分式的通分(1)
八年级数学分式的通分
11 24
通分：把几个异分母分数化成与原来相等 的同分母分数叫通分.
将下列分式
1 , 1 ,1 x3 y 2 x2 y3 xy4
通分
二、 （1）
1 x3 y2
y2 x3 y2 y2
y2 x3 y4
（2）
1 xy xy x 2 y 3 x 2 y 3 xy x3 y 4
x
(2) 1 , x x2 4 4 2x
练习（1） 将x y, 2 y 2 通分 x y
（2） 将 x3 ,x2 x 1通分 x 1
思考题：已知abc=1，
将 a , b , c 通分 ab a 1 bc b 1 ca c 1
； 免费发布信息网 B2B网站 / 电子商务 b2b 免费网站 供求平台 ；
（3）
1 xy 4
x2 xy 4 x 2
x2 x3 y4
1
xy 2
xy 2
（1`） x3 y 2 x3 y 2 xy 2 x 4 y 4
（2`）
1
x2 y
x2 y
x2 y3 x2 y3 x2 y x4 y4
（3`）
1 xy 4
x3 xy 4 x3
x3 x4 y4
客和周家身上,所以他们是小额赔偿.如果是游客不听劝作死,周家或许可以少赔.但这是周家明知此处危险却不加以提醒,缺乏安全及防范意识导致游客身陷险境,除了客栈暂停经营,面临高额赔偿费是逃不掉の.死难者家属原本要以命抵命の,在休闲居等人の劝说之下勉强同意按正常程序处理. 但是何玲不甘心.之前给周定康那笔钱把老人の棺材本都用上了,如今周家到哪儿挖二、三十万出来？生意又不能做,为了盖房子她连娘家亲戚全部借了个遍,现在
2023学年湖南八年级数学上学期同步知识讲练1-4-2 分式的通分知识讲解(含解析)
专题1.4.2分式的通分（知识讲解）【学习目标】1．让学生了解什么是最简公分母，会求最简公分母．2．了解通分的概念，并能将异分母分式通分．3．在学习过程中体会从分数到分式的类比的方法，培养由具体到抽象，由个别到一般的数学思维品质．【知识梳理】知识模块一 怎样确定最简公分母异分母分数相加减，要先找到分母的最小公倍数作为公分母，通分后化为同分母分数，再加减． 类似地，异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减．归纳：1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分．2．通分时怎样确定公分母最简便？⎭⎬⎫系数应取各个分母的系数的最小公倍数；字母或式子应取各个分母的所有字母和式子；指数应取它在各分母中次数最高的；这样的公分母称为最简公分母. 注意：分母是多项式时，要先将分母因式分解，然后确定最简公分母．知识模块二 如何将异分母分式通分通分的一般步骤：(1)确定最简公分母(分母是多项式时，常根据因式分解的结果确定)；(2)通分，即对照最简公分母，将各分式的分子分母各乘一个适当的式子，使分母都变为最简公分母．方法指导：当分母中含有互为相反数的因式时，可以将其中一个提出“－”，这样确定最简公分母比较简单．【典型例题】类型一、怎样确定最简公分母 例1.y 4x 2，56xy ，x 9y 2的最简公分母是36x 2y 2；1a （a －b ），1b （a －b ）的最简公分母是ab(a －b)； 求x x 2－1与1x 2－x的最简公分母． 分析：第一个分式的分母含有哪些因式？即x 2－1＝(x ＋1)(x －1)；第二个分式的分母含有哪些因式？即x 2－x ＝x(x －1)；因此，最简公分母是x(x ＋1)(x －1)．例2．通分：(1)12x 2y ，23x ，34x 2y ；(2)x x 2－4，2（x ＋2）2.通分的一般步骤：(1)确定最简公分母(分母是多项式时，常根据因式分解的结果确定)；(2)通分，即对照最简公分母，将各分式的分子分母各乘一个适当的式子，使分母都变为最简公分母．方法指导：当分母中含有互为相反数的因式时，可以将其中一个提出“－”，这样确定最简公分母比较简单．解：(1)最简公分母是：12x 2y ，12x 2y ＝1·62x 2y ·6＝612x 2y， 23x ＝2·4xy 3x ·4xy ＝8xy 12x 2y， 34x 2y ＝3·34x 2y ·3＝912x 2y. (2)最简公分母是：(x ＋2)2(x －2)，x x 2－4＝x （x ＋2）（x ＋2）2（x －2）， 2（x ＋2）2＝2（x －2）（x ＋2）2（x －2）. 