南宁市高二下学期期中数学试卷(理科)B卷(测试)
第一次月考卷(测试范围：第1-2章)(教师版)24-25学年高二数学期中期末(人教选修一,浙江专用)
2024-2025年高二数学上学期第一次月考卷（测试范围：第1-2章）一､选择题1．若直线经过两点(2,)A m -，(,21)B m m --且倾斜角为135°，则m 的值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．32-2．以()12-，）A ．()()22122x y -+=+B ．()()22122x y ++-=C ．()()2212x y -++=D ．()()2212x y ++-=【答案】A【分析】根据圆的标准方程写出答案【解析】根据圆的标准方程可写出()()22122x y -+=+，故选：A.3．“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要4．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a =,PB b =,PC c =，则用基底{},,a b c 表示向量BE uuu r为（ ）A ．111222a b c®®®-+B ．111222a b c®®®--C ．131222a b c®®®-+D ．113222a b c®®®-+11112222PB BA BC PB =-++=-uuu r uuu r uuu r uuu31112222PB PA PC a =-++=-uuur uuu r uuu r r 故选：C ．5．设x ，R y Î，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =，()3,6,3c =-，且a c ^，//b c ，a b +=r r （ ）A B ．3C ．4D ．【答案】Br6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题7．已知直线()00x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,A B ，O 是坐标原点，且有3OA OB AB +³uuu r uuu r uuu r，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()3,6B ．2,6éëC ．D ．8．已知向量(),,x y z a a a a =r，(),,x y z b b b b =r ，{},,i j k r r r 是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：()()()y z y z x x z x y z y x a b a b a b i a b a b j a b a b k ´=-+-+-rr r r r ,,y z x y x z xy z y z x y x z x y z i j ka a a a a a a a ab b b b b b b b b æö==-ç÷ç÷èør r r ，其中行列式计算表示为a b ad bc c d=-，若向量()2,1,4AB =uuu r ，()3,1,2AC =uuu r ，则AB AC ´=uuu r uuu r（ ）A ．()4,8,1---B ．()1,4,8--C ．()2,8,1--D ．()1,4,8---【答案】C【分析】根据公式，代入坐标计算AB AC ´uuu r uuu r.【解析】解：由题意得：()()()1241(4322)2113282,8,1AB AC i j k i j k ´=´-´+´-´+´-´=-+-=--uuu r uuu r r rr r r r ，故选：C ．二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若直线l 的方向向量为()1,0,3e =r ，平面a 的法向量为22,0,3n æö=-ç÷èør ，则直线//l aB ．若对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D ．已知向量()9,4,4a =-r ，()1,2,2b =r ，则a r 在b r上的投影向量为()1,2,210．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 111．直线()()231380m x m y m --+++=与两坐标轴围成的三角形OAB 的面积记为()S f m =，则（ ）A ．S 的最小值是12B ．对于所有的012S >，方程()0f m S =有4个不等实数解C ．存在唯一实数m ，使32S =D ．()S f m =的值域是()0,¥+三、填空题12．经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是 ．13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点）动点，当直线BD 与EF BD 的长为 .则()()310,0,0,,,2,0,1,0,22E F B æö-ç÷ç÷èø设(0,D 则()31,,2,0,1,222EF BD t æö==+ç÷ç÷èøuuu r uuu r，设直线所以214102cos 4||||5(1)4t EF BD EF BD t q ++×===×++uuu r uuu r uuu r uuu r 解得1t =或3723t =-（舍去），所以20BD =uuu r14．已知正三角形ABC 的边长为1，P 是平面ABC 上一点，若2225PA PB PC ++=，则PA 的最大值为 ．则310,,,0,22A B C æöæöæ-ç÷ç÷çç÷èøèèø由2225PA PB PC ++=，得四、解答题15．已知直线1:260l ax y -+=和直线2:10l x y +-=.(1)若12l l ^时，求a 的值；(2)当12//l l ，求两直线12,l l 的距离.16．已知圆()()221:231C x y ++-=与圆()222:2140R C x y x y m m +--+=Î(1)若20m =，两圆相交于M ，N 两点，求直线MN 的方程；(2)当m 取何时，两圆外切【答案】(1)3440x y +-=(2)34m =【分析】（1）两圆方程相减可求出直线MN 的方程；（2）求出两圆的圆心和半径，由两圆相切，可得两圆的圆心距等于两圆半径的和.【解析】（1）根据题意，圆1C 一般方程为2246120x y x y ++-+=，①，圆222:214200C x y x y +--+=，②，①-②可得：6880x y +-=，变形可得3440x y +-=，即直线MN 的方程是3440x y +-=，（2）由()()221:231C x y ++-=，得圆心1(2,3)C -，半径为1，由()222:2140R C x y x y m m +--+=Î，得()()221750x y m -+-=-（500m ->），17．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,AD AB PAB =△是等边三角形，平面PAB ^平面ABCD ，,M E 是线段,PA BC 的中点.(1)求证：直线ME ∥平面PCD ；(2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值.所以12MN AD ∥，且12MN =所以MN EC ∥，且MN EC =不妨设2PA =，则()()0,0,3,1,4,0,P C ()()(1,4,3,2,2,0,PD DE PC =--=-=uuu r uuu r uuu r 设平面PDE 的一个法向量为(,,x y z m =r则430220PD x y z DE x y m m ì×=-+-=ïí×=-=ïîuuu r r uuu r r ，所以z x ì=ïí=ïî令1y =得平面PDE 的一个法向量为m =r 18．已知圆O ：()2220x y r r +=>与圆E ：22220x y x y +--=内切．(1)直线l ：1y kx =+与圆O 交于M ，N 两点，若7OM ON ×=-uuuu r uuu r ，求k 的值；(2)过点E 作倾斜角互补的两条直线分别与圆O 相交，所得的弦为AB 和CD ，若AB CD l =，求实数l 的最大值．3【点睛】方法点睛：圆中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．19．平面直角坐标系中，圆M经过点)A，()0,4B，()2,2C-.(1)求圆M的标准方程；(2)设D(0,1)，过点D作直线1l，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.①过点D作与直线1l垂直的直线2l，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.②设()()1122,,,P x y Q x y ，联立()22241x y y kx ì+-=ïí=+ïî，消则12122223,1k x x x x k k -+==++直线OP 的方程为1y y x =，【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(B)
山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（B）一、单选题1．在平面直角坐标系中，点()3,2A -和点()1,1B -之间的距离为（）A ．2B ．3C D ．52．经过()()2,0,5,3A B 两点的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．90︒D ．60︒3．经过点()2,1且与直线21y x =-垂直的直线方程为（）A ．230x y --=B ．240x y +-=C ．240x y +-=D ．20x y -=4．下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（）A ．椭圆的离心率大于1B ．抛物线的准线一定与x 轴垂直C ．双曲线的离心率小于1D ．椭圆的焦点总在其内部5．“2m >-”是“方程222121x y m m +=++表示椭圆”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件6．椭圆的标准方程为221916x y +=，其焦点的坐标为（）A ．()3,0±B ．()C ．()5,0±D ．(0,7．已知椭圆22:14y E x +=和双曲线22:14y C x -=的左、右顶点为,A B ，过A 作斜率为k 的直线l 交C 于另一点M ，交E 于另一点N ，若AN NM =，则k =（）A ．1±B ．3±C ．3±D ．33±8．已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点()1F ，)2F ，离心率分别为1e ，2e ，点P 为1C 与2C 在第一象限的公共点，且12π3F PF ∠=，若13e =，则2C 的方程为（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=二、多选题9．已知直线()21:2230l m x y +-+=和直线2:3240l mx y -+=平行，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-三、单选题10．关于双曲线22:1164x y C -=，下列说法正确的是（）A ．C 的渐近线方程为12y x =±B ．CC ．C 的焦点坐标为()D ．C 的实轴长是虚轴长的4倍四、多选题11．已知()10,1-F ，()20,1F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于y 轴的直线与C 交于A ，B 两点，且3AB =，则（）A ．椭圆C 的焦点在y 轴上B ．1ABF 的周长为6C ．12AF F △的周长为6D ．椭圆C 的方程为22134x y +=五、填空题12．抛物线224y x =的准线方程为．13．焦点在x 轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为．14．如图，半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆()222210y x x b c+=<组成的曲线称为“果圆”，其中222a b c =+，0a >，0b c >>．“果圆”与x 轴的交点分别为1A 、2A ，若在“果圆”y 轴右侧半椭圆方程为()221043x y x +=≥，则两个半椭圆离心率的乘积为．六、解答题15．已知圆1C 是以点()0,0和点2,0为直径端点的圆，圆2C 是以点()0,0和点0,2为直径端点的圆．(1)求圆1C ，2C 的方程；(2)已知两圆相交于A ，B 两点，求直线AB 的方程及公共弦A 的长.16．已知过点(2,的抛物线方程为()220y px p =>，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于A ，B 两点，且12AB =．(1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；(2)求AB 所在的直线方程．17．已知圆M 经过(1,0)A ，(3,2)B 两点，且与x 轴相切，圆O ：224x y +=.(1)求圆M 的一般方程；(2)求圆M 与圆O 的公切线方程.18．已知双曲线()2222:10x y C a b a b -=>>(为C 上一点．(1)求C 的标准方程；(2)若直线():0l y kx m k =+≠与C 相交于A ，B 两点，且AB 的垂直平分线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：2104m k -为定值．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()2,1B -且斜率为k 的直线交椭圆C 于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，试用含k 的代数式表示121122x x +++；(3)在（2）的条件下，A 为椭圆左顶点，过点P 作垂直于x 轴的直线与直线AQ 相交于点M ，证明：线段PM 的中点在定直线上．。
广西名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题
广西名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．18海里B ．16海里C ．14海里D ．12海里7．设函数()21ln 1ax x f x x x -£ì=í>î，，，若()f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围为( ).A ．()0,¥+B ．(]0,2C ．(],2¥-D ．(]0,38．已知0a >，0b >，则使2a b +³成立的一个充分条件是（ ）A ．221a b +=B ．a b ab +=C ．224a b +=D ．22a b +=16．已知不过原点的直线l 在两坐标轴上的截距相等．(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l 过点()2,6P ，求直线l 的方程；(3)若直线m 与直线l 垂直，且直线m 被圆224x y +=截得的弦长为2，求直线m 在y 轴上的截距．17．某中学高二年级的所有学生学习完人教A 版选择性必修第一册的《直线和圆的方程》章节后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩（满分150分）按照[)30,50，[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150分成6组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数（每组数据取区间的中间值作代表）；(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在[)110,130和[]130,150内的学生中抽取6人的试卷进行试卷分析，再从这6人的试卷中任选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩都在[)110,130内的概率.18．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，111326AB AA A B ===，．B又因为1AA ^平面ABCD ，BD Ì平面ABCD ，所以1.AA BD ^因为1AA AC A =I ，且1AA ，AC Ì平面11ACC A ，所以BD ^平面11.ACC A （2）因为1AA ^平面ABCD ，,AB AD Ì平面ABCD ，所以1AA AB ^，1AA AD ^，又底面ABCD 是正方形，AB AD ^，故AB ，AD ，1AA 两两垂直，以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000A ，，，()600B ，，，()1302B ，，，()660C ，，，()060D ，，，()1032D ，，，所以()060BC =uuu r ，，，()1302BB =-uuur ，，，()1032.DD =-uuuu r ，，设平面11BCC B 的法向量为()111,,m x y z =r ，则111160320m BC y m BB x z ì×==ïí×=-+=ïîuuu r r uuur r ，，，解得10y =，令12x =，则13z =，故()203.m =r ，，设直线1DD 与平面11BCC B 所成的角为q ，。
