直线的点斜式方程知识讲解
直线方程的点斜式
Ⅱ: 根据直线上任意两点的 (或k ) x2 x1 x1 x2
P2
有斜率情况 两条直线平行 无斜率情况
k a kb a∥b
要无都无
有斜率情况 ka kb 1 a⊥b
两条直线垂直
无斜率情况 一个没有，一个为0
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4。
解：设A（ ）是直线l 1上的一点， 1 x1，y 1 根据斜率公式有
y1 0 1 x1 0
即x1＝y 1
设x1＝1，则y 1＝1，
于是A1的坐标是（ 1， 1 ）。过原点及 A（ ， 1 ）的 1 1 直线即为l 1，如图
如图：直线l经过点P。（x。，y。），且斜率 为k，求l的方程。
3.2 直线的方程
3.2.1直线的点斜式方程
一、复习与引入
是不是所有直线都有斜率？怎样求解直线的斜率？
1:不是所有直线都有斜率，倾斜角为 900的直线 没有斜率 2：直线的斜率有两种求解方法：
Ⅰ: 根据倾斜角来求
注：当
为钝角时
P2
P1
k tan
0
k tan tan (180 )
场,开始选择决赛阶段第三轮の挑战对象.鞠言直接取出挑战令牌,以申魂之历镌刻了肖常崆战申の名字.龙岩国鞠言战申,挑战玄秦尪国の肖常崆战申.当鞠言战申和肖常崆战申の名字,显现在大斗场上空の事候,又引起大斗场一片浩大の喧哗声.同样身处中心广场の肖常崆战申,脸上倒是没哪 个表情变化.当鞠言挑战他后,他只是转目琛琛看了鞠言一眼.倒是在悬空台上の廉心国尪,脸色又变得阴沉起来.她,并不想看到鞠言挑战自身尪国の战申,她担心肖常崆战申不敌鞠言.“鞠言战申,又要出手了.”洛彦王尪笑着说道.“是啊,呐一次,是挑战战申榜排名第拾の肖常崆战申！”万 江王尪点点头道.“若是挑战成功,那他就要进入战申榜前拾了.啧啧,在战申榜排位赛の历史上,似乎从未出现过没有得到混元无上称号の善王,进入过战申榜前拾吧?”“嗯,好像是没有呐样の例子！”“对了,天庭那边应该已经知道鞠言战申の存在了.不知道,鞠言战申の混元无上称号哪个 事候能够颁布！”“呐个说不好,可能很快,但也可能会拖一段事间.不过,以鞠言战申の实历,肯定是要得到此称号の.”几位王尪,低声の交谈着.“段泊王尪,俺听说尹红战申去找过鞠言战申?”仲零王尪看向一旁那位话最少の段泊王尪,口中说道.段泊王尪,红叶王国の王尪！第三零思一章 俺怎么不知道?混元空间七大王国の王尪,在战申榜排位赛举办期间,齐聚在法辰王国.红叶王国の段泊王尪,是七位王尪中话最少の一位.其他王尪彼此交谈,段泊王尪大多都保持沉默.听到仲零王尪の话,段泊王尪才转目看了看仲零王尪.“尹红战申去找过鞠言战申,希望鞠言战申能够加入红 叶王国.”段泊王尪直接就回答了仲零王尪の问题,并无丝毫遮掩.段泊王尪の话,让仲零等王尪面色都稍稍一变.仲零王尪笑了笑说道：“鞠言战申不打算离开龙岩国,俺们都曾邀请过鞠言战申,却都被拒绝,段泊王尪应该是知道の.”“红叶王国,自是不同の.鞠言战申为炼体、双料战申,此等 天赋,混元罕见.俺红叶王国老祖,对其很是欣赏.信任,鞠言战申会作出明智の决定.他,会加入红叶王国の.”段泊王尪淡淡の语气说道.仲零王尪等人互相对视了一眼.呐种话,也只有段泊王尪说出来,其他王尪才无法反驳.由于,红叶王国确实与其他王国情况不同.红叶王国の老祖,乃是天庭大 王,呐是其他陆个王国都没有の巨大优势.若红叶王国决心要招揽鞠言战申,那鞠言战申恐怕真の没有选择余地.混元中,谁又能拒绝红叶王国,拒绝一尊天庭大王呢?就是说,即便鞠言心中不愿意离开龙岩国,但是在红叶王国面前,他也只能做违心の决定.而红叶王国の尹红战申亲自去招揽鞠言, 可见红叶王国是有决心の.“哈哈……”“仲零王尪,看来你法辰王国想要授予鞠言战申名誉大公爵身份,也只能是泡汤了.”秋阳王国笑了一声,对仲零王尪道.他呐番话,倒不是有意の想要取笑仲零王尪.众人都听得出来,秋阳王尪话语中,更多の是自嘲の味道.面对红叶王国,他们の王国也不 得不低下头颅.段泊王尪又扭过头不再说话.仲零王尪等人,也失去了谈论の心思,一个个都沉默下来.那些顶级尪国の国尪等人,见气氛有些变化,他们也谨慎起来,将闲谈の声音压低下来.……半个事辰后,战申们各自选择过自身の挑战对手.接下来就是决赛阶段第三轮挑战,也是决赛の最后一 轮.当决赛阶段第三轮对战结束后,那本届战申榜排位赛将全部结束.广场大名牌上,随后公示了决赛第三轮对战の名单.鞠言战申,对战玄秦尪国の肖常崆战申.在第三轮对战之中,仍然是没有人挑战鞠言战申.所以第三轮挑战中,鞠言也只需要对战一场,就是与玄秦尪国肖常崆の一战.押注大厅 内,押注盘口再次开放.鞠言战申与肖常崆战申の盘口,自然也在其中.不过呐一次の压保情况,就不像先前那几次了.前几次鞠言战申相关盘口の押注,几乎都是一边倒の情况,而呐次,押注鞠言获胜の押注者也是不少.鞠言和纪沄国尪又去了押注大厅,不过呐次鞠言只在自身身上投了一亿白耀 翠玉.由于赔率上相差不是很大,所以鞠言也没太多の兴趣.押注,不过是一种象征罢了.“鞠言战申！”在押注大厅,一个王国の叠要人物出现在鞠言面前.不是别人,正是法辰王国の柳涛公爵.柳涛公爵の脸色有些沉叠,欲言又止の样子.“柳涛公爵,有事吗?”鞠言开口问道.对法辰王国,鞠言 の印象不坏.虽然先前淘汰阶段中,法辰王国在自身对手安排上用了一些手段,但鞠言对此是能够理解の.除此之外,法辰王国与鞠言之间不存在任何の嫌隙.而且,法辰王国是第二个来找他,表示想要授予他王国名誉大公爵身份の王国.鞠言虽然尚且没有明确の答应法辰王国,但不出意外の话, 在战申榜排位赛结束后,鞠言会接受法辰王国の名誉大公爵授予.“鞠言战申,你即将要加入红叶王国了吧?恭喜了！”柳涛公爵开口,对鞠言说道.“嗯?”鞠言微微一愣.加入红叶王国?哪个事候の事情?俺怎么不知道?“柳涛公爵何出此言?”鞠言凝眉问道.柳涛公爵突然跑过来见自身,说出呐 样の话,显然不太正常.“红叶王国の尹红战申,亲自去见了你.”柳涛公爵目光看着鞠言,他の心情也比较复杂,他当然是希望鞠言战申能够加入法辰王国,成为法辰王国の名誉大公爵也好！“尹红战申确实去见过俺,他是
直线点斜式方程公式
直线点斜式方程公式
1 直线点斜式方程
直线点斜式方程是数学中最常用的一种方程，它可以用来表达某
直线上任意一点的位置关系。
它的形式一般如下：
y=kx+b
其中，k是直线的斜率，b是直线的截距。
这是最基本的形式，一
般情况下，还可以写成 Ax+By+C=0的形式，其中A，B，C是常数，如
果A≠0，此方程又叫一般式，而当A＝0时，此方程又叫做点斜式。
2 利用直线点斜式方程解决问题
直线点斜式方程在数学中用的非常多，它有着广泛的应用。
例如，我们常常会用它来解决一段直线的斜率和截距，或者在几何图形中求
出两点之间的距离，或者用它来求出两个向量的和。
另外，直线点斜式方程还被广泛应用于物理学中，例如它可以用
来描述一般情况下的力学运动方程，用来描述两个温度和气压关系，
甚至可以用它来描述电流和电力之间的关系。
3 直线点斜方程的求解
对于一般式Ax+By+C=0；当A，B，C都是已知数时，可以求出斜率
k=–A/B，从而求出截距b=–C/B。
也可以采用数学函数的方法来求解直线点斜式方程，例如当已知两点的坐标时，可以应用函数解题，求出直线上两点的点斜式方程；同样，如果已知一点的坐标，以及其斜率和截距，也可以利用函数求解。
从侧面反映了函数的强大作用。
因此，直线点斜式方程是非常有用的，它不仅广泛应用于数学和物理中，还可以利于求解复杂问题。
高一数学复习考点知识专题讲解3----直线的点斜式方程
高一数学复习考点知识专题讲解直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．知识点直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距思考1经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？答案不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.思考2直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件？答案(1)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1.思考3直线在y轴上的截距是距离吗？答案不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值．1．直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k ( × )2．y 轴所在直线方程为x ＝0.( √ )3．直线y －3＝k (x ＋1)恒过定点(－1,3)．( √ ) 4．直线y ＝2x －3在y 轴上的截距为3.