的关系：速度和加速度之间存在一种紧密的联系，即速度矢量又是加速度矢量对时间的积分。
换句话说，速度矢量等于加速度矢量对时间的积分，即v = ∫ a dt。
这说明了速度的变化是由加速度引起的，例如当质点受到作用力或者外界扰动时，会产生加速度，进而导致速度发生变化。
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
位矢
(1)质点运动的二维坐标表示
r
r(t )
x(t)i
y(t) j
Δ r r2-r1 i yj
v
dr
dx
i
dy
j
dt dt dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
d2x dt 2
i
d2 y dt 2
j
(2)质点运动的自然坐标表示
刻的速度和加速度。求解这类问题的基本方法是微分
法。 第二类问题：已知质点的加速度（或速度）随时间的
变化规律和初始条件，求质点在任意时刻的速度和运
动方程，求解这类问题的基本方法是积分法。
5 .牛顿运动定律
第一定律可认为是惯性参考系的定义,掌握要点: 惯性、运动状态改变的原因--力。 第二定律是在惯性参考系中力的瞬时作用规律,掌握 要点:质量是F惯 m性a定 d量P表述,力P是产m生v 加速度的原因。
F=F0+k x 的作用,其中F0、k均为常量，且B在x=0处的速度为v0, 求B的速度与坐标间的关系。
思路： 加速度是位置的函数a=a(x):
即a=(F0 / m) +(k/m)x,
a dv dv dx v dv , dt dx dt dx
0x
adx
v
v0
vdv
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之
an at , t 1s
（2）
s
0tvdt
1
0
3tdt
1.5
m
课后练习题
1 .一电子在电场中运动,其运动方程为:
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
vxi v y j vzk
vx
dx dt
vy
dy dt
速度的大小为 v
v2 x
v
2 y
v
2 z
速度的方向用方向余弦表示为
vz
dz dt
( dx )2 ( dy )2 ( dz )2 dt dt dt
cos α vx , cos β vy , cos γ vz
v
v
v
讨论 v v 吗？
周期内质点位移的大小 r 2R ，位矢大小的增量为
r R R 0
二、 速度Байду номын сангаас
1. 平均速度
v
r (t
t)
r (t)
r
t
t
2. 瞬时速度
r
(1) 匀速直线运动
瞬时速度
v
=
_
v
Δr
t
(2)变速曲线运动
瞬时速度
v lim
r
dr
t0 t dt
瞬时速度 = 平均速度
v2
Δ r2 t2
v v(t t) v(t) v v(t t) v(t)
a v b
c
v(t) v(t t)
在Ob上截取 oc oa
有
v cb
O
vvvtn
ac ac cb
cb
vn vt
速度方向变化 速度大小变化
1.3.a3加dd速2tr2度
d2 dt 2
(xi
yj
zk )
d2x d2y d2z
r1 xAi yA j r2 xBi yB j 位移 r r2 r1
y
yB A r
r y A 1
r2
质点运动学
质点运动学1.描述质点的运动的物理量：位矢、位移、速度和加速度。
（1）位矢：从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，记为r。
在直角坐标系中r=x i+y j+z k。
（2）运动方程：质点的位置随时间变化的关系：r=r(t)称为运动方程。
在直角坐标系中的矢量表示式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k。
在自然坐标中：s=s(t)（3）位移：由质点初始位置指向末位置的矢量，△r=r(t+△t)-r(t).在直角坐标系中：△r=△x i+△y j+△z k。
（4）路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为路程，用s 表示。
一般情况下，|△r|≠△s。
（5）速度：质点位置对时间的一阶倒数称为速度v=d r/d t.在直角坐标系中：v=v x i+v y j+v z k=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k在自然坐标系中：v=(ds/dt)e t速度大小称为速率，速率是标量。
v=|v|=|d r/dt|=ds/dt（6）加速度：质点速度对时间的一阶求导a=d v/dt=d2r/dt2 在直角坐标系中：a=a x i+a y j+a z k=(dv x/dt)i+(dv y/dt)j+(dv z/dt)k=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k 在自然坐标系中：a=a t e t+a n e n=(dv/dt)e t+(v2/ρ)e n2.常见的几种运动形式（1）匀速直线运动：v=v0+atx=x0v0t+1/2*at2v2-v20=2a(x-x0)（2）抛体运动：a x=0,a y=-gv x=v0cosθ,v0=v0sinθ-1/2*gt2x=(v0cosθ)t,y=(v0sinθ)t-1/2*gt2 （3）圆周运动：角位置：θ=θ(t)角位移：△θ=θ(t+△t)-θ(t)角速度：ω=dθ/dt=v/R角加速度：β=dω/dt=d2θ/dt2法向加速度：a n=v2/R=Rω2切向加速度：aτ=dv/dt=Rβ3.伽利略变换伽利略速度变换式：v=v0+u。
