第十三讲隐函数和参数方程的导数习题
12,13隐函数和由参数方程所确定的函数的导数.
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2
2-3隐函数和参数方程的导数
《微积分 A》习题解答
(2) ⎨
⎧ x = θ (1 − sin θ ) ⎩ y = θ cos θ
解：
′ = 1 − sin θ − θ cos θ xθ ， ′ = cos θ − θ sin θ yθ
故
′ dy yθ cos θ − θ sin θ = = ′ 1 − sin θ − θ cos θ dx xθ
解： ln y = 4 ln( 3 − x ) +
1 ln( x + 2) − 5 ln( x + 1) ，两端同时对 x 求导： 2
y′ 4 1 5 (3 − x )4 x + 2 ⎛ 4 1 5 ⎞ ′ ⎜ ⎟ ，所以 y = = + − + − 5 ⎜ ⎟ y x − 3 2( x + 2) x + 1 ( x + 1) ⎝ x − 3 2( x + 2) x + 1 ⎠
由题意知
dr = 6m / s ， r ( 2) = 12 ， dt dr ds ds = 2π r ⋅ ，故 dt dt dt
s = π r2
两端对 t 求导得
= 2π r ⋅
t =2
dr = 144π ( m 2 / s ) dt
13. 一架巡逻直升机在距地面 3km 的高度以 120km / h 的常速沿着一水平笔直的高速路飞 行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为 5km ，且此 距离以 160km / h 的速率减少。试求汽车行驶的速度. 解：由图示建立坐标系，设时刻 t 直升机位于点 ( x1 ( t ), 3) 处，汽车位于点 ( x 2 ( t ), 0) 处， 直升机与汽车间的距离为 l ( t ) ，则有 l = ( x 2 − x 1 ) + 3 ，且已知
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
rh
x
体积为 V
V,
13
则
R2h
R
1 3r2(hx)3hR22[h3(hx)3]
dV dt
故
dx dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d d
25h2
R2 (h x)2
x t ,
, 而 dV 25 (cm3
dt
当x h 时, dx 2 dt
r hx
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
2020/2/14
1
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
dt
9 25
25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s
时，桶中水面上升的速度为 16 cm /s． 25
2020/2/14
19
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例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140m min, 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d ( d y ) d (dy) d x d x dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)
隐函数与参数式函数求导2-3
设
y
=
y(x)
由
x = arctan t, 2y − ty2 + et
=
5,
确定,
求
dy . dx
6 / 10
相关变化率
假设我们需要测量从地面垂直发射的火箭上升的速率. (1) 借助某些精巧且费钱的预防措施, 我们可能会在火箭正下方的地 面放置某类仪器, 并从中读出速率的读数. (2) 站在离发射点距离为 R 的地方, 并测量火箭的仰角 θ 的变化率 可能会更安全, 而且省很多钱.
第 3 节 隐函数与参数式函数求导
2014.11.3
1 / 10
隐函数与参数式函数求导 隐函数求导 参数式函数求导 相关变化率 作业 2-3 备用
2 / 10
曲线
y
=
f(x)
在
x
=
x0
处的切线斜率为
dy dx
.
x=x0
x = u(t),
设曲线方程为 F(x, y) = 0 或者 y = v(t), α t β.
即
dA dt
=C
(常数).
设行星的周
期为 T, 利用椭圆的面积公式 S = πab, 求常
数 C.
10 / 10
注意到火箭的高度 h, 仰角 θ 满足
两边求导得
h = R · tan θ.
dh
=
R
·
sec2 θ
·
dθ .
dt
dt
7 / 10
类似的问题:
dy dx
(能直接测量) ⇒
dz dx
(不能直接测量).
方法: 写出联系相关变量的方程 F(x, y, z) = 0 并对之求导.
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
y2
x a x ,
[( x )ln x 1ln x x
x
x 1
] x
xx
x
ax
x a ). ( a x ln a ln x x
( x 1) 3 x 1 , 求 y . 6. 设 y ( x 4)2e x
( x 1) 3 x 1
( x 4)2 e x
, 求 y .
x 3 t t 3, dx 求 . 7. 设 dy 2 y 3 t , x t 2 2 t (0 1) 8. 设由方程 2 t y sin y 1 dy y y ( x ), . 确定函数 求 dx
v u y u ( v ln u ) u
v
按指数函数求导公式
（二）由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系: y (t )
y y( x), 则称此函数为由参数方 程所确定的函数 .