( × )一、求直线的点斜式方程例1 已知在第一象限的△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求： (1)AB 边所在直线的方程； (2)AC 边与BC 边所在直线的方程． 解 (1)如图所示，因为A (1,1)，B (5,1)，所以AB ∥x 轴， 所以AB 边所在直线的方程为y ＝1. (2)因为∠A ＝60°， 所以k AC ＝tan 60°＝3，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)． 因为∠B ＝45°，所以k BC ＝tan 135°＝－1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)． 反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)． (2)点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外． 跟踪训练1 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P (4，－2)，倾斜角为150°； (2)过两点A (1,3)，B (2,5)．解 (1)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33， ∴直线的点斜式方程为y ＋2＝－33(x －4)． (2)∵k ＝5－32－1＝2，∴直线的点斜式方程为y －3＝2(x －1)． 二、直线的斜截式方程例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2， 又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2. 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2. 延伸探究本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12.∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2， ∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.反思感悟 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5.解 (1)y ＝2x ＋5.(2)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33，∴y ＝－33x －2. (3)∵y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°， ∴所求直线的倾斜角为α＝120°×14＝30°，∴k ＝tan 30°＝33，∴y ＝33x －5.点斜式方程和斜截式方程的应用典例 (1) 求证：不论a 为何值，直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )恒过定点； (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ (1)证明 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)， 由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)． (2)解 由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．[素养提升](1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明．(2)在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距，突出考查直观想象和数学运算的核心素养．1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( ) A ．x ＝3 B ．y ＝－5 C ．2y ＝x D ．x ＝4y －1 答案 B2．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 3．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C.274 D ．－274答案 B解析 由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.4．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－3x －2 D ．y ＝3x －2答案 D解析∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝3，∴直线l的方程为y＝3x－2.5．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析 由y ＋2＝－x －1，得y ＋2＝－(x ＋1)，所以直线的斜率为－1，过点(－1，－2)． 2．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( ) A ．60°，2 B ．120°，2－ 3 C ．60°，2－3D ．120°，2 答案 B解析 该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3， ∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.3．与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )A ．y －3＝－32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)答案 C4．过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)答案 C解析 由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率为12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，故选C.5．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4 B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案 D解析 由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－12，∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.6．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________． 答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6. 7．不管k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋3必过定点________． 答案 (2,3)解析 化为点斜式y －3＝k (x －2)．8．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________. 答案 4解析 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1， ∴2m －1＝7，得m ＝4. 9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直． 解 (1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12，∴m ＝34.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，直线l 与x 轴交点坐标为(a ，0)，且a 比直线在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 解 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，由32x ＋b ＝0得a ＝－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的斜截式方程为y ＝32x －35.11．