《钉子板上的多边形》教材分析

《钉子板上的多边形》教材分析

这是一次研究平面图形面积的活动，安排在形成了面积概念，掌握了常用面积单位，能计算简单图形面积的基础上进行，是很恰当的。

这是一次既有趣又有挑战性的活动。在钉子板上围图形、数钉子的枚数、算图形的面积，这些都是学生喜欢做、能够做的事情，他们会乐意参与这次活动。然而，钉子板上围出来的图形大多数不是规则图形，也不是简单图形，求它们的面积没有现成的方法可以使用，得出图形的面积比较难。而且，这次活动要探索围成的图形面积与图形边上的钉子枚数之间的关系，还要用含有字母的式子表达这种关系，有相当的难度。但也正是这些“趣”与“难”，有助于体现活动的教育价值，培养学生探索精神和数学思维能力。

在钉子板上用线围图形，围成的平面图形一定是多边形，顶点一定是钉子板的钉子。每个小正方形都表示1平方厘米，围成图形的面积是几平方厘米能够数出来或者算出来。围成的多边形边上有几枚钉子，与图形的面积是否有关，如果有关，是什么关系，这些都是要探索的规律。

教材分四段安排探索活动：围成的图形内只有1枚钉子的规律；围成的图形内有2枚钉子的规律；围成的图形内有3枚或4枚钉子的规律；回顾探索和发现规律的过程，交流体会、积累经验。

（一）给出内部有1枚钉子的图形，逐步开展探索活动，发现这种情形下的规律，并用字母公式表示

教材画出钉子板上的四个图形，依次是三角形、直角梯形、有3个直角的五边形、平行四边形，它们内部各有1枚钉子，安排学生进行以下几项活动。

首先，分别算出每一个图形的面积，数出各个图形边上的钉子枚数，把这些数据填入教材的表格里：

接着，根据直观的图形和表格里的数据，说说自己的想法，交流各人的发现。如，这些图形的面积不相等，边上的钉子枚数也不相同；边上的钉子枚数多，图形的面积就越大；三

角形边上有4枚钉子，面积是2平方厘米，钉子枚数是面积单位个数的2倍；每一个图形面积的平方厘米数都是它边上钉子枚数的一半……学生应该有话可说，在广泛的交流中会越来越有兴趣、越来越有思考，由此就能逐步明确相应的规律。

然后，提炼这种上面提到的规律，并用数学式子表达。“图形内部只有1枚钉子”是上述四个图形的共同特点，也是“面积的平方厘米数都是它边上钉子枚数的一半”的前提。如果离开这个前提，这样的规律就不存在了。所以，教材问学生“这些图形还有什么共同特点？”让他们充分注意到“图形内部都只有1枚钉子”。这种情况的图形面积与它边上钉子枚数的关系，已经初步发现，教材希望学生用字母式子表示规律。大家统一用S表示图形的面积，用n表示图形边上钉子的枚数，按S=的形式填空，写出S=n÷2，如果写成S=0.5n就更好了。可以把这样的公式看成数学模型，在写公式的过程中，体验如何精确、简约地表达规律，受到了模型思想的熏陶。

（二）在钉子板上围出内部有2枚钉子的多边形，研究它们的面积与边上钉子枚数的关系，延伸探索规律的活动

教材直接问“如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？”提出了新的研究内容与任务。学生在上面研究的基础上，会乐意进入这一段的探索活动。

教材要求学生小组合作，先在钉子板上围出若干个内部有2枚钉子的多边形，再数出每个图形的面积和边上的钉子枚数，填入表格、发现规律、写出字母式子。

这一段的探索活动与前面一段基本相同，前面探索中的做法与经验会迁移过来。所以，教材的安排比前面宽松，留给学生自主活动的空间比前面大。这一段的规律比前面复杂，发现和表达规律的难度也比前面大。

围出内有2枚钉子的不同图形并不容易，要指导学生先确定哪2枚作为内部的钉子，再在这些钉子的周围围出图形。内部有2枚钉子的图形，面积与它边上钉子数的关系是S=0.5n+1。这个关系在表格里容易看出来，让学生填表的目的就在于帮助他们发现规律。

（三）猜想内部有3枚、4枚……钉子的多边形，面积与其边上钉子数会成什么关系，推想多边形内部没有钉子，会是什么结果，并通过围一围、算一算验证猜想

这一段的思维方式与前面不一样。前面两段都是先研究实例，得出数据，再在数据中提取规律，思维方式是归纳推理。这一段先猜想多边形面积与其边上的钉子个数会是什么关系，再用实例验证是不是存在这样的规律，思维方式是类比推理。教材安排的探索活动放得更开，学生不仅要自己围出图形，数出面积，还要自己设计表格记录数据。

内部有3枚钉子的图形，面积与它边上钉子数的关系是S=0.5n+2；内部有4枚钉子的多边形，面积与它边上钉子数的关系是S=0.5n+3；内有5枚钉子的图形，面积与它边上钉子数的关系是S=0.5n+4；内部没有钉子的图形，面积与它边上钉子数的关系是S=0.5n-1。

针对得出的这些关系式，还要引导学生注意：多边形至少有三条边，起码是三角形，有三个顶点。也就是说，在钉子板上，图形边上至少有三枚钉子。所以关系式里的n应该是3或比3大的整数。

（四）回顾探索发现规律的过程，交流活动的体会

这是积累数学学习兴趣和数学活动经验的重要环节，是新课程十分重视的教学步骤。可以从这几方面引导学生总结经验：一是要在大量的实例中，通过仔细分析与深入研究，寻找共同点，才能发现规律。这是人们探索和发现规律经常采用的方法，也是应有的科学态度。二是要展示发现的规律，与他人交流和共享。表示规律的形式与方法很多，如果能用含有字母的式子表达，既清楚又简洁。三是探索规律比较辛苦，需要投入很多时间和精力，但是也很愉快，尤其是发现规律的时候，能品尝成功的喜悦……