广西南宁市普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试生物试卷(无答案)
2024年11月广西普通高中高二年级联合调研检测生物学（本试卷满分100分，考试时间75分钟）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共16小题，每题只有一个选项符合题意。
其中1~12题每题2分，13~16题每题4分，共40分。
1．中华人民共和国第一届学生（青年）运动会在广西举行，在运动员的科学训练和比赛期间需要监测相关指标。
下列指标中不属于内环境成分的是（）A．尿酸B．甘油三酯C．促甲状腺激素释放激素D．血红蛋白2．短跑比赛中，运动员在发令枪响后0.1秒以内起跑将被判定为抢跑。
这一标准是国际田径联合会基于正常人的听觉反应速度极限设立的。
以下因素中与反应速度无关的是（）A．运动员的训练水平B．运动员的精神状态C．神经纤维上信号传导速度D．中枢兴奋剂的使用3．某同学在游乐园乘坐过山车时，感到心怦怦直跳并伴有出汗、呼吸急促等现象。
下列相关叙述错误的是（）A．此时该同学血压和血糖浓度升高，胃肠蠕动减弱，消化功能下降B．此时该同学位于下丘脑的呼吸中枢兴奋，出现呼吸急促现象C．此时该同学交感神经兴奋，肾上腺髓质分泌肾上腺素增多D．肾上腺素弥散在全身的体液中，经靶细胞接受并发挥作用后被灭活4．阿尔茨海默症是一种持续性神经功能障碍，也是失智症中最普遍的成因，病理显示患者的大脑细胞受损，脑细胞数量减少，海马区会出现神经炎性斑块，且会出现突触丢失、神经递质减少等异常现象。
下列有关分析错误的是（）A．患者的第二级记忆丧失可能与脑内的海马区有关B．如果言语区的S区受损，则患者会出现语言交流障碍C．如果大脑某一区域受损，则患者可能会出现大小便失禁D．患者大脑皮层萎缩，神经元大量减少，可能会导致肢体僵硬5．人体每天都要从饮食中获得水和各种无机盐，同时又要通过多种途径排出一定的水和无机盐，以维持内环境的稳态。
2024—2025学年广西部分名校高二上学期10月联合检测数学试卷
2024—2025学年广西部分名校高二上学期10月联合检测数学试卷一、单选题(★★) 1. 下列直线的倾斜角最大的是（）A．B．C．D．(★) 2. 已知向量，，若，则（）A．B． 1C．D．(★★) 3. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（）A．B． 2C．D． 4(★★) 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A． 6B．C．D． 3(★★) 6. 设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（）A． 6B． 8C． 10D． 12二、多选题(★★) 9. 下列说法正确的是（）A．若，且直线不经过第二象限，则，B．方程（）表示的直线都经过点C．，直线不可能与轴垂直D．直线的横、纵截距相等(★★★) 10. 已知圆，圆，且圆与圆相交于，两点，则（）A．过点且被圆截得的弦长最短的直线方程为B．直线的方程为C．D．以线段为直径的圆的方程为(★★★) 11. 已知正方体的棱长为1，点满足（，），下列说法正确的是（）A．若，则与垂直B．三棱锥的体积恒为C．若，，平面与平面夹角的余弦值为D．若，，则点到平面的距离为三、填空题(★) 12. 在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ______ ．(★★) 13. 点关于直线的对称点坐标为 __________ .(★★★) 14. 已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则 ______ .四、解答题(★) 15. 已知的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.(★★★) 16. 如图，在四棱柱中，，，，，是线段上的点，且．(1)求的长；(2)求异面直线与所成角的余弦值．(★★★) 17. 已知直线过点且与圆相切.(1)求直线的方程；(2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程.(★★★) 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．(1)证明：平面．(2)若，求点到平面的距离．(3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．(★★★★) 19. 已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．(1)若．（ⅰ）求三棱锥的体积；（ⅱ）求二面角的余弦值．(2)是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．。
2023-2024学年广西桂林市高二下学期期末质量检测数学试卷
2023-2024学年广西桂林市高二下学期期末质量检测数学试卷1.下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．2.双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3.曲线在点（1，1）处的切线方程是（）A．B．C．D．4.已知数列的各项均不为0，，，则（）A．B．C．D．5.对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是（）A．B．C．D．6.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）A．8B．12C．18D．727.在数列中，，对任意m，，都有，则（）A．B．C．D．8.已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．（0，]C．[，1）D．[，] 9.直线l：，圆C：，下列结论正确的是（）A．直线l的倾斜角为B．圆C的圆心坐标为（1，0）C．当时，直线l与圆C相切D．当时，直线l与圆C相交10.已知数列的前n项和，则下列结论中正确的是（）A．B．数列是递增数列C．D．11.如图所示，已知正四棱柱中，为的中点，则（）A．平面B．平面C．为棱上任一点，则三棱锥的体积为定值D．平面截此四棱柱的外接球得到的截面面积为12.的展开式中，的系数是________．（用数字作答）13.盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是________．14.当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．15.已知函数．(1)求的单调区间和极值；(2)判断在（1，2）上是否有零点，并说明理由．16.设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)已知等比数列的公比为q，，，设，求数列的前n项和．17.已知抛物线E：，过点T（1，2）的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为和，与的交点为P．(1)若点A的坐标为（，1），求的面积（O为坐标原点）；(2)证明：点P在定直线上．18.如图，已知边长为1的正方形ABCD，以边AB所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成一个几何体．设P是上的一点，G，H分别为线段AP，EF的中点．(1)证明：平面BCE；(2)若，求平面BPD与平面BPA夹角的余弦值；(3)在（2）的条件下，线段AE上是否存在点T，使平面BPD，证明你的结论．19.已知函数，（）．(1)求函数的最小值；(2)若恒成立，求a的取值范围；(3)设，证明：．。
高二数学期中试题(含答案)
班级 姓名 学号 装 订 线高二年级文科数学试题一、选择题（本题共12个小题）1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．13()i i --的虚部为 ( ) A ．8i B ．8i - C ．8 D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅ 则12,z z 的关系是（ ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定 5． 2020(1)(1)i i +--的值是 ( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个7．正三棱锥的侧棱与底面的对边 （ ） A. 平行 B. 垂直 C.相交 D.以上皆错8．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于 （ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．279．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内 （ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值11．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题（本题共4个小题）13．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
广西南宁市第二中学2024-2025学年高二上学期11月段考考试数学试卷
广西南宁市第二中学2024-2025学年高二上学期11月段考考试数学试卷一、单选题1．已知数列{}n a 满足点(),n n a 在直线21y x =-上，则2a =（）A ．3B ．2C ．1D ．02．平行线230x y -+=与220x y --=之间的距离为（）A BC ．52D ．53．在等差数列{}n a 中，若357911100a a a a a ++++=，则113a a +的值为（）A ．10B ．20C ．30D ．404．已知()1,0A -，()10B ,，在x 轴上方的动点M 满足直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（）A ．()22102y x x -=>B ．()22102y x y -=>C ．()22102x y x -=>D ．()22102x y y -=>5．如图，已知一艘停在海面上的海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25km 的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，速度为28km /h .这艘轮船能被海监船监测到的时长为（）A ．1小时B ．0.75小时C ．0.5小时D ．0.25小时6．如图，椭圆2221(1)x y a a+=>与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B ，点P 是过左焦点F 1且垂直x 轴的直线与椭圆的一个交点，O 为坐标原点，若AB //OP ，则椭圆的焦距为（）AB ．C ．1D ．27．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（）A ．B ．C ．10D ．8．已知离心率为12的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，线段2MF 的中点为N ，射线1F N 与C 交于点A ，若1AF =2AF =（）A ．63-B C D 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=B ．过点(1,2)P 且在x 、y 轴截距相等的直线方程为20x y +=C ．曲线2102x y +=过点10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭的最短弦长为12；D ．直线(2)4y k x =-+与曲线1y =k 的取值范围73,124⎛⎤⎥⎝⎦10．设拋物线2:4C y x =的焦点为F ，M 为C 上一动点，(3,1)E 为定点，则下列结论正确的是（）A ．准线l 的方程是2x =-B ．||||ME MF +的最小值为4C ．||||ME MF -的最大值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切11．已知()22,,1(1,)Z n nf x y n x y n n =+-≥∈，定义方程(),,0=f x y n 表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记n S 表示“方圆系”曲线(),,0=f x y n 所围成的面积，则（）A ．“方圆系”曲线(),,10=f x y 所围成的面积为1B ．24<S C ．{}n S 是单调递增的数列D ．“方圆系”曲线(),,20=f x y 上任意一点到原点的最大距离为142三、填空题12．已知圆221:(1)1C x y -+=，圆222:(4)16C x y -+=，则两圆公切线的方程为.13．已知首项为2的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是公差为1的等差数列()*N n ∈，则{}n a 的通项公式.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上一点P 满足1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，以2F 为圆心的圆与1F P 的延长线相切于点M ，且112F M F P = ，则双曲线的离心率为.四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24610,36a a S +==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)nn n b a =-，求12320b b b b ++++ 16．已知点C 是平面直角坐标系中异于原点O 的一个动点，过点C 且与y 轴垂直的直线与直线2x =-交于点M ，且向量OC与向量OM 垂直.(1)求点C 的轨迹方程E ；(2)设C 位于第一象限，以OC 为直径的圆与y 轴相交于点N ，且30NCO ︒∠=，求OC 的值.17．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos cos c a bC A B+=+(1)求角C 的大小；(2)若1ab =，求ABC V 外接圆的面积的最小值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AD BC ，3PA BC ==，2AB AD ==，PB E 为PD 中点，点F 在PC 上，且3PC FC =．(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求平面FAE 与平面AED 夹角的余弦值；(3)线段AC 上是否存在点Q ，使得//DQ 平面FAE ，说明理由？19．已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，设点(0,)A b ，在12AF F △中，12π2F AF ∠=，周长为2+.(1)求椭圆Γ的方程；(2)设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；(3)记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP △面积S 的不同取值范围，讨论AEP △存在的个数，并说明理由.。