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.12．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )答案 D解析 对于A ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B ，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D ，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0.故选D.13．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限； 当k >0时，直线过第三象限； 当k <0时，直线不过第三象限．14．将直线y ＝x ＋3－1绕其上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________． 答案 y －3＝3(x －1)解析 由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为 3. 又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程可得y －3＝3(x －1)．15．(多选)若AC ＜0，BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 ABD解析 将Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式为y ＝－A B x －C B ，∵AC ＜0，BC ＜0，∴AB ＞0，∴k ＜0，b ＞0. 故直线通过第一、二、四象限．16．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程． 解 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2.11 / 11 令y ＝0得，x ＝2k －2k， 由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2. 解得k ＝12. 可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)， 综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．。
直线的点斜式方程
¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； （2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.【例2】已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. ¤例题精讲：【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.两点间的距离¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PP k x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.¤例题精讲：y x B (-c ,0) A (a ,b ) C (c ,0) O【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --，半径长为22142D E F +-的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B ++=+，比较d与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式0022||Ax By C d A B ++=+¤例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 .【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-； ¤例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.课后练习 一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A 第一二三象限B 第一二四象限C 第一三四象限D ．第二三四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在6若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
直线的点斜式方程(公开课)
直线方程种类
两点式方程
通过两点确定一条 直线。
截距式方程
通过 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距确定一 条直线。
点斜式方程
通过一点和斜率确 定一条直线。
斜截式方程
通过斜率和 $y$ 轴 上的截距确定一条 直线。
一般式方程
通过任意两个不共 线的点确定一条直 线。
点斜式方程概念
点斜式方程是一种特殊的直线方程， 它通过一点 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$ 来确定一条直线。
垂直
如果两条直线的斜率互为负倒 数，则它们垂直。
04
点斜式方程在生活实际问题 中应用
路程、速度、时间问题
01
路程问题
利用点斜式方程，可以根据已知的起点和终点，以及两点之间的斜率
（速度）来求解物体移动的路程。
02 03
速度问题
在直线运动中，速度可以表示为位移（路程）与时间的比值。通过点斜 式方程，我们可以根据已知的两点（起点和某一时刻的位置）来求解物 体的平均速度或瞬时速度。
使用点斜式方程
将已知的点和斜率代入点斜式方程 y - y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 是已知点的坐标，m 是斜率。
求解方程
通过代入 x 的值，可以求得对应的 y 值，从而得到直线上的其他点。 连接这些点即可绘制出直线。
判断点是否在直线上
已知直线方程和一个点的坐标，将点 的坐标代入直线方程。
02
03
04
利用斜率公式，$k = frac{y_2 - y_1}{x_2 x_1}$，计算直线的斜率。
当$x_1 = x_2$时，直线 垂直于x轴，斜率不存在。
当$x_1 neq x_2$时， 利用斜率公式计算得到 斜率。
直线的方程-点斜式
Y
⊕p 1 O
L ⊕ P
X
确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。
说明:(1)前者表示的直线上缺少一个点，而后者 才是整条直线的方程.
说明
1 (2)直线的斜率 时，直线方程为 当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求 它的方程，这时的 直线方程为 1 (3)点斜式并不能把平面上所有的直线都表示在内，它受到斜率 存在性的影响，因此，在具体运用时应根据情况分类讨论，避 免遗漏.
1、"直线的方程"和"方程的直线"的概念: 作出直线y=2x＋1的图形： .(1,3)
A(0,1)
①有序数对（0,1）满足函数y=2x+1，在直线 l 上就 有一点A，它的坐标是（0,1），即满足函数y=2x+1的 有序实数对（x，y）为坐标的点在 直线y=2x+1上 ； ②反过来，直线 l 上点P（1,3），则有序实数（1,3）就 满足函数y=2x+1，即直线上点的坐标（x，y）都满足 函 数y=2x+1。
1 (2)经过点(3,1),斜率为 X-2y-1=0 2
(3)斜率为-2,在y轴上的截距为-2
2x-y+2=0
3 (4)斜率为 2
,与x轴的交点横坐标为-7
3x 2 y 7 3 0
练习2.(1)已知一直线经过点P(1,2)，
且与直线y=-2x+3斜率相等，则直线方 程是 y=-2x+4 . (2)已知一直线斜率为0，且在y轴上的 y=-2 截距为-2，则该直线方程是________.
练习3:已知直线l经过点P（2，
1）,且它的倾斜角是直线 l1:y= 3 x+2的一半，求直线l的方程.
练习4:若直线点P(0,1),它与两条坐标轴围 成的三角形的面积等于4,求直线的方程.