2 x x 故 y 1 x. y t 2 ( )2 4 2 2 问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何 求函数的导数?
四、同步练习解答
1.
x 2 x y (sin x )tan x ln x 3 , 求 y . 2 (2 x) x y1 y2 分别用对数求导法求 y1 , y2 . y y1 y2 (sin x)tan x (sec2 x lnsin x 1)
ln x 3
x x ln x 1
故
[( x )ln x 1ln x x y1
x
x 1
] x
xx
x a 1 x x y a ln a ln x , ln y2 a ln x , 2 x y2 x x a a x ( a x ln a ln x ) 所以 y 2 x y y1 y2
隐函数参数方程求导
20m,在此人的正下方有一条小船以 4 m s 的速度在
与桥垂直的方向航行, 求经5s后,人与小3 船相分离的
速度. 解：设经t秒钟后人行走距离为x m,
桥面
x
船航行距离y m,船与人的距离为z m, z
(1) z2(t ) x2(t ) y2(t ) 202
20m
水面
(2) 对t求导 2z dz 2x dx 2 y dy
dt
d 1 1 140
(rad/ min)
d t 2 500
导数与微分
24
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
提示: tan 500
x
对 t 求导
sec2
d
dt
500 x2
x (t) 利用新的参数方程 dy (t) ,可得
dx (t)
d2 y d x2
d dx
(dy) dx
d dt
(dy) dx
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2(t)
(t )
(t
)
(t) ( 3(t)
t
)
(t
)
yx xy x 3
导数与微分
13
例6.
求摆线
x y
a(t a(1
x
4
2 a, 2
y
4
2a 2
导数与微分
22
四、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对t 求导
10. (2-5)隐函数及参数方程所表示函数的求导习题解答
习题 2.51求下列隐函数的导数dy dx (1) y +xe y =1； (2) xy 2+e y =cos (x +y 2)；(3) x cos y =sin (x +y )； (4) arc sin x ∙ln y +tany =e 2x ；解：（1）在等式两边对x 求导，得到''''(1)0y y y y y x e xe y y xe e ++=++=，解得'y =y yxee +-1。
（2）在等式两边对x 求导，得到()()222sin 12y y xyy e y x yyy '''++=-+⋅+ ()()222sin 22sin y y x y y xy e y x y ++'=-+++（3）在等式两边对x 求导，得到()()cos sin cos 1y x y y x y y ''-⋅=+⋅+()()cos cos sin cos y x y y x y x y -+'=++ （4）在等式两边对x 求导，得到22ln arcsin sec 2x y y x y y e y''+⋅+⋅=2sec y y y '=+2ln x y e y-=2．求曲线xy +ln y =1在M(1，1)点的切线和法线方程.解 对方程两边求导，得到''0y y xy y++=，解得2'1y y xy =-+，将(1,1)代入得到1'(1)2y =-。
于是切线方程为11(1)2y x -=--，即 230x y +-=，法线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=。
3． 对下列参数形式的函数求dy dx ： (1) {x =shat y =chbt (2) {x =t+1t y =t−1t (3) {x =√1+t y =√1−t(4) {x =e −2t cos 2t y =e −2t sin 2t (5) {x =ln (1+t 2)y =t −arc tan t解：（1） （2）1212'(1)'1'(1)'dy y t t dx x t t ----+-====--。
2.4隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数 答案详解
2x x2
2)
六、设 xy yx x2 ，求 dy ． dx
解： eyln x exln y x2 eyln x ( y ln x y ) exln y (ln y x y) 2x
x
y
dy
y
exln y
ln
y 2x e yln x
解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
3
dt
(1 t 2 )2
故切线方程为 y 12 a 4 (x 6 a) ，法线方程为 y 12 a 3 (x 6 a)
5
35
545
九、设
x
y
ln(1 t) arctan t
，求
d2 y dx2
t0
．
1
解： dy dx
1 t2 1
1 t 1 t2
二、设函数 y y(x) 由方程 exy sin(x2 y) y 所确定，试求 y(0) ．
解：方程两边同时对 x 求导有， exy ( y xy) cos(x2 y) (2xy x2 y) y
当 x 0 时， y 1，代入上式得 y(0) 1
注：由于是求隐函数在某点的导数，可不必写出导函数的表达式，直接代入即可
f (t) tf (t) f (t)
