最新定积分的计算与应用 (1)

定积分的计算与应用

(1)

哈尔滨师范大学

学年论文

题目定积分的计算与应用

学生刘影

指导教师皮晓明

年级 2010级6班

专业数学与应用数学

系别数学系

学院数学科学学院

哈尔滨师范大学

2012年12月

电话：180045056

定积分的计算与应用

刘影

摘 要：定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公

式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分的一些基本应用。

关键词：牛顿莱布尼兹公式 积分 定积分

恩格斯增经指出微积分是变量数学的重要组成部分,微积分是数学一个分支,学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具，定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。如复杂图形的研究，化学反应过程的分析，求数列极限等等。

一、定积分的计算方法

1、按照定义计算定积分

定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求面积和的极限： ∑⎰=→∆=n

k k k T l b

a

x f dx x f 1

0)()()(lim ξ

例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。 解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰1

02dx x .显然，这个定积

分是存在的。

取分割T 为n 等份，并取k ξn

k 1

-=

，n k ,,2,1 =，则所求面积为： 1

2

20

11

lim (

)n

n k S x dx S n n

→∞

-==⋅∑⎰

231

1lim (1)n

n k k n →∞==-∑

3(1)(21)1

lim

63

n n n n n →∞--==

2、用牛顿--莱布尼兹公式计算定积分

若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，即)()(x f x F ='，x ∈[a,b],则)(x f 在],[b a 上可积，且 ⎰-=b

a a F

b F dx x f )()()( ， 这称为牛顿—莱

布尼兹公式，它也常写成

⎰

=b

a

b

a x F dx x f )()(

有了牛顿—莱布尼兹公式后，计算定积分关键就是找)(x f 的一个原函数

)(x F 。这就转化为不定积分的问题了。

例2 求⎰

+1

02

1x dx

解 已知C x x

dx

+=+⎰arctan 12

∴40arctan 1arctan arctan 110102π=-==+⎰x x dx

3、利用分部积分法计算定积分

设函数)(x u 、()v x 在区间[a ，b ]上连续可微，则有定积分分部积分公式：

()()()()

()()()()

()()()()b

a

b a

b

b

a a b

b

a a

u x v x dx

u x dv x u x v x v x du x u x v x u x v x dx

'==-'=-⎰

⎰⎰⎰

例3 求⎰2

1

arcsin xdx

解

12

112

2

00

arcsin arcsin 12

112

xdx

x x ππ=-==

⎰

⎰

4、利用换元积分法计算定积分

若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x ϕ在],[βα上连续可微，且满足

a =)(αϕ，

b =)(βϕ，b t a ≤≤)(ϕ，],[βα∈t

则有定积分的换元积分公式

⎰⎰⎰=

'=

β

ε

β

α

ϕϕϕϕ)())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f b

a 。

应用定积分的换元积分公式计算定积分时，要注意积分上、下限的变化。 例4 计算⎰1

0dx e x

解 先用变量代换方法：令t x =，则2t x =，tdt dx 2=，于是

⎰⎰

=1

10

2dt te dx e t x

。

再用分部积分法计算上式右端的积分。

设t u =，dt e dv t =，则dt du =，t e v =。于是

⎰⎰

-=1

1010

][dt e te dt te t

t t 1)1(=--=e e

从而原式＝210

=⎰dx e x 。

二、定积分的简单应用

1、求平面曲线的弧长

1.1、在平面直角坐标系下，求曲线()

y f x

=上[],

x a b

∈一段的弧长AB （如图1）.

图1

在区间[],a b上的任意点x对应的M点处，作曲线()

y f x

=的切线T，取其对应自变量增量为dx的一段ds作为曲线弧MN的近似值（“直代曲”），即MN ds

≈。

ds称为弧长微元，()()()

222

1

ds dx dy y dx

'

=+=+，对其积分，则得所求弧长()2

1

a

s y dx

'

=+

⎰。

例 5 求曲线

3

2

2

3

y x

=上[]

0,3

x∈一段的弧长。

解

3

2

2

3

y x x

'

⎛⎫

'==

⎪

⎝⎭

()2

1

ds y dx

'

=+1xdx

=+

()()()

13

3

22

00

3

2

1111

3

s xdx x d x x

=+=++=+=

⎰⎰14

3

.

1.2、用参数方程表示的函数的弧长计算，如曲线

()

()

x t

y t

ϕ

ψ

=

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

上[]

,

tαβ

∈一段的弧，这时

()()22

22dx dy

ds dx dy dt

dt dt

⎛⎫⎛⎫

=+=+

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