2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷B卷(含解析)
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x( )的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为()A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为2x =219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.22x y +{}n a n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122S AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD '1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=-1=-01λ≤≤1λ=-222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF，因为Q为切点，可知，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率该切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A，在第一象限，设，则，上，所以，//OQ AF222AF OQ==2222a AF a b-=-OQ AF⊥2AF AF⊥2222AF AF F+=()()2222242244b a bc a b+-==-23a==cea====()1f x=()21f x x'=+()1,1()y f x=l()113k f='=():131l y x-=-:32l y x=-1x=()2122133f x⎛⎫=+-=⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x=223k f⎛⎫'==⎪⎝⎭2l2172:933l y x⎛⎫-=-⎪⎝⎭73y x=2x=219y-=()2,0()32y x=±320x y±=)32x y+=3()2229x y-+=()2229x y-+=()220y px p=>x()()1111,0,0A x y x y>>()11,B x y-12y=1y=)2229x y-+=()21289x-+=解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即，可设，当时，因得，所以，，因为，故为偶函数，，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =*(1)()n n na S n n n =+-∈N 2n ≥1()(1)n n n n na n S S S n n -=-=+-1(1)(1)n n n S nS n n ---=-11n S n --=-11a ==-n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n =-+-=-(2)n S n n =-2n ≥()11(3)n S n n -=--()()121(3)23n n n a S S n n n n n -==----=--1n =23n a n =-()()()1123nnn n b a n =-=--{}n b (11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e x f x f x -+'=()()e e 1x x x f x f +'=()e 1x f x '⎡⎤=⎣⎦()e xf x x m =+0x =()00f =0m =()e xf x x -=()()2e 1e x f x -<-()2e e 1e x x x --<-e e e x x x x --<()e e x xg x x x -=-()()e e x x g x x x g x --=-+=()g x ()e e e e x x x x g x x x --'=++-0x ≥e e 0x x x x -+≥e e 0x x --≥()e e e x x xg x x x -'=++e 0x --≥()g x [)0,+∞()11e e g -=-0x ≥()e x g x x =-e e xx -<-)0,1为偶函数，故.故选：C8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A：，即，圆心为，半径为，A错误；对选项B：在圆上，则和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为，B正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=(,y k xx⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k--++=()2Δ410k=+>A Bx x+=A Bx x=Bx-==()g x()eg x<)1,1-=2A BNx x+==NMN x=-==(2k=±+2220x y x+-=22(1)1x y-+=(1,0)1r=(2,0)(2,0)2x=1yx+(,)x y(1,0)A-当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为C 错误；对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；的前5项和为11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎫⎬⎭1111134457-+-++ 111838-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C 选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD 12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =与所成角为，则与所成角的余解析：设动点，则.又.化简得，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）（2）最小值为.解析：（1）圆M的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；BP DQ θcos BP DQ BP DQθ⋅===⋅ BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=-- MN MP ⋅ ()34x ∴--=2234x y +=213y +=∴23y +=213y =()()222125x y +++=0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP 2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n =ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x=()f x22ln2f=-ex=()f x2(e)e4f=-[)1,-+∞(0,)+∞2a=-2()2lnf x x x=-+2()2f x xx'=-+=()0f x'>1x>()f x(1,)+∞4a=-2()4lnf x x x=-+4()2f x xx'=-+=x>0x<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=lne lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a 的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②()22ln h x x x =+-22()1x h x x x-'=-=2()0x h x x -'=>2e x <≤2()0x h x x-'=<12x ≤<()h x [)1,2(]2,e ()(2)2(2ln 2)0h x h ≥=->[1,e]x ∈()2(1)(22ln )()0ln x x x g x x x -+-'=≥-min ()(1)1g x g ==-[)1,-+∞12n +24n n S a =- ∴2n ≥1124n n S a --=-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+--①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫-⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP1 2AP=2,03⎛⎫-⎪⎝⎭所以存在定点Q为.AP。
广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
南宁市2024-2025学年秋季学期期中考试高一数学试卷考试时长: 120分钟满分: 150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全称量词命题“∀x∈R,x²≥0”的否定是,( )^ ∀x∈R,x²≤0 B. ∃x∈R, x²<0C. ∃x∈R,x²≥0 D ∀x∈R, x²<02. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2<x≤3},则A∩B= ( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}3. 集合{1,2}的子集个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. “我住在广西”是“我住在中国”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如果m>0, 那么m+4的最小值为( )mA. 2B. 22C. 4D. 86. 函数f(x)=x+3的定义域是( )A. {x|x≥-3}B. {x|x>0}C. {x|x≥3}D. {x|x≥4}7. 已知f(x―3)=2x²―3x+1,则f(1)= ( )A. 15B. 21C. 3D. 08. 若不等式kx²―6kx+k+8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是 ( )A. 0≤k≤1B. 0<k≤1C. k<0或k>1D. k≤0或k≥1第1页，共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若a<b<0, 则下列不等式正确的是 ( )A1 a <1bB.ab<a⁷ c |a| D.1a>1b10. 下列各组函数表示同一函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=x²,g(x)=|x|²C.f(x)=x+1,g(x)=x2―1x―1D.f(x)=x0x,g(x)=xx211. 若函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点是A(-2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是( )A. b+c=-1B. 方程x²+bx+c=0的两根是-2, 1C. 不等式.x²+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}D. 不等式x²+bx+c≤0的解集是{x|-2≤x≤1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设集合A={2,1-a,5}, 若4∈A,则a= .13. 已知函数那么f(f(3))= .14. 不等式x+3x―5<0的解集为 .四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分) 已知全集U=R, 集合.A=x|x≥4,B=x|―6≤x≤6.(1)求A∩B和A∪B;(2)求((C U A)∩(C U B)第2页，共4页16.(本题15分) 设集合U=R,A=x|0≤x≤3,B=x|m―1≤x≤2m.(1)m=3,求A∪(C U B);(2) 若B⊆A求m的取值范围.17.(本题15分) 已知二次函数f(x)=x²―ax+b,f(1)=2,f(3)=―6.(1) 求f(x)的解析式;(2) 写出f(x)的单调区间; 并求.x∈[―1,5]时，f(x)的最大值与最小值.第3页，共4页18.(本题17分) 求下列函数的最值. (1) 已知x>2, 求y=x+1x―2的最小值；(2) 已知:x>0,y>0,且2x+y=1.求1x +9y的最小值.(3) 已知(0<x<4,求x(4―3x)的最大值.19.(本题17分)已知函数f(x)=,且f(1)=10.(1) 求a的值;(2) 判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性，并用定义法证明；(3) 求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.第4页，共4页高一数学11月期中考试参考答案题号1234567891011答案BDDBCABABDBDABD1. B 【详解】全称量词命题“∀x∈R, x²≥0”的否定是 ∃x ∈R,x²<0,故选: B.2. D 【详解】由题意. A =0.1,2,B =x|―2<x ≤3,所以A∩B={0,1,2}.故选: D.3. D 【详解】因为A={0.1}, 所以集合A 有∅,{0},{1},{0,1}共4个子集.故选: D4. B 【详解】“我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立，所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件.故选：B5. C 【详解】 m >0,m +4m ≥2m ⋅4m =4,当且仅当 m =4m ,即m=2时取等号，所以 m +4m 的最小值为4.故选：C6. A 【详解】要使函数 f (x )=x +3有意义, 需x+3≥0, 解得x≥-3, 即得函数的定义域为:{x|x≥-3}.故选: A.7. B 【详解】∵f(x-3)=2x²-3x+1, ∴f(1)=(4-3)=2×4²-3×4+1=21,故选B.8. A 【详解】若k=0, 则不等式为8>0, 满足条件,若k≠0，要使不等式恒成立，则满足 {k >0=36k 2―4k (k +8)≤0, 即 {k >0k 2―k ≤0 则 {k >00≤k ≤1,所以0<k≤1, 综上, 实数k 的取值范围为0≤k≤1. 故选: A9. BD 【详解】对于A 、D,因为a<b<0,所以 ab>0,则 1ab >0,所以 a ⋅1ab <b ⋅1ab ,即 1b <1a ,故A 错误, D 正确; 对于B, 因为a<b<0, 所以a·a>b·a, 即 ab <a²,故 B 正确;对于C, 若a<-1<b<0, 则|a|>1, 0<|b|<1, 所以有|a|>|b|, 故C 错误.故选: BD.10. BD 【分析】同一个函数的定义：如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.根据定义判断选项.【详解】A. f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不一致，不是同一函数.B.f (x )=x²,g (x )=|x|²=x²,定义域相同，对应关系一致，是同一函数.C. f(x)定义域为R, g(x)定义域为{x|x≠1}, 定义域不同, 不是同一函数.D. f(x)定义域为{x|x≠0},可化为 f (x )=1x ,g(x)定义域为 x|x ≠0,可化为 g (x )=1x ,是同一函数.故选: BD.11. ABD 【详解】依题意, 方程 x²+bx +c =0的两根是-2, 1, B 正确;显然-b=-1,c=-2,即b=1,c=-2,b+c=-1, A 正确;不等式 x²+bx +c >0, 即 x²+x ―2>0的解集为{x|x<-2或x>1}, C 错误;不等式 x²+bx +c ≤0,即 x²+x ―2≤0的解集是 x|―2≤x ≤1,D 正确.