自动控制系统的数学模型
自动控制系统的数学模型
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料 的消耗而变化）。
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方 法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能 力是极其有限的。
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。
3.线性系统微分方程的编写步骤：
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素， 对非线性元部件进行线性化等。
4、线性方程的求解：
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
M c 上的负载转矩Mc，输出是转速
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
编写微分方程是描述系统动态特性最基本的方法。 系统微分方程式的建立的基本步骤如下: ⑴ 明确要解决问题的目的和要求，确定系统的输入变量和输出变量； ⑵ 对问题进行适当的简化，抓住能代表系统运动规律的主要特征，舍去一些次要因素，必要时也
可进行一些合理的假设； ⑶ 根据系统所遵循的物理、化学定律，从输入端开始，按照信号传递顺序，依次列出组成系统各
第二章 自动控制系统的数学模型
数学模型的种类: ①经典:微分方程,差分方程,瞬态响应函数,传递函数,频率特性。 ②现代:状态方程,状态空间表达式。 本章重点以机理分析法为基础,介绍微分方程,瞬态响应函数和传递函数的建立。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1.1 动态微分方程式的编写 微分方程是描述自动控制系统动态特性的最基本数学模型。 建立微分方程的前提条件: ①给定发生变化或出现扰动瞬间之前,系统应处于平衡状态,被控量各阶段导数为零。(初始为零)； ②在任一瞬间,系统状态可用几个独立变量完全确定； ③被控量几个独立变量原始平衡状态下工作点确定后,当给定变化或有扰动时,它们在工作点附近
次数 一般不高于分母多项式的次数 ，且所有系数都为实数。 ⑶ 传递函数与系统的微分方程相联系，两者可以互相转换。 ⑷ 传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 ⑸ 传递函数是与 平面上的零、极点图相对应。 ⑹ 传递函数只描述系统的输入—输出特性，而不能表征系统的物理结构及内部所有状况的特性。
不同的物理系统可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不 相同。
元件的微分方程； ⑷ 消去中间变量，最后得到描述系统输出量与输入量的微分方程。 ⑸ 写出微分方程的规范形式，即所有与输出变量有关的项写在方程左边，所有与输入变量有关的
自动控制系统的数学模型
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。
2.1.1 机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力 学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移） 和转动（相应的位移称为角位移）两种。
2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只 是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不 够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分 析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模 型。它是分析和设计系统的依据。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以 用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研 究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变 量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的 任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
黑盒
输出
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立 系统的数学模型。
实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况 下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现 了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型 变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。
TmddtKuuaKmM c
TmddtKuuaKmM c
如 果 取 电 动 机 的 转 角 θ （ rad ） 作 为 输 出 ， 电 枢 电 压 ua
md2xFf dxkx
dt2
自动控制系统的数学模型
1)
T
2s2
1
2Ts
1
其系数、 由 p1、p2 或 T1、T2 求得；
若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：
G(s)
Kg s
m1
(s
zi
)
m2
(
s
2
2kk s
2 k
)
i1
k 1
n1
(s
p
j
)
n2
(
s
2
2ll
2 l
)
j 1
[例1]求电枢控制式直流电动机的传递函数。
[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：
TaTm
d 2
dt2
Tm
d
dt
Kuua
Km (Ta
dmc dt
mc )
方程两边求拉氏变换为：
(TaTms2 Tms 1)(s) KuUa (s) Km(Tas 1)Mc (s)
令 Mc (s) ，0得转速对电枢电压的传递函数：