数学复习：直线的点斜式方程
数学复习：直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．导语射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，射击手需达到上述的两个动作要求．一、求直线的点斜式方程问题1给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？提示y－y0＝k(x－x0)知识梳理我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.例1(教材60页例1改编)根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°.解(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1)．反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．跟踪训练1求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝3x的倾斜角的2倍；3(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解(1)∵直线y＝33x的斜率为33，∴直线y＝33x的倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 3.∴所求直线方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－23－3＝0.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率k PQ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.∵直线过点P(－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.二、直线的斜截式方程问题2直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．提示y＝kx＋b知识梳理1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．例2已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y 轴上的截距相同，求直线l的方程．解由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以k l＝－2.由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.延伸探究本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12.∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.反思感悟求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．跟踪训练2已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程．解设l ：y ＝－43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b .由题意，得12·|b |·|34b |＝6，∴b 2＝16，∴b ＝±4.故直线l 的方程为y ＝－43x ±4.三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直例3已知直线l 1：y ＝－3m 8x ＋10－3m 8和l 2：6my ＝－x ＋4，问m 为何值时，l 1与l 2平行或垂直？解当m ＝0时，l 1：4y －5＝0；l 2：x －4＝0，l 1与l 2垂直；当m ≠0时，l 2的方程可化为y ＝－16m x ＋23m .由－3m 8＝－16m ，得m ＝±23；由10－3m 8＝23m ，得m ＝23或m ＝83，－3m 8·1无解．故当m ＝－23时，l 1与l 2平行；当m ＝0时，l 1与l 2垂直．反思感悟若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.跟踪训练3(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？解(1)由题意可知，1l k ＝－1，2l k ＝a 2－2，∵l 1∥l 2，2－2＝－1，a ≠2，解得a ＝－1，故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4，∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为()A ．9B ．－9C ．274D ．－274答案B解析由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.2．已知直线l 的倾斜角为60°，且在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为()A．y＝3x＋2B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2D．y＝3x－2答案D解析设直线l的倾斜角为α，则α＝60°，∴k＝tan60°＝3，∴直线l的方程为y＝3x－2.3．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0B．k>0，b<0C．k<0，b>0D．k<0，b<0答案B解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.4．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.答案－1解析由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.课时对点练1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为() A．x＝3B．x＝－2C．y＝3D．y＝－2答案D解析∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y＝－2.2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是() A．y－1＝x B．y＋1＝xC．y－1＝－x D．y＋1＝－x答案B解析∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，又∵直线l过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x.3．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为() A．60°，2B．120°，2－3 C．60°，2－3D．120°，2答案B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ 3.4．过点(－1,3)且垂直于直线y＝12x＋32的直线方程为()A．y－3＝－2(x＋1)B．y－3＝－2(x－1)C．y－3＝－12(x＋1)D．y－3＝12(x＋1)答案A解析所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1)．5．以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A．y－(－3)＝2(x－3)B．y－3＝2(x－3)C．y－3＝－12(x－3)D．y－(－3)＝－12(x－3)答案D解析由A(2，－5)，B(4，－1)，知线段AB的中点坐标为P(3，－3)，又由斜率公式可得k AB＝－1－(－5)4－2＝2，所以线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－1k AB＝－12，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－(－3)＝－12(x－3)．6．(多选)已知直线l：y＝3x－1，则() A．直线l过点(3，－2)B．直线l的斜率为3C．直线l的倾斜角为60°D．直线l在y轴上的截距为1答案BC 解析对于A ，将(3，－2)代入y ＝3x －1，可知不满足方程，故A 不正确；对于B ，由y ＝3x －1，知直线l 的斜率为3，故B 正确；对于C ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝3，可得α＝60°，故C 正确；对于D ，由y ＝3x －1，令x ＝0，可得直线l 在y 轴上的截距为－1，故D 不正确．7．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________．答案y ＝3x －6或y ＝－3x －6解析因为直线与y 轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为3或－3，又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.8．已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为________．答案y －1＝－(x －2)解析直线l 2的斜率k 2＝1，故l 1的斜率为－1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行；(2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．解(1)∵l 1∥l 2，∴两直线的斜率相等．∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1.(2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12，∴m ＝34.10．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2k －2k ，由三角形的面积为2，得12×|2k －2k |×2＝2.解得k ＝12.可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)．综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．11．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是()答案C 解析对于选项A ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项B ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；对于选项C ，y ＝ax 过坐标原点，且a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D ，两直线均不过原点，不符合题意．12．已知直线l ：y ＝x sin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案D 解析结合图象易知，sin θ<0，cos θ>0，则角θ是第四象限角．13．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝________.答案－2或1解析由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1.14．将直线y ＝3(x －2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是________________.答案y ＝－3(x －2)解析∵直线y ＝3(x －2)的倾斜角是60°，∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－3，且过点(2,0)，∴其方程为y －0＝－3(x －2)，即y ＝－3(x －2)．15．已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．答案－2，12解析由已知得，直线l 恒过定点P (2,1)，如图所示．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，因为k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，所以－2≤k ≤12.16．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．(1)证明由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．(2)解设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，－3)≥0，3)≥0，3k ＋2k ＋1≥0，k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是－15，1.。
直线的点斜式方程
思考5:若直线l的斜率为k，在x轴上 的截距为a，则直线l的方程是什么？
y=k(x-a) y 2x b ? y kx 1?
思考6:如何求直线y-y0=k(x-x0)在x 轴、y轴上的截距？
思考7:已知直线l1:y=k1x+b1， l2:y=k2x+b2，分别在什么条件下l1与 l2平行？垂直？ l1 // l2 k1 k2 , b1 b2
3、已知直线l过点(2,1), 且直线l的倾斜角是直线l'：y= 3 x-2的 4
倾斜角的一半，求直线l的方程。
2、已知直线l过点P(3, 2)与x轴正半轴和 y轴正半轴分别交与A, B两点。 （1）若P为AB的中点，求直线l的方程。 (2)若 S 面积最小，求相应的直线方程和面积。
OAB
（3）若|PA||PB|最小时，求直线l的方程。
的所有点P(x，y)是否都在直线l上? 为 什么？ 从数到形
一般地， 1）l上的每一点的坐标都满足方程f（x,y）=0； 2）满足方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上；
则称方程为直线的方程，直线为方程的直线。
比如：y 1表示直线吗？ x
思考6:我们把方程 y y0 k ( x x0 )
l1 l2 k1 k2 1
1、已知直线y ax 2a与直线ay (1 2a)x a互相垂直， 则a
0, 或1
练习：书95，1（1）（3），2，3，4 1、过点(5, 2),且在x轴上的截距是在y轴上 的截距的相等的直线方程为
2、过点(5, 2),且在x轴上的截距是在y轴上 的截距的2倍的直线方程为
（1）y 2 x 4（, 2）y 2 x 4,
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
②如图乙,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线不能用点斜式表
示,其方程为x-x0=0或x=x0.
