巧用平面向量解解析几何问题
平面向量的解析几何应用
平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。
它具有大小和方向两个重要的特征。
平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。
平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。
二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。
通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。
在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。
例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。
我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。
2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。
通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。
3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。
通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。
4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。
通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。
6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。
例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。
巧用平面向量
化解解析几何 问题．
责 任编 校 徐 国 坚
的值分别代入所在直线方程得到其纵坐标，此时可 以
高中 ２ １ ０ ０年 第 ５期
数 攀 膏 数
将 后 示 出来 表 （ ， ） ．
巧 用 平 面 向 量
■河 源市和平 县和 平 中学 邱 良才
在计算纵坐标 的值 时计算 量较 大， 意计算过程 中要 注 细 心运算， 不要 出错 ． 利用 椭 圆的对称性 和点Ｃ 的坐标
可得Ｂ 一 ／ ，、 Ⅲ ， 以 ＝一 、 了 ， 、 了 ） （ 、 了 一 ／３）所 （３ ／ 一 ／ ， 计算
向量共线的 坐标表示． 即向量ｎ ＝
） ＝ ，） 与６ ｙ 共线的 ２
充要条件为三 入 或 ： ２＝ ， ＝ 一 ｙ ｏ 先将 与 用坐标表 １
示 出来 ． 然后 利 用 其 共 线 的 充 要 条 件 即 可 ． 得 重 视 的 值
例题 ： 如图所示 ， 已知Ａ、 、是椭圆Ｅ ＋ ； １ 曰ｃ ： ｛ ＝
０ ０，点Ｐ 轴上运 ） ） ， 在ｙ 动 ，点肘在礴由 上运动 ，
点Ⅳ 为动点， 且葡 －ｋ － Ｐ＝
Ｄ
（） １求椭圆Ｅ 的方程 ； （ ） 椭 圆 上 存 在 ２若
ｏ ．
的方 程 ：
６ ．
（） １求点Ⅳ的轨迹ｃ
（ ） 点 ｎ 】 ２过 ， 的直 ｏ
两点Ｐ、 Ｑ，使得 ＬＰ Ｑ Ｃ 的平分线总是垂直于确自 ，证明
合的证 明题 ， 能创设较佳 的问题情境 ， 综合性强 ， 具有
一
可
＝
，
旦二 生
，
． 同样 用 再将这两个横坐标
专题5.4 平面向量的综合应用(重难点突破)(解析版)
专题5.4 平面向量的综合应用一、考情分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.二、经验分享考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。
考点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。
考点三 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。
三、题型分析重难点题型突破1 平行与垂直例1、.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 【变式训练1-1】、（山东省德州一中2018-2019学年期中）若，且，则实数的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-2【答案】D 【解析】由得，，∴，故．【变式训练1-2】、（河北省示范性高中2019届联考）已知向量a ，b 满足2(1,2)a b m +=，(1,)b m =，且a 在b 25，则实数m =（ ） A 5B ．5±C ．2 D ．2±【答案】D【解析】向量a ，b 满足()21,2a b m +=，()1,b m =，所以0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22m a b ⋅=，()2225cos 152m b a m θ=+=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=， 解得2m =±.重难点题型突破2 平面向量与三角形例2、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形．( ) A . 等边 B . 等腰 C . 直角 D . 等腰直角 【答案】C .【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形． 【变式训练2-2】、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心 【答案】C .【解析】 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD(D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【变式训练2-3】、如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O . 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC= 重难点题型突破3 平面向量与三角函数结合例3．（河北省保定市2018-2019学年期末调研）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】因为过ABC ∆内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则0AD =，有0BE CF +=. 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点， 所以点M 是ABC ∆的重心，故选B 。