M c
Mc
)
见例2-4
⑸消去中间变量：推出 ~ ug(Mc) 之间的关系：
TaTm 1 K0
T m 1
K0
K0
K 1 K0
(ug
ug
)
Km (TaM C
Mc
)
显然，转速 既与输入量ug有关，也与干扰 M 有c 关。
[增量式分析] (上式等号两端取增量)：
⑴对于恒值调速系统，ug =常量，则ug 0, ug 0 。
， i
1 zi
,
Tj
1 pj
,
( is 1)
i 1 n
(Tj s 1)
j 1
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
自动控制数学模型
2、1、1线性系统得微分方程模型
很多常见得元件或系统得输出量和输入量之间得关系都可 以用一个微分方程表示。微分方程得阶数一般就是指方程中最 高导数项得阶数, 又称为系统得阶数。
如图机械系统,由牛顿定理得到以下关系:
d2y F Fk Ff m dt 2
dy Fk ky ; Ff f dt
设输入量为r(t) ;输出量为 c (t) ,定义传递函数为:
G(s) L[c(t)] C(s) L[r(t)] R(s)
一般线性定常系统由下面得n阶线性常微分方程描述:
a0c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1c(t) anc(t) b0r (m) (t) b1r (m1) (t) b2r (m2) (t) bm1r(t) bmr(t)
f (t) L1[F (s)]
1) 部分分式法
将F(s)展开成多个典型函数得象函数之代数和,查表。
例2、3 F(s)含单极点和重极点时得拉氏反变换。
解:
F(s)
1
c1 c2 c3 c4
s(s 3)(s 1)2 s s 3 (s 1)2 s 1
c1 [F (s)s]s0 1/ 3
s 1 F (s) s(s2 s 1)
解: s2 s 1 (s 0.5 j0.866)(s 0.5 j0.866)
F (s)
c1 s
c2s s2 s
c3 1
1 s
(s
s 0.5 0.5 0.5)2 0.8662
f (t) L1 F (s) 1 e0.5t cos 0.866t 0.578e0.5t sin 0.866t (t 0)
点形式和多项式形式之间得互换。即可将传递函数进行展开和
自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
自动控制系统的数学模型的种类
自动控制系统的数学模型的种类
自动控制系统的数学模型是描述系统各变量之间关系的数学表达式。
这些模型对于理解和分析控制系统的行为至关重要，因此被广泛应用于控制理论、计算机科学和工程领域。
自动控制系统的数学模型可以分为静态模型和动态模型。
静态模型通常以代数方程的形式表示，描述变量之间的静态关系，即在特定条件下，变量各阶导数为零的情况。
动态模型，如微分方程、差分方程和状态方程，则用于描述变量之间的关系以及系统的动态行为。
其中，微分方程是控制系统中最常用的数学模型之一，它可以描述系统的动态行为。
差分方程和状态方程则分别适用于描述离散系统和包含多个状态变量的系统。
要构建一个控制系统的数学模型，通常需要遵循以下几个步骤：首先，确定系统中的输入量和输出量，这通常是根据系统的工作原理和功能来决定的；其次，分析系统内部元件的工作原理，并应用相关的物理或化学规律，推导出描述元件行为的微分方程或差分方程；最后，对推导出的方程进行化简和整理，以得到输出量与输入量之间关系的微分方程，这即是元件的数学模型。
综上所述，自动控制系统的数学模型是描述系统行为和特性的重要工具，对于分析和设计控制系统具有重要意义。
在实际应用中，需要根据系统的具体需求和工作原理来选择合适的数学模
型，以实现对系统的精确描述和控制。
自动控制系统的数学模型
F(s) = L[ f (t)] = ∫ f (t)e dt
∞ −st 0
其中，原来的实变量函数f(t)——原函数 变换后的复变量函数F(s)——象函数 二、拉氏变换的运算定理 1、叠加定理： 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即 L[f1(t)±f2(t)]=L[f1(t)±L[f2(t)]=F1(s)±F2(s)
C(s) 100 G(s) = = 2 R(s) s +10s +100
可见，只要将微分方程中的微分式d(i)/dt(i)换成 相应的s(i) ，即可求得传递函数。
第二章自动控制系统数学模型
2、 电路复阻抗法 在电工基础中，对于电阻、电感、电容，有 电阻 u=iR 拉氏变换式为 U(s)=I(s)R 拉氏变换式为 U(s)=LsI(s) 拉氏变换式为 I(s)=CsU(s)
当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有
ans C(s) + an−1s C(s) +L+ a1sC(s) + a0C(s)
n
n−1
= bmsmR(s) + bm−1sm−1R(s) +L+ b1sR(s) + b0R(s)
第二章自动控制系统数学模型
根据传递函数的定义，得传递函数的一般表达式为：
u
a
= ia R
T
a
+ L
a
di a + e dt
Te = K Td − T e = K
L
Φ ia = J
G
dn dt
e
Φ n
第二章自动控制系统数学模型
（3）消去中间变量并予以标准化后得
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
自动控制系统的数学模型
实例举一反三4： 记 L r t R s ，设
d r 0 d r 0 dr 0 r (0) 0 m m 1 dt dt dt
m m 1
求下面这个函数的拉氏变换。函数式中bm、bm-1、…、b1、b0 都是常数。
d mr t d m1r t dr t bm bm1 b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
实例举一反三5： 记 L ， r t R s ，设 c t C s L
d n c 0 d n1c 0 dc 0 c(0) 0, n n 1 dt dt dt
d m r 0 d m1r 0 dr 0 r (0) 0 m m 1 dt dt dt 求下面这个方程的拉氏变换。方程中an、an-1、…、a1、a0、 bm、bm-1、…、b1、b0都是常数。
自然界的统一性显 示在关于各种现象领域 的微分方程式的 “惊人 的类似中”。 列宁选集第二卷 ， 人 民 出 版 社 1972 年 版 第 295页