加速度求位置矢量的公式
加速度求位置矢量的公式
加速度、位移公式是什么
vt=v0+at
(t2-v02)=2as
s=vOt+at2/2
s=(vO+vt)t/2
s2-s1=aT2
加速度相关公式
1、平均速度：V平=s/t（定义式），有用推论Vt2-Vo2=2as
2、中间时刻速度：Vt/2=V平=Vt+Vo)/2
3、末速度：Vt=Vo+at
4、位移：s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t
6、加速度：a=Vt-Vo)/t{以Vo为正方向，a与Vo同向加速南a>0;反向则a<0}
7、实验用推论：△s=aT2{△s为连续相邻相等时间D内位移之差}
位移计算公式
物体在某一段时间内，如果由初位置移到末位置，则由初位置到末位置的有向线段叫做位移。
它的大小是运动物体初位置到末位置的直线距离：方向是
1
从初位置指向末位置。
位移只与物体运动的始末位置有关，而与运动的轨迹无关。
如果质点在运动过程中经过
一段时间后回到原处，那么，路程不为零而位移则为零。
△X=X2-X1（未位置减初位置）要注意的是位移是直线距离，不是路程。
匀变速运动的
位移公式：x=v0t+1/2at2。
匀变速运动速度与位移的推论：X=Vot+2at2。
注：v0指初速度指末速度。
2。
大学物理1-2位矢 位移 速度 加速度
大小
a
ax2
a
2 y
az2
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量的 极限方向。加速度与速度的方向一般不同。
加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动；
加速度与速度的夹角恒等于90，质点做圆周运动。
av大于90，速率减小。
加速度与速度的夹角小于90，速率增大。
加速度
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个
极限值 a lim v dv d 2r t0 t dt dt 2
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
ax
dvx dt
d2x dt 2
;
ay
dvy dt
d2y dt2 ;
az
dvz dt
d2z dt 2
加速度
dx dt
v
v0
at
两端积分得到运动方程
x
t
x0
x
d
x x0
0 (v0 at) d
v0t
1 2
at 2
t
消去时间，得到 v2 v02 2a(x x0 )
或由 dv a 得 vdv adx 两边积分可得上式
dt
vz
dz dt
瞬时速度的大小: v|v| vx2 vy2 vz2
方向:
当 t 时0位移 的极r 限方向，即该位置的
切线方向，指向质点前进的一侧。
瞬时速率： lim S lim | r | | dr || v |
t0 t t0 t dt
加速度
4. 加速度
加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变
v g v
v g v
v
v
位移、速度、加速度
1-1-2
２、速度 Velocity 瞬时速度、简称速度： v = lim t→0 r/ t = dr/dt 速度方向为所在点轨迹的切线方向，并 指向质点前进的一方 在直角坐标系中 v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k 速度分量 vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt 速度的大小： | v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
1-1-2
v(t) P Q ρ no dθ
v(t+dt)
O vdθ v(t) v(t+dt) dv dv
1-1-2
dv = dv to + vd no 所以 vdt =ρd 故 d /dt = v /ρ 将上式两边除以dt可得质点在P点的加速度 a = dv/dt = dv/dt to + vd /dt no = dv/dt to + v2/ρ no dv/dt 为沿切向分量，故称为质点的切 向加速度 at ，其值等于速率的变化率，它 表示速度变化的快慢。
例1-2 有一质点沿x轴作直线运动为 x(t) = 4.5t2 - 2t3 (SI)，试求: (1)第2秒内的平均速度 v， (2)第2秒末的速度 v， (3)第2秒内经过的路程s 及平均速率 v， (4)第2秒末的加速度 a 。 解:(1) vx = x/ t = [ x(2)- x(1)]/( 2 - 1 ) = (4.5×22－2×23 )－(4.5－2) = - 0.5 m /s v = - 0.5 i m /s
1-1-2
1-1-2
vx = 9t - 6t2 (4) 加速度 ax = dvx/dt = 9 - 12t |t=2 = 9 - 12×2 = - 15 ( m/s2 ) 因为加速度与速度方向相同， 所以质点在２秒末作加速运动。