故选: ABD 12. - 3【详解】集合A={2,1-a,5},若4∈A, 则1-a=4⇒a=-3.故答案为: - 313. - 1【详解】因为 f (x )={2―x (x ≥1)x 2+x ―1(x <1),所以f(3)=2-3=-1,所以 f (f (3))=f (―1)=(―1)²―1―1=―1, 故答案为: -1.14. {x|-3<x<5}【详解】 x +3x ―5<0(x +3)(x ―5)<0,解得 ―3<x <5..故答案为： x|―3<x <5答案第1页，共3页15.【详解】(1) A={x|x≥4},B={x|-6≤x≤6},A∩B={x|4≤x≤6}3分A∪B=x|x≥―6 .6分(2)C U A={x|x<4} .8分或x>6}- .10分(C U A)∩(C U B)={x|x<―6} .13分16. 【详解】A={x|0≤x≤3}（1）1分故可得或x>6}- .3分所以或x>6}-(2) 由题B⊆A:当B=∅时,m-1>2m,解得m<-1,符合题意;分 (9)分 (13)综上可得，m的取值范围为m<-1或 (15)17.【详解】(1) 因为f(x)=x²―ax+b,且f(1)=2,f(3)=-6,.............................................................................................2分解得(a=8, b=9, .........................................................5分(只有一个正确得2分)....................................................................................所以6分（2）由（1）知.对称轴为x=4，图象开口朝上分 (8)所以f（x）的减区间是（-∞,4],增区间是....................................[4,+∞）10又4∈[-1,5],所以f（x）在区间[-1,4]上单调递减,在区间[4,5]上单调递增, (12)所以f(x)ₘᵢₙ=f(4)=―7, ………………………………13分f(x)最大值在f(-1)或f(5)取到, f(-1)=18, f(5)=-6,∴f(-1)>f(5)·f(x)ₘₐₓ=f(―1)=18 ………………………………………15分18.【详解】(1)∵x>2,x―2>0,1x―2>0.6分…14分而y=x+1x―2=x―2+1x―2+2≥2(x―2)⋅1x―2+2=4, .3分当且仅当即x=3时取等号，所以……………………………………………………………5分(2)1x+9y=(1x+9y)(2x+y)=11+y x+18x y211+2yx ⋅18xy=11+62, ..8分当且仅当时,取等号,又2x+y=1,即时分101 x +9y取得最小值11+62 11分（3）15分当且仅当3x=4-3x时取等号，即（满足0<x<4）时x（4-3x）最大值为 (17)法二：函数y=x(4―3x)=―3x²+4x的开口向下，对称轴为x=―4―6=23, ..15分所以当时,x（4-3x）取得最大值为1719.【详解】(1) 函数f(x)=x2+ax,因为f(1)=10,…………………………………………………………………………………………………3分(2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,知由下面证明单调区间，设3≤x₁<x₂,则f(x1)―f(x2)=x1―x2+9x1―9x2=(x1―x2)(x1x2―9x1x2), .8分由3≤x₁<x₂,则x₁x₂―9>0,x₁―x₂<0,x₁x₂>0, 11分所以(x1―x2)x1x2―9x1x2<0⇒f(x1)―f(x2)<0,即f(x₁)<f(x₂), ..12分……………………………………………………………………………………………13分（3）由（2）可知f（x）在区间[3,+∞）上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增…………14分所以f(x)mn=f(3)=3+93=6,f(x)max=f(6)=6+96=152, 16分 (6)答案第3页，共3页。
广西壮族自治区南宁市青秀区南宁市第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
广西壮族自治区南宁市青秀区南宁市第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{1}M xx =>∣，{13}N x x =-<≤∣，则M N = （）A ．{}|1x x >B ．{|03}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{}13，2．下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，c d >，则a c b d->-C ．若0ab >，a b >，则11a b<D ．若a b >，c d >，则a b c d>3．下列函数是偶函数的是（）A ．()22f x x x=+B ．() f x x =C ．()2 1xf x x =+D ．()11x f x x -=+4．已知函数()f x 的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=）A ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某段道路机动车最高限速40千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油6．已知22111x x f x x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x =（）A ．()2(1)1x x +≠B ．2(1)x -C ．()211x x x -+≠D ．21x x -+7．已知一元二次不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为{13}xx -<<∣，则1b c a-+的最大值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．函数()f x 是R 上的单调函数且对任意的实数都有()()()1f a b f a f b +=+-，()45f =，则不等式(12)3f m -<的解集是（）A ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()3-∞，D ．12(,23-二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．式子y =x、因变量为y 的函数B ．函数=op 的图象与直线=1的交点最多有1个C ．函数()24040x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，则()0f f ⎡⎤=⎣⎦4D ．()22f x x x =-与()22g t t t =-是同一函数10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最小值14B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“完美区间”.下列结论正确的是（）A ．133⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数=1的“完美区间”B ．若[]2,b 为()246f x x x =-+的“完美区间”，则6b =C ．二次函数()211322f x x =-+存在“2倍美好区间”D ．函数()1m x f x x-=存在“完美区间”，则实数m 的取值范围为(){}2,0∞+⋃三、填空题12．若函数()y f x =是偶函数，且在(),0-∞上是严格增函数，则()πf 、()3f -、(f 的大小关系是．13．已知:22,:11p x q m x m -≤≤-≤≤-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为.14．定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，则()f x 的最大值为；若()f x 在区间[],m n 上的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则n m -的最大值为．四、解答题15．（1）已知0x >，0y >，2x y +=，求41x y+的最小值；（2）已知102x <<，求(12)y x x =-的最大值.16．已知集合{}620A x x =≤≤∣，集合{}2B x x a =≤∣，命题:,p x A x B ∃∈∈，命题:R q x ∀∈，220x x a +->．(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围．17．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t （天）的函数关系近似满足()11001f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，销售量（件）与时间t （天）的函数关系近似满足()125|25|g t t =--．(1)试写出该商品的日销售金额()w t 关于时间t （1≤t ≤30，t ∈N ）的函数表达式；(2)求该商品的日销售金额()w t 的最大值与最小值．18．已知关于x 的不等式()2330ax a x -++>的解集为A .(1)若3A ∉，求实数a 的取值范围；(2)集合A 中有且仅有两个整数，求实数a 的取值范围；19．已知函数()24ax bf x x +=-是定义域为()2,2-上的奇函数，且0a >.(1)求b 的值，并用定义证明：函数()f x 在()2,2-上是增函数；(2)若对()0,1t ∀∈，都有()()210f t m f t -+-<，求实数m 的范围.。
广西示范性高中2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试题
广西示范性高中2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试题一、单选题1．直线40x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．椭圆22154x y +=的焦距为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12(1,(,2,n x n x ==- 分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则x =（）A ．1B ．7C ．2-D ．24．已知直线1:20l x my ++=和直线2:(23)20l mx m y ++-=平行，则m 的值为（）A ．3B ．3或1-C ．1-D ．3-5．如图，在四面体ABCD 中，E 为DC 的中点，F 为BE 的中点，设,,AB a AC b AD c === ，则AF = （）A ．111422a b c -++ B ．111244a b c ++ C ．111242a b c +- D ．111442a b c ++ 6．已知,A B 是抛物线22y x =上的两点，且线段AB 的中点为(1,1)，则直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．10x y +-=C ．0x y -=D ．210x y -+=7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB =1MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点Q 是圆22(3)(2)1x y -+-=上一点，则||||PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3CD ．58．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别12,.F F A 是C 上的一点（在第一象限），直线2AF 与y 轴交于点B ，若11AF BF ⊥，且2232AF F B =，则C 的离心率为（）AB ．32C D 二、多选题9．已知圆22:(6)16C x y ++=，设点(,)P x y 为圆上的动点，则下列选项正确的是（）A ．点P 到原点O 的距离的最小值为2B ．过点(3,0)A -的直线与圆C 截得的最短弦长为6C ．y x的最大值为1D ．过点(1,0)B -作圆的切线有2条10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列四个结论正确的有（）A ．1BC 与AC 所成角为60oB ．三棱锥1A D PC -的体积不变C ．//DP 平面11AB D D ．1DP BC ^11．已知12,F F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，若点12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上一动点，下列结论中正确的有（）A ．12PF PF ⋅ 的范围为[2,3]B ．若12F F P 为直角三角形，则12F F P 的面积为3C ．若点(1,1)B，则2PB PF +的最大值为4D ．直线12,PA PA 的斜率之积为34-三、填空题12．若直线220mx y +-=经过两直线53170x y --=和50x y --=的交点，则m =.13．已知直线:0l x y --=，点P 为椭圆22:14y C x +=上的一个动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为.14．一动圆与圆221:10240C x y y +++=和222:10240C x y y +--=都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.四、解答题15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程为20x =.(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程;(2)若斜率为2且纵截距为1的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，F 为抛物线C 的焦点，求FMN 的面积.16．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40，45].(1)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数；(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第61百分位数；(3)若在抽出的第1组、第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率.17．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且ABC V 的外接圆半径R 满足sin cos (cos cos )R A A c B b C =+.(1)求角A ；(2)若a =ABC V 面积的最大值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？若存在，求出BM BP的值；若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1E 的方程0(),F x y =中，以(,)x y λλ（λ为非零的正实数）代替(,)x y 得到曲线2E 的方程(,)0F x y λλ=，则称曲线12E E 、关于原点“伸缩”，变换(,)(,)x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.如果曲线221:243E x y +=经“伸缩变换”后得到曲线2E ，射线1(0)2y x x =>与12E E 、分别交于两点A ，B 且||AB =(1)求2E 的方程;(2)若M ，N 在2E 上，,,BM BN BD MN D ⊥⊥为垂足，求证：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.。
