巧用平面向量解解析几何问题

巧用平面向量解析几何问题
一：课堂教学设计：
在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。

用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。

著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。

这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。

所以本节课就这一方面做一归纳。

二：教学目标：利用平面向量的加法，减法，数量积的几何意义解决解析几何问题。

三：教学方法：启发式教学
四：重点难点:把解析几何问题转化为向量问题。

五:例题解析
例1、椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 。

解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）
21PF F ∠Θ为钝角
∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=
-⋅-u u u r u u u u r （ =9cos
2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5
53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。

本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，M 是圆1)1(2
2=-+y x 上的一动点，
+的最大值和最小值； ②求22MB MA +的最大值和最小值
分析：因为O 为AB 的中点，所以MO MB MA 2=+的最值。

解：①2=+Θ
如图 当M 运动到1M MO 有最小值1
当M 运动到2M MO 有最大值3
MB MA +的最小值为2，最大值为6 ②MB MA MB MA ⋅-+=+=+2)(222 OM 的最小值为1OM 最大值为9 ∴22MB MA +的最小值为4，最大值为20
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。

例3、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||(AC AB ++=λ，
[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
分析：因为||||
AB AC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()AB AC OP OA AP AB AC
λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。

例4、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是Q c 、F c F ),0,()0,(21-是椭圆外的动点，满足Q F P a Q F 11,2是线段点=与该椭圆的交点，点T 在线段Q F 2上，并且满足
.0022≠=⋅TF TF PT
（1）设x 为点P x a
c a P F +
=1； （2）求点T 的轨迹C 的方程；
（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使21MF F ∆的面积2b S =.若存在，求21MF F ∠
的正切值；若不存在，请说明理由。

（本小题主要考查平面向量的概念, 椭圆的定义，椭圆的方程和性质，求轨迹的方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力.）
解：（1）证明 证法一 设点P 的坐标为),(),(y x P y x 由在椭圆上，得 由0>+-≥+-≥a c x a
c a a ，x 知，所以 证法二 设点P 的坐标为),(y x
21r r ==，则
221)(y c x r ++=，
由,4,2222121cx r r a r r =+=+得
（2）设点),(y x T 的坐标为
)0,()0,(0a a ，-=和点点时在轨迹上
，，时时00≠≠
,0时=
⊥
=
所以T 为线段Q F 2的中点.
在a F QF ==∆21中,所以有222a y x =+ 综上所述,点T 的轨迹C 的方程是222a y x =+
(3) C 上存在点200),(b S y x M =使的充要条件是 ③
④
由③得a y ≤0 由④得c
b y 2
0= 所以,当c b a 2≥时,存在点,0
;,2
2时当使c b a b S M <=不存在满足条件的点M 当c
b a 2
≥时, 由2
222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅
得2tan 21=∠MF F
点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系例
5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程；
（3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明
λ-=.
分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(122
22>=+a y a
x . 由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-).(2,22
22c c a c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12
62
2=+y x ，离心率36=e . （2）解：由（1）可得A （3，0）
设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)3(,1262
2x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3
636<<-k . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ① 1
36272221+-=k k x x . ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是
]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④
由①②③④得152=k ，从而)3
6,36(55-∈±=k .
所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x
（3）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126
,126
,),3(32
222212121
21y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x 因),(),0,2(11y x M F -，故
),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λ
λλλ--=--=. 而),21(),2(222y y x FQ λ
λ-=-=，所以FQ FM λ-=. 点评：本题是以向量知识为背景的解析几何问题，要注意条件的转化，特别是向量问题坐标化，如：0=⋅，既可以转化为,OQ OP ⊥从而得到1-=⋅OQ OP K K ，也可以看作),(),(2211y x y x ⋅，即02121=+y y x x 。

六．教学反思：
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。

应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。