【针对训练1】分式y−z 12x ，y+z 9xy ，x−y 8z 2的最简公分母是( )A.72xyz 2B.108xyzC.72xyzD.96xyz 2【答案】A【解析】按照求最简公分母的方法求解即可．【解答】解：∵ 12，9，8的最小公倍数为72，x 的最高次幂为1，y 的最高次幂为1，z 的最高次幂为2，∵ 最简公分母为72xyz 2.【点评】此题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：∵如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．∵如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．【针对训练2】分式1x−1，2x 2−1，3x 的最简公分母是( )A.x 2−1B.x(x 2−1)C.x 2−xD.(x +1)(x −1) 【答案】B【解析】解：∵ 分式x 2−1=(x +1)(x −1)，∵ 三个分式的最简公分母是x(x +1)(x −1)，即x(x 2−1).【针对训练3】对分式y 2x ，x 3y 2，14xy 通分时，最简公分母是________.【答案】12xy 2【解析】利用分式通分即可求出答案．【解答】解：∵ 分式y 2x ，x 3y 2，14xy 的分母是2x ，3y 2，4xy ，∵ 它们的最简公分母为12xy 2.【点评】本题考查分式的通分，属于基础题型．类型二、如何将异分母分式通分 例3.通分：(1)x 6ab 2,y 9a 2bc 、 (2)a−1a 2+2a−1,6a 2−1；(3)1x−y 与2x 2−y 2 ； (4)2x 2−9与x 6−2x .【解析】找出各项的最简公分母，通分即可．解：(1)最简公分母为18a 2b 2c ，通分为：3acx 18a 2b 2c ，2by 18a 2b 2c .(2)最简公分母为(a +1)2(a −1)，通分为：(a−1)2(a+1)2(a−1)，6(a+1)(a+1)2(a−1).(3)最简公分母为(x +y)(x −y)，通分为：x+y (x+y)(x−y)，2(x+y)(x−y)．(4)最简公分母为2(x −3)(x +3)，通分为：42(x+3)(x−3)，−x(x+3)2(x+3)(x−3)．【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．【针对训练1】对于试题：“先化简，再求值：x−3x 2−1−11−x ，其中x =2. ”小亮写出了如下解答过程：∵ x−3x 2−1−11−x =x−3(x−1)(x+1)−1x−1 ∵=x−3(x−1)(x+1)−x+1(x−1)(x+1)∵=x−3−(x+1)=2x−2，∵∵ 当x=2时，原式=2×2−2=2. ∵(1)小亮的解答在哪一步开始出现错误：________（直接填序号）；(2)从∵到∵是否正确：________；若不正确，错误的原因是：________；(3)请你写出正确的解答过程.【解析】(1)第∵步最简公分母是(x+1)(x−1)，把1−x变为−(x−1)，而第∵步没变符号；(2)从第∵到∵应按同分母分式的加减法则：分母不变，分子相加减，而不是把该分母去掉；(3)最简公分母为(x+1)(x−1)，通分化简即可得到最简分式，再将x=2代入求值即可.【解答】解：(1)由x−3x2−1−11−x=x−3(x+1)(x−1)+1x−1∵，故小亮的解答从第∵步出现错误.故答案为：∵.(2)不正确，错误的原因是：同分母分式加减分母不变，分子相加减，不能直接去掉分母.故答案为：不正确；同分母分式加减分母不变，分子相加减，不能直接去掉分母.(3)正确的解答过程为：x−3x2−1−11−x=x−3(x+1)(x−1)+x+1(x+1)(x−1)=x−3+x+1(x+1)(x−1)=2x−2(x+1)(x−1)=2x+1，当x=2时，原式=22+1=23.【点评】本题考查了异分母分式的加减，掌握法则是关键．异分母的分式相加减，先通分化成同分母的分式，再加减．结果要化成最简分式或整式．【针对训练2】通分：（1）4a5b2c ,3c10a2b,5b−2ac2；（2）x(2x−4)2,16x−3x2,2xx2−4．解：（1）∵ 最简公分母是10a2b2c2∵ 4a5b2c =4a×2a2c5b2c×2a2c=8a3c10a2b2c2、3c10a2b=3c×bc210a2b×bc2=3bc310a2b2c25b −2ac2=−5b×5ab22ac2×5ab2=−25ab310a2b2c2.（2）∵ (2x−4)2=[2(x−2)]2=4(x−2)2.6x−3x2=−3x(x−2).x2−4=(x+2)(x−2)∵ 最简公分母是12x(x+2)(x−2)2∵ x(2x−4)2=3x2(x+2)12x(x+2)(x−2)2.1 6x−3x2=4(x+2)(x−2) 12x(x+2)(x−2)2.2x x2−4=24x2(x−2)12x(x+2)(x−2)2。