2024-2025学年高二期中测试卷(直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、数列)(解析版)
高二数学上学期期中测试卷（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、数列）（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知直线l―(5―2m)y―3=0的倾斜角为π2，则m=（）A．12B．0C．32D．52【答案】D【分析】由倾斜角为π2得直线与x轴垂直，从而得系数关系.【详解】由题意直线l倾斜角为π2，则直线l⊥x轴，―(5―2m)y―3=0中，y的系数为0，即―(5―2m)=0，解得m=52．此时，直线l:x=.故选：D．2．（23-24高二上·北京·期中）圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x―3)2+y2=1的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切【答案】B【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆C1:x2+y2=4，则圆心C1(0,0)，半径r1=2，圆C2:(x―3)2+y2=1，则圆心C2(3,0),半径r2=1，所以两圆圆心距|C1C2|=3=r1+r2，所以两圆外切.故选：B.3．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(1,4)，则C的焦点坐标为（）A．(8,0)B．(4,0)C．(0,4)D．(0,8)【答案】B【分析】根据给定条件，求出p，进而求出焦点坐标.【详解】依题意，42=2p⋅1，解得p=8，所以抛物线C:y2=16x的焦点坐标为(4,0).故选：B4．（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100，则a1+a13的值为（）A．20B．30C．40D．50【答案】C【分析】直接由等差数列的性质即可求解.【详解】由题意a1+a13=2a7=25×(5a7)=25×(a3+a5+a7+a9+a11)=40.故选：C.5．（23-24高二下·山西·期中）已知双曲线x2a2―y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±x，则直线y=b a x―ab交抛物线y2=4x所得的弦长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【分析】由双曲线的渐近线方程得出a=b，进而得出直线方程，再联立直线与抛物线方程，结合弦长公式及韦达定理求解即可．【详解】因为双曲线x2a2―y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±x，所以a=b，所以y=ba x―ab=x―1，代入抛物线y2=4x得，x2―6x+1=0，设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1x2=1，所以|AB|===8，故选：D．6．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，且点F(2,0)到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为（）A B C D．【答案】C【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出b，从而求出a，即可求出离心率．【详解】因为双曲线的右焦点为F(2,0)，则c=2，即a2+b2=c2=4，双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，不妨取bx+ay=0，又点F(2,0)到双曲线C的一条渐近线的距离为1，可得1==b，所以a==所以双曲线的离心率e=ca==故选：C．7．（20-21高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（）A．161B．155C．141D．139【答案】B【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．【详解】令数列：1,7,15,27,45,71,107,⋯为数列{a n}，于是a7=107，依题意，数列{a n+1―a n}为：6,8,12,18,26,36,⋯，于是a7―a6=36数列{(a n+2―a n+1)―(a n+1―a n2,4,6,8,10,⋯是等差数列，(a8―a7)―(a7―a6)=12，则a8―a7=(a7―a6)+12=36+12=48，因此a8=a7+48=107+48=155，所以该数列的第8项为155.故选：B8．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知实数a1,a2,a3,a4,a5成等比数列，集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，且{1,4}⊆{a1,a2,a3,a4,a5}，则a1的最小值为（）A．116B．164C．―12D．―8【答案】D【分析】结合题意，a1取最小值时为负数，且a2=4，利用等比数列的基本量运算即可求解.【详解】由题意，要使a1最小，则a1，a3，a5都是负数，则a2和a4选择1和4，设等比数列{a n}的公比为q(q<0)，当a2=4时，a4=1，所以a4a2=q2=14，所以q=―12，所以a1=a2q=4―12=―8；当a2=1时，a4=4，所以a4a2=q2=4，所以q=―2，所以a1=a2q=1―2=―12；综上，a1的最小值为―8.故选：D.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．（23-24高二上·福建莆田·期中）在等差数列{a n}中a10<0,a11>0，且a11>|a10|，则下列结论正确的有（）A．S n≥S10B．S9=S10C．S19>0D．S20>0【答案】AD【分析】设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的性质及求和的性质，可对四个选项逐一判断其正误，从而得到答案．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，由a10<0,a11>0，得d>0，对于A，数列{a n}是递增等差数列，且前10项均为负数，从第11项起为正，则(S n)min=S10，即S n≥S10，A正确；对于B，S10―S9=a10<0，B错误；对于C，S19=19(a1+a19)2=19a10<0，C错误；对于D，由a11>|a10|=―a10，得a10+a11>0，S20=20(a1+a20)2=10(a10+a11)>0，D正确.故选：AD10．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知圆心为C的圆x2+y2―4x+6y+11=0与点A(0,―5)，则（）A．圆C的半径为2B．点A在圆C外C．点A在圆C内D．点A与圆C【答案】BD【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出|AC|，即可判断.【详解】因为x2+y2―4x+6y+11=0，即(x―2)2+(y+3)2=2，所以圆心为C(2,―3)，半径r=A错误；又|AC|==>r，所以点A在圆C外，故B正确，C错误；因为|AC|=A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|―r=D正确.故选：BD11．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆C:x24+y23=1，F1、F2分别为它的左右焦点，A、B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A．点P到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1B．cos∠F1PF2的最小值为14C．若△F1F2P为直角三角形，则△F1F2P的面积为32D．PF1⋅PF2的范围为[2,3]【答案】ACD【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用P位于椭圆上顶点时∠F1PF2最大求解即可；对于C，利用P点坐标求△F1F2P的面积即可；对于D，设P(x,y),利用二次函数求PF1⋅PF2的范围即可.【详解】对A，易知a=2,b==1，则a+c=3,a―c=1，故A正确；对B，P位于椭圆上顶点时∠F1PF2最大，此时cos∠F1PF2最小，且F1P=PF2=2,F1F2=2故此时△F1F2P为等边三角形，cos∠F1PF2=12，故B错误；对C，若△F1F2P B知，∠F1PF2≤60∘，所以∠F1F2P=90∘或∠F2F1P=90∘，不妨设∠F1F2P=90∘，则此时P点横坐标x P=1，代入C:x24+y23=1，得|y P|=32，故△F1F2P的面积为：12×2×|y P|=32，故C正确；对D，F1(―1,0),F2(1,0),设P(x,y),则PF1⋅PF2=(―1―x)(1―x)+y2=x2+y2―1，由x24+y23=1得：y2=3―3x24，故PF1⋅PF2=14x2+2，∵―2≤x≤2,故PF1⋅PF2∈[2,3]，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．（23-24高二上·全国·期中）直线l1:mx+2y+1＝0，l2:x+(m―1)y―1=0，若l1∥l2，则m=.【答案】2【分析】根据两直线平行求解参数即可.【详解】解：因为直线l1:mx+2y+1＝0，l2:x+(m―1)y―1=0，l1∥l2，所以m(m―1)=2且两直线不重合，解得m=2或m=―1，当m=―1时两直线重合，舍去，所以m=2．故答案为：2．13．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若直线l:ax+by+1=0始终平分圆C:x2+y2―6x+2y+9=0，则(a―2)2+(b―2)2的最小值为．【答案】52【分析】先得到圆心坐标C(3,―1)，将其代入直线方程，得到3a―b+1=0，从而得到(a―2)2+(b―2)2=10a+52≥52，得到答案.【详解】C:x2+y2―6x+2y+9=0⇒(x―3)2+(y+1)2=1，故圆心C(3,―1)，由题意得C(3,―1)在l:ax+by+1=0上，代入得3a―b+1=0，则(a―2)2+(b―2)2=(a―2)2+(3a+1―2)2=a2―4a+4+9a2―6a+1=10a2―10a+5=10a―+52≥52，当且仅当a=12时，等号成立，故答案为：5214．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+2,n=2k―1―a n,n=2k，(k∈N∗)，若S n为数列{a n}的前n项和，则S10=．【答案】26【分析】分奇偶讨论，结合等差等比定义以及求和公式求解即可.【详解】当n=2k―1,k∈N∗时，a n+2―a n=2，即数列{a n}的奇数项构成等差数列, 其首项为1，公差为2 ，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 9=5×1+5×42×2=25.当n =2k ,k ∈N ∗时,a n +2a n=―1，即数列{a n }的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为―1，则 a 2+a 4+a 6+⋯+a 10==1，所以 S 10=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 9)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 10)=26故答案为：26四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（23-24高二上·山东泰安·期中）已知△ABC 三个顶点分别为A (1,1)，B (―1,―3)，C (3,―1)．(1)求△ABC 的面积；(2)过△ABC 内一点P (1,0)有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．【答案】(1)6(2)x ―2y ―1=0【分析】（1）求出直线AB 的方程、点C 到直线AB 的距离、|AB |，由S △ABC =12|AB |⋅d 可得答案；（2）求出直线AC 的方程，设M (x 0,y 0)，则N (2―x 0,―y 0)，根据点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，可得x 0、y 0可得答案.【详解】（1）A (1,1)，B (―1,―3)，C (3,―1)，∴直线AB 的斜率k AB =2，∴直线AB 的方程为2x ―y ―1=0，∴点C 到直线AB 的距离d ==∵|AB |==∴S △ABC =12|AB |⋅d =12=6；（2）由题知，直线AB 的斜率k AC =―1，∴直线AC 的方程为x +y ―2=0，设M (x 0,y 0)，则N (2―x 0,―y 0)，∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴2x0―y0―1=02―x0―y0―2=0，解得x0=13y0=―13，∴直线l的斜率k l=0+1 31―13=12，∴直线l的方程为y―0=12(x―1)，即x―2y―1=0．16．（15分）（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=8m+5，圆C:(x―1)2+(y―2)2 =25．(1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关．(2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，m=1【分析】（1）根据直线经过定点，而定点在圆内，即可求证，（2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）l:(2m+1)x+(m+1)y=8m+5变形为(2x+y―8)m+x+y―5=0，∴2x+y―8=0x+y―5=0，∴x=3，y=2，故直线恒过(3,2)．又(3―1)2+(2―2)2<25，∴(3,2)在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关．（2）设圆心到直线l的距离为d，则d2+=25，∴d==∴m=1±故m=117．（15分）（22-23高二下·河南郑州·期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n(n∈N∗).(1)求证：数列{a n+1}为等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.【答案】(1)证明见解析(2)S n=2n+1―n―2【分析】（1）由S n和a n的关系式消去S n得递推式a n=2a n―1+1，由此构造等比数列{a n+1}；（2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得.【详解】（1）当n=1时，a1+1=2a1，解得a1=1.因S n+n=2a n①，当n≥2时，S n―1+(n―1)=2a n―1②①-②得，a n+1=2a n―2a n―1，即a n=2a n―1+1，则a n+1=2(a n―1+1)，即a n+1a n―1+1=2，(n≥2)，又a1+1=2.所以{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）法一、由（1）可得a n+1=2⋅2n―1=2n，即a n=2n―1，S n=(21―1)+(22―1)+(23―1)+⋯+(2n―1)=(21+22+23+⋯+2n)―n=2―2n+11―2―n=2n+1―n―2法二、由（1）可知a n+1=2⋅2n―1=2n，即a n=2n―1，又由题知：S n+n=2a n(n∈N∗).代入可得S n=2a n―n=2n+1―n―2.18．