复习、提问
1 、利用 MATLAB 软件，求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏 变换式（请一位学生上讲台操作）。 2、利用 MATLAB 软件，求下面函数的拉氏反变换式（请 一位学生上讲台操作）。
复习
三大机械元件的力与速度关系式（也叫力能关系式）
1、质量元件的力与速度关系式
2、阻尼元件的力与速度关系式
3、弹簧元件的力与速度关系式
此机械系统的微分方程如下：
d x t dx t m B Kx(t ) f t 2 dt dt
2
实例3 下图为一阀控缸液压系统。当滑阀向右位移x(t) 时，高压油进入油缸腔Ⅰ，活塞推动负载向右位移y(t)。若 以位移x(t)作为系统的输入量，以位移y(t)作为系统的输出 量，求输出量与输入量之间的数学关系式。
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第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念及求法。
（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。
（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。
（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。
（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）·（3）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（4）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（5）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（6）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（7）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。
教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。
教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构。
图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式的余子式k教学方法：讲授本章学时：10学时》主要内容：引言动态微分方程的建立线性系统的传递函数典型环节及其传递函数系统的结构图信号流图及梅逊公式引言：什么是数学模型为什么要建立系统的数学模型1. <2. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。
如：微分方程，传递函数，状态方程等。
２） 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。
一般不是时间函数 3. 建立动态模型的方法１） 机理分析法：用定律定理建立动态模型。
２） 实验法： 运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。
3. 建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。
动态微分方程的建立无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。
)为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。
一、编写系统或元件微分方程的步骤：1. 根据实际情况，确定系统的输入输出变量。
2. 从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件的微分 方程（或运动方程）。
3. 消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。
二、举例例1 R —L —C 电路根据电路基本原理有:⎪⎩⎪⎨⎧==++dt du c i u u L R c r c dtdiirccc uudtduRcdtudLc=++⇒22/例2 质量－弹簧－阻尼系统由牛顿定律：∑=maF22dtydmdtdyfkyF=--Fkydtdyfdtydm=++⇒223）电动机：[电路方程：aaaaariRdtdiLEu+=-(1)动力学方程：dtdJMMcΩ=-(2)（⎩⎨⎧=Ω=(4)(3)addaikMkE(4) →(2) 得：(5) dcd a k M dt d k J i +Ω=(3)(5)→(1) 得：)(22c dac a a rd d a d a M k R dt dM R L u k dt d k J R dt d k J L --=Ω+Ω+Ω 整理并定义两个时间常数m daT k JR =2 机电时间常数a aaT R L = 电磁时间常数 ∴ 电机方程(........)122-=Ω+Ω+Ωr d m m a u k dt d T dtd T T 如果忽略阻力矩 即0=c M ，方程右边只有电枢回路的控制量r u ，则电机方程是一典型二阶方程…如果忽略a T （0=a T ）电机方程就是一阶的r dmu k dt d T 1=Ω+Ω小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静态数学模型，描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步骤。
线性系统的传递函数求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可是问题分析大大简化.1. 传递函数的定义： &传递函数：线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。
线性定常控制系统微分方程的一般表达式：设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：)()()()()()()()(1111011110t r b t r dt db t r dt d b t r dt d b tc a t c dt da t c dtd a t c dt d a m m m m m m n n n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，),,3,2,1(n i a i ⋅⋅⋅=和),,2,1(m j b j ⋅⋅⋅=是与系统结构和参数有关的常系数。
