高等数学下章节自测题(不含答案)

( x, y)→(0,1)
x2 + ( y −1)2
∫ 4、 F (x, y) =
xy sin t 0 1+ t 2 dt
，则
∂2F ∂x2
|(0,2) =
5、
u
=
(
x
)
1 z
在
(1,1,1)
的梯度为
y
二、解下列各题（每题 10 分，共 40 分）
3 / 18
1、设
z
=
x
x
y
，求
∂z ∂x
,
∂z ∂y
Σ
C、 − 3 π B、0 C、 3 π
2
2
D、 2 π
3
4、曲面 Σ 是上半球面：x2 + y2 + z2 = 1，Σ1 是 Σ 在第一卦限部分，则( )
7 / 18
C、 ∫∫ xds = 4∫∫ xds
Σ
Σ1
C、 ∫∫ zds = 4∫∫ zds
Σ
Σ1
B、 ∫∫ yds = 4∫∫ yds
Σ
Σ1
D、 ∫∫ xyzds = 4∫∫ xyzds
Σ
Σ1
5、设
f
有连续导数，I
=
∫∫
Σ
1 y
f
( x )dydz y
+
1 x
f
( x )dzdx + y
zdxdy
其中 Σ
是曲面
y = x2 + z2, y = 8 − x2 − z2 所围立体表面外侧，则 I = ( )
A、 4π B、8π
2、设
x2
+
z2
=
yϕ (
z) y
，其中 ϕ
为可微函数，求
∂z ∂y
3、求由方程组
u u 2
+ +
v=x v2 = y
所确定的函数
u
=
u ( x,
y)
的二阶偏导数
∂2u ∂x∂y
。
4、求由方程 x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z −10 = 0 所确定的函数的极值.
三、解下列各题（前两题每题 12 分，最后一题 6 分）
1
π −argsin y
∫ ∫ 2、 dy
xdx =
0
arcsin y
∫ ∫ 3、
2
dx
2 e− y2 dy =
0
x
4 、 f (x, y) 在 矩 形 区 域 D :{(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} 上 连 续 ， 且
∫∫ x D
f (x, y)dxdy 2
=
f (x, y) − 1 则
6
重积分自测题
一、选择题（每题 3 分，共 15 分）
1、设有空间闭区域 Ω1 = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ R2, z ≥ 0} ，
Ω2 = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}则有( )
B、 ∫∫∫Ωx1 dv = 4∫∫∫Ωx2dv ， C、 ∫∫∫Ωz1dv = 4∫∫∫Ωz2dv ，
2、 Ω 是由平面 x + y + z = 1与三个坐标平面所围成的空间区域，计算三
重积分 ∫∫∫(x + 2 y + 3z)dxdydz 。 Ω
3、计算二重积分 I = ∫∫ r 2 sinθ 1− r 2 cos 2θ drdθ ，其中 D
D = {(r,θ ) | 0 ≤ r ≤ secθ ,0 ≤ x ≤ 1}。 4、设 Ω 是由半球面 z = 4 − x2 − y2 与旋转抛物面 3z = x2 + y2 所围空间闭 区域，求它的体积.
( x, y)→(0,0)
x2 + y2
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1、 lim (x + (x, y)→(0,0)
y) sin
1 x
sin
1 y
=
2、设 f 有一阶连续偏导数， z = f (x2 − y2, exy ) ，则 dz =
3、设连续函数 z = f (x, y) 满足 lim f (x, y) − 2x − y − 2 = 0 则 dz |(0,1) =
向量代数与空间解析几何自测题
一、选择题（每题 3 分，共 15 分）
1、已知 a , b 为非零向量，且| a + b |=| a - b |，则必有：（ ）
A、 a − b = 0 ; B、 a + b = 0 ; C、 a ⋅ b = 0 ; D、 a × b = 0
2、设 a , b , c 为非零向量且 (a × b) ⋅ c = 2 ，则[(a + b) × (b + c)]⋅ (c + a) =
() A、4;
B、2;
C、 − 2 ; D、0.
