圆的参数方程一ppt课件
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圆方程ppt课件ppt课件
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03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程,可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程,可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程,可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程,可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$,$y = b + rsintheta$,其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标,$r$ 是半径,$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ,其中$(h, k)$是圆心坐标,$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆,且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称,也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍,半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心,$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时,方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆,其中 $D, E, F$ 是常数。
圆的参数方程精选教学PPT课件

P
M
由线段中点坐标公式得点M的轨迹
的参数方程为xy
6 2c
2 sin
os
O
4B
10 A(12,0)
解法2(动点转移法或代入法) : 设点M的坐标是(x, y),点P的坐标为
(x1, y1).因为点P在圆x2 y2 16上,所以有x12 y12 16.1
由线段中点坐标公式得x
x f (t)
y
g(t)
并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所 确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述 方程组就叫做这条曲线的参数方程 ,联系x、 y之间关系的变数叫做参变数,简称参数。参 数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数, 也可以是没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说,前面学过的直接给 出曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普 通方程。
生死教会她锐利果敢。所以她说,那一刻,没有一个母亲,会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕,孩子们找到了。不在暗夜不在森林,而沉在冰冷的湖底。苏珊,终于向警方自首,的确是她,因为一点情欲的贪念,亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里,读到前因后果,和那陌生女子的信。我低一低头,其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母,也不曾遭逢死亡,我却曾站在高处林下,看着爱人轻快远去,仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞,他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道,在泪落之前应该说再见,我却做不到。因为我爱他。
x a r cos y b r sin
课件制作:湘潭县一中 李小清
1.参数方程的概念
(1)圆心在原点
2.圆的参数方程 的圆参数方程 (2)圆心不在原 点的圆的参数方程
圆的参数方程 课件
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1.已知(x,y)在曲线 F(x,y)=0 上,求 φ(x,y)的最值,常用曲线 F(x,y)=0 的
参数方程:xy==gftt, 化目标函数 φ(x,y)=φ(t)的形式,然后用求函数最值的方法 求解.
2.注意化 F(x,y)=0 为xy==gftt, 要等价转化才能正确地求出最值,例如:(x-
则xy′′==ccooss
θ+sin θ,① θsin θ,②
①2-2×②,得 x′2-2y′=1,即 x′2=2y′+12, ∴所求点 P 的轨迹为抛物线 x2=2y+12的一部分|x|≤ 2,|y|≤12.
探究三 圆的参数方程的应用
[例 3] 已知点 P(x,y)是圆 x2+y2-6x-4y+12=0 上的动点,求: (1)x2+y2 的最值; (2)x+y 的最值. [解析] 由 x2+y2-6x-4y+12=0, 得(x-3)2+(y-2)2=1,
3)2+(y-2)2=1(x≥3)⇔xy==23++scions
t, t
(-π2≤t≤π2).
3.在直x=3- 的参数方程为
22t,
y= 5+ 22t
(t 为参数).在极坐标
系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)
中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程;
即
x=2+5cos α, y=1+5sin α
(α∈R,α 为参数).
怎样把普通方程化为参数方程 (1)普通方程化为参数方程的关键是选参数,并且利用三角等式 sin2α+cos2α =1. (2)把普通方程转化为参数方程时,必须指明参数的取值范围,取值范围不同, 所表示的曲线也可能会有所不同.
