线性代数第七章线性空间和线性交换

第七章 线性空间 与线性变换§4 子空间的维数与基 维数公式（续2）
定理5 (维数公式)设W1，W2是线性空间 V的两个子空间，则
dimW1+dimW2 = dim(W1+ W2)+dim(W1∩W2)
第七章 线性空间 与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示
定义：设V是数域P上的线性空间,T是 从V到V的一个变换，且满足： 1）对任意α，β∈V, 有
T(α + β)=T(α)+T(β);
2）对任意α∈V及任意k ∈P,有 T(k α)=kT(α).
则称T为V上的线性变换.
设γ= T(α)，称 γ为α 的像， α为γ的原像.
第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续1)
线性变换的简单性质：
1. T(θ)= θ, T(-α)= - T(α);
x1
X
x2
及
..
xn
y1
Y
y2
则
...
yn
X=AY (Y=A-1X)
第七章 线性空间 与线性变换§4 子空间的维数与基 维数公式
定理3 设Ⅰ： ξ1，ξ2，…，ξt 与 Ⅱ： η1,η2,…,ηs
是线性空间V中的两个向量组，则 （1） L(ξ1，ξ2，…，ξt)=L(η1,η2,…,ηs) 的充要条件为： 组Ⅰ与组Ⅱ等价； （2）dim L(ξ1，ξ2，…，ξt)=rⅠ.
定理1 线性空间V的非空子集W为V的子空间的充要条件 为W对V的加法、数乘封闭.
如{0}、V均为V的子空间，叫作V的平凡子空间.又如
W
a11 0 ... 0
a12 a22 ... 0
... ... ... ...
a1n
a2n ... ann
aij
P
为Pn×n的子空间.
第七章 线性空间 与线性变换§2 基、维数、坐标 向量空间的理论可平行移到线性空间中来. 如线性组合、线性表示、线性相关、最大无关组、秩等.又 1.α1, α 2,…,αm线性相关的充要条件为： 存在不全为零的数
例2 R3中，取两组基， Ⅰ:ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T ,ε3=(0,0, 1)T
Ⅱ： α1=(2,2,1)T, α2=(1,1,-1)T , α3=(-1,0,1)T
σ是R3上的线性变换：
1
0
0
(1
)
0
,
(
2
)
1
,
( 3
)
0
1
1
1
分别求σ在基Ⅰ, Ⅱ下的矩阵A和B.
第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续3）
例2 求Pm×n={A=[aij]m×n|aij∈ P}的一组基与维数. 解：设Eij∈ Pm×n，且其第i行第j列元素aij=1，其余元 素均为0，则Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)线性无关，
又对任意A=[aij]m×n ∈ Pm×n,
取定V的一组基，则T与 A一一对应.
第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续6)
几种特殊的线性变换的矩阵： 1.单位变换I (在任何基下)的矩阵为:
E(单位矩阵). 2.零变换O (在任何基下)的矩阵为:
O(零矩阵):
3.数乘变换K (在任何基下)的矩阵为:
kE.
k 0 ... 0
则 V =L(α1, α2,..., αr) ={ k1α1+k2α2+ ... +krαr |ki∈P}
第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续5） 例3 P[x]3中，求f(x)=2x2-x+1在 基Ⅰ:1,x,x2 与基Ⅱ: 1,x+1,(x+1)2下的坐标. 解： f(x)在基Ⅰ下的坐标为1，-1，2；
解: Ð(1)=0,
0 1 0 0 ... 0
0
0
2
0 ...
0
Ð(x)=1, Ð(x2)=2x,
0 0 0 3 ... 0
A ... ... ... ... ...
...
……
0 0 0 0 ... n 1
Ð(xn-1)=(n-1)xn-2,
0 0 0 0 ... 0
第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续8)
第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续3)
线性空间线性空间的性质： 1、零元素唯一； 2、任意元素的负元素唯一； 3、0α=0；
4、若kα=0,则 k=0或α=0.
第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续4)
定义：设W为线性空间V的非空子集，若W对V的加法、 数乘也构成线性空间，则称W为V的（线性）子空间。
设f(x)=a+b(x+1)+c(x+1)2,
则 f(x)=a+b+c+(b+2c)x+cx2
c 2;
b
2c
1;
a b c 1.
c 2; b 5;
a 4.
∴f(x)在基Ⅱ下的坐标为:4,-5,2.