3、直线 x −1 = y −1 = z −1 与平面 2x + y − z + 4 = 0 的夹角为：( )
−1 0 1
π
A、
6
π
B、
3
π
C、
4
π
D、
2
4、点 (1,1,1)在平面 x + 2 y − z +1 = 0 的投影为: ( )
A、 (− 1 ,0, 3) ; B、 (1,−1,0) ; C、 (1 ,0, 3) ； D、 (0,1,−1)
1、试证光滑曲面 F(z − x, y − z) = 0 所有切平面都与一固定的非零向量
平行。 2、已知 f (x, y) = x + y + xy ，曲线 C : x2 + y2 + xy = 3 ，求 f (x, y) 在 C 上的最大
方向导数。
3、求 x > 0, y > 0, z > 0 时，函数 ln x + 2 ln y + 3ln z 在球面 x2 + y2 + z2 = 6r 2 上 的极大值，并证明对任意实数 a,b, c 不等式 ab2c3 ≤ 108( a + b + c )6
B、 I > 0 B、 I < 0 C、 I = 0 D、 I ≠ 0 但无法确定符号
∫ I = 2π
2
3
1−
r2
dr
=
−
3
4
π [(−3) 3
−1]
<
0
0
4
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
∑ ∑ 1、极限 lim 1
n
n i2+ j2
e n2 用二重积分表示为
n n→∞
2 i=1 j =1
1、设 f (x, y) = ln(x − x2 − y2 ) （其中 x > 0, y > 0 ）则 f (x + y, x − y) = ( )
A、 2 ln( x − y ) ， B、 ln(x − y) ，C、 1 (ln x − ln y) ，D、 2 ln(x − y)
2
2、 lim 3xy = ( )
2、已知
(
x
+
ay)dx + (x + y)2
ydy
为某函数全微分，则
a
=
(
)
A、3， B、-1 C、不存在， D、2 （D）
3、设 Σ 是锥面 z = x2 + y2 被 z = 0 和 z =1所截部分的外侧，则曲面积分
∫∫ xdydz + ydzdx + (z2 − 2z)dxdy = ( )
B、 ∫∫∫Ω1 ydv = 4∫∫∫Ω2 ydv ， D、 ∫∫∫Ω1 xyzdv = 4∫∫∫Ω2 xyzdv
2、设有平面闭区域 D = {(x, y) | −a ≤ x ≤ a, x ≤ y ≤ a}
∫∫ D1 = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ a, x ≤ y ≤ a} ，则 (xy + cos x sin y)dxdy = ( ) D
4 / 18
A、 2∫∫ cos x sin ydxdy ， B、 2∫∫ xydxdy
D1
D1
C、 4∫∫ xydxdy ， D、0 D1
1
1− y
3 I = ∫0 dy∫0 f (x, y)dx ，则交换积分次序后 I = ( )
1
1− x
1− y 1
1
1− x2
B、 I = ∫0 dx∫0 f (x, y)dy ， B、I = ∫0 dx∫0 f (x, y)dy C、I = ∫0 dx∫0 f (x, y)dy
2
11
2、求椭球面 x2 + 2 y2 + 2z2 = 1的切平面，使其通过直线 x −1 = y +1 = z 。
2 1 −1
3、求： z = x2 + y2 ， x2 + y2 = 1与 z = 0 所围立体在三个坐标面上的投影。
多元函数微分法及其应用自测题
一、选择题（每题 3 分，共 15 分）
x→0 y→0
xy +1 −1
A、3， B、6 C、不存在， D、 ∞ （）
2 / 18
3、若
∂f ∂x
| = ( x0 , y0 )
0
，
∂f ∂y
| = (x0 , y0 )
0
，则
f
(x,
y)
在 (x0,
y0) (