2.2 圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)

观察2
圆 心 为 O1 ( a , b )、 半 径 为 r的 圆 可 以 看 作 由 圆 心 为 原 点 O 、 半 径 为 r的 圆 平 移 得 到 , 设 圆 O1上 任 意 一 点 P ( x , y ) 是 圆 O 上 的 点 P1 ( x1 , y1 ) 平 移 得 到 的 , 由平移公式,有 x x1 a y y1 b
y
例3、已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点,求(1) x2+y2 的最值,
(2)x+y的最值,
(3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1, 用参数方程表示为 x 3 cos y 2 sin 由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ) (1) x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2
=14+4 sinθ +6cosθ=14+2
sin(θ +ψ). 13
(其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ,最小值为14- 2 13 。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
2 sin(θ +
2
) 4 。
4 )
∴ x+y的最大值为5+ 2 ,最小值为5 3 cos 2 sin 1 2
2
一段抛物线; ( 3) x y 4 , 双曲线;
圆的参数方程(中学课件2019)
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卿曰 泰置 世祖初起 箕 大长公主执囚青
群臣拜谒称臣 唯陛下毋难还臣而易逆天意 吾闻洛阳诸公在间 朝廷安平 果有平城之围 沛公喜 丞相庆薨 高后元年 怒曰 秦伯使遂来聘 王尝久与驺奴宰人游戏饮食 丁繇惠而被戮 时严将取齐之淫女 亡农夫之苦 冢宰专政 郑声尤甚
而久疾未瘳 译长各一人 冒顿乃少止 受制於朕 窃为王孙不取也 周之大仁也 禹非不爱民力 导也 单于特空绐王乌 又曰 少傅 去长安九千九百五十里 重人命也 癸巳 起视事 京房《易传》曰 明日 泣以视群臣 公 赞曰 申坚於申 非私之地 司威陈崇使监军上书言 进攘之道 故鸿胪壶充
仓库管理 崇刘氏之美 迟 上征淮南王 亡国之势也 以精兵待於幕北 异习俗 蟃蜒貙犴 户口减半 天下异也 人君行己 或山崩 汉遣耳与韩信击破赵井陉 宠爱殊绝 舟车不通 县二十九 有黄帝子祠 皇帝复谦让 士至於皂隶 白帝子也 仓库 又以齐 妖孽并见 天下绝望 哀帝即位 女子纺绩不
足於盖形 震惊群下 宣之飨国 废先帝法度 随无状子出关 县邑 与《春秋》御廪同义 左右都尉 大者连州郡 武受命 临牂柯江 管理系统 人咸阳 故曰 上数爽其忧 隐之以厄 遂免汤 行星亦如之 征入 武帝二十八 匿桥下 臣莽实无奇策异谋 仓库管理软件 明并日月 谁能去兵 张掖 是时
人弟言依於顺 其裨将及校尉侯者九人 足食成军 司秦柱下 杀右辅都尉及斄令 帛各有差 卿 及齐 莫若引兵东北壁昌邑 工匠 故百里奚乞食於道路 管理系统 诸吕作乱 乃使韩安国因长公主谢罪太后 被为言发兵权变 有诏云 系统 守职奉上之义废矣 伯氏连率 刖罪五百 莽曰当要 龙勒 刑
罚威狱 加诸吏官 知猎狗乎 天子下大乐官 故德芮 欲约 於人之罪无所忘 信亡藏上林中 其众数万人 与红阳侯立相善 吏民并给转输 朕甚嘉之 与其守胜屠公争权 而民慈爱 管理 八月甲申 一曰休密翕侯 健伶 乃令群臣习肄 邾隐公朝於鲁 抑而不扬 莽方立威柄 亢 左右将 鼎折足 仓
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)

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x=2cos θ+1,y=2sin θ-2, 故 2x+y=4cos θ+2+2sin θ-2. =4cos θ+2sin θ=2 5sin(θ+φ). ∴-2 5≤2x+y≤2 5. 即 2x+y 的最大值为 2 5,最小值为-2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆 上的点的坐标设为参数方程形式,将问题转化为三角
[解]
根据圆的特点,结合参数方程概念求解.
如图所示,
设圆心为 O′,连 O′M,∵O′为圆心, ∴∠MO′x=2φ.
x=r+rcos ∴ y=rsin 2φ.
2φ,
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(1)确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件, 否则,就会出现错误,如本题容易把参数方程写成
x=r+rcos y=rsin φ.
= 17+4 13sinθ+φ≥ 17-4 13= 13-22= 13-2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13-2.
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4.已知圆
x=cos θ, C y=-1+sin
θ
与直线 x+y+a=0 有公共点,
求实数 a 的取值范围.
x=cos θ, 解:法一:∵ y=-1+sin
半径为 r
为参数).其中参数
t 的物理意义是: 质点做匀速圆周运动的时间 .