1-2 位置矢量 位移 速度 加速度
第1章 质点运动学
第2节
r 位矢 的方向余弦
cos x r
cos y r
cos z r
运动方程
rv(t)
v x(t)i
y(t)
v j
v z(t)k
x x(t)
分量式 y y(t)
z z(t)
从中消去参数 t 得轨迹方程
f (x, y, z) 0
第1章 质点运动学
ay
v j
v azk
加速度大小
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
a ax2 ay2 az2
第1章 质点运动学
az
dvz dt
d2z dt 2
第2节
大学物理学(第4版) 13
讨论 vv v 吗？
vv vv(t t) vv(t)
大学物理学(第4版) 2
y
r P
o
x
z
yP
y(t)
r(t)
o
x(t)
z(t)
x
z
第2节
大学物理学(第4版) 3
二、位移
y
rv1 A
r rv2
B
y
yB yA
rv1 A
r rv2
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
把B 的由位始移点矢A量指,向简终称点位B移的. 有向rv线段rv2rr称v1 为点 A 到
物理学中的矢量位移速度与加速度
物理学中的矢量位移速度与加速度物理学中的矢量位移、速度与加速度物理学是一门研究物质的运动规律和属性的科学。
在物理学中，矢量位移、速度和加速度是三个重要的概念，它们有着密切的联系。
本文将深入剖析这三个概念的定义、计算以及它们之间的关系。
一、矢量位移矢量位移是一个物体从初始位置移动到最终位置的直线距离的有向量表示。
用符号Δr表示，Δr = r2 - r1，其中r2表示物体的最终位置矢量，r1表示物体的初始位置矢量。
二、速度速度是描述物体运动变化率的物理量，它是位移关于时间的导数。
速度的定义是v = Δr / Δt，其中Δr表示位移矢量，Δt表示时间变化的量。
速度是一个矢量量，它既有大小，又有方向。
在国际单位制中，速度单位为米每秒（m/s）。
三、加速度加速度是描述物体速度变化率的物理量，它是速度关于时间的导数。
加速度的定义是a = Δv / Δt，其中Δv表示速度矢量的变化量，Δt表示时间变化的量。
加速度也是一个矢量量，它既有大小，又有方向。
在国际单位制中，加速度单位为米每秒平方（m/s²）。
通过分析位移、速度和加速度的定义，我们可以看出它们之间的关系。
速度是位移的导数，表示单位时间内物体位置的变化率。
而加速度是速度的导数，表示单位时间内速度的变化率。
因此，加速度也可以看作是位移关于时间的二阶导数。
在一维运动中，我们可以用函数的导数来计算速度和加速度。
对于位移函数x(t)，我们可以通过求导得到速度函数v(t)，再次求导得到加速度函数a(t)。
在多维运动中，我们可以将位移、速度和加速度分别看作是矢量的分量，对每个方向进行独立计算。
除了函数法，我们还可以通过图像法来分析位移、速度和加速度之间的关系。
通过绘制位移-时间、速度-时间、加速度-时间的图像，我们可以直观地了解它们的变化规律。
需要特别注意的是，位移、速度和加速度的方向是相对于某个参考点或参考系统而言的。
选择合适的参考点和参考系对于矢量的描述非常重要。
位移、速度、加速度
速度是矢量，具有大小和方向，其大小等于物体在单位时间内通过的位移，方 向与物体位移的方向相同。在直角坐标系中，速度可以表示为$v = Delta x/Delta t$，其中$Delta x$表示位移，$Delta t$表示时间。
平均速度与瞬时速度
总结词
平均速度是物体在一段时间内位移与时间之比，瞬时速度是物体在某一时刻的极限速度。
位移、速度、加速度
目 录
• 位移 • 速度 • 加速度 • 位移、速度、加速度之间的关系
01
位移
位移的定义
01
02
03
位移的定义
位移是物体位置的变化量， 用从起点到终点的有向线 段表示。
矢量表示
位移是一个矢量，既有大 小又有方向，遵循矢量加 法规则。
标量表示
在实际应用中，有时也用 位移的绝对值表示物体位 置的变化量，即位移的模。
详细描述
平均速度是描述物体在一段时间内平均运动快慢的物理量，其计算公式为$v_{avg} = frac{Delta x}{Delta t}$。 瞬时速度是描述物体在某一时刻运动快慢的物理量，它是平均速度的极限情况，即当时间趋近于零时的平均速度。
速度的矢量表示
总结词
速度的矢量表示包括方向和大小，可以用实线和箭头表示。
详细描述
平均加速度是物体在一段时间内速度变化的平均值，可以用速度时间图线下的面积除以 时间间隔来计算。瞬时加速度是物体在某一时刻速度变化的瞬时值，表示该时刻物体速
度的切线斜率。
加速度的方向
总结词
加速度的方向与速度变化的方向一致， 反映了物体速度变化的趋势。
VS
详细描述
加速度的方向与速度变化的方向一致，可 以用右手定则来判断。当右手四指并拢指 向初速度方向，大拇指指向即为加速度方 向。加速度方向的变化反映了物体速度变 化的趋势，例如当加速度方向与初速度方 向一致时，物体做加速运动；当加速度方 向与初速度方向相反时，物体做减速运动 。
位矢、位移、速度、加速度
2 位移
一物体作曲线运动，t 时刻在位置P1，在t+Δt 时刻
在位置 P2。在t 到t+Δt 的时间间隔 ，t 物体的位移
为： r r(t t) r(t)
y P1 r P2 r(t) r(t t)
o
x
z
注意：位移与参照点的选择无关.