-4-
3.2.1 直线的点斜式方程
12
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典例透析
【做一做1】 若直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率 是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3 解析:直线l经过点(-1,2),且斜率为3. 答案:C
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5=4(x-2). (2)直线的倾斜角为45°,则此直线的斜率k=tan 45°=1. 故直线的点斜式方程为y-3=x-2. (3)直线与x轴平行,则倾斜角为0°,斜率k=0.
所以直线的斜率为 − 3.
3
故所求直线的点斜式方程为
y+1=−
3 (������
3
−
2).
(3)因为直线与y轴垂直,所以倾斜角为0°,
即斜率k=0.故所求直线的点斜式方程为y=-2.
-12-
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求直线的斜截式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
题型一 题型二 题型三
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典例透析
正解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-2.
中职数学基础模块下册第6章《直线的点斜式方程与斜截式方程》课件
1
，斜率为 ；
2
6
(2)直线经过点 2,3 ，倾斜角为 ；
(3)直线经过点M(2,3), (−1, −3).
1
且斜率为 ，由直线的点斜式方程
2
解 (1)直线经过点 1,2
得 − 2 =
1
2
− 1 ，即 − 2 + 3 = 0
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
高教版数学基础模块（下册）
第六章 直线与圆的方程
6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
根据平面内直线上的一点以及
直线的倾斜角能画出一条直线.在平
面直角坐标系中，已知一个点的坐
标(0 , 0 )和直线的斜率，如何写
出一条直线的方程？
为便于解决问题，在这里我们引入直线的方程．
时直线平行于轴(或与轴重合),或称直线与
轴垂直.如图(2)所示.
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直线的点斜式方程
【例题】根据下列条件求直线的方程:
（1）直线 :平行于 轴，且过点 （ 3，4）；
（2）直线 :垂直于 轴，且过点 （ 3，4）.
解：(1) 因为直线平行于轴，斜率 = 0，由点斜式方程得 − 4 = 0( − 3)，
即
− 0 = ( − 0 ).
方程是由直线上一点0 (0 , 0 )及斜率确定的,
这个方程叫做这条直线的方程，
这条直线就是这个方程的图形，
而这个方程的图形是一条直线．
因此称为直线的点斜式方程.
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直线的点斜式方程
【例3】分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程.
直线方程的点斜式
直线方程的点斜式1. 什么是直线方程的点斜式？直线方程的点斜式是一种表示直线的方法，它使用直线上的一个点和该直线的斜率来确定直线方程。
点斜式也被称为点斜率式或点斜数式。
2. 点斜式的一般形式对于一条直线，假设已知该直线上的一个点P(x₁, y₁)和该直线的斜率k，那么该直线的点斜式可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x, y)是任意一点在该直线上。
3. 如何使用点斜式求解直线方程？要使用点斜式求解直线方程，我们需要已知两个信息：一个在该直线上的点和该直线的斜率。
下面通过一个具体例子来说明如何使用点斜式求解：例子：已知一条直线上有一个点P(2, 3)，且该直线的斜率为2。
求解该直线的方程。
解法：将已知信息代入到点斜式中，得到： y - 3 = 2(x - 2)接下来，我们可以进行化简和变形： y - 3 = 2x - 4 y = 2x -1所以，经过计算可得出该条直线的方程为y = 2x -1。
4. 点斜式的优点和适用范围点斜式有以下几个优点：•直观：通过给出一个点和斜率，可以直观地描述一条直线。
•独特性：对于给定的点和斜率，可以唯一确定一条直线。
•灵活性：可以方便地求解直线上的其他点。
点斜式适用于以下情况：•已知直线上的一个点和该直线的斜率。
•需要根据已知条件求解直线方程。
5. 如何从一般形式转换为点斜式？若已知一般形式的直线方程Ax + By = C，我们可以通过以下步骤将其转换为点斜式：步骤1：将一般形式移项，化简得到y的表达式： By = -Ax + C y = (-A/B)x + C/B步骤2：比较得到y = kx + b形式，其中k为(-A/B)，b为(C/B)。
所以，从一般形式转换为点斜式后，我们可以得到该直线上任意一点(x, y)满足：y - y₁ = k(x - x₁)6. 如何从点斜式转换为一般形式？若已知一个直线的方程为y - y₁ = k(x - x₁)，我们可以通过以下步骤将其转换为一般形式：步骤1：展开得到标准形式： y - y₁ = kx - kx₁步骤2：移项并化简： -y + y₁ = kx - kx₁ kx - y + (kx₁ - y₁) = 0所以，从点斜式转换为一般形式后，我们可以得到该直线的一般形式方程Ax + By = C，其中A=k，B=-1，C=(kx₁ - y₁)。
知识讲解_直线的点斜式与两点式_基础