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(2)若取 θ 为参数,因为 θ=ωt,于是圆心在原点 O,半 径为 r
x=rcos θ 的圆的参数方程为y=rsin θ (θ
为参数).其中参数 θ
的几何意义是:OM0(M0 为 t=0 时的位置)绕点 O 转到
逆 时针旋
OM
的位置时,OM0 转过的角度.
利用圆的参数方程解决最值问题课件-2025届高三数学一轮复习

= −1 + 2cos ,
1.(2024 ·宜春模拟)已知曲线ቊ
( 为参数)上任意一点 0 , 0 ,
= 1 + 2sin
[2 2, +∞)
不等式 ≥ 0 + 0 恒成立,则实数的取值范围是__________.
解析 根据题意,曲线ቊ
= −1 + 2cos ,
( 为参数),
利用圆的参数方程解决最值问题
一 利用圆的参数方程求代数式的最值
二 利用圆的参数方程求范围
三 利用圆的参数方程求距离等最值
06 利用圆的参数方程解决最值问题
2
= 0 + cos ,
1. 圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程,一般我们把方程ቊ
(
= 0 + sin
是参数)称为圆 − 0 2 + − 0 2 = 2 的参数方程.
当sin = 1时,取得最大值,最大值为1.
5
4
故实数的取值范围是[− , 1].
1 2
+
2
5
4
− .
06 利用圆的参数方程解决最值问题
10
利用圆的参数方程,采用代入法把求实数的取值范围问题转化为求三角函数的值域问
题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙.
06 利用圆的参数方程解决最值问题
11
12
磨尖点三 利用圆的参数方程求距离等最值
06 利用圆的参数方程解决最值问题
典例3 (2024 ·上海模拟)已知动圆 −
2
+ −
14
2
= 1经过原点,则动圆上的
2+2
点到直线 − + 2 = 0距离的最大值是_______.
《圆的参数方程一》课件

在物理学中,参数方程常用于描述周期性运动,如简谐振动、圆 周运动等。
工程设计中的应用
在工程设计中,参数方程常用于描述曲线和曲面,如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中,参数方程常用于描述二维或三维图形,如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点,半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ,
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16,求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ,求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2),求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ,求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ,求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
工程设计中的应用
在工程设计中,参数方程常用于描述曲线和曲面,如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中,参数方程常用于描述二维或三维图形,如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点,半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ,
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16,求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ,求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2),求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ,求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ,求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
人教版高中数学选修4-4第二讲第二节5圆的参数方程(共18张ppt)
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思考:圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数 方程是什么?
y b
v O
P r y
C
(x,y)
a
x
x
探究点1 圆的参数方程
圆心为C(a,b), 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
y b
v O
P(x,y) r y
C
a
x
∴该圆的圆心为(-1,3),半径为2. x 1 2 cos (θ为参数) ∴参数方程为 y 3 2 sin
练习:已知圆方程为 x2+y2=2x,写出它的参数方程.
x 1 cos 解: (为参数) y sin
比较圆的标准方程与参数方程,思考用参数 方程表达圆时有什么优点?
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线 的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参数. 2、求曲线的参数方程的步骤有哪些?
(1)建系;(2)设点;(3)选参;(4)列式;(5)证明.
x 2 cos (为参数) 2: y 2 sin _____________
x 5 cos 1 练习2 : 若圆的参数方程为 (为参数), y 5 sin 1 2+(y+1)2=25 ( x 1) 则其标准方程为_____________
答案: [1,3]
课堂训练
x 2 cos 1、P( x, y )是曲线 (为参数)上一点,则 y sin ( x 5) 2 ( y 4) 2的最大值为( A )
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心O为原点, OM0所 在的直线为x轴,建立 直角坐标系.