（17分）（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，且AF1⋅AF2=0，动直线l与椭圆交于P,Q两点；当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过点E(1,0)，椭圆的左顶点为B，当△BPQ l的斜率k.【答案】(1)x24+y22=1(2)±1【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得a,b，进而得到椭圆方程；（2）设l:x=ty+1，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据S△BPQ=12|EB|⋅|y1―y2|，结合韦达定理可构造方程求得结果.【详解】（1）由题意得：F1(―c,0)，F2(c,0)，A(0,b)，∴AF1=(―c,―b)，AF2=(c,―b)，∴AF1⋅AF2=―c2+b2=0，即b2=c2，∴a2=b2+c2=2b2；当直线l过焦点且与x轴垂直时，l:x=±c，不妨令l:x=c，x=cy2b2=1得：y=±b2a，∴|PQ|=2b2a=2，由a2=2b22b2a=2得：ab=∴椭圆C的方程为：x24+y22=1.（2）由题意知：直线l斜率不为0，可设l:x=ty+1，ty+1y22=1得：(t2+2)y2+2ty―3=0，则Δ=4t2+12(t2+2)=16t2+24>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则y1+y2=―2tt2+2，y1y2=―3t2+2，∴|y1―y2|===又B(―2,0)，∴|EB|=1―(―2)，∴S△BPQ=12|EB|⋅|y1―y2|=32×=t=±1，∴直线l的斜率k=1t=±1.19．（17分）（20-21高二上·江苏苏州·期中）数列{a n}是公差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q的等比数列，记数列{b n}的前n项和为S n.已知a1=b1,a2=b2≠a1.（1）若b k=a m（m,k是大于2的正整数）求证：S k―1=(m―1)a1；（2）若b3=a i（i是某个确定的正整数），求证:数列{b n}中每个项都是数列{a n}的项.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由a1=b1,a2=b2≠a1可得：d=a1(q―1)，代入b k=a m整理得：b1q k―1=a1+(m―1)d，即q k―1=2―m+(m―1)q，再利用等比数列前n项和公式求出S k―1，化简即可求证；（2）利用b3=a1q2，a i=a1+(i―1)d=a1+(i―1)a1(q―1)，可得q2=1+(i―1)(q―1)，即q2―(i―1) q+i―2=0，可求得q=i―2，进而可判定i―2是整数，即q是整数，设数列{b n}中任意一项为b n=a1q n―1 (n∈N∗)，数列{a n}中的某一项a m=a1+(m―1)a1(q―1)(m∈N∗)，只要证明存在正整数m，使得b n=a m，即存在方程a1q n―1=a1+ (m―1)a1(q―1)中m有正整数解即可，即可求证.【详解】（1）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q的等比数列，a1=b1,a2=b2≠a1，即a1+d=b1⋅q，所以d=a1(q―1)，由b k=a m得：b1q k―1=a1+(m―1)d，所以b1q k―1=a1+(m―1)a1(q―1)，即q k―1=1+(m―1)(q―1)=2―m+(m―1)q，=(m―1)a1所以S k―1==a1[m―1―(m―1)q]q（2）b3=a1q2，a i=a1+(i―1)d=a1+(i―1)a1(q―1)，由b3=a i得q2=1+(i―1)(q―1)，即q2―(i―1)q+i―2=0，解得：q=1或q=i―2，因为i是某个确定的正整数，所以i―2是整数，即q是整数，设数列{b n}中任意一项为b n=a1q n―1(n∈N∗)，数列{a n}中的某一项a m=a1+(m―1)a1(q―1)(m∈N∗)，现在只要证明存在正整数m，使得b n=a m，即存在方程a1q n―1=a1 +(m―1)a1(q―1)中m有正整数解即可，m―1=q n―1―1=1+q+q2+⋯+q n―2，所以m=2+q+q2+⋯+q n―2，q―1若i=1，则q=―1，那么b2n―1=b1=a1，b2n=b2=a2当i≥3时，因为a1=b1,a2=b2≠a1，只要考虑n≥3的情况，因为b3=a i，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{b n}中任意一项为b n=a1q n―1(n∈N∗)与数列{a n}的第2+q+q2+⋯+q n―2项相等，从而结论成立.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了数列的通项公式和数列求和问题，解题的关键点是由条件得出d=a1 (q―1)，利用这个关系将b k=a m化简整理可得q k―1=2―m+(m―1)q，即可对S k―1化简，第二问关键是得出q=i―2是整数.。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(新高考地区专用,直线与圆 椭圆)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．a b + ，c b + ，a c- B ．2a b + ，b ，a c- C ．2a b +，2c b + ，a b c++r r r D ．a b + ，a b c ++r r r ，cA ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B3．设定点()10,2F -，()20,2F ，动点P 满足条件()120PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．射线D ．椭圆或线段4．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，113CF CC =，则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为（）A ．23B C ．26D ．21故选：C .5．已知直线l ：3mx y ++和直线：，则“1m =-”是“l ∥A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当//l n 时，(m m6．已知椭圆22:1(0)M a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在M 上，Q 为2PF 的中点，且121,FQ PF FQ b ⊥=，则M 的离心率为（）A ．3B ．13C ．12D 根据题意可知112PF F F ==又Q 为2PF 的中点，可得PQ12均过定点，且圆12均与轴、轴相切，则圆12的半径之积为（）A ．ab B ．2abC ．22a b+D ．222a b +为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱,,AB AC AD 分别交于,,O P Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127【答案】C【详解】连接AM ，由题意知：()1122AN AF AD DF ==+ ()111362AD AB AC =+⨯+=令AOx AB APy AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨，则AO AB x AP AC y ⎧=⎪⎪⎪=⎨选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥C ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α10．已知直线，圆00为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2200x y +的最大值为5B ．00y x 的最大值为5C ．直线l 与圆C 相切时，k =D ．圆心C 到直线l 的距离最大为411．已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆221x y a b+=于A ，B 两点，1F ，2F为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ，则（）A ．若1k =，则椭圆的离心率为B ．若13MA MB k k =-，则椭圆的离心率为3C ．1//l FQ D ．若直线BQ 平行于x 轴，则k =对于A ，若1k =，则(0,)Q c 所以2222c cc e a b cc ===+对于B ，设0,0，则(B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点()()4,0,0,2A B ，当PBA ∠最小时，PB =.13．下列关于直线方程的说法正确的是.①直线sin 20x y θ-+=的倾斜角可以是2；②直线l 过点()2,3-，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10x y +-=；③过点()00,P x y 的直线0Ax By C ++=的直线方程还可以写成()()000A x x B y y -+-=；④经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程可以表示为111212y y x x y y x x --=--.1111的棱长为3，P 是侧面11（包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB △的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是．.77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=.(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB 面积最小时，求AOB 的周长.()1740++--=m y m 可得：(m ，所以直线l 过定点()3,1M ．.....................51111平面11(1)求证：平面11AB C ⊥平面1A BC ；(2)设点P 为1AC 的中点，求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【详解】（1）证明1AA ⊥ 平面,ABC BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥.又1,AB BC AA AB A ⊥⋂= ，且1,AA AB ⊂平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A .1AB ⊂ 平面111,ABB A BC AB ∴⊥.又111,AB A C A C BC C ⊥⋂= ，且1,AC BC ⊂平面1A BC ，1AB ∴⊥平面1A BC .1AB ⊂ 平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面1A BC ......................6分（2）由（1）知11AB A B ⊥，所以四边形11ABB A 为正方形，即12AA AB ==，且有22AC =.以点A 为原点，以1,AC AA 所在直线分别为,y z 轴，以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()()()110,0,2,0,22,0,2,2,0,2,2,2,0,2,1A C B B P ，所以()()()2,0,1,0,2,1,2,2,0BP AP CB =-==-，设平面ABP 的一个法向量 =s s ，则0,0,BP n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20,x z y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取()1,1,2n =- ，同理可得平面BCP 的一个法向量()2,2,2m = ，所以()()2,2,21,1,2221cos ,2224112222m n m n m n ⋅-⋅====++⨯++⨯ ，所以平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值为12......................15分17．（15分）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的焦距为22，离心率为22.(1)求C 的标准方程；(2)若5,02A⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l：()302x ty t=+>交椭圆C于E，F两点，且AEF△的面积为2，求t的值.联立则12232ty yt+=-+，12y y=-设直线l与x轴的交点为D⎛⎝如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，AB AD⊥，PA PD=，1AB=，2AD=，AC CD==.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD?若存在，求出AM AP的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD⋂平面ABCD AD=，且AB AD⊥，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB PD⊥，又PD PA⊥，且PA AB A=，,PA AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB；.......................5分（2）取AD中点为O，连接,CO PO，19．（17分）已知圆O的方程为2,1-的圆O的切线方程；(1)求过点()(2)已知两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中R a ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，PA n PB =（n 为常数），①求常数n 的值；②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．。
广西南宁市第八中学2024-2025学年高二上学期9月学业质量阶段诊断测试数学试卷
