行列式的应用

前言1 前言行列式是研究高等代数的一个重要工具。

行列式的理论应用，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。

文献[、[]对行列式的应用进行了部分介绍，文献]12[]3对行列式在几何上的应用又进行了较详细的讨论。

本文将继续具体讨论其在初等数学中的应用。

2 一类常见行列式在初等数学中的应用2.1 在因式分解中的应用将多项式表示成两个多项式()x f ()x f 1与()x f 2之差，再将视为两个因式之积即()x f i ()()()()()()()x g x g x g x g x f x f x f 432121−=−= 于是有()()()()()()()()()x g x g x g x g x g x g x g x g x f 24314321=−=再利用文献[]4中行列式的性质，可对某些多项式进行因式分解。

例1：分解()182773234−−−+=x x x x x f 解：()()()2397322+−−+=x x x x x f9923739232222212−−+⎯⎯→⎯−++=−x x x x x x x x r r r ()1123922−+−=x x x()()()23332+++−=x x x x ()()()()2133+++−=x x x x 又由于行列式n n n n n n na x a x a x a a x a a a a a x x x ++++=+−−−−−−−111010221100000100001故可以把一个次多项式写成一个n 阶行列式，然后再利用文献[中行列n ]4式的性质计算该行列式，使之成一些因式乘积。

例 2：分解()2411815245234+−−+=x x x x x f解：()2451511824100010001+−−−−−=x xxxx f15245118241000100012−+−−−−=x x xxx152451182410012−+−−−=x x x x15245224100152−+−−=x x x x x()15245224150155152−+−−−=x x x x x x x()52241051515+−−=x x x xx ()()()438315+++−=x x x x x()()()()43215++−−=x x x x2.2 在解分式方程中的应用将分式方程()()()()x g x g x f x f 2121=去分母，即 ()()()()x f x g x g x f 2121= ()()()0,22≠x g x f 移项得()()()()02121=−x f x g x g x f ()()()0,22≠x g x f 于是有原分式方程()()()()()()()()x g x g x f x f x f x g x g x f 21212121=−=再利用文献[]4中的行列式的性质，可对某些分式方程进行解答。

例3：解方程42424324322222−+−++=−+−++x x x x x x x x解：原方程可化为xxx x x x x x x x x x x x r r 4642432424324243222222212++++⎯⎯→⎯−+−−+−+++++2342432222++++=x x x x x11422++=x x x x()422−−+=x x x x ()0422=−=x x 解得2,0±=x 将其代入与中可得均不为0 4322−+−x x 422−+−x x 则原方程的解为2,0±=x 2.3 在分母有理化中的应用设()322310311c a c a a c f++=，则()Q Pc f=31。

其中 0232103211a ca c a a ca a P = 021102210a a ca a a ca a a a Q = 将的第2、3列分别乘以Q 3c 和32c 后都加到第1列上并提公因式易得 ()Q P c a c a a =++322310 显然不再含有Q 3c 和32c 。

例4：将3342231++分母有理化解：52442644322449312423212133333333+−=−−−++=×=P1112121241627312222312123=−−−++=×××=Q 所以115244422313333+−=++3 一类特殊行列式在初等数学中的应用文研究了形如[]5()111121122221111211−−−=nn n n n n a a a a a a a a a n D的一类阶实方阵行列式的几何意义，并在结论部分包含了如下一个结论：n ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔=⇔=⇔=⇔=−线性相关的三维空间中四点共面平面上三点共线一维数轴上两点重合121,,,4320n a a a A n n n n D （1）式实质蕴涵了在证明相关几何问题，向量线性相关等问题的应用价值，下面举例给出其在初等数学方面的相关应用。

()1()n D 3.1 在平面上三点共线问题中的应用定理 []51()1113323122211211a a a a a a D =，其几何意义是二维平面上以三点为顶点的三角形面积的2倍，亦即等于以矢量()(3,2,1,21=i a a A i i i )3121,A A A A 为邻边的平行四边形的面积。