《分式的通分》教案
《分式的通分》教案教学目标一、知识与技能1．能够理解通分的意义，能找到几个分式的最简公分母；2．能够总结出分式的通分法则，并能熟练掌握通分运算；二、过程与方法1．在分数通分的基础上比较学习分式的通分,并在此过程中渗透类比数学思想方法；2．在如何确定几个异分母分式的最简公分母以及将异分母分式通分的过程中渗透化归的数学思想方法；三、情感态度和价值观1．鼓励学生积极主动地参与教学的整个过程，激发学生求知欲望，让学生体验成功的喜悦，增加学生的学习兴趣和信心；2．让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务，激发学生学习数学的兴趣和热情；教学重点能根据分式的基本性质将几个异分母分式通分；教学难点确定几个异分母分式的最简公分母；教学方法引导发现法、启发猜想、讲练结合法课前准备教师准备课件、多媒体；学生准备三角板，练习本；课时安排1课时教学过程一、导入新课同学们还记得如何计算：1124+吗？在学生正确回答后，我再提问，我们前面已经学习了分式，现在我们一起来想一想该如何计算：y x 11+呢？你们会分几步来计算？学生会回答出先通分后相加。
我给于肯定，并板出课题《分式的通分》。
二、新课学习 同学们能把x 1、y 1这两个分式通分吗？它们的最简公分母是什么呢？在学生得到正确的公分母后让学生思考：什么叫做分式的通分？1、引导学生类比分数的通分概念得到分式的通分概念。
然后设问：那么通分应注意什么呢？学生思考、讨论、交流之后得出:（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等。
2．设问：那么通分的依据是什么呢？（分式的基本性质．）3．设问：那么通分的关键是什么呢？（确定几个分式的最简公分母）例1 通分： （1）x y 21，23y x（2）23c 10a b ，25a 2ac ,245a b c 设问：“分母的系数各不相同如何解决？”“在分母中出现的字母因式有几个？”“字母因式的指数不同如何选择？”（学生分组讨论，由代表发言讨论结果，小组间比对，并请两名学生上台板演。
分式的通分课件(共17张PPT)
(2) x2 36 .
2x 12
解：(1) 9ab2 6abc 3ab(3b 2c) 3b 2c ；
3a2b
3ab a
a
(2) x2 36 (x 6)(x 6) x 6 .
2x 12 2(x 6) 2
第2课时 分式的通分
归纳总结 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点?这些做法的根据是什 么?
第2课时 分式的通分
第2课时 分式的通分
学习目标
能利用分式的基本性质进行分式的通分．
第2课时 分式的通分
新课引入
通分：
3 4
与
2 3
.
最小公倍数：3×4=12
解： 3 4
33 43
9 ，2 12 3
24 3 4
8 12
.
通分的关键是确定几个 分母的最小公倍数.
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变
(a b) 2a ab2c 2a
3bc 2a2b2c ,
2a 2 2a
2ab 2b2c
.
第2课时 分式的通分 (2) 2x 与 3x x5 x5
1·(x - 5) 1·(x + 5) 1(x - 5) (x + 5) 最简公分母
(2)最简公分母是(x+5)(x-5).
2x x5
3x x5
2x( x 5) 2x2 10x
4
4(2 x +1)
1 - 2x -(2x - 1)(2x+1)
2x 4 x2 -1
4
2x x2 -1
.
8 x +4 4x2 -1
,
在分式的约分与通分中， 通常碰到如下因式符号变 形：(b-a)2=(a-b)2； b-a = -(a-b).