直线的点斜式与两点式方程要点一：直线的点斜式方程方程)(00x x k y y -=-由直线上一定点及其斜率决定，我们把)(00x x k y y -=-叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.要点诠释：1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线；2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为1y y =；3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1x x =.4.00y y k x x -=-表示直线去掉一个点),(000y x P ；)(00x x k y y -=-表示一条直线. 要点二：直线的斜截式方程如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，根据直线的点斜式方程可得)0(-=-x k b y ，即b kx y +=.我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距，方程b kx y +=由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程b kx y +=叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.要点诠释：1.b 为直线l 在y 轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；3.当0≠k 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线.5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程b kx y +=中，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距. 要点三：直线的两点式方程经过两点),(),,(222111y x P y x P (其中2121,y y x x ≠≠)的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 要点诠释：1.这个方程由直线上两点确定；2.当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.3.直线方程的表示与),(),,(222111y x P y x P 选择的顺序无关.4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--通过交叉相乘转化为整式形式121211()()()()y y x x y y x x --=--，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．要点四：直线的截距式方程若直线l 与x 轴的交点为A(a ，0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中0,0≠≠b a ，则过AB 两点的直线方程为1=+by a x ，这个方程称为直线的截距式方程.a 叫做直线在x 轴上的截距，b 叫做直线在y 轴上的截距.要点诠释：1.截距式的条件是0,0≠≠b a ，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y 轴上的截距；令y= 0得直线在x 轴上的截距.3．截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．要点五：中点坐标公式若两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，且线段12P P 的中点坐标为(x ，y)，则x=122x x +，y=122y y +，则此公式为线段12P P 的中点坐标公式．要点六：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．【典型例题】类型一：点斜式直线方程例1．求满足下列条件的直线方程。
24【提高】直线的点斜式与两点式方程知识讲解-高中数学必修二
故直线 l 的方程为 x=1 或 y 3 (x 1) 。 3
2
【总结升华】（1）由于直线 l 过点（1，0），因此求直线 l 的方程的关键在于求出它的斜率，由此可知，
何时选择点斜式来求直线方程的依据是题目是否给出了（或者能够求出）直线上的一点的坐标和其斜率。 （2）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率 k 是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上
（2）直线 MN 的斜率 k 2 2 0 ，所以该直线平行于 x 轴． 5 (1)
又直线 l 垂直于直线 MN，因此直线 l 的倾斜角为 90°，又直线 l 过点 P（2，－3），所以直线 l 的方程
为 x－2=0，即 x=2． 【总结升华】用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率
【答案】（1）x+y－7=0（2）x=2
【解析】（1）直线 y=x+1 的斜率 k=1，所以倾斜角为 45°．由题意知，直线 l 的倾斜角为 135°，所 以直线 l 的斜率 k＇=tan135°=－1．
又点 P（3，4）在直线 l 上，由点斜式方程知，直线 l 的方程为 y－4=－(x－3)，即 x+y－7=0．
1
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 , y1
y2 ) 通过交叉相乘转
化为整式形式 ( y y1)(x2 x1) ( y2 y1)(x x1) ，从而得到的方程中，包含了 x1=x2 或 y1=y2 的情况，但
此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由 x1、x2 和 y1、y2 是否相等引起的讨论．要避免讨论， 可直接假设两点式的整式形式．
直线方程的点斜式
对于直线 l 1 : y k 1 x b1
l 2 : y k 2x b2
l 1 // l 2 k 1 k 2 , 且 b 1 b 2
l 1 l 2 k 1k 2 1
作业
课本P111
A组 第10题
； / 配资门户 图。他の那各想法要是被别人晓得，绝对就是壹各天大の笑话！此外，当初他千方百计在怡然居留下小福子，原本是为咯监视水清の壹举壹动，或许还能起到拆穿她表里别壹、故作 清高、当面壹套背地壹套，以假面具示人等等意外成果。可是根据当余小福报上来の情报，展现在他面前の，是壹各既熟悉又别熟悉の水清：每日亲力亲为、尽心竭力照顾悠思小格 格，闲暇时间读书写字，做做女红，怡然居の大门从来别曾迈出壹步，就仿佛是被下咯禁足令壹般。那种日子，旁人看着寡淡，但是在他の眼中，却是觉得很对他の心思。诸人嘛， 就是应该恪守妇道、本本分分才是正道儿。因为他也是那样の壹各人，喜欢安静地思索，喜欢清静地生活。好像她壹直都是那样の壹各人，对大多数诸人热衷の事情很少喜欢，却是 对大多数诸人别喜欢の事情热衷别已。她别会把时间和银子花在穿着打扮上面，她别会热衷于串门子家长理短瞎打听，那些原本无可非厚の，理所当然应该由诸人们喜欢の事情，对 她而言却变成咯绝缘体。她也有自己热衷の事项，却全都是他の兴趣爱好，读书、写字，乐此别疲。现在展现在他面前の如此平淡无奇、清淡如水の怡然居生活，就是他花咯那么大 の心思，别惜派咯小福子那么壹各精兵强将收集上来の情报？第壹卷 第518章 试水 虽然在外人の眼中，水清平淡无奇地开始咯管理府务の生涯，但是只有她自己晓得，绝对没什么 旁人想像得那么轻松。凭白无故地当起咯王府の“掌柜”，还别能随意想“甩手”就“甩手”，整日里被那些柴米油盐の琐事栓得死死の，将她自己の时间被占去咯许多，有时想读 会书写写字，都要刻意地思考壹下，用啥啊时间才好。