《高职应用数学》教案 第13课 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
第13课隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数的导数为000e 010e x y =-'==+． 由以上两例可以得出求隐函数的导数y '的方法：求由方程()0F x y =，所确定的隐函数y 的导数y '时，将方程()0F x y =，的两边同时对自变量x 求导，注意到y是x 的函数，y 的函数则是x 的复合函数，利用导数的基本公式，函数和、差、积、商的求导法则，以及复合函数的求导法则，解出y '，就得到隐函数的导数．（例3～例5详见教材）【教师】讲解由参数方程确定的函数的求导方法，并通过例题介绍其应用我们知道，参数方程()()，x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩确定了y 是x 的函数，如何计算这个函数的导数d d y x呢？ 在式()()，x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩中，如果函数()x t ϕ=具有单调连续反函数1()t x ϕ-=，且此反函数与函数()y t ψ=构成复合函数，那么由参数方程()()，x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩所确定的函数可以看成由函数()y t ψ=，1()t x ϕ-=复合成的函数1[()]y x ψϕ-=．因此，根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，有d d d d ()d d d d d ()d yy y t t t x x t x t tψϕ'=⋅=='．求由参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩，所确定的函数y 的导数d d y x． 解 因为()cos ()sin y t b t x t a t ''==-，，所以d ()cos cot d ()sin y y t b t b t x x t a t a'===-'-． 求摆线(sin )(1cos )，x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在π2t =时相应点处的切线方程．解 当π2t =时，摆线上相应点的坐标为π12P a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．因为()sin y t a t '=，()(1cos )x t a t '=-，即 d ()sin sin d ()(1cos )1cos y y t a t t x x t a t t'==='--， 所以，摆线在点P 处的导数为2sin d 21d 1cos 2t y x π=π==π-． 因此，摆线在点P 处的切线方程为π12y a x a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 即π22y x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．【学生】理解隐函数的导数、掌握其求导方法；理解由参数方程确定的函数的求导方法第二节课讲授新课 （16 min ） 【教师】讲解对数求导法，并通过例题介绍其应用有时我们会遇到这样一种情形：虽然给定的函数是显函数，但是直接求它的导数很困难或很麻烦，如幂指函数、多个函数相乘的函数等。
(完整版)隐函数求导专题训练
(完整版)隐函数求导专题训练
介绍
本文档将提供一系列隐函数求导的专题训练题目，旨在帮助学生巩固和提高隐函数求导的能力。
隐函数求导是微积分中的重要概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
题目一
已知函数关系方程为 $x^2 + y^2 = 9$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数$\frac{dy}{dx}$。
题目二
已知函数关系方程为 $x^3 + y^3 = 8xy$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
题目三
已知函数关系方程为 $x^2 - 2xy + y^2 = 4$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
题目四
已知函数关系方程为 $e^{2x} + e^y = 2$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
题目五
已知函数关系方程为 $\ln(x^2 + y^2) = x + y$，求 $y$ 关于
$x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
结论
通过完成以上专题训练题目，相信您已对隐函数求导有了更深入的理解。
隐函数求导是微积分中的重要概念，掌握此内容对于深入学习微积分和解决实际问题都至关重要。
为了进一步提升对隐函数求导的掌握能力，建议学生多做类似的训练题目，并结合实际问题进行练习和应用。
2-5隐函数、参数方程导数
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
即
2
于是, 在点 M (1,1) 处的切线方程为
y 1 1 ( x 1) 2
x 2 y 3 0.