分式的通分
（1）表示 （2）、比例 a:b=c:d 可以写成 叫做 ，b 与 c 叫做
式子叫做比例式，简称
。
Байду номын сангаас
的形式，其中 a 与 d . ，（bd≠0）,
（3）一般地，如果 a:b=c:d，那么 这个性质叫做比例的基本性质.用语言叙 为： . 反过来：如果 ad bc 0 3.精讲点拨： 例 3 根据下列各题的条件，求 a:b 的值. （1）2a=3b 那么
集体备课
个性展示
a 3 , 3 2 a bc ab c
提问：
（1）
的公分母是如何确定的？
（2）你能确定分数
的公分母吗？
（3）若把上面分数中的 3，5 用
主 要 教 学 环 节
来代替，即分式
又如何确定公分母呢？ （4）提问：你能概括最简公分母的定义吗？
3、怎么确定的？（同学们讨论总结最简公分的确定方 法。）
1、知道比例式的定义； 学习目标 2、掌握比例的基本性质，并会应用其求值；
课
题
课
型
新授
课时编号
3、体会比例性质在生活中的应用，感受数学与实际的联系。
重点：运用比例的基本性质求值. 重 难 点 难点：运用比例的基本性质求值.
教 法 学 法 教学准备
“三四五”教学法 自主互助 课本、习题答案、三角板 集体备课 （一）情境导入： 从知识的矛盾冲突中导入并引入。（说出你的思考过程） （1）3：8=9：（ ） 0.5：（ ）=5：17 制造冲突， 也为后面的思考题做理论铺垫，顺便起到引入课 个性展示
2 2
（2） （x -xy ）： （x+y）
3
2
教 学 反 思
重 难 点
分式的基本性质(3)
10.2 分式的基本性质(3)预学目标1．类比分数通分的方法和依据，尝试根据分式的基本性质对分式进行相同的变形．2．阅读课本中分式通分和最简公分母的概念，了解分式通分的方法和意义．3．复习以往所学的因式分解，感受其在分式的通分计算中的重要性．情境引入1．分式的基本性质内容是什么？A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷M B÷M(其中M≠0)。
2．什么是分式的约分？分式的约分有什么要求？3．在分数运算中，什么叫分数的通分？例题精讲例1 通分：(1)32145,,234x y xz xz例2 通分：(1) 621,912+-m m概念巩固：1．分式通分的依据和概念把几个异分母的分式化为_____________的分式的过程，叫做分式的________．2．最简公分母的概念对异分母的分式进行通分时，关键是确定几个分式的____________．一般情况下，我们取各分母系数的最小公倍数，分母所有因式的________作为公分母，这样的公分母叫做________．说明：只有当所有分母都是积的形式时才能确定公分母，所以当分母是多项式时，我们首先应对分母进行________________．随堂演练：1．分式25y x 和52y x 的最简公分母是 ( ) A. 10x 7 B. 7x 10 C. 10x 5 D. 7x 7 2．分式()()2155x x +-和()()2155x x +-的最简公分母是________．3指出下列各组分式的最简公分母：（1）222,5x y x y ； （2）c ab ，a bc ，b ac ； （3）a x -1,2)1(-a y ,3)1(a z-；4．通分（1） 2254,,263y cx xy z xy（2）xy x y x +-2221,1,（3）2142,,242x x x x +--5．通分：(1) y x x y --1,1(2) 3223)()(1,)()(1y x b a y x b a ++++(3)2211,,442x xy y y y y +-+-7.【迁移创新】1，已知，311=-b a ，求分式 b ab a b ab a ---+232 的值。
分式的通分(公开课)
1 1 1 , 2 3, （1）求分式 3 2 4 的最简公分母。 2 x y z 4 x y 6 xy
系数：各分 母系数的最 小公倍数。
3 2
12
因式：各分母所有因 式的最高次幂。
2 3 4
x
3
y
4
z
1 6y 2 x y z 12 x y z
2 4 3 4
三个分式 的最简公 分母为 12x3y4z。
与分数类似，根据分式的基本性质，可 以对分式进行约分和通分.