广西南宁市第八中学2024-2025学年高二上学期9月学业质量阶段诊断测试数学试卷一、单选题1．若复数z 的模为10，虚部为8-，则复数z 的实部为（ ）A ．6-B ．6C ．6±D ．362．掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为（ ）．A ．互斥B ．互为对立C ．相互独立D ．相等3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且O A B C ''''∥，22O A B C ''''==，1A B ''=，则该平面图形的高为（ ）A B ．1 C ．D ．24．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A ．若,m αββ⊥⊥，则//m αB ．若//,//,//m n αβαβ，则//m nC ．若,//,m m n n βα⊥⊂，则αβ⊥D ．若,//,m n αβαβ⊥⊥，则m n ⊥5．已知M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且1324MN ON AP AN ==，，以,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为基底，则OP u u u r 可以表示为（ ）A ．111244OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r B ．111233OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r C ．111433OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r D ．111444OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 6．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UD ．30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，若点E ，F 分别满足23AE AB =u u u r u u u r ，23AF AC =u u u r u u u r ，三棱柱高为3，ABC V 面积为11B C BCFE -的体积为（ ）A B ．C D8．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC V 面积的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭二、多选题9．第一组样本数据：12,,,n x x x L ，由这组数据得到第二组样本数据：12,,,n y y y L ，其中()1,2,,i i y ax b i n =+=L ，其中,a b 为正数，则下列命题正确的是（ ）A ．当1a =时，两组样本数据的样本平均数不相同B ．第二组样本数据的样本极差是第一组的a 倍C ．第二组样本数据的样本标准差是第一组的a 倍D ．第二组样本数据的样本方差是第一组的a 倍10．已知向量()cos ,sin m αα=u r ，()cos ,sin n ββ=r ，且()1,m n +=u r r ，则下列说法正确的是（ ）A ．221m n +=u r rB ．()cos 0αβ-=C ．()sin 1αβ+=-D ．m n -u r r 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A （含边界）内一动点，且//AP 平面1DBC ，则下列选项正确的是（ ）A ．1AC AP ⊥B ．三棱锥1P BDC -的体积为定值C ．PC ⊥平面1BDCD ．异面直线AP 与BD 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知6a =r ，(3,0)b =r ，12a b ⋅=-r r ，则a r 在b r 方向上的投影向量是.13．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程为14．已知在三棱锥P －ABC 中，P A ＝4，BC =PB ＝PC ＝3，PA ⊥平面PBC ，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积是.四、解答题15．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，且各棱长均相等，D 为11A B 的中点．(1)证明：1//B C 平面1AC D ；(2)证明：平面1AC D ⊥平面11ABB A ．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b C c a +=．(1)求角B ；(2)若D 为AC 的中点，且52BD =，b ＝3，求ABC V 的面积． 17．对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为 50,60 ， 60,70 ，[)70,80， 80,90 ， 90,100 ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间[)70,90的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和2775，第三组[)70,80的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组 80,90 的学生实际成绩的平均数与方差.18．已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值.19．如图，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，AD CD ⊥，2BC =，3AD =，CD =AD 上一点E 满足1DE =，现将ABE V 沿BE 折起到1A BE V 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，如图所示.(1)在棱1AC 上是否存在点F ，使直线//DF 平面1A BE ，若存在，求出11A F A C，若不存在，请说明理由；(2)求二面角1A BC D --的平面角的正切值.。
广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年高二上学期月考(二)(期中)数学试题(含答案)
南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B.C.D.2.复数，则的虚部为（ ）A.B. C. D.3.已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）A.4B.1C.3D.24.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若实数m 满足，则曲线与曲线的（ ）A.离心率相等B.焦距相等C.实轴长相等D.虚轴长相等6.已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）A.2B.3C.4D.67.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）A.B.4C.6D.8.已知椭圆的左､右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（）{}1,{22}A xx B x x =>=-<<∣∣()R A B ⋂=ð()2,1-(]2,1-(),2∞-(]1,2i 21iz -=+z 3i 23232-3i 2-()()3,2,5,1,,1a b x =-=- a bx 1m =()1:110l x m y +++=()2:110l m x my +--=05m <<221155x y m -=-221155x y m -=-2212:1,,94x y C F F +=P C 122PF PF -=12PF F 222x y -=12,F F P ()0,2Q 1PQ PF +()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F ()11,P x y C 12PF F ()22,Q x y 12x =2x =CD.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若，则直线的倾斜角为C.若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点D.直线的纵截距为10.已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点的坐标为C.直线与抛物线相切D.11.已知正方体棱长为4，点是底面正方形内及边界上的动点，点是棱上的动点（包括点），已知为中点，则下列结论正确的是（）A.无论在何位置，为异面直线B.若是棱中点，则点C.存在唯一的位置，使平面D.AP与平面所成角的正弦最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线与之间的距离是__________.13.若圆与圆相内切，则__________.14.已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若1-2()()1,3,1,3A B-AB90()1,245 ()3,42y kx=-2-()1,2A()220y px p=>()1,0Q-2p=F()2,0AQ AF AQ⊥1111ABCD A B C D-N ABCD M 1DD1,D D4,MN P=MN,M N1,AP CCM1DD P,M N1A P∥1AB C11A BCD121:68100l x y+-=2:6850l x y+-=221:(2)1C x y-+=222:460C x y x y m++++=m=()222210,0x ya ba b-=>>12,F F M､，则双曲线的渐近线方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C 的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C 的方程.16.（15分）记的内角的对边分别为，且.（1）求角A ；（2）若，求的周长.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.19.（17分）已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值；122π,3F MF OM ∠==()2:20C y px p =>F ()3,A m y ()ABC ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =a ABC =ABC P ABCD -ABCD PAD CD ⊥,,,,PAD E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD EFG ABCD ()2222:10x y E a b a b+=>>()()121,01,0,F F M -､E 12MF F E :l y kx m =+E ,P Q 22434k m +=OPQ O ()222Γ:1,0y x b b-=>12,A A ()2,0M -l Γ,P Q 2e =b（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围.2b MA P =P P OQ ΓR 121A R A P ⋅=b南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题参考答案题号1234567891011答案BBAABCDABCDACABD12.13. 14. 15.（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为，故，故抛物线标准方程为.（2）设圆C 方程：，由已知，解得，圆C 方程为.16.（1）因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以1/0.5223-y x =()3,Am 2p x =-352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭4p =28y x =()222()0x y b rr +-=>22222((3)b r b r⎧=⎪⎨+-=⎪⎩22b r =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +-=sin2sin b A a B =2sin cos sin b A A a B =2sin sin cos sin sin B A A A B =sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =()0,πA ∈π3A =（2）在中，由已知，因为由余弦定理可得，即，即，又，所以.所以的周长周长为17.（1）证明：是等边三角形，是的中点，，又平面平面，又平面平面平面.由（1）得平面，连接，建立以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示，底面是边长为4的正方形，则，，则，设平面的法向量为，则取平面的法向量为，又平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为ABC11sin 622ABC S bc A bc bc ===∴= π,3A a ==2222cos a b c bc A =+-217()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=ABC 5PAD O AD PO AD ∴⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PAD CD PO ∴⊥,AD CD D AD ⋂=⊂,ABCD CD ⊂,ABCD PO ∴⊥ABCD PO ⊥ABCD OG O ,,AD OG OP x y z O xyz -ABCD ()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0O A B C -()()(((2,0,0,0,4,0,0,0,,1,,D G P E F ---()(0,2,0,1,2,FE EG == EFG (),,n x y z = 20,20,n FE y n EG x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ x =0,1,y z ==∴EFG )n = ABCD (0,0,OP =∴EFG ABCD.18.（1）根据题意，.在椭圆上顶点，此时.所以，则求椭圆的方程.（2）如图所示，设，联立直线与椭圆的方程得，.，又，因为点到直线的距离，所以.1cos ,2OP n OP n OP n ⋅<>===⋅ 1c =M E 121212MF F S F F MO b === 2224a b c =+=E 22143x y +=()()1122,,,P x y Q x y l E 22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223484120k x kmx m +++-=()()()22222222Δ644344121924814448430k m k mk m k m =-+-=-+=-+>21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++2PQ x =-===O PQ d =22434k m +=22222211666322343442PQOm m m S PQ d k k m =⨯⨯=====++综上，的面积为定值.19.（1）由题意得，则.（2）当时，双曲线，其中，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；...②当以为底时，，设，则，联立解得或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即.综上所述：.（3）由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①②，OPQ 3221c ce a ===2,c b ===b=22Γ:183y x -=()()22,0,1,0M A -2MA P 2MA P 12x =-P 2A P 23MP MA ==(),P x y 2222318(2)9y x x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩P 2MP MA >MP 223A P MA ==()00,P x y 000,0x y >>()2200220019183x y y x ⎧-+=⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,P (2,P ()()121,0,1,0A A -l 120A R A P ⋅=0l k ≠:2l x my =-()()1122,,,P x y Q x y OQ ΓR ()22,R x y --()22222222214301x my b m y b my b y x b =-⎧⎪⇒--+=⎨-=⎪⎩2210b m -≠()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =---=+>2122241b m y y b m +=-2122231b y y b m =-()()1222111,,1,A R x y A P x y =-+-=-则，因为在直线上，则，即，即，将①②代入有即，化简得所以，代入到，得，所以，且，解得，又因为，则，综上知，.()()122112111A R A P x xy y ⋅=-+--=()()1122,,,P x y Q x y l 11222,2x my x my =-=-()()2112331my my y y ----=()()2121213100y y m y y m +-++=()22222223413100,11b b mm m b m b m +⋅-⋅+=--()()2222231341010bmm b m b m +-⋅+-=2223100b m b +-=22103m b=-2210b m -≠21031b -≠23b ≠221030m b =-≥2103b ≤0b >21003b <≤()(2100,33,,3b b ⎛⎤∈⋃∴∈⋃ ⎥⎝⎦。