例3 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
x ln cos y y ln sin x
等式两边对 x 求导, 得
sin y cos x . ln cos y x y' y' ln sin x y cos y sin x
解得
ln cos y y cot x y' . x tan y ln sin x
三、由参数方程所确定的函数的导数
2 2 x y e y sin t cos t ,2 3 ； 5、 4、 x y . xe cos t sin t e 2 y (3 y ) 二、1、 ； 3 (2 y ) 2 csc 2 ( x y )c tan 3 ( x y ) ； 2、y(ln y 1) 2 x (ln x 1) 2 3、 . 3 xy(ln y 1)
当 t 时, x a( 1), y a . 2 2
第章隐函数与参数式函数求导与补充练习
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x(t) y(t)
，比如
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
3 cosθ 3sinθ
，
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
r(θ r(θ
) cosθ ) sin θ
，
4． 图（曲线）
700
600
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
5． 表格
n 生物数量
pn
0
16
1
27
2
30
3
56
4
77
5
120
6
177
7
262
1.1.4.1 1 题.............................................................................................................3 1.1.4.2 4 题（1）...................................................................................................4 1.1.4.3 7 题（2）...................................................................................................5 1.1.4.4 11 题...........................................................................................................5 1.1.4.5 12 题...........................................................................................................6 1.1.5 课堂练习...........................................................................................................6 1.1.5.1 切线方程与法线方程...............................................................................6 1.1.5.2 对数求导法...............................................................................................7 1.1.5.3 相对变化率...............................................................................................8
3.2隐函数与参数方程的导数
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铃
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 例 2 求摆线 2 y = a ( 1 − cos t ) 和法线方程 解 由参数方程的求导方法 , 得
dy [a (1 − cos t )]′ t sin t = ′ = 1 − cos t = cot 2 dx [a ( t − sin t )]
当t=
π
π 处切线斜率为 k = dy = cot t =1 a ( − 1), a 2 t =π dx t =π 2 2 2 aπ π 切线方程为 y − a = x − a − 1 即 y − x + − 2a = 0 2 2 π 即 y + x − aπ = 0 法线方程为 y − a = − x + a − 1 2 2
x
铃
x y ′ = (arctan x ) ln arctan x + (1 ห้องสมุดไป่ตู้ x 2 ) arctan
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dy 例3 设 x = y 求 dx
y x
解
两边取对数得 两边对 x 求导得
y ln x = x ln y
1 1 y′ ln x + y ⋅ = ln y + x ⋅ ⋅ y′ x y
1+ 21x6 . 由此得 y′ = 4 5y + 2 因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以 x=0 , y=0,
y′ x = 0, y = 0 1 + 21 x 6 = 5 y4 + 2
x =0 y =0
1 = 2
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3(3)隐函数与参数方程的导数
求下列函数的导数.
x (1) y 2 1 x
(3) y sin x
tan x
sin x
(2) 设x y , 求y.
y x
cos x
2
cot x
x 1 (4) y 3 x 1 x 2
15
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
所确定的函数的导数. 例8 求旋轮线(摆线,速降线)
x a t sin t y a 1 cos t
0 t 2
y( x).
18
上斜率为1的切线方程. 并求
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
x (t ) 进一步,假设在参数方程 y (t ) 中, (t ), (t ) 二阶可导,则
2 x 4 y y 0, y ( 2,
2)
再对x 2 2 2 y两边关于 求导得: x
1 . 2
2 x 2 2 y, y ( 2,
2)
2. 即证.
8
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单. 适 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数. 用 ( 2)幂指函数u( x )v ( x ) . 于 ( x 1) 3 x 1 sin x 如y ,y x . 2 x ( x 4) e
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
13 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数与高阶导数
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
22
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铃
练习：
求下列函数y的二阶导数：
(1) y x cos x；
(2) y2 2xy 1；
(3) x2 y2 xy 1；
ey ex
或
( (
x y
1) 1)
y x
.
5
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铃
二、由参数方程所确定的函数的导数
若
参
数
方
程
x y
(t) (t)
确
定
y与x间 的
函
数
关
系,
称 此 为 由 参 数 方 程 所 确定 的 函 数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y
y
v( x) ln u( x)
v( x)u( x)
u( x)
u(
x)v(
x)
v(
x)
ln
u(
x)
v(
x)u( u( x)
x)
3
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结束
铃
练习. 求下列函数的导数：
(1) y cos( x2 3x) (3) x y sin(xy) (5) y sin(2x2 3) (7) xy sin(x y)
dt
dy