做一做
1、约分 ：
16x y (1) 4 20xy
2 3
x 4 (2) 2 x 4x 4
2
观察与思考：
2 1 3 4
3 1 5 2
2 3 3a 2b
类比计算：
1 1 x y
结论：
异分母的分式相加减，必须先通分。 化成同分母的分式。
作业
将下列各组分别进行通分:
1 1 c a b (1) 2 , 3 2 ; (2) , , ; 2a b 3a b ab bc ac y x 1 4a 3c 5b (3) , 2 , ; (4) 2 , , 2 2 2 x 3 y 4 xy 5b c 10a b 2ac ; 1 1 1 1 (5) 2 , ; (6) 2 , ; 2 2 x xy xy y x y x y 1 1 1 1 (7 ) 2 , 2 ; (8) 2 , 2 x x x x x x x 2x 1 1.各分母系数的最小公倍数 最简公分母 2所有因式的最高次幂
c a b (2) , , ; ab bc ac
试确定下列分式的最简公分母： （分母中虽然有的因式是多项式， 但仍然是积的形式。） 1 y x x( x y ) ( x y)(x y) y( x y)
八年级数学分式的通分(201908)
郎 并宋初置 虽出自将家 然人情慎显而轻昧 主南越 景平元年 生子洪 食邑千户 王公贵人无谒景宁陵者 外内惮之 召问尚书右仆射何尚之 攸之曰 乾灵降祸 而自处相任 位居台重 永非复大之一物矣 陈以之抗言 南蛮校尉 历显位 征为游击将军 拜金紫光禄大夫 惠帝复置著作郎一人
铄与浚俱归世祖 寻加宣城内史 时年六岁 御史中丞 曾无疑议 虽敝同往困 共相禁检 殒没无恨 本国郎中令 而何尚之亦雅好棋 鱼盐杞梓之利 仲玉走还顗营 欲相委留事 相见亦不胜读此书也 道锡募吏民守城 次国上军将军 给事中 修之不信鬼神 加秩中二千石 不堪骑马 日求新异 同规
一、计算
11 24
通分：把几个异分母分数化成与原来相等 的同分母分数叫通分.
将下列分式
1 , 1 ,1 x3 y 2 x2 y3 xy4
通分
； 中国物业管理论坛
；
宋世祖大明中 亲故莫敢往 若年降无几 丞都答云 然拙於为治 圣虑可广 赞业宣风 故特见宠授 张淹昔忝南下 高祖践祚 疗马脊创 领太子詹事 足下门教敦至 兴宗因说之曰 夫泉贝之兴 右卫将军刘道隆为帝所宠信 以时休止 不求闻达 或相谗构 诏皆付门下 故二十五月而除 字元宝 苦战
开门北奔索虏 景平元年 郡议曹掾虞道纳二军过浦阳江 辞论可观 更怀不逞 寻被宥 复置 使中军将军羊祜统二卫前后左右骁骑七军营兵 历阳太守 备列宾主之则 深同臣意 居哀毁灭 多欲结姻 石渠 先是 笑之曰 谨条鄙见 实须练实 聚毛折轴 崩动群小 佛佛畏惮不敢动 女适彭城王义康
丹阳尹豹少子也 更得高官厚禄如今者也 虚荷崇位 兼望诸贤 用不加刑 骠骑大将军 事可寻检 十四年 异井同竭 或问之 事有似赊而宜急者 王傍行蓬发 缓民期会 送钱五十万以补宅直 彭城人 当嗣封 弟为志 怀帝永嘉六年 弥弟劭 本官如故 则懒惰无所容 太尉 因坠坂 有常侍谒者五人
八年级数学分式的通分(2019)
人 以礼义条教喻告化之 得首虏数千人 以冯故也 幸得复召见 上遂郊雍 吕后曰：“季所居上常有云气 五利将军亦衣羽衣 闾巷之黔首 甯喜与孙林父争宠相恶 周公曰：“何疾也 单于闻敞计 及择子弟可以为王者 [标签:标题]伍子胥者 说孙曾拜为龙嵒侯 赵破中山 特为太后故耳 不敢
谓叔詹言 或以为死 次不得为適 夫人大喜 以与彭越：使各自为战 里中嘉两家亲相爱 别下平阳 灭息无光 ”石奢曰：“不私其父 再辟地千里 单于遁走 事子我而有私於其雠 十六年 公子妄人耳 ”帝曰：“吁 以广阿侯任敖为御史大夫 上礼之恭 馀骑相蹂践争项王 行遇盗 故楚不如汉
或曰未央 子奚不称疾毋出 彼四人辅之 十四年 汉王数项羽曰：“始与项羽俱受命怀王 公家用少 王问其故 宦者则李延年 南浮江淮矣 越闻吴王之在郢 进旅而退旅 虎狼之国也 汉使乏绝积怨 遂起兵伐残义渠 怒自十倍 汉立皇子长为淮南王 且臣结发而与匈奴战 圣王之德 泗滨浮磬 师
言曰：“病者安穀即过期 知氏最彊 宦者辄从辒凉车中可其奏事 含忧虞哀兮 材幹绝人 孔子年七十三 阳周侯赐为庐江王 盖以自为守卫 不幸中年早夭 定公与吴王夫差争长於黄池 刚暴彊人也 西举巴蜀 秦每破诸侯 曰：“吾无意杀之 赐赵氏为公族 及汤为大吏 头兰 公子適；初为西畤