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。
向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。
在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。
在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。
例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。
此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。
对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。
在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。
首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。
其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。
例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。
还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。
总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有什么应用？向量法的概念是一个数学家发现的，发现过程很有趣。
向量法可以说是比较好地把向量与三角形、四边形、多边形结合起来的方法。
也就是说，在平面上进行立体几何中的平面图形的分析时，不能够再像做三角形或四边形那样，要用向量的知识来分析问题了。
我们还必须要在向量法的基础上再进行讨论。
在向量法中，分析立体几何中的一些特殊的向量时，它们的值是比较容易确定的，并且只需要写出向量的方向和大小，然后用向量法计算。
我们还经常利用向量法来判断一些曲线上点的坐标，如果知道了向量的方向，也就找到了点的坐标。
向量法在立体几何和解析几何中也广泛存在，如果我们没有掌握这种方法，那么对一些公式或结论的理解将会出错。
在立体几何中，如果立体几何中的所有向量都已经知道了其方向和大小，并且知道其他所有向量之间的关系，那么这个立体几何中的所有结论就都可以推导出来了。
又如，在平面几何中，如果一个向量和另外两个向量在平面内不相交，那么它们的关系就只是垂直于平面的平行线，但当知道这个向量的方向和大小时，我们就可以进行讨论了。
第二种说法：因为向量是表示物体位置的重要工具。
它在立体几何中显得尤为重要。
因为这个几何中的向量可以用三维空间中的点的坐标来表示。
而在解析几何中也广泛存在，如果没有这种方法，就没有办法准确地解决一些与向量有关的问题。
在解析几何中，一般情况下，一条直线可以有无数条方向。
比如有，在解析几何中一条直线可以有无数条方向。
比如有x、 y两个方向，它们的夹角为0。
在解析几何中，我们还可以对向量法进行总结，如果是三维空间的立体几何，那么在这个立体几何中的所有向量都是共面的，并且一组向量的方向是唯一的。
如果是二维的平面几何，则一组向量的方向是唯一的，并且一组向量的方向是共面的。
我们还可以通过坐标和向量来求解一些问题，通过观察三个点a、 b、 c之间的关系，可以得到向量a、 b、c的长度，并且通过坐标来表示。
平面向量与解析几何综合应用问题汇总
平面向量与解析几何综合应用问题汇总由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。
而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。
近几年全国各地的高考试题中，向量与解析结合的综合问题时有出现。
但从最近教学情况来看，学生对这一类问题的掌握不到位，在试卷上经常出现进退两难的境地，因此，就这一问题做一归纳总结和反思。
平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
主要包括以下三种题型：1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。
例1. (全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22μλ+为定值。
解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得 02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则22222121222222,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222c ba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+ 设(,)OM x y =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ .0329233)(34))((33832222212121212121222222221=+-=++-=--+=+=+-=c c c c c x x x x c x c x x x y y x x c ba b a c a x x又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1. 例2（天津卷）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c, 0）(c ＞0)的准线l 与x 轴相交于点A,.2FA OF = 过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用0 引言高三数学复习课教学，是高中数学教学的重要课型.