根据的几何意义，由定理1直接可得： ()3D 推论1 平面上三点()()3,2,1,21=i a a A i i i 共线()03=⇔D 证明（略）例5：试推导直线的两点式方程推导证明：设l 是过已知点()()2211,,,y x B y x A 的直线，对于()l y x P ∈∀,，必有一类特殊行列式在初等数学中的应用三点共线P B A ..()011132211==⇔y x y x y x D 展开并整理，且当2121,y y x x ≠≠时，就有121121x x x x y y y y −−=−−这即直线的两点式方程。

3.2 在空间四点共面问题中的应用定理 []52()11114434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a D =，其绝对值的几何意义是三维空间中以()(4,3,2,1,,321=i a a a A i i i I )四点为顶点的四面体体积的6倍，亦即等于以矢量 413121,,A A A A A A 为相邻棱的平行六面体的体积 根据的几何意义，由定理2直接可得()4D 推论2 空间四点()()4,3,2,1,,321=i a a a A i i i i 共面()04=⇔D 证明：（略）例6：试推导平面的三点式方程推导证明：设α是过已知点()()3,2,1,,=i z y x A i i i i 的平面，据推论2，对于()α∈∀z y x p ,,必有四点共面。

P A A A ,,,321()011114333222111==⇔zyxz y x z y x z y x D 对于展开并整理得()04=D ()014111131********2111z z y y x x z z y y x x z z y y x x z y x D −−−−−−−−−=⇔0131313121212111=−−−−−−−−−=z z y y x x z z y y x x z z y y x x 这即平面的三点式方程。

行列式在初等数学中的一些应用3.3 在三数成等差数列中的应用定理 3 若成等差数列，且公差c b a ,,0≠d ，则z y x ,,成等差数列()01113==⇔z cy bx aD 证明：对于()3D 展开，整理，并注意d b c a b =−=−，便有 ()()023=−+=y z x d D0≠d ∵ ()0203=−+⇔=∴y z x D z y x ,,⇔成等差数列 定理 4 若成等比数列，公比c b a ,,1≠q ，则z y x ,,成等比数列()01lg 1lg 1lg 3==⇔z cy bx aD ()01ln 1ln 1ln 3==′⇔z c y bx aD 证明：1≠=bca b ∵0lg lg lg lg ≠−=−∴b c a b或0ln ln ln ln ≠−=−b c a b 即由定理3知，命题成立。

事实上，下面定理中的各常用对数均替换为以为底的自然对数后，命题依然为真。

e 例 7：已知cbae e e 111,,成等比数列，求证cba b a c a c b +++,,成等差数列()0,,>c b a一类特殊行列式在初等数学中的应用证明：()1ln 1ln 1ln 3111cb a eb c a ea cb eD cb a +++=111111cba cb ca ba cb a +++= cb a bc a ac b abc +++=111101111=++++++=c c b a b b c a a a c b abccba b a c a c b +++∴,,成等差数列。

3.4 在求等差数列通项公式中的应用定理 5 若等差数列的第{}n a n j i ,,项分别为，则n j i c b a ,,()01113==n j i a n a j a i D证明：由{的通项公式}n a ()()d a n d d n a a n −+⋅=−+=111知，()()j i a j a i ,,,及在直线(n a n ,)()d a x d y −+⋅=1上，由推论1知：()03=D例 8：已知等差数列{的第8项为-206，第101项为73，问该数列是否含“0”项？}n a 解：由定理5，令()01173101120683=−=na nD展开整理得 n a n 3230+−=令，则0=n a 32763230==n 不是自然数故该数列不含“0”项。

3.5 在求等差数列前项公式中的应用n 定理 6 已知等差数列的第1项、第项，分别为。

前项之和为，则{}n a k k a a ,1n n s行列式在初等数学中的一些应用()12111311a ns na ka D nk−=012111121=−=n a s n a ka n k证明：由等差数列的通项公式{}n a ()d n a a n 11−+=得 (d a n d a n )−+⋅=1 ()2 由等差数列的前n 项和的公式{}n a ()211dn n n a s n −+=得(d a n d a ns n−+⋅=−112) ()3 比较，(两式可知，()2)3()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−112,,,,,1a n s n a k a n k 三点共线于()d a x d y −+⋅=1故由推论1知：()03=D 例 9 设等差数列中，{}n a 1150,70,221===n n s a a ，求。