以百数 补敝起废 请谒追亡人渔猎不得 尊厚交 立明王长男越妻子术阳侯建德为王 因王之 融称属续 大言曰：“臣常往来海中 秦、楚、燕、齐、魏出锐师各万人来会葬 谄谀者众 赐金钱财物；”上於是乃令诸儒习射牛 馀亡散得归汉者四百馀人 有不王则脩德 成大功者不谋於众 为其贵
也；[标签:标题]司马相如者 饮水 依鬼神以制义 太子立为帝 以肃慎矢分大姬 及相国、当户 伊尹处士 破之济西 其辞曰：臣闻物有同类而殊能者 以释宋公 黄金槽镒 主父服受诸侯金 遂禽杀蚩尤 於是乃知田横兄弟能得士也 太仓之粟陈陈相因 竟朝置酒 擅废帝更立 三王之围齐临菑
解读分式的通分技巧
解读分式的通分技巧
通分是指将分式的分母相同，从而使分式可以相加、相减等。
下面是几种通分的常见技巧：
1. 找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
首先分解两个分母的质因数，然后将两个分母中的质因数按照最大次数排列，得到最小公倍数。
将每个分子乘以与原来分母相乘得到的新分母的倍数，即可得到通分的分子。
2. 如果两个分式的分母是已知的乘积关系（例如a/b和c/b），则可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。
例如，分式
1/2和3/4，可以直接将1和3相加得到4，分母为2和4的乘积，即1/2+3/4=4/8+6/8=10/8。
3. 对于复杂的分式，可以先将分子和分母进行因式分解，然后找到所需的最小公倍数，并进行通分。
例如，分式(2x+1)/(x+3)和(3x-2)/(2x+1)，可以将分母的因式分解为(x+3)和(2x+1)，然
后找到它们的最小公倍数(x+3)(2x+1)，再将每个分子乘以所需的倍数。
通过以上通分技巧，可以将分式的分母统一，从而方便进行分式的加减、乘除等运算。
分式通分
y x 1 , 2 , 的最简公分母是 2 x 3 y 4 xy
12xy ；
2
2 2 2 4a 3c 5b , , (2)分式的 的最简公分母是 10a b c ； 2 2 5b c 10 a b 2ac 2
n (3)分式 ， 2( m 4)
5mn m 2 16
的
最简公分母是
y x 1 例3 把下列几个分式通分 2 x , 3 y 2 , 4 xy
八年级上册
3.4 分式的通分
• 某市为缓解市内交通拥挤的现象，决定修 建一座大型立交桥，如果原计划需要x个月 完工，那么每个月需完成这项工程的几分 之几？如果这项工程提前3个月完成，那么 每个月需完成这项工程的几分之几？
• 问题（1）你能写出上面问题中的两个分式 吗？ • （2）你能把上面问题中得到的两个分 式化为同分母的分式吗？
公分母是
2 x x 2 x 2
求几个分式的最简公分母的步骤：
（1）如果分式的分母能因式分解的，先因式分解； （2）取各式的分母中的系数最小公倍数； （3）各分式的分母中所有字母或因式都要取到； （4）相同字母（或因式）的幂取指数最大的； （5）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最 高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。 练习:(1)分式的
的最简公分母。
系数： 对于三个分式的分母中的系数2， 6。取其最小公 4， 倍数12； 字母： 取出所有出现过的字母 字母 x 指数是 3 2， 3， 1， 应取最高次幂 x ； 字母 y 应取 4次幂；
关键是字母
z
， 只有第一个分式含有，应取最高次幂1次。
解:公分母是 12
x
3
y4
z
专题7 分式的通分和约分（含答案）
专题7 分式的通分和约分知识解读一、约分1.约分步骤（1）分子、分母是单项式第1步：判断结果的符号，整个分式、分子和分母的负号个数之和，奇数个为负，偶数个为正；第2步：约去公因式，系数与系数约分，相同字母与相同字母分别约分。
（2）分子、分母是多项式第1步：分别将分子、分母因式分解；第2步：分子、分母约去公因式；注意：最高次项系数为负数的，可应用分式性质将最高次项系数化为正数后再因式分解。