2024年沪教新版高二数学下册阶段测试试卷含答案
2024年沪教新版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知x、y满足条件则2x+4y的最小值为（）A. 6B. 12C. -6D. -122、已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，C U（A∪B）={1，3}，A∩（C U B）={2，4}，则集合B=（）A. {1，3，5，7，9}B. {1，2，3，4}C. {2，4，6，8}D. {5，6，7，8，9}3、等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A. 99B. 66C. 144D. 2974、函数y=（cosx）的一个单调减区间为（）A. （-π，0）B. （0，π）C. （0，）D. （-，0）5、已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A. （0；1）B.C.D.6、如图所示，北京城市的周边供外国人旅游的景点有8个，为了防止奥运期间景点过于拥挤，规定每个外国人一次只能游玩4个景点，而且一次游玩景点中至多有两个相邻（如：选择A、B、E、F四个景点也是允许的），那么外国人Jark现在要分两次把8个景点游玩好；不同的选择方法共有（）种．A. 60B. 42C. 30D. 147、【题文】对任意x都有则( )。
A.B. 0C. 3D.8、设x∈R，则“|x-1|＜2”是“x2-4x-5＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a5a9）的值为____．10、设f（x）为定义在（-3，3）上的奇函数，当-3＜x＜0时，f（x）=log2（3+x），则f（0）+f（1____．11、（2014秋•重庆期末）已知圆O的半径为1，过圆外一点P作圆O的割线与圆O交于C、D两点，若PC•PD=8，则线段PO的长度为____．12、以点A（-3，4）为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程是____．13、【题文】已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（）。
2024年统编版2024高二数学下册阶段测试试卷含答案
2024年统编版2024高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A.B.C.D.2、已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为（）A. 5B. 10C. 20D. 303、设二次函数f（x）=x2-x+a，若f（-t）＜0，则f（t+1）的值（）A. 是正数B. 是负数C. 是非负数D. 正负与t有关4、高三年级有文科；理科共9个备课组；每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出l2人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宣．则不同的名分配方案共有（）A. 129种。
B. 148种。
C. 165种。
D. 585种。
5、已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立；则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x；y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x-2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④6、设变量x、y满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为A. 1，－5B. －1, －5C. 5, －1D. 1，5评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=____．8、设若则9、【题文】是虚数单位，计算_________.10、宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为____11、一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为____km．12、已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上．则实数a= ______ ．13、设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1-i，则|z|= ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)14、用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心O（尺寸自定）．15、函数y=-2-x-2的图象经过____象限．16、已知区域D满足，那么区域D内离坐标原点O距离最远的点P的坐标为____．17、对于每一个实数x，f（x）是2-x与x中的较小者，则函数f（x）的值域是____．18、如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是____．19、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；②P在直线FG上运动时；AP⊥DE；③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；④M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和 C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．评卷人得分四、解答题(共1题，共8分)20、选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系和直角坐标系中极点与坐标原点重合，极轴与x轴半轴重合，点P的直角坐标为直线l过点P且倾斜角为曲线C的极坐标方程是设直线l与曲线C交于A；B两点．①写出直线l的参数方程；②求|PA|+|PB|的值．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．【解析】【解答】解：当a≠0时，整理抛物线方程得x2= y；p=∴焦点坐标为（0，）．抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标为：（0，）．故选：C2、A【分析】【分析】由题意可知△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心在AB的中点上，再由P到三个顶点的距离相等可得P在面ABC上的射影为球的球心，然后直接利用棱锥的体积公式求解．【解析】【解答】解：如图；在△ABC中；不妨设AB=5，AC=3，BC=4．则∠ACB=90°；∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点；即球的球心为AB的中点；又P到△ABC的三个顶点的距离相等；∴P在平面ABC上的射影到A；B、C的距离相等；∴O为P在平面ABC上的射影；则OP⊥面ABC；又P在球面上，∴OP为球的半径，∴OP= ．∴= ．故选：A．3、B【分析】【分析】根据二次函数解析式，得出f（t+1）=t2+t+a=f（-t），再结合题意即可得到f（t+1）的值为负数．【解析】【解答】解：∵f（x）=x2-x+a；∴f（t+1）=（t+1）2-（t+1）+a=t2+t+a；又∵f（-t）=t2+t+a；且f（-t）＜0；∴f（t+1）＜0；即f（t+1）为负数．故选：B4、C【分析】根据题意；只须将把12个名额分成9份，每份至少一个名额即可，分别对应8个备课组；选用隔板法；即将12个名额排成一列，共11个间隔即空位，从其11个空位中，选取8个，插入隔板就符合题意；即C118=C113=165；故选C．【解析】【答案】根据题意；只须将把12个名额分成8份，每份至少一个名额即可，分别对应12个备课组，选用隔板法，分析可得答案．5、D【分析】对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立；所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立；例如（0，1）；（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}；取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x-2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立；例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．【解析】【答案】对于①利用渐近线互相垂直；判断其正误即可．对于②；③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；6、A【分析】【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)7、略【分析】依题意可得d=2，a1=1∴a7=1+6×2=13故答案为：13【解析】【答案】根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1；最后根据等差数列的通项公式求得答案．8、略【分析】试题分析：因为所以所以考点：1分段函数；2定积分。
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南宁市高二下学期期中数学试卷（理科）B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知是复数，i是虚数单位，在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）
曲线在点处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A .
B .
C .
D . 1
3. （2分） (2016高一下·珠海期末) 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列事件是对立事件的为（）
A . 恰好一个白球和全是白球
B . 至少有一个白球和全是黑球
C . 至少有一个白球和至少有2个白球
D . 至少有一个白球和至少有一个黑球
4. （2分）(2020·阿拉善盟模拟) 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（）种
A . 12
B . 36
C . 72
D . 108
5. （2分） (2016高二下·三门峡期中) 若多项式，则a9=（）
A . 9
B . 10
C . ﹣9
D . ﹣10
6. （2分）已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）
A . ﹣e3
B . ﹣e2
C . ﹣e
D . -
7. （2分）(2018·郑州模拟) 在n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则的系数为（）
A . 50
B . 70
C . 90
D . 120
8. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 展开式中项的系数为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）已知（a﹣x）5=a0+a1x+a2x2+••+a5x5 ，若a2=80，则a0+a1+a2+••+a5=（）
A . 32
B . 1
C . ﹣243
D . 1或﹣243
10. （2分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2 ．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1 ， S2 ， S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）
A . S4=S1+S2+S3
B . S42=S12+S22+S32
C . S43=S13+S23+S33
D . S44=S14+S24+S34
11. （2分） (2016高三上·德州期中) 不等式x2﹣2|x|﹣3＜0的解集是（）
A . （﹣3，3）
B . （﹣3，1）
C . （﹣3，0）∪（0，3）
D . （﹣1，0）∪（0，1）
12. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 函数有极值点，则的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.
14. （1分）将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第25项为________．
15. （1分）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且2与不5相邻的五位数的个数是________．
16. （1分） (2015高三上·厦门期中) 给出下列四个命题中：
①命题：；
②函数f（x）=2x﹣x2有三个零点；
③对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．
④已知函数，若△ABC中，角C是钝角，那么f（sinA）＞f（cosB）
其中所有真命题的序号是________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共65分)
17. （20分）当实数m为何值时，，
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
（4）复数z对应的点在复平面内的第二象限．
18. （10分）已知函数f（x）=lnx+ax的函数图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若直线y=kx+b与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．
证明：＜k＜．
19. （10分）(2017·鞍山模拟) 已知函数f（x）=ln（ax+b）+ex﹣1（a≠0）．
（1）当a=﹣1，b=1时，判断函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）≤ex﹣1+x+1，求ab的最大值．
20. （10分）(2018·潍坊模拟) 已知函数
（1）若曲线在点处的切线为，与轴的交点坐标为，求的值；
（2）讨论的单调性.
21. （10分） (2017高二上·孝感期末) 已知常数m≠0，n≥2且n∈N，二项式（1+mx）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，第三项系数是第二项系数的9倍．
（1）求m、n的值；
（2）若记（1+mx）n=a0+a1（x+8）+a2（x+8）2+…+an（x+8）n，求a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）nan除以6的余数．
22. （5分） (2017高二下·西城期末) 已知函数f（x）=x3﹣3x2 ．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[﹣1，m]时，值域为[﹣4，0]，求m的最大值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共65分) 17-1、
17-2、
17-3、
17-4、
18-1、
18-2、19-1、
19-2、20-1、
20-2、21-1、21-2、
22-1、。