r
( x2
x1)i
(
y2
y1) j
(z2
z1 )k
已知质点的运动方程求速度或加速度，就是对运动 方程求一阶或二阶导数。 已知质点的运动方程求轨道方程办法是消去时间t。
概念：位矢、位移、平均速度、速度、平均加速度、 加速度
➢ 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同， 这就是运动描述的相对性.
➢ 坐标系：参考系的数学抽象.如直角坐标系等。
2. 坐标系 在确定了参照系之后，为了确切地、定量地说明 一个质点相对于所选参照系的位置，就得在此参照 系上固结一个坐标系.
最常见的是笛卡儿直角坐标系： y P(x, y,z)
o
➢ 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型。
目的是为了突出研究对象的主要性质，暂不考虑一
些次要的因素 。
二 描述物体运动的四个物理量
1 位置矢量
y
确定质点P某一时刻在 的位置除了用坐标（x、y、
zO）到外P作，有还向可线以段从，坐用标r原表点
示，称位置矢量,简称位矢。
y
j
r
*P
z
o
k
i
x
x
z
v(t t)
v
v(t t)
a
可见: 加速度的方向指向轨道凹的一侧.
在笛卡儿坐标系加速度可表示为
力学--运动学
解：（1）
（ 2）
v 2.0i 4.0tj
2 x 2 y
y 19.0 0.5x
2
8t dv d ( v v ) at et et et 2 dt dt 1 4t
第一章 运动学
12
物理学
第五版
6
a 随 t 变化 例：
例3 已知a=4t，t=0时，v0=5 m· s-1，x0=5 m, 求：(1)速度随时间的变化关系 v(t)=？ (2) x x0 ？
z
P’(.t+dt) d r .P(t)
4 角加速度
d d 2 dt dt
第一章 运动学
x
8
物理学
第五版
4 角量与线量的关系
t 0， 线量：r , r , v , a (an , at )
角量： (t ), , ,
AB AB r
dv 4t 解 ( 1) a dt
dx ( 2) v dt
dv 4tdt
v0 0
v
t
解得：v v0 2t
t 2
2
x
( v 2 t ) d t d x 0 0 5 2 3 解得：x x0 x 5 v0t t 3
第一章 运动学y14Fra bibliotek物理学
第五版
6
a 随 v 变化 例：
dv 1.0 v 解 a dt v dv t v0 v 0 dt t v v0e dy t v v0 e dt y t t dy v0 e dt
0 0
o
v0
y
y 10 （ 1 e ）
运动学
忽略物体的形状和大小， 忽略物体的形状和大小，保留物体原有质量的一个理想 的物理点模型。 的物理点模型。
1）运动过程中，物体各部分运动相同 如物体的平动 )； ）运动过程中，物体各部分运动相同(如 ；
2）物体的尺寸相对运动范围很小。 ）物体的尺寸相对运动范围很小。
▲选择合适的参考系
以方便确定物体的运动性质； 以方便确定物体的运动性质； ▲建立恰当的坐标系 以定量地描述物体的运动； 以定量地描述物体的运动； ▲提出较准确的物理模型 以确定所提问题最基本运动律. 以确定所提问题最基本运动律
2
∆θ t A θ
O
参考
弧度/秒 弧度 秒2（rad/s2)
为恒量的圆周运动，称为匀变速圆周运动。 角加速度β为恒量的圆周运动，称为匀变速圆周运动。
dω = β dt
∫ω
∫θ
θ
0
ω
0
dω = ∫ β dt
0
t 0
t
ω = ω0 + βt
1 2 θ = θ0 +ω0t + βt 2 3 2 ω −ω0 = 2(θ −θ0 )
dv aτ = τ dt
dv d s aτ = = 2 dt dt
沿切向方向
2
描述速度大小随时间的变化快慢，即速率对时间的变化率。 描述速度大小随时间的变化快慢，即速率对时间的变化率。
dτ an = v dt
an =
v
2
ρ
沿法线方向。 沿法线方向。若是圆周运动则指向圆心 描述速度方向随时间的变化快慢，即速度方向的变化率。 描述速度方向随时间的变化快慢，即速度方向的变化率。
dv y
2
2
2
dv x d 2 x = 2 ax = dt dt dv y d 2 y 中 a y = = 2 dt dt 2 a = dvz = d z 2 z dt dt
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1 – 1位矢 位移 速度 加速度
二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在
y
坐位标置系矢里 量的, 简位称置位的矢物r理.量称
r
xi
yj
zk
y j
z
o
k
r
i x
*P
x
式中 i、j 、k 分别为x、y、z z
方向的单位矢量. r 位矢 的值为
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
太阳 r
地
R球
地球
绕
太
阳
公
转
地——日间平均距离 r ：1.5 ×108 km
地球半径 R ： 6.37 × 103 km r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
v
dx
i
dy
j
v
dt
vx
i
dt
vy
j
y v y
若质点在三维空间中运动,
v
v x