设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：)(][)(][11101110s R a s b s b s b s C a s a s a s a m m m m n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++----于是，由定义得系统传递函数为：)()()()()(11101110s N s M a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==---- 式中mm m m b s b s b s b s M ++⋅⋅⋅++=--1110)(，nn n n a s a s a s a s N ++⋅⋅⋅++=--1110)(2. 关于传递函数的几点说明：1） 传递函数的概念只适应于线性定常系统。
2） G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。
因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
3） 传递函数只与系统本身的特性参数有关，与系统的输入量无关。
4） 传递函数不能反映系统非零初始条件下的运动规律。
5） 传递函数分子多项式阶次（m ）小于等于分母多项式的阶次（n ）。
6） 传递函数与微分方程之间的关系。
)()()(s R s C s G =如果将dtdS ⇔置换 微分方程传递函数⇔ 》7） 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲)(t δ输入时的输出响应。
因为1)]([)(==t L s R δ⎰⎰-=-===--tt d g t r d t g t r s R s C L s C L t c 011)()()()()]()([)]([)(τττττ传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)3.传递函数的求法：图 2-6输入量Xr=u ，输出量Xc=i 。
列回路电压方程：u=Ri+Ldtdi（2—27） 即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28）经整理得：)()(s Xr s Xc =1/11+s T R（2—29） )其中 T l =RL,为电路的时间常数。
思考题：)0()0()(][('222y sy s y s dty d L --=-，什么是零初始条件 如何从该框图求得ϕ与ψ之间的关系传递函数从微分方程↔典型环节及其传递函数任何系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。
这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节。
下面分别加以介绍：/1． 比例环节K s G =)(式中 K ——增益特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。
2． 惯性环节11)(+=TS s G式中 T ——时间常数特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。
实例：图2-4所示的RC 网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。
《3． 微分环节理想微分 KS s G =)( 一阶微分 1)(+=S s G τ二阶微分 12)(22++=S S s G ξττ特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。
实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。
4．积分环节Ss G 1)(=特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。
实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。
—5． 振荡环节1212)(22222++=++=TS S T S S s G nn n ξωξωω 式中 ξ——阻尼比)10(<≤ξ n ω——无阻尼自然振荡频率nT ω1=特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。
实例：RLC 电路的输出与输入电压间的传递函数。
6． 纯时间延时环节 )()(τ-=t r t c·s e s G τ-=)(式中 τ——延迟时间特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。
实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。
小结：通过本节的讲授使学生掌握了传递函数的基本概念及典型环节传递函数。
并了解了典型二阶环节各参数的物理意义。
'2．4 系统的结构图一、结构图的定义及其组成1. 结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。
2. 结构图的组成：（1） 信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。
（2） 分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。
注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。
（3）比较点：对两个以上信号加减运算。
—（4）方框：方框图内输入环节的传递函数。
3．动态结构图的绘制步骤：（1）建立控制系统各元件的微分方程（传递函数）要标明输入输出量。
（2）对元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。
}（3）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。