平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点.作为高三教学一线的教师，如何引导学生在高三数学复习过程中抓住根本，合理利用时间，提高学习效率，是高三数学复习课必须追求的目标.因此，结合自己高三数学教学的实际情况，进行了《平面向量在解析几何中的应用》高三复习课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识.1 背景向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点.而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程.结合我校开展的构建研究系性学习教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索研究系性学习教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识.正因为如此，本节课这样设计：1）教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中.”因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性.2）通过问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担.2 问题例1.利用向量知识来推导点到直线的距离公式.已知点P坐标（x■，y■），直线l的方程为Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则d=■.证明：当B≠0时，在直线l上任取一点，不妨取P■（0，-■），直线l的法向量■=（A，B），由向量的射影长知识得点P到直线l的距离等于向量■在向量■方向上的射影长度d，■=（x■，y■+■），∴d=■·■=（x■，y■+■）·■=■当B=0时，可直接有图形证明（略）.点评：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性.例2.（2009浙江文）已知椭圆■+■=1（a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若■=2■，则椭圆的离心率是（）A.■B.■C.■D.■解析：对于椭圆，因为■=2■，则OA=2OF，∴a=2c，∴e=■选D.点评：对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手.例3.已知定点A（-1，0）和B（1，0），P是圆（x-3）2+（y-4）2=4上的一动点，求PA■+PB■的最大值和最小值.图1解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：■=（-1，0），■=（1，0），∴■+■=0，■·■=-1又由中点公式得■+■=2■所以■■+■■=（■+■）■-2■·■=（2■）■-2（■-■）·（■-■）=4■■-2■·■-2■■+2■·（■+■）=2■■+2又因为■={3，4}点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，所以■=5，■=2，且■=■+■所以■-■≤■=■+■≤■+■即3≤■≤7 故20≤■■+■■=2■■+2≤100所以PA■+PB■的最大值为100，最小值为20.点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手.3 反思由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识.那么如何树立应用向量的意识，从本节课案例得到以下启发：第一，如何树立应用向量的意识，在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性.第二，如何树立应用向量的意识，应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识.第三，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性.最后，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识.。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。
巧用三则平面几何知识简解解析几何问题
例２ 设ａ ， ＞Ｏ 定点 Ｆ（ ，） 直 线 ｌｚ 一ｎ交 ａｏ， ：一 轴 于点 Ｈ ， Ｂ是 ｚ上 的 动点 ， 点 Ｂ 垂 直 于 ｚ的直 点 过 线 与线 段 Ｂ 的垂 直平 分线 交 于点 Ｍ ， １ 求 点 Ｍ 的 Ｆ （） 轨迹 Ｃ 的方 程 ；２ 设 直 线 Ｂ 与 曲线 Ｃ交 于 Ｐ、 （） Ｆ Ｑ２
‘
图 １
Ａ 椭 圆左 准线 与 轴 的交点 ； Ｂ 坐标 原点 ； Ｃ 椭 圆右 准线 与 ｘ轴 的交点 ； Ｄ 右焦 点
‘
，
三 角 形 的 有 关 性 质 ， 得 知 可
△ Ｐ ∽ Ａ Ｑ Ｆ， 以 ＡＦ Ｃ 所
ＰＡ
—
Ｄ
分析
这是 一 类 涉 及 到 角 平 分 线 的解 析 几 何 问
，
堕 ＡＧ Ｈ ＡＦ一一Ｂ，
，
②
◇
浙江
洪 建松
由式 ① ② 可 得 △ Ｂ ＨＭ ∽ △ＡＧ ， 此 Ｂ 一 』 因 Ｍ
Ｈ Ｍ
，
在 解析 几 何 中 ， 一类涉 及 到 平 面几 何 初 步 知识 有
的 问题 ， 如相似 三 角形性 质 、 行 四 边形 的边 长关 系、 平 重心 的性 质 ， 类 题 往 往 与 平 面 向量 、 这 圆锥 曲线 等 有 机结 合 ， 通过 稍 加 改 变 而 成 创 新 题． 类 问题 若 仅 通 这 过联 立 方程 等 手 段 破 解 ， 往 往 事 倍 功 半 ， 至无 功 则 甚
ＰＦ
／
ｃ
】
题， 破解 的思 路 往 往 是 通 过 联 立 方 程 等 手 段 ， 一 时 但 难 以得 解 ， 能结 合 平 面 几 何 相 似 三 角 形 的性 质 ， 若 则
利用向量积求解解析几何问题的技巧