从前那惬意の悠闲时光真是壹去别复返咯。此外，小福子来到咯怡然居，那么微妙の时刻来到怡然居，水清才别会相信啥啊 “福晋救命恩人”鬼话，倒是更加验证咯那句“伴君如伴虎”の至理名言。只要有权利斗争，就会有耳目密布，它们仿佛就是壹对双生子，从来别会形单影只。别管是感慨自己悠闲 の小日子壹去别复返，还是暗自冷笑那种被监视の生活，水清都没什么时间去理会，因为她有更重要の事情去做。此刻时刻，她承担着掌管府务の重大责任，办好咯，是理所应当の 无私奉献，办坏咯，那是因为存咯各人私心，损公肥私。面对那壹桩桩、壹件件の繁琐杂事，水清必须担起十二万分の精心，而如何把握那各度，实在是让她费咯壹番脑筋。再是费 脑筋，开弓已经没什么咯回头箭，既然已经是“重任在肩”，她唯有尽力而为。由于她自己是坦坦荡荡の人，她要保证自己别卷入无谓の派别纷争之中，所以她从别会出咯怡然居の 大门，反正爷交办她の差事就是拿主意，她只跟惜月壹各人打交道，至于惜月都跟谁打交道，她从来别会去问，更别会去想。平生以来第壹次，水清日日夜夜地开始咯对王爷何时回 京那各问题充满咯热切の盼望，只要他能回咯府，她就能够彻底地解脱咯，再也别用管理那些令人头痛の事情。紧张忙碌如同打仗般の生活，壹日重似壹日地殷切期盼王爷の早日归 来，构成咯水清掌管府务那些日子の主旋律。就在那平凡得别能再平凡の家务琐事之中，就在水清以为就会那样平淡无奇地迎接王爷回府，交回管家大权の时候，还真就发生咯壹件 事情。那壹天惜月来到怡然居，手里拿着壹各帖子：“水清妹妹，苏总管说那是九贝子府递来の帖子，让您拿各主意呢。”水清接过来壹看，是九小格の壹各小福晋生咯壹各小小格， 要过满月。那各情况很让她为难。假设是以前，兄弟之间の应酬比照以前の标准送份贺礼也就可以咯；至于人嘛，王爷别在京城，福晋和李侧福晋生病，她自己刚生咯小格格，都可 以找借口别用亲自参加宴席。但是就是那各礼金，现在也让水清颇为犯难。现在皇上对八贝勒爷可是越来越苛责，连俸禄都给停掉咯。遭受沉重打击の八小格急火攻心，抑郁成结， 竟然壹病别起，缠绵病榻有将近大半年の时间。皇上却是铁咯心地要彻底摧毁八小格の党派势力，所以即使八小格病重得连早朝都别能去上，皇上别但别闻别问，甚至是唯恐避之别 及。前些日子，皇上从畅春园回紫禁城，因为要路过八小格の园子，竟然特意吩咐咯宫人，绕着八小格の园子走，以免过咯他の病气。第壹卷 第519章 棘手现在の那各局面明摆着 是去年发生の那场“毙鹰事件”の余波，只是令众人始料未及の是，那都已经过去半年多の时间咯，仍是余威别断，难以平息，看来皇上那是要将八小格壹棍子打死，永世别得翻身。 王爷去年担任咯“毙鹰事件”の善后工作－－护送八小格回京。因为没什么摸清皇上の准确意图，仍然对他の八弟极尽兄长の关爱而遭咯皇上の训斥。现在八小格壹伙被皇上完全地 孤立起来，别要说挨过训斥の王爷，就是普通官员也是要离得他们远远地，生怕惹火上身。而九小格是八小格の最忠实追随者，完全就是焦别离孟、孟别离焦。现在正处于那各刀锋 浪尖の敏感时期，与那两位弟弟往来过密将会给王爷带来啥啊样の影响可想而知，或许会是致命の打击。但是，毕竟王爷和九小格是兄弟，壹点儿表示都没什么，实在是说别过去。 虽然都是面和心别和の虚情假意，但是在没什么撒破面皮之前，该维系の关系还是要维系，该走の过场还是要走壹走。面对那各头痛而又棘手の局面，水清陷入咯沉思。惜月见水清 半天没什么发话，就晓得那是壹件非常
直线方程的点斜式
理解运用B组
1、 求倾斜角是直线y=2x-3的倾斜角的2倍， 且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点(-1,4)
（2）在y轴上的截距为-5
2、一条光线从M(5,3)射出，与轴正方向所成 角为60°，遇到x轴后反射
(1)求入射光线L1和反射光线L2所在直线的 方程（2）求入射光线L1和反射光线L2在坐 标轴上的截距(3)将反射直绕它与Y轴的交点 按逆时针方向旋转150°得到直线L3求直线
拓展延伸C组
1、已知直线L经过点（1，2）且与两坐 标轴围成的三角形的面积为，求这条直 线的方程。
5、直线y= -3x -2的斜率是__-_3__，在y轴上的截 距是__-_2__
知识梳理
• 1、方程y-y1=k(x-x1)是由直线上的一 点和直线的斜率确定的所以叫直线的 点斜式
• 2、方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴 上的截距确定的所以叫直线的斜截式
• 3、方程y=kx+b方程y-y1=k(x-x1)的特殊情 形，运用它们的前提是：直线斜率k存在
P1（x1,y1)
P(x,y)
•
y - y1= k ( x - x1 ) 其中x1，y1为直线上一点坐标， k为直线的斜率。
; 苹果售后维修点 / 苹果售后维修点 ；
顿写一封内容尖刻的信回敬那家伙。 “可以狠狠地骂他一顿。”林肯说。 斯坦顿立刻写了一封措辞强烈的信，然后拿给总统看。 “对了，对了。”林肯高声叫好，“要的就是这个！好好训他一顿，真写绝了，斯坦顿。” 但是当斯坦顿把信叠好装进信封里时，林肯却 叫住他，问道：“你要干什么？” “寄出去呀。”斯坦顿有些摸不着头脑了。 “不要胡闹。”林肯大声说，“
直线的点斜式方程
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例1 若直线 l 满足下列条件，求其直线方程． (1)过点( 3，－ 3)且斜率为 33； (2)过点(2,1)且与 x 轴平行； (3)过点(－7,2)且与 x 轴垂直．
【分析】 由已知点和直线斜率利用点斜式可 求直线方程．与x轴垂直的直线方程，可用x＝ x0表示．
【解】 (1)由直线的点斜式方程可得 y＋
跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程． (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过点P(5，－2)，且与y轴平行； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，
∴由直线方程的点斜式得直线方程为 y－3＝－3(x＋4)， 即3x＋y＋9＝0. (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，
上一页
知识小结
（1）直线的点斜式方程：
y y0 kx x0
（2）直线的斜截式方程:
y kxb
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
y
直线l的斜率为k
l
P0 b
O
x
小结
1.点斜式方程 y y0 k(x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 斜率存在！
2.斜截式方程 y kx b
（3）斜率为3，与y轴交点的纵坐标为- y=3x-
1；
1
（4）过点（3，1），垂直于x轴； x-
垂直于y轴；
y3-=0
1=0 上一页
练习
▪ 1.求下列直线的斜
率k和截距b.
▪ (1) y-2x+1=0; (1) y 2x 1, k 2,b 1.
▪ (2) 2y-6x-3=0. (2) y 3x 3 , k 3,b 3 .
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变式：已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为 y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同， 求直线l的方程。
练习
4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
55
kl 23 2
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
试讨:(1论 )l1∥ l2的条件是 ? 什么
(2l1)l2的条件是 ? 什么
l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2
l1 ∥ l2 k1 k2 ,且b1 b2 l1 l2 k1 k2 1
练习
判断下列各直线是否平行或垂直
(1)
l1
:
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
x
3
1 l2 : y 2 x 2
P1 °°5
-°5 O
x
练习
1、写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过 A(3,1),斜率是 2 (2)经过 B( 2,2),倾斜角 300是 (3)经过 C(0,5),倾斜角 00是
(1) y 1 2 ( x 3)
(2) y 2 3 ( x 2 ) 3
(3) y 5
练习
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角：
(一)直线的点斜式方程
(1)直角坐标系内确定一条直线的几何要素？
(2)在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 l经过
的一个点 P0 x0,y0 和斜率 k ，能否将直线上所
有的点的坐标 x, y 满足的关系表示出来呢？
y
l
P0
O
x
(一)直线的点斜式方程
方程 yy0kxx0由直线上一点及其
斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，
练习
3、写出下列直线的斜截式方程： [来源:]
(1)斜率是 3,在y轴上的截距 2 是 2
(2)斜率是 2,在y轴上的截4距是
例3：直线l过点A(2,1)且与直线y-1=4x-3垂直，求 直线l的方程
解：方程y-1=4x-3化为y=4x-2
由点斜式方程知斜 k 率4
又 l与y 直 1 4 x 线 3 垂 直 ， 直l的 线斜 1， 率 l过 又 为 A （ 点 2 ， 1 ） 直l的 线方y 程 4 1 为 1 （ x2），
简称点斜式（ypoint slope form）．
l
直线l的斜率为 k
P0
O
x
思考：点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线吗？
y 1、直线的点斜式方程：P1（x1，y1），斜率k .P1
点斜式 yy1方 kx 程 x1 ：O
x
2、直线l的倾斜角是00(平行于x轴) 直线l的方程：y-y0=0 或 y=y0
(2)
l1
:
y
5 3
x
l2
:
y
3 5
x
练习
㈢巩固：
①经过点（（A）y＋
22=，23）（倾x斜－角2）是30（0的B直）线y+的2=方程3 （是x－ 2 ）
3
②已（知C）直y线－方2=程y33－（3=x＋3（2）x－（4D）），y则－这2=条直3（线x＋经过2 ）的已知
点，倾斜角分别是
（A）（4，3）；π/ 3 （B）（－3，－4）；π/ 6
(1)y-2 = x-1
(2)y2 3x 3
(1)k 1, 45
(2)k 3, 60
(二)直线的斜截式方程
已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P(0,b),求直线方程
代入点斜式方程，得l的直线方程： y-b=k(x-0)
y. (0,b)
即y=kx+b
(2)
O
x
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴
解：设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8
整理得
(k4)2 0
k4
所以直线得方程为y-4=-4(x-1) 即y=-4x+8 返回
例题分析：
例3已知直 l1:y线 k1xb1,l2:yk2xb2
（C）（4，3）；π/ 6
（D）（－4，－3）；π/ 3
③直线方程可表示成点斜式方程的条件是
（A）直线的斜率存在
（B）直线的斜率不存在
（C）直线不过原点
（D）不同于上述答案
练习
5、求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰 直角三角形的直线方程。
3 垂直：如果两条直线l1和l2，斜率分别为k1 、k2，
则有l1⊥ l2 k1 k2 =-1
条件：都有斜率
教学目的
• 使学生掌握点斜式方程及其应用，掌握斜 截式方程及其应用，知道什么是直线在y轴 上的截距。
• 教学重点：点斜式方程、斜截式方程及其 应用。
• 教学难点：斜截式方程的几何意义。
二、新课讲解
3.2.1直线的点斜式方程
温故而知新 ktan(90)
1 已知直线上两点P1（ x1 、y1), P2（ x2 、y2),则：
k p1 p2
y2 y1 x2 x1
( x1 x2 )
2 平行：两条不重合的直线l1 和l2 ，其斜率分别为k1 、k2，
有l1 ∥l2 k1=k2
条件：不重合、都有斜率
yl
y0 l
O
x
3、直线l的倾斜角是900(平行于y轴) 直线l的方程：x-x0=0 或 x=x0
y l
O x0 x
例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450， 求这条直线的方程，并画出图形。
解：这条直线经过点P1（-2，3）, 斜率是 k=tan450=1
代入点斜式得：
y
y－3=x+2
思考1. 求与两坐标轴围成的三角形周长为 9，且斜率为-4/3的直线方程。
解：设直线的方程为y=-4x/3+b
则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和(0,b)
由题意知
|34b||b| 91b26b29
整理得
| b | 3
b3
所以直线得方程为y=-3x/4+3或y=-3x/4 －3
返回
思考2. 已知直l线 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一 象限围成的三角形面积为8，求直线 的l方程。
上的截距。
方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定， 所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
斜截式方程:y=kx+b 几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
例2：斜率是 5，在y轴上的截距是 4 的直线方程。 解：由已知得k=5,b=4，代入斜截式方程
y=5x+4
变式：斜率是5，在y轴上的截距是 -4 的直线方程？