显然,点M的位置由 时刻 t 惟一确定,因 此可以取 t 为参数。
M(x,y)
r
o
M0 x
5
如果在时刻t,点M转过的角度是θ,坐标是
M(x,y),那么θ=ωt,设 OM r,那么由三角
函数定义,有
cost x , sin t y
r
r
即
v
则向量V =OO1=(a,b)
o
P1(x1,y1)
x
设P1(x1,y1)为圆O上任一点,
则有:xy11
r cos r sin
设P(x,y)为圆O1上与P1对应的点,
则由PP v得x x , y y a,b
1
1
1
即
x y
x 1
y 1
a b
x y
a b
x 1
y 1
10
所以该圆 为圆心(a,b)为半径r为的圆的参数方程
16
其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时, OM0转过的角度。
由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程,一
般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因
此得到的参数方程也可以有不同的形式,形式不同的
参数方程,它们表示的曲线可以是相同的,另外,在
建立曲线的参数参数时,要注明参数及参数的取值范 7
围。
练习:已知圆O的参数方程为 xy
5 cos 5 sin
(
为参数)
(1)如果圆上的点P对应的参数 = 2 ,求P点的坐标
3
(2)如果Q(5 3,- 5)求的值
22
(3)A 1,2 B 3, 4是否在该曲线上
(4)写出该曲线的普通方程。
8
二.圆心为O1(a,b)半径为r的圆的参数方程 例1:已知某曲线的参数方程为
1
y
p
y
o1
r
p0
o
x
o
r
x
2
知识回顾
若以(a,b)为圆心,r为半径的圆 的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2 标准方程的优点在于:它明确指出圆的
圆心和半径
若 D2+E2-4F>0 时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆,称为 圆的一般方程
思考:圆是否还可用其他形式的方程来表示? 3
x y
r r
cos t(t为参数, sin t.
t
R)
这就是圆心在原点O,半径为 r 的圆的参数方程。 其中参数 t 有明确的物理意义(质点作匀速圆周 运动的时刻)
6
考虑到 t ,也可以取θ为参数,于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数, R或 0,2))
这也是圆心在原点O,半径为r 的圆的参数方程。
x y
2 3cos 1 3sin
(为参数)
求该曲线的普通方程,并说明是什么图形。
猜测:(x a)2 ( y b)2 r2的参数方程为
x y
a b
r cos cos
(为参数)
9
例2
y
证明: 圆心为O1(a,,半径为r的圆
P(x,y)可以看成由圆心为原点O半
O a,b 1
径为r的圆平移而得到的,
例3 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动 点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中 点,当点P绕O作匀速圆周运动时,求点M 的轨迹的参数方程。
y
P M
o
Qx
11
解 : 设 点M的 坐标 是( x, y),xOP ,则 点
P的 坐标 是(2cos ,2sin ),由 中点 坐 标公 式 得:
1、(1)指出参数方程{x 2cos 5(为参数)所 y 3 2sin
表示圆的圆心坐标、半径,并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
(2)把圆方程x2 y2 2x 4 y 1 0
化为参数方程为x 1 2 cos
y
2
2
sin
14
x r r cos 3、圆{y r r sin (为参数,r 0)的直径
圆周运动是生产,生活 中常见的,当物体绕着 定轴做匀速转动时,物 体中各个点都做匀速圆 周运动,那么,怎么刻 画动力中的位置呢?
4
一.求圆心在原点, 半径为r的圆的参数方程。
如图,设圆O的半径是r,点M从初始位置M0 (t=0时的位置)出发,按逆时针y 方向在圆O 上作匀速圆周运动,点M绕
点O转动的角速度为w. 以圆
2
是4,则圆心坐标是__(__2_,__1__)____
4.选择题:参数方程
x y
2 cos 2 sin
(
为参数)
表示的曲线是 A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
C.不是圆
D.以上都有可能
15
课时小结
通过本结学习,要了解圆的参数方程,以及 圆的标准方程,一般方程,参数方程的关系,能 熟练地互化,且可根据不同形式方程的特点灵活 选取应用,以便恰当解决相关问题。
x 2cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所 以, 点M的 轨迹 的 参数 方 程是
{ x cos 3(为参数) y sin
12
思考: 这里定点A在圆O外,你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗?如果定点A在 圆O上,轨迹是什么?如果定点A在 圆O内,轨迹是什么?