利用向量积求解解析几何问题的技巧摘要：本文总结归纳了向量积在求解平面方程和直线方程中的基本应用，并通过一些实例例举了向量积在综合问题中的应用。
关键词：向量积；平面方程；直线方程；法向量；方向向量解析几何中求平面直线方程的问题一般都比较灵活，学生在求解的时候往往找不到下手的方向，尽管如此，有一些类型的问题如果使用了向量积这个强大的工具就能迎刃而解。
学好向量积对学好解析几何有很大帮助，正因为如此本文就向量积在解直线平面问题中的应用做一个归纳。
1向量积在求平面方程中的应用求平面方程绝大多数情况是使用点向式，而要使用点向式的关键是求出直线的法向量，一般有以下几种基本情况。
以下都记平面πi的法向量为ni，直线li 的方向向量为si1）平面π过两条相交直线l1,l2，则其法向量为n=s1×s22）平面π经过不共线的三点M1,M2,M3，则其法向量为3）平面经过l1和l1外一点M0，则其法向量为（M1是l1上一点）4）平面π过两点M1,M2，且垂直于平面π1，则其法向量为5）平面π过两条平行直线l1和l2，则其法向量（M1M2分别为l1,l2上任意一点）以上五种情况是向量积在求平面问题中的基本应用，一些更复杂的问题都可经分析后化归到这五种，下面就举例说明。
例1.1（过已知直线及线外一点的平面方程）求过点M0（0,-1,2）和直线的平面π的方程．分析：由于已知平面过点M0，只要据已知条件确定出所求平面的法向量n,就可根据点法式写出平面方程。
为此需在已知直线上任取点M1，（s为已知直线的方向向量）。
解：已知直线的方向向量s=（3,2,-1），M1（1,-3,1）在已知直线上。
若π的法向量为n，则，所以可取n=×s．据点法式，所求平面的方程为-4（x-0）+2（y+1）-8（z-2）=0，即-2x+y-4z+9=0．例1.2设平面π垂直于平面π1:5x-y+3z-2=0且与它的交线l在x0y面上,求此平面.解设平面π的法向量是n,平面π1的法向量是n1,由于平面π与π1交线在x0y 面上,所以l的方向向量是s满足:（k为x0y面的法向量）,于是又由于,得在直线l上取点（0,2,0）,从而平面的点法式方程为即2向量积在求直线问题中的应用和求平面方程类似,求直线方程的关键是找到直线的方向向量,而求方向向量就要用到向量积.一般有以下几种基本情况1）直线一般式为,则其方向向量为.2）直线与两平面π1,π2平行,则其方向向量l=n1×n2.3）直线过点M0,且与两直线l1,l2相交,则直线的方向向量（M1,M2分别为l1,l2上任意一点）.4）直线l与两直线l1,l2垂直,则其方向向量s=s1×s2例2.1与z轴垂直的直线l在平面π：x+y=1上，且过点M0（2,-1,4）,求其方程．分析直线生成方式之一是两个平面的交线，因为直线在一已知平面上，可设l是已知平面与另一平面的交线，再从中得到能确定直线方程的条件．解设l是π与平面π1：Ax+By+Cz+D=0的交线。
利用平面向量巧解几何问题
利用平面向量巧解几何问题平面向量具有数与形的双重身份,是解决其它数学问题的有力工具,下面通过例子说明平面向量在解析几何和平面几何中的应用.一、利用平面向量解决解析几何问题【例1】求通过点A （－2，1），且平行于向量(3,1)a = 的直线方程.点拨：在直线上任取一点P(x,y),可知AP a = ，利用向量平行的条件列方程.解：设P(x,y)是所求直线上的任一点，(2,1)AP x y =+- ，AP a = ，(2)13(1)0x y ∴+⨯--=，即所求直线方程为350.x y -+=点评：直线的方向向量和斜率（倾斜角）都是表示直线相对于x 轴正方向的量，要注意分清这些量的区别和联系，以便灵活应用。
【例2】在椭圆221259x y +=上求一点，使它与两个焦点的连线所成的角是直角. 点拨：设椭圆上的满足条件的点为00,)P x y （，利用1290F PF ∠= 和点P 在椭圆上，联立方程组求解。
解：由题意得，椭圆两焦点为12(4,0),(4,0)F F -，设所求点00,)Px y （，则2200925225x y +=①，因为100200(4,),(4,),F P x y F P x y =+=- 12F P F P ⊥ ，所以120F P F P = ，即2200160x y +-=②，由①②得， 0094x y ==±，故所求点的坐标为9999),(),().4444-- 点评：在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程.其中向量平行、垂直的条件是经常用到的.二、利用平面向量解决平面几何问题【例3】如图：在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，E 是垂足，F 是DE 的中点，求证：AF BE ⊥.点拨：要证AF BE ⊥，可转化为证向量的数量积为零，即0AF BE = .证明： AB AC =，且D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥ ，0AD BD ∴= .又DE AC ⊥ ，0DE AE ∴= ，BD DC = ，F 是DE 的中点，12EF DE ∴=- ， ()()AF BE AE EF BD DE ∴=++AE BD AE DE EF BD EF DE =+++AE BD EF BD EF DE =++()AD DE BD EF BD EF DE =+++AD BD DE BD EF BD EF DE =+++1122DE DC DE DC DE DE =-- 1110222DE DC DE DE DE EC =-== 点评：解决本题关键是将AF BE 、用其他已知位置关系的向量来表示。
平面向量与解析几何练习题计算平面向量与解决相关几何问题
平面向量与解析几何练习题计算平面向量与解决相关几何问题在解析几何中，平面向量是一种重要的数学工具，被广泛应用于平面几何中的计算和问题解决。
平面向量具有大小和方向，可以进行向量的加法、减法、数量乘法等运算，同时还可以通过平面向量来解决一些相关的几何问题。
本文将通过一些练习题的计算和解决过程，来展示平面向量在解析几何中的应用。
题目一：已知向量A(2, -1)和向量B(3, 4)，求向量A与向量B的和。
解析：向量的加法是平面向量运算中最基本也是最常见的一种运算。
两个向量的和就是将两个向量的对应分量相加得到的新向量。
解答：向量A与向量B的和是(2+3, -1+4)，即向量A与向量B的和为(5, 3)。
题目二：已知向量C(1, 2)和向量D(-3, 5)，求向量C减去向量D的结果。
解析：向量的减法是指将减数向量的相反向量加到被减数向量上，即相当于进行向量的加法运算。