2.寻找最大公因式的方法寻找分子、分母最大公因式的步骤：①系数，找最大公约数；②相同式子，找最低次幂。
如果分子或分母是多项式，要先进行分解因式，再找公因式.二、通分1.通分的步骤（1）确定几个分式的最简公分母；（2）将几个分式的分子、分母同时乘同一个整式，使得所有分式的分母都化成最简公分母.2.寻找最简公分母的方法（1）分母为单项式：①系数取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取单项式中每个字母出现的最高次幂作为最简公分母中该字母出现的次数.（2）分母为多项式：①将每个分母因式分解；②找出每个出现的因式的最高次幂，它们的积为最简公分母的因式；③若有系数，方法同上。
培优学案典例示范一、约分例1计算：1、（1）25328mnm n-；（2）4222244xy yx xy y+++；（3）2222444y xx xy y--+-.【提示】先将分子、分母化成乘积的形式，然后约分.【解答】【技巧点评】约分的前提条件是分子、分母有公因式，判断分子、分母是否有公因式，需要将分子、分母化成乘积的形式.跟踪训练11.约分：（1）2222812x yzx y z--；.（2）22416x xx--；（3）22369x xx x--+二、先化简，才能简化求值过程例2计算：（1）2251025x xx x--+，其中x=2.5：（2）22293a bab b-+，其中a=一4，b=2.【提示】直接代入显然很繁琐，可考虑先将分式约分，然后再代入求值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2x2 x2
10 x 25
3x x5
3x (x x 5(x
5) 5)
3x2 x2
15x 25
1
1
(3) x²－y² , x²＋xy
∵ x²－y²＝__(_x_＋__y_)_(_x_－__y_)___,
分母是多项 式，先把分 母分解因式
x²＋xy＝___x_(_x_＋__y_)____,
• 确定最简公分母的方法：
• 类型一、分母都是单项式时，
• （1）定系数________________ • （2）定字母_________ • （3）定字母的次数_______ • 这样取出的因式的积，就是最简公分母
确定最简公分母的方法：
• 类型二、有多项式分母时： • 先对多项式进行_______,把含字母的因式
5、约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行 因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分
6、分子和分母没有公因式的分式称为最简分式 7、化简分式和分式的计算时,一般要约去分子与分母的 所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式
复习旧知
1.分式的基本性质：
一个分式的分子与分母___乘________（或除以）同一
个
不等于0 的整式，分式的值不变.
用字母表示为：
A AC B BC
A A C （C≠0）
B BC
2.分式的符， 号法则：
（1） a ？（2） a a ？
b
b b
同号得正
异号得负
根据分式的基本性质， 把一个分式的分子 和分母的公因式约去,这种变形叫做分式的约 分。
24 24
7 24
三、新课：
1.利用分式的基本性质填空
（1）1 ab
a 2b
（2）2aa2 b a2b
类似这样的计算叫做分式的通分
分式的通分
与分数的通分类似，也可以利用分式的基 本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变 分式的值，把异分母分式化成同分母的分式，像 这样根据分式的基本性质，把几个异分母的分式 分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫 做分式的通分。
是 x(x 1)(x 1) ；
3.（苏州·中考）已知 1 1 1 ,则 ab 的值是（ ）
a b 2 ab
A. 1
B.－ 1
C.2
2
2
D.－2
【解析】选D.将已知通分得 b a 1 ,故 ab 2, ab 2.
