高数复习(中山大学)1

AC B 2 3 0 f (0,0) 1
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在点(2,0)，有
26 A 0 25
取得极大值，极大值为
13 AC B 0 125 7 f ( 2,0) ln 5 15
2
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微 积 分 教 案
2、求二元函数的极值 x3 y2 f ( x , y ) ln(1 x 2 y 2 ) 1 15 4
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练习
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7、计算二重积分，
2
x y 2 a 2

x 2 y 2 dxdy
提示：利用极坐标求积分公式
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令
x r cos y r sin
则有
dxdy rdrd
代入，即可求解(注意：换元换限)
1 3、将f ( x ) 在x 1处展开成泰勒级数 ( x 5)( x 3)
1 4、将f ( x ) 3 在x 0处展开成泰勒级数 1 x
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1、求下列级数的收敛半径，收敛域及和函数
微 积 分 教 案
提示：

( 1)n x n n 5 n 0

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15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2 ( x y ) 15 13 x 31 y 8 xy 2 x 2 10 y 2
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令
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z x 0 z 0 y
z z 3 x 2 y4 4 y2 x x
dz (3 x 2 y 2 4) y 2dx 4 xy( x 2 y 2 2)dy
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2、求二元函数的极值 x3 y2 f ( x , y ) ln(1 x 2 y 2 ) 1 15 4
得到
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x 0.45
y 1.35
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点 (0.45, 1.35) 是函数 z f (x, y) 在条件 x y 1.8 下的唯一极值点；
而实际问题确实存在最大净销售收入，所以点 (0.45, 1.35) 就是函数 z f (x, y) 在条件 x y 1.8 下的最大值点。 这样最优广告策略为报纸广告支出为45万元、电 视广告支出为135万元。
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n

解
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sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数绝对收敛.

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注意收敛区间 常用的麦克劳林展开式 ( 见 P321 )
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1 2 1 n e 1 x x x x ( ,) 2! n!
n 1


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若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1


例2
sin n 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
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例2
sin n 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
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1) 2) 3)
z 5 x zxy cos x e x y 4 xy 8 x 5z
z 2 4 2
sin z cos x cos y zxy
(略)
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微 积 分 教 案
5 将正数 12 分成三个正数 x, y, z 之和 使得 u x 3 y 2 z 为最大.
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第七章
微 积 分 教 案
1、 级数条件收敛、绝对收敛的概念 2、 会求幂级数的收敛半径、收敛区间、和函数
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3、 会将函数展开成为幂级数
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微 积 分 教 案
定义: 若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1

x
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1 3 1 5 x 2 n 1 sin x x x x ( 1)n 3! 5! ( 2n 1)!
x ( , )
1 2 1 4 x 2n n cos x 1 x x ( 1) 2! 4! ( 2n)!
x (1,1) x (1,1)
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练习 1、求下列级数的收敛半径，收敛域及和函数
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x 5 n 0

n
( 1) n 1

n 1
xn n
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x 1 2、将f ( x ) 在x 1处展开成泰勒级数 4 x
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1、求下列函数的偏导数及全微分 1) z cos x sin y
z z zy cos y z sin x x y x dz sin xdx cos ydy
2)
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z x 3 y 4 4xy2
z zy 4 x 3 y 3 8 xy y
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2、求二元函数的极值 x3 y2 f ( x , y ) ln(1 x 2 y 2 ) 1 15 4
解
4 x2 2x A f xx 2 2 2 2 2 5 1 x y (1 x y ) 2
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微 积 分 教 案
6 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆 品的广告。根据统计资料：销售收入R (百万元)与报 纸广告支出 x (百万元)、电视广告支出 y (百万元)之 间的函数关系约为 R 15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2 (2) 如果广告总支出限制在180(万元)，现在要求 z f (x, y) 在条件 x y 1.8下的极大值 设 L( x , y , ) 15 13 x 31 y 8 xy 2 x 2 10 y 2 ( x y 1.8) L 0 13 8 y 4 x 0 x 解方程组 Ly 0 即 31 8 x 20 y 0 x y 1.8 x y 1.8
n 1

两边积分得

x
0
s( t )dt ln(1 x )
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1(2) 求级数 ( 1) n1
n 1

xn 的和函数. n
微 积 分 教 案
即 s( x ) s(0) ln(1 x )
s( x ) ln(1 x ),
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 2x x 1 x 2 y 2 5 0 2y y 0 2 2 1 x y 2
(2 驻点为 (0,0)， ,0) ,
(0, 3 )， , 3 ) (0
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将上方程组再分别对 x, y 求偏导数,
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
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则
3 x2 y2z 0 Fx F y 2 x 3 yz 0 Fz x 3 y 2 0 x y z 12

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( 1)
2! n!
x2 xn
( 1)( n 1)
x (1,1)
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常用的麦克劳林展开式 ( 见 P321 )
微 积 分 教 案
1 1 x x2 xn 1 x 1 1 x x 2 ( 1)n x n 1 x
3 2
解得唯一驻点(6,4,2) ，
故最大值为 umax 6 4 2 6912 .
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6 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆 品的广告。根据统计资料：销售收入R (百万元)与报 纸广告支出 x (百万元)、电视广告支出 y (百万元)之 间的函数关系约为 R 15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2 (1)如果不限制广告支出，求最优广告策略； (2)如果广告总支出限制在180（万元），求相应的最 优广告策略。
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6 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆 品的广告。根据统计资料：销售收入R (百万元)与报 纸广告支出 x (百万元)、电视广告支出 y (百万元)之 间的函数关系约为 R 15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2 (1)如果不限制广告支出，求最优广告策略； (2)如果广告总支出限制在180（万元），求相应的最 优广告策略。 解 (1)该公司的净销售收入为 z f ( x, y) R ( x y)
4 xy B f xy 2 2 2 (1 x y )
4 y2 1 C f yy 2 2 2 2 2 1 x y (1 x y ) 2 2
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2、求二元函数的极值 x3 y2 f ( x , y ) ln(1 x 2 y 2 ) 1 15 4 在点(0,0)，有 A 2 0 取得极小值，极小值为
1 在点 (0, 3 ) ,有 A 0 2
3 AC B 0 8
2
不取得极小值。
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3、计算二重积分，
微 积 分 教 案
( x y )dxdy
D
其中D是由x=0,y=0,及直线3x+2y=6所围成的闭区域。
(略) 4、求下列隐函数所确定的函数z=z(x,y)的偏导数
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用比值判别法计算收敛半径 用等比级数公式计算和函数
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1(2) 求级数 ( 1) n1
n 1
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xn 的和函数. n
n
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x 显然 s(0) 0, , 解 s( x ) ( 1) n n 1 1 2 s ( x ) 1 x x , ( 1 x 1) 1 x
x ( , )
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常用的麦克劳林展开式 ( 见 P321 )
微 积 分 教 案
1 2 1 3 x n 1 ln(1 x ) x x x ( 1)n 2 3 n1
x (1,1]
(1 x ) 1 x
即
13 8 y 4 x 0 31 8 x 20 y 0
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y 1.25 得驻点坐标 x 0.75 B z 8 C zyy 20 在驻点处 A z 4 xy xx AC B 2 16 0 所以 根据上述计算和极值的充分条件，函数 z f (x, y) 在驻点处取得极大值。 因为极大值点唯一，而且实际问题又存在最大的净 销售收入，所以该极大值也是最大值。 这样最优广告策略为报纸广告支出为75万元、电视 广告支为125万元。