其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
o
x
dt dt dt
瞬时速率：速度 v 的大小称为速率
v
ds dt
et
v v (dx )2 (dy )2 (dz )2 v ds
第一章 质点运动学
位移
1rrBA–1x位xBA矢ii 位yy移BA
速度 j
j
r rB rA
加速度
y
yB yA
rA
A
r rB
(xB xA)i ( yB yA) j
o
xA
B
yB yA
xB x
若质点在三维空间中运动
xB xA
r
P2
决定于质点的始末位置. B）反映了运动的矢量
r (t1)
r(t2) r
性和r叠加性xi.
yj
zk
z
O
P1(x1, y1, z1)
x
r
注意
x
2ry2
z
r
2
P2 (x2 , y2 , z2 ) 位矢长度的变化
r
x2 2
y22 z22
y(t)
r(t)
z z(t)
从中消去参数 t 得轨迹方程
o
z(t)
x(t)
x
f (x, y, z) 0
z
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
3 位移
y
A r B
rA
rB
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
把B 的由位经始移过点矢时A量间指间,向简隔终称点位tB后移的,. 有质向点线位r段置r矢r量B发称生为rA变点化A,到
(xB
x A )i
(
yB
yA
)
j
(zB
z
A
)k
位移的大小为 r x2 y2 z2
4 路程（s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
位移的物理意义
y
A) 确切反映物体在空间
位置的变化, 与路径无关，只
s P1 r
x12 y12 z12
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程
是而不位唯移一r的是, 唯可一以的是.s或s
（B） 一般情况, 位移
大小不等于路程.
y
s' s
p1 r
p2
r (t1) r (t2 )
O
r s
r r(t t) r(t)
A
tv时间内r,
质点的平均速度
x
i
y
j
o
r (t)
x
或
v
t t vxi
vy
t j
平均速度 v 与 r 同方向.
平均速度大t
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
一 参考系 质点 1 参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性.
坐标系：参考系的数学抽象. 2 质点 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其
大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转 动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量 的点（即质点）来处理 .
r r x2 y2 z2
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度 r 位矢 的方向余弦
cos x r
cos y r
y
r
P
cos z r
o
r(t)
2
运动方程 x(t)i y(t
)
j
z(t
)k
z
yP
x
x x(t) 分量式 y y(t)
vA
v
vB
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
dt dt dt
dt
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
平均速率 v s t
瞬时速率 v ds
y r(t t)
B s r
dt
讨论
o
一运动质点在某瞬时位于矢径
r (t)
A
x
r(x, y) 的端点
处，其速度大小为
dr （A） dt
d r （C） dt
dr （B） dt
（D）
(dx)2 (dy)2 dt dt
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
四 加速度 （反映速度变化快慢的物理量）
1） 平均加速度
单位时间内的速度增 量即平均加速度
a v t
a 与 v 同方向 .
y vA
vB
B
A
O
x
2）（瞬时）加速度
a lim v dv t0 t dt
2 瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度，
简称速度
v lim
r
dr
t0 t dt
v
lim
x
i
lim
y
j
当
t0
t
0t时，dtr 0tds
v
ds dt
et
当质点做曲线运动时，质点在某一点的速度方向
就是沿该点曲线的切线方向 .
（C）什么情况 r
s？
z
x
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
（D）位移是矢量, 路程是标量.
第一章 质点运动学
1 – 1位矢 位移 速度 加速度
三 速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点
A 运动到点B,
其位移为
y r(t t)
B
s r