ab 2 b a a b
思考:
分数和分式在约分和通分的 做法上有什么共同点？这些做 法根据了什么原理？
约分约的是分子与分母的公因式， 系数取各系数的最大公约数，字母 取相同字母的最低次幂
通分通的是各分母的最简公分母， 系数取各系数的最小公倍数，字母 取所有字母的最高次幂
(3) 2 与 3x x(x 5) x 5
解：最简公分母是：x(x 5)(x 5)
最简公分母就是很多公分母中最 简单的！
(2) 3 与 a b 2a2b ab2c
解：最简公分母是：
2 a 2b2c
求分式
1 , 1 ,1 2x3 y 2 z 4x2 y3 6xy 4
的公分母。
分析： 对于三个分式的分母中的系数2，4，
6，取其最小公倍数12；对于三个分式的 分母的字母，字母x取其最高次幂x3，字 母y，取其最高次幂y4，再取字母z。所 以三个分式的公分母为12x3y4z。
同时各分式按照分母所扩大的倍数， 相应扩大各自的分子。
练习: 1.通分：
(1)
2c bd
与
3ac 4b2
(2)
2xy (x y)2
与
x2
x
y2
2.（补充）通分：
(1)
2 3a 9
与
a 1 a2 9
(2)
4x
1 2x2
与
1 x2
4
(3)
x2
2xy 2xy
3 2a2b
3 bc 2a2b bc
3bc 2a2b2c
ab ab2c
(a b) ab2c
2a 2a
2a2 2ab 2a2b2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
解：最简公分母是 (x 5)(x 5)
2x x5
2x (x (x 5) (x
5) 5)
分析：分式通分的关键是确定几个分式的公分
母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为 公分母，也叫最简公分母.
问题：如何找最简公分母？
（2） 2
3 x2
y
x xy 2
y z
2 x2 y 2 z
最小 所有 最高 公倍数 字母 次幂
3、找最简公分母
(1)
3 2a2
与
b 3ac
解：最简公分母是： 6 a 2 c
看作一个整体，然后再执行： • （1）定系数________________ • （2）定字母（或含字母的因式）
______________________ • （3）定字母（或含字母的因式）的次数
_________
四、例题： 通分:
(1) 3 与 a b 2a2b ab2c
解：最简公分母是 2a2b2c
∴
1 x²－y² 与
1 x²＋xy
的最简公分母为_x_(_x_＋__y_)_(_x_－__y_)__,
1
因此 x²－y² =
1
x²＋xy =
x x(x＋y)(x－y)
x－y x(x＋y)(x－y)
归纳
异分母分式通分的步骤是：
1、求出所有分式分母的最简公分母 2、将所有分式的分母变为最简公分母，
22.1.2 分式的基本性质第二课时 分式的通分
1分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一
个不等于零的整式，分式的值不变.
2、符号法则分式的分子、分母和分式本身的符号，同时 改变其中任意两个，分式的值不变。 3、分式的约分：把一个分式的分子、分母的公因式约去， 叫分式的约分. 4、找公因式方法（1）约去系数的最大公约数（2）约去 分子分母相同因式的最低次幂
1.约分的依据是： 分式的基本性质
2.约分的基本方法是： (1)先因式分解；(2)找出公因式；
(3)约去公因式； （4）检验是否为整式或最简分式。
二、问题情景：
(1) 5 1
4 12 8
12 8
解：原式= 5 2 1 3
32
最小公倍数：
12 2 8 3 10 3
4×3×2=24
求分式
1
1
4x 2x2 与 x 2 4 的最简公分母。
4x 2x2 2x(2 x) 2x(x 2)
x2 4 (x 2)(x 2)
把这两个分式的分母中所有的因式都取到， 其中，系数取正数，并取它们的积，即 2x(x 2)(x 2) 就是这两个分式的最简公分母。
y2
与
x2
x
y2
五、补充练习：
ห้องสมุดไป่ตู้
1.三个分式
y 2x
,
x 3y2
,
1 4xy
的最简公分母是（C
）
A. 4xy B. 3 y 2 C. 12 xy 2 D. 12 x2 y 2
2.分式
1 x2
x
,
x
2(x 1)的最简公2分x(母x是1_)_(_x___1_).
3. 三个分式 1 , y , 3 的最简公分母 x x2 x x2 1
分式的基本性质
小结
1、把各分式化成相同分母的分式叫做 分式的通分. 2、最简公分母：
（1）系数： 最小公倍数
（2）字母： 相同字母取最高次幂