解答：向量C减去向量D的结果是(1-(-3), 2-5)，即向量C减去向量D的结果为(4, -3)。
题目三：已知向量E(3, -2)和数k=4，求数量乘法kE的结果。
解析：数量乘法是指将数与向量的每个分量分别相乘得到的新向量。
解答：数量乘法kE的结果是(4×3, 4×(-2))，即数量乘法kE的结果为(12, -8)。
题目四：已知直线L过点P(2, 3)和点Q(5, -1)，求直线L的方向向量。
解析：直线的方向向量可以通过两点确定。
将两点的坐标视为向量，直线的方向向量就是由这两个点的向量相减得到的。
解答：直线L的方向向量为(5-2, -1-3)，即直线L的方向向量为(3, -4)。
题目五：已知直线L的法线向量为(2, 3)，且过直线L上一点A(1, -1)，求直线L的方程。
解析：直线的方程可以通过直线上一点和直线的法线向量求得。
直线的方程一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别为方程的系数。
解答：由题意可知，直线L的法线向量为(2, 3)，过直线L上一点A(1, -1)。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中起着重要的作用，它可以帮助我们理解和求解许多诸如线段、面积和体积等问题。
首先，直角坐标系是利用向量知识解决平面问题的有力工具，它可以表示一个点的位置，它的轴也提供了方向信息，其中每个点可以看做一个有向向量，有向向量的定义是指具有指定方向的有序对。
另外，它还可以用来求解线段的长度，点到直线的距离，求解平面图形的面积和体积，甚至在数学基础上设计新的图形。
此外，向量可以作为方程解决联立方程组。
解析几何提出了一些特殊的向量解法，其中最突出的是利用它求解点到线段距离以及点到直线距离的问题。
还有，向量的性质也可以利用来判断两个直线是否平行，或者计算两个三角形的外接圆。
此外，向量在椭圆上的具体应用也十分重要，我们可以利用它来求解二次曲线上的面积、周长或求椭圆心与离心率之间的联系等问题。
通过对平面解析几何中向量知识的应用，我们可以看出，这些知识不仅有助于我们理解几何形状，而且它们也成为一些有趣问题的求解工具，为我们研究解析几何提供了便利，也使我们完美的理解和描述几何图形的形状和位置变化。
解答解析几何问题的技巧
ìíîïïïïx =2,y,(t 为参数)设点N 的坐标为(2)，点M 的坐标为(1-,1).于是 BM ∙BN =(2-)(1)+(1)=(t-2+32.又0<t <2，则32≤(t2+32<2，可得 BM ∙ BN ∈[32,2).故选C.解法四：因为点C (2,0),A (0,2)，所以向量CA =(-2,2)，所以与向量 CA 同向的单位向量s= CA || CA =122⋅(-2,2)=.设 CN =ts)，则CM =(t +2)s =(-1-,1+)，故N (2-),M (1,1).可得BM ∙BN =(2-)(1)+(1)=t 2-2t +2=(t 2+32.又因为0<t <2，则BM ∙ BN ∈[32,2).故选C.该解法灵活运用了平面向量中的一个结论“任何一个非零向量均可用与之共线的单位向量进行线性表示”.由于点M 、N 均在边AC 上，所以向量 CN ,CM能够用与向量CA 同向的单位向量来表示，可引入参数，便可顺利得出点M 、N 的坐标，运用参数法解题.通过上述分析可以发现，解答平面向量的数量积问题，可以从多方面进行考虑，最直接的方式是运用坐标系法，将问题转化为向量的坐标运算问题求解；而运用参数法，可巧妙地将动点M 、N 的坐标表示出来，将问题转化为含参的函数最值问题来求解.在解答平面向量的数量积问题时，要灵活运用数形结合思想以及转化思想，这样能有效地提升解题的效率.(作者单位：江苏省江安高级中学）解析几何是高中数学中的重要知识模块，也是高考必考的内容.解析几何问题对同学们的综合分析以及运算能力有较高的要求，许多同学经常一看到解析几何问题，就心生怯意.其实，解析几何问题并没有我们想象中的那么难，只要熟悉常见的题型，掌握一些常用的解题途径，就能顺利破解难题.本文主要介绍三种解答解析几何问题的技巧，希望对大家能有所帮助.一、采用定义法定义法是运用圆锥曲线的定义来解题的方法.该方法主要适用于解答动点的轨迹问题、距离问题、最值问题、离心率问题、曲线的方程等.在运用定义法解答解析几何问题时，要将“动点与定点之间的距离”与圆锥曲线的定义关联起来，建立关系式，从而顺利解题.例1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右两焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆相交于P ,Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若||PF 1=2+2，||PF 2=2-2，求椭圆的标准方程.(2)若||PF 1=|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义可知：2a =||PF 1+||PF 2=()2+2+()2-2=4,∴a =2.设椭圆的半焦距为c ，∴||PF 2⊥||PF 1，可知∆PF 1F 2为直角三角形.∴2c =||F 1F 2=||PF 12+||PF 22=()2+22+()2-22=23,即c =3，∴b =a 2+c 2=1.∴椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义可知||PF 1+||PF 2=石晓鹏392a ,∴||QF 1=4a -2||PF 1，||QF 1+||QF 2=2a .由||PF 1=|PQ |可得||QF 1=4a -2||PF 1,由PQ ⊥PF 1，||PF 1=|PQ |可得||QF 1=2|PF 1|.∴4a -2||PF 1=2|PF 1|，∴||PF 1=2()2-2a ,∴||PF 2=2a -||PF 1=2a -2()2-2a =2()2-1a .由PF 2⊥2|22=||F 1F 22=(2c )2，∴e =c a =6-3.解答本题，主要运用了椭圆的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹，建立关系式2a =||PF 1+||PF 2，再根据椭圆方程中a 、b 、c 之间的关系以及点、线段之间的位置关系求得椭圆的标准方程、离心率.