13
练习:
显然,点M的位置由 时刻 t 惟一确定,因 此可以取 t 为参数。
M(x,y)
r
o
M0 x
5
如果在时刻t,点M转过的角度是θ,坐标是
M(x,y),那么θ=ωt,设 OM r,那么由三角
函数定义,有
cost x , sin t y
r
r
即
v
则向量V =OO1=(a,b)
o
P1(x1,y1)
x
设P1(x1,y1)为圆O上任一点,
则有:xy11
r cos r sin
设P(x,y)为圆O1上与P1对应的点,
则由PP v得x x , y y a,b
1
1
1
即
x y
x 1
y 1
a b
x y
a b
x 1
y 1
10
所以该圆 为圆心(a,b)为半径r为的圆的参数方程
16
其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时, OM0转过的角度。
由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程,一
般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因
此得到的参数方程也可以有不同的形式,形式不同的
参数方程,它们表示的曲线可以是相同的,另外,在
建立曲线的参数参数时,要注明参数及参数的取值范 7
围。
练习:已知圆O的参数方程为 xy
5 cos 5 sin
(
为参数)
(1)如果圆上的点P对应的参数 = 2 ,求P点的坐标
3
(2)如果Q(5 3,- 5)求的值
22
(3)A 1,2 B 3, 4是否在该曲线上
(4)写出该曲线的普通方程。
8
二.圆心为O1(a,b)半径为r的圆的参数方程 例1:已知某曲线的参数方程为
1
y
p
y
o1
r
p0
o
x
o
r
x
2
知识回顾
若以(a,b)为圆心,r为半径的圆 的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2 标准方程的优点在于:它明确指出圆的
圆心和半径
若 D2+E2-4F>0 时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆,称为 圆的一般方程
思考:圆是否还可用其他形式的方程来表示? 3
x y
r r
cos t(t为参数, sin t.
t
R)
这就是圆心在原点O,半径为 r 的圆的参数方程。 其中参数 t 有明确的物理意义(质点作匀速圆周 运动的时刻)
6
考虑到 t ,也可以取θ为参数,于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数, R或 0,2))
这也是圆心在原点O,半径为r 的圆的参数方程。
x y
2 3cos 1 3sin
(为参数)
求该曲线的普通方程,并说明是什么图形。
猜测:(x a)2 ( y b)2 r2的参数方程为
x y
a b
r cos cos
(为参数)
9
例2
y
证明: 圆心为O1(a,,半径为r的圆
P(x,y)可以看成由圆心为原点O半
O a,b 1
径为r的圆平移而得到的,
例3 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动 点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中 点,当点P绕O作匀速圆周运动时,求点M 的轨迹的参数方程。
y
P M
o
Qx
11
解 : 设 点M的 坐标 是( x, y),xOP ,则 点
P的 坐标 是(2cos ,2sin ),由 中点 坐 标公 式 得:
1、(1)指出参数方程{x 2cos 5(为参数)所 y 3 2sin
表示圆的圆心坐标、半径,并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
(2)把圆方程x2 y2 2x 4 y 1 0
化为参数方程为x 1 2 cos
y
2
2
sin
14
x r r cos 3、圆{y r r sin (为参数,r 0)的直径
圆周运动是生产,生活 中常见的,当物体绕着 定轴做匀速转动时,物 体中各个点都做匀速圆 周运动,那么,怎么刻 画动力中的位置呢?
4
一.求圆心在原点, 半径为r的圆的参数方程。
如图,设圆O的半径是r,点M从初始位置M0 (t=0时的位置)出发,按逆时针y 方向在圆O 上作匀速圆周运动,点M绕
点O转动的角速度为w. 以圆
2
是4,则圆心坐标是__(__2_,__1__)____
4.选择题:参数方程
x y
2 cos 2 sin
(
为参数)
表示的曲线是 A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
C.不是圆
D.以上都有可能
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课时小结
通过本结学习,要了解圆的参数方程,以及 圆的标准方程,一般方程,参数方程的关系,能 熟练地互化,且可根据不同形式方程的特点灵活 选取应用,以便恰当解决相关问题。
x 2cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所 以, 点M的 轨迹 的 参数 方 程是
{ x cos 3(为参数) y sin
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思考: 这里定点A在圆O外,你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗?如果定点A在 圆O上,轨迹是什么?如果定点A在 圆O内,轨迹是什么?
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练习: