正四面体中的常见公式及应用(例题)

正四面体中的常用公式

公式：设正四面体的边长为a ，则其高a h 36=，体积3122a V =，表面积23a S =表，外接球半径a R 4

6=外，内切求半径a R 12

6=

内。 应用： 1、一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC 的长均为2，二面角D —AC —B 的余弦值为

31，则下列论断正确的是（ ） 【答案】A

A. 四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π3

B. 四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π4

C. 四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π33

D. 不存在这样的球使得四边形ABCD 的四个顶点在此球面上

一个棱长为12的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是（ ）

【答案】B A.2 B.22 C.3 D.32

3、在等腰梯形ABCD 中，AB =2CD =2，∠DAB =60o ,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为 。 【答案】π8

6 椎体外接球问题解题技巧：

侧棱垂直锥补柱；

侧棱相等找射影；

对棱相等长方体；

最值问题d 加R 。