二、数形结合数形结合是解答解析几何问题的重要方法，将数形结合起来，能使抽象的解析几何问题直观化.运用数形结合法解答解析几何问题，通常需根据曲线的方程画出图形，利用圆锥曲线的几何意义建立几何关系，再通过代数运算求得问题的答案.例2.已知椭圆C 的中心与椭圆上的3点恰好构成正方形，则椭圆C 的离心率为.解：设椭圆的方程x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)，绘制如图1的图形，由正方形的性质可知椭圆长半轴的长等于正方形的对角线长，则点(a 2,a2)为椭圆上的一点，可得14+a 24b 2=1，化简得a 2=3b 2=3()a 2-c 2，则2a 2=3c 2，即e =,故D 为正确选项.根据已知条件，我们无法快速建立关系式，于是绘制出相应的图形，采用数形结合法来解题，通过分析图形，根据正方形的特征，便可明确正方形的对角线与椭圆的长半轴之间的联系，在椭圆上找到一点(a 2,a 2)，从而建立a 、c 之间的关系，运用离心率公式得出正确的选项.通过数形结合，可将问题中的数量关系通过图形直观地呈现出来，这样能有效地提升解题的效率.三、设而不求设而不求是指设出相应的参数，并将其代入题设中进行求解，最后通过消参求得问题的答案.该方法常用于求解一些较为复杂的解析几何问题，尤其是含参问题、运算繁琐的问题.在解题时，一般可将与较多变量有关联的量用参数表示出来，然后将其代入题设中，再进行整体代换、消参，使问题得解.例3.已知椭圆的方程为x 24+y 22=1，经过原点O 的直线与椭圆交P ,A 两点，P 点在第一象限，如图2，过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，延长AC 交椭圆于点B ，若直线PA 的斜率为k ,试证：对于任意k >0，都有PA ⊥PB .解：联立直线PA 的方程：y =kx 与椭圆的方程x 24+y 22=1，可得x =±21+2k 2,设μ=21+2k 2.则P ()μ,μk ,A ()-μ,-μk ,于是C (μ,0),故直线AB 的斜率为0+μk μ+μ=k2,其方程为y =k 2(x -μ),将其代入椭圆的方程可得：()k 2+2x 2+μ2k 2-2μk 2x -8=0,解得：x =μ()3k 2+2k 2+2或x =-μ(舍去)，所以B (μ()3k 2+2k 2+2,μk 3k 2+2),则直线PB 的斜率为k 1=μk 3k 2+2-μk μ()3k 2+2k 2+2-μ=k 3-k (k 2+2)3k 2+2-(k 2+2)=-1k ,可得k 1k =-1,故PA ⊥PB .本题较为复杂，题目中涉及的变量、数量关系较多，于是引入参数μ，分别设出P 、A 的坐标以及AB 的直线方程，将其代入题设中，通过解方程求得点B 的坐标以及PB 的斜率，最后运用斜率公式证明PA ⊥PB .运用设而不求法解题，可将问题变得简单，回避了繁琐的运算以及复杂的求解过程.总之，定义法、数形结合法比较常用，其适用范围较广，而运用设而不求法，能简化解题的过程.因此在解答解析几何问题时，同学们要学会灵活运用圆锥曲线的定义,借助图形,通过引入参数来解题，以提升解题的效率.（作者单位：甘肃省庄浪县第二中学）图1图240。
高中数学：平面向量的数量积在解析几何中的应用
高中数学：平面向量的数量积在解析几何中的应用在解析几何中涉及到长度、角度、垂直等的诸多问题中，如能适当地构造向量，利用向量的数量积的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算，往往使问题简捷获解。
一、与长度有关的问题通过向量的数量积可以计算向量的长度，这给解决线段长度问题拓宽了思路，提供了方便。
这里常用的公式有：；若，则；若，则A、B两点的距离公式为。
例1. 在△OFQ中，，＝1，该三角形面积。
以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求：（I）用c表示；（II）的最小值及此时点Q 的坐标；（III）最小时的椭圆方程。
分析：本题重点是对（I）的求解。
取图1的坐标系后设，则可用表示。
如何消去，将其转化为，则是解题的关键。
根据面积条件易求；再由条件及可求得，从而可消去，得到的关于c的表达式。
解：（I）取坐标系如图1所示。
设Q（），又F，则图1，因为所以又，得，即所以，故知于是，得（II）由（I）知，当且仅当时，，此时点Q坐标为（）（III）设椭圆方程为，由（II）知Q，又点Q在椭圆上，得所以所求椭圆方程为。
二、与角度有关的问题设向量都是非零向量，夹角为，则；若，则。
以上是解决有关夹角问题的重要公式，称为夹角公式。
利用上述公式，就能比较方便、容易地解决涉及角的诸多问题。
例2. 给定抛物线，F是C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，设l的斜充为1，求与夹角的大小。
分析：设出后，不难用韦达定理求出，于是容易求出及，再用夹角公式即可获解。
解：由焦点F（1，0），，则，代入，整理，得设、，则于是有＝所以所以与夹角的大小为。
例3. 已知两点M（－1，0）、N（1，0），且点P使，成公差小于零的等差数列。
（I）点P的轨迹是什么曲线？（II）若点P的坐标为，记为与的夹角，求。
分析：（I）设P（x，y），求出各有关向量的坐标，利用数量积公式，将题设条件转化为即所求轨迹方程；（II）求夹角公式，结合（I）知＝0，先求出，进而求出。
平面向量的应用题解析
平面向量的应用题解析平面向量是解析几何中重要的概念之一，广泛应用于不同领域的问题求解。
本文将通过几个具体的应用题，来解析平面向量在实际问题中的运用。
一、题目一：平面向量求面积假设有一个三角形ABC，已知向量AB为a向量，向量AC为b向量。
求证：三角形ABC的面积等于向量a和向量b的叉积的绝对值的一半。
解析：首先，我们可以通过向量减法得到向量AB和向量AC之间的关系：向量AB = 向量AC - 向量BC。
由于向量BC等于向量AC - 向量AB，所以向量BC也可以用向量a和向量b表示，即向量BC = 向量AC - 向量AB = b - a。
根据向量的叉积公式，向量a和向量b的叉积等于向量a和向量BC （即向量b - 向量a）的模长乘以它们之间的夹角的正弦值。
设向量AB和向量AC的夹角为θ，则有向量a和向量b的叉积等于|a × (b - a)| = |a × (b - a)| = |a||b - a|sinθ。
而三角形ABC的面积等于底边AB的长度|AB|乘以高度h，其中h= |AC|sinθ。
