第13章 三角形中的边角关系、命题与证明(总复习)

证明三角形内角和定理的方法
添加辅助线思路：1、构造平角
A D E 1 2 F E A
A E 1
2
D
B 图2 C
1
2 D
B
图1
C
B
C
图3
添加辅助线思路:2、构造同旁内角
E A
E
A
F 4 C
1 2
B 图1 C
3
B
D
图2
9．三角形的外角
三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线 组成的角，叫做三角形的外角.
4．三角形的分类：
1：按边分类
不等边三角形 三角形 腰与底不相等的等腰三角形 等腰三角形 腰与底相等的等边三角形
2：按角分类
直角三角形 三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形
5． 对“定义”的理解：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义 。 注意：明确界定某个对象有两种形式：
7．有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、 辅助线”等概念 （1）公理：从长期实践中总结出来的，不需要再作 证明的真命题。
（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明 为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题 （3）推论：由公理、定理直接得出的真命题。 （4）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公理、 定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。
(2)三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法： ① AD是△ABC的BC上的中线. ② BD=DC=½BC.
B A
注意： ①三角形的中线是线段；
D
C
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
3．三角形的高、中线、角平分线、
A
表示法：① AD是△ABC的BC上的高线. ② AD⊥BC于D. ③ ∠ADB=∠ADC=90°.
B
注意：
D
C
① 三角形的高是线段；
② 锐角三角形三条高全在三角形的内部； 直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；
钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。
③ 三角形三条高所在直线交于一点．
3．三角形的高、中线、角平分线、
1．三角形的概念
不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成 的图形叫做三角形．
注意： 1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺 次相接； 2:三角形是一个封闭的图形； 3:△ABC是三角形ABC的符号标记，单独 的△没有意义
2．三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边
;
三角形的任意两边之差小于第三边
5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点 称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是 图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形， 则点C的个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
6.已知：如图，AB∥CD， 直线EF分别交AB、CD于点 E、F，∠BEF的平分线与 ∠DFE的平分线相交于点P ．求证：∠P=90°．
2.如图，在△ABC中， ∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于点 D，求∠ABD的度数。 答案∠ABD=30°
3.如图，草原上有四口油井，位于四边形 ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修 站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井 的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由 .
4.如图，AC∥BD，AE平 分∠BAC交BD于点E，若 ∠1=64°，则∠2= .
④ “如果p, 那么q.”中的题设与结论互换，得一个 新命题： “如果q, 那么p.” 这两个命题称为互逆命 题.其中一个命题叫原命题，另一个命题叫做逆命题. ⑤ 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题. ⑥ 符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子， 称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个 反例即可.
1.在△ABC中，三边长a,b,c都是整数， 且满足a>b>c,a=8,那么满足条件的三角 形共有多少个？
a 8 8 8
b c
5 4
6 5,4,3
7 7,6,5,4,3
变式：1.已知小明家距离学校10千米,而 小蓉家距离小明家3千米.如果小蓉家到 学校的距离是d千米,则d满足 ？
变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑 结头长)，已知其中两条长分别是3米和7 米，问这个等腰三角形的周长是多少？
.
注意：
1：三边关系的依据是：两点之间线段是短
2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小 的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形; 若不满足，则不能构成三角形. 3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和
3．三角形的高、中线、角平分线、
(1 )三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
考点四：三角形内角和定理：
1 1 例3 △ABC中，∠B= ∠A= 4∠C，求 3 △ABC的三个内角度数.
解：设∠B=xº，则∠A=3xº ，∠C=4xº，
从而:x+3x+4x=180º ，解得x=22.5º ． 即：∠B=22.5º ，∠A=67.5º ，∠C=90º ．
考点四：三角形内角和定理：
①揭示对象的特征性质；
例如：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ② 明确对象的范围。 例如：整数和分数统称为有理数
6．有关“命题”的概念
对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题 。
注意：
① 命题有真命题和假命题两种， ② 命题由题设和结论两部分组成的. 前一部分，也 称之为条件，后一部分称之为结论。 ③ 命题通常是用“如果···, 那么···.”的形式给出. ··· ···
考点二：三角形三边关系
例3．△ABC的三边长分别为4、9、x, ⑴ 求x的取值范围； ⑵ 求△ABC周长的取值范围； ⑶ 当x为偶数时，求x； ⑷ 当△ABC的周长为偶数时，求x； ⑸ 若△ABC为等腰三角形，求x．
考点三：三角形的三线
例4：下列说法错误的是（ B ） A:三角形的三条中线都在三角形内。 B:直角三角形的高线只有一条。 C:三角形的三条角平分线都在三角形内。 D:钝角三角形内只有一条高线。 例5：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中 线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（ B ） A:中线。 B:高线。 C:角平分线。 D:不能确定。
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 （总复习）
1．三角形的概念
不在同一直线上的三条线段首尾顺 次相接组成的图形叫做三角形．
①三角形有三条边，三个内角，三个顶点. ②组成三角形的线段叫做三角形的边; ③相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角; ④相邻两边的公共端点是三角形的顶点， ④三角形ABC用符号表示为△ABC， ⑤三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写 字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.
7.求证：三角形内角之和等于180° ．
8.如图1，求证： ∠BOC=∠A+∠B+∠C．
如图2，∠ABC=100°，∠DEF=130° ，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
9.如图，已知，直线 AB∥CD，证明： ∠A+∠C=∠AEC.
10.已知如图所示,在△ABC 中,DE//BC,F是AB上的一点 ,FE的延长线交BC的延长线 于点G,求证∠EGH>∠ADE.
例4 如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°， ∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ） A. 95° B. 120° C. 135° D. 650 A

分析与解： ∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ） B =180°-（180°-（∠1+∠2+∠A） =∠1+∠2+∠A=135°．
O 1 图1 2 C
(3)三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它 的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。
A
表示法： ① AD是△ABC的 ∠BAC的平分线. ② ∠1=∠2=½∠BAC.
1 2
B
D
C
注意：
①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
（5）证明：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证明 ”。 （6）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添 画的线段或直线。
8．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． （1）从折叠可以看出：∠A+∠B+∠C=180º
(2) 从剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=180º
(3) 由推理证明可知：∠A+∠B+∠C=180º
例2 ：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边， 能组成三角形的是( C ) A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10 例3：下列各组条件中，不能组成三角形的是( C ) A. a+1、a+2、a+3 (a>3) B. 3cm、8cm、10 cm C. 三条线段之比为1:2:3 D. 3a、5a、2a+1 (a>1)
三角形的外角与内角的关系：
1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4:三角形的外角和为360°。
考点一：数三角形的个数
例1 图中三角形的个数是（ B ）
A．8
B．9
C．10
D．11
考点二：三角形三边关系