由于|AB| = |a|，所以有三角形ABC的面积等于|a × (b - a)|的一半。
二、题目二：平面向量求几何中点坐标给定三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，求证：点D(xd, yd)为线段AB的中点，当且仅当向量CD为向量AB的一半。
解析：设向量AB为a向量，向量CD为b向量。
由于点D为线段AB的中点，所以点D的横坐标xd和纵坐标yd分别是线段AB两个端点横坐标的平均值和纵坐标的平均值。
即xd = (x1 + x2)/2，yd = (y1 + y2)/2。
另一方面，向量AB在坐标系中的坐标表示为(bx - ax, by - ay)，其中ax、ay为点A的横纵坐标，bx、by为点B的横纵坐标。
同样地，向量CD在坐标系中的坐标表示为(dx - cx, dy - cy)，其中cx、cy为点C的横纵坐标，dx、dy为点D的横纵坐标。
用向量解决几何问题的步骤平面向量的应用举例知识点
一、平面向量在几何、物理中的应用
1、用向量解决几何问题的步骤：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如：距离，夹角等；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
2、用向量中的有关知识研究物理中的相关问题，步骤如下：
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；
（2）模型的建立，即建立以向量为主题的数学模型；
（3）求出数学模型的有关解；
（4）将问题的答案转化为相关的物理问题。
二、平面向量在几何、物理中的应用
1、向量在平面几何中的应用：
（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；
（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；
（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；
1、向量在三角函数中的应用：
（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；
（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。
2、向量在物理学中的应用：
由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。
3、向量在解析几何中的应用：
（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；
（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。
平面向量在解析几何中的应用与求解策略
平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：（一）、直线的方向向量：直线L 的方向向量为→m =（a,b),则该直线的斜率为k= ba（二）、利用向量处理平行问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ∥→b 的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得→a = λ→b ；亦即a ∥b (b≠)的充要条件是⇔x 1y 2-x 2y 1=0；（三）、利用向量求角：设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2), 则两向量→a 、→b 的夹角：cos θ = cos<→a ,→b > = →a 〃→b|→a ||→b=x 1x 2+y 1y 2x 12+y 12 〃x 22+y 22⇒ 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ⊥→b 的充要条件是→a 〃→b =0⇔x 1x 2- y 1y 2=0；（四）、利用向量求距离：设→a =(x,y),则有|→a |=→a 2 =x2+y 2；若),,(),,(2211y x B y x A 则|→二、典例分析：★【题1】、点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P且方向为→a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( ) （A （B ）13 (C)2（D ）12●[解析]：如图,过点P （-3，1）的方向向量→a =(2,-5);所以)3(251;,25+-=--=x y l K PQ PQ 则；即1325;-=+y x L PQ ;联立：)2,59(21325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得， 由光线反射的对称性知：251=QF K所以)59(252;1+=+x y L QF ，即0525:1=+-y x L Q F ;令y=0,得F 1（-1，0）;综上所述得： c=1，3,32==a c a 则;所以椭圆的离心率.3331===a c e 故选A 。
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巧用平面向量解析几何问题
一：课堂教学设计：
在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
所以本节课就这一方面做一归纳。
二：教学目标：利用平面向量的加法，减法，数量积的几何意义解决解析几何问题。
三：教学方法：启发式教学
四：重点难点:把解析几何问题转化为向量问题。
五:例题解析
例1、椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 。
解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）
21PF F ∠Θ为钝角
∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=
-⋅-u u u r u u u u r （ =9cos
2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5
53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，M 是圆1)1(2
2=-+y x 上的一动点，
+的最大值和最小值； ②求22MB MA +的最大值和最小值
分析：因为O 为AB 的中点，所以MO MB MA 2=+的最值。
解：①2=+Θ
如图 当M 运动到1M MO 有最小值1
当M 运动到2M MO 有最大值3
MB MA +的最小值为2，最大值为6 ②MB MA MB MA ⋅-+=+=+2)(222 OM 的最小值为1OM 最大值为9 ∴22MB MA +的最小值为4，最大值为20
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。
例3、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||(AC AB ++=λ，
[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
分析：因为||||
AB AC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()AB AC OP OA AP AB AC
λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。
例4、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是Q c 、F c F ),0,()0,(21-是椭圆外的动点，满足Q F P a Q F 11,2是线段点=与该椭圆的交点，点T 在线段Q F 2上，并且满足
.0022≠=⋅TF TF PT
（1）设x 为点P x a
c a P F +
=1； （2）求点T 的轨迹C 的方程；
（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使21MF F ∆的面积2b S =.若存在，求21MF F ∠
的正切值；若不存在，请说明理由。
（本小题主要考查平面向量的概念, 椭圆的定义，椭圆的方程和性质，求轨迹的方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力.）
解：（1）证明 证法一 设点P 的坐标为),(),(y x P y x 由在椭圆上，得 由0>+-≥+-≥a c x a
c a a ，x 知，所以 证法二 设点P 的坐标为),(y x
21r r ==，则
221)(y c x r ++=，
由,4,2222121cx r r a r r =+=+得
（2）设点),(y x T 的坐标为
)0,()0,(0a a ，-=和点点时在轨迹上
，，时时00≠≠
,0时=
⊥
=
所以T 为线段Q F 2的中点.
在a F QF ==∆21中,所以有222a y x =+ 综上所述,点T 的轨迹C 的方程是222a y x =+
(3) C 上存在点200),(b S y x M =使的充要条件是 ③
④
由③得a y ≤0 由④得c
b y 2
0= 所以,当c b a 2≥时,存在点,0
;,2
2时当使c b a b S M <=不存在满足条件的点M 当c
b a 2
≥时, 由2
222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅
得2tan 21=∠MF F
点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系例
5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程；
（3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明
λ-=.
分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(122
22>=+a y a
x . 由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-).(2,22
22c c a c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12
62
2=+y x ，离心率36=e . （2）解：由（1）可得A （3，0）
设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)3(,1262
2x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3
636<<-k . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ① 1
36272221+-=k k x x . ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是
]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④
由①②③④得152=k ，从而)3
6,36(55-∈±=k .
所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x
（3）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126
,126
,),3(32
222212121
21y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x 因),(),0,2(11y x M F -，故
),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λ
λλλ--=--=. 而),21(),2(222y y x FQ λ
λ-=-=，所以FQ FM λ-=. 点评：本题是以向量知识为背景的解析几何问题，要注意条件的转化，特别是向量问题坐标化，如：0=⋅，既可以转化为,OQ OP ⊥从而得到1-=⋅OQ OP K K ，也可以看作),(),(2211y x y x ⋅，即02121=+y y x x 。
六．教学反思：
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。
应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。