第七章 线性空间 与线性变换§3 基变换与坐标变换
定义：设Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn及Ⅱ：η1,η2,…,ηn为线性 空间Vn的两组基，且有基变换公式：
第七章 线性空间与线性变换 §1 线性空间定义与性质
定义 设V为非空集合， P为一数域（对四则运算封闭的数集合）。 V中有两种运算
① “加法”：任意α，β ∈V,唯一确定 γ = α+β ∈V； ② “数乘”：任意α∈V及任意k ∈P,唯一确定δ= kα∈V. 且满足以下8条运算律： 1. α+β= β +α；
2. T(k1α1+k2α2 +…+ksαs) =k1T(α1)+k2T(α2) +…+ksT(αs)
3. 若α1,α2 ,…, αs线性相关，则 T(α1),T(α2) ,…,T(αs)线性相关.
反之未必.
第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续2)
几种特殊的线性变换：
1.单位变换（恒等变换）I: 任意α∈V,I(α)= α. 2.零变换O:
解：1,x,x2,…,xn-1线性无关， (当 k0+k1x +k2x2+ …+kn-1 xn-1 = 0时，ki必全为0） 又对任意f(x)=a0+a1x +a2x2+ …+an-1 xn-1 ∈ P[x]n, 显然f(x)可由1,x,x2,…,xn-1线性表示， ∴1,x,x2,…,xn-1为P[x]n的一组基，dim P[x]n=n.
定义：设Ⅰ ：ξ1，ξ2，…，ξn为线性空间V的一组基， T为V上的线性变换，且
T (1) a111 a212 ... an1n
T
(2
)
a121 a222
............
...
an2n
T (n ) a1n1 a2n2 ... annn
记作：
a11 a12 ... a1n
(T
(1
),
T
(2
),
...,
T
(n
))
(1,
2
,
...,
n
)
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n
...
an1
an2
...
ann
称A=[aij]n×n为T在基Ⅰ下的矩阵.
第七章线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续5)
a11 a12 ... a1n
T
(1
,
2
,
...,
an1
an2
...
ann
称A=[aij]n×n为从基Ⅰ到基Ⅱ的过渡阵.
第七章 线性空间 与线性变换§3 基变换与坐标变换（续1）
定理2 设A为从基Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn到基Ⅱ： η1,η2,…,ηn的过渡阵，则（1） A可逆,且从基 Ⅱ到基Ⅰ的过渡阵为A -1；（2）若向量α在 两组基下的坐标分别为
2. (α + β)+ γ= α+(β +γ); 3. V中存在零元素0，使α+0= 0+α=α； 4. 任意α∈V，存在其负元素-α∈V，使α +(- α )= 0；
5. 1 α= α; 6. 任意k , l∈P,(kl) α=k(lα)=l(kα); 7. k(α+β)= kα+kβ ；
8. (k+l)α=kα+lα. 则称V为数域P上的线性空间.
第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续1)
例1 Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。
向量空间必为线性空间。 线性空间为向量空间的抽象， 线性空间中的元素也称为“向量”。
例2 P[x]n={f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1|ai ∈ P} (次数小于n的多项式全体)
对多项式的加法和数乘构成P上的线性空间。 n次多项式全体不是线性空间
例3 Pm×n={A=[aij]m×n|aij∈ P} 对矩阵的加法和数乘构成P上的线性空间
第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续2)
例4 设R+={全体正实数}。对任意a,b∈ R+，定义 1.加法：a b=ab; 2.数乘:k⊙a=ak. 问： R+是否是R上的线性空间？
第七章 线性空间 与线性变换§2 基、维数、坐标（续1）
定义 设V为数域P上的线性空间， V中向量
α1, α2,..., αr 满足：
1) α1, α2 , ... ,αr线性无关；
2) V中任意向量α均可由α1, α2,..., αr线性表示：
k1
α =k1 α 1 +k2 α 2+...+kr α r
n
)
(1,
2
,
...,
n
)
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n
...
an1
an2
...
ann
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任意β∈ V ，设 β =k1ξ1+k2ξ2+…+knξn 则 T(β) =k1T(ξ1)+k2T(ξ2)+…+knT(ξn)
所以T由T(ξ1)，T(ξ2)，…，T(ξn)确定，即由A确定.
任意α∈V,O(α)= θ. 3.数乘变换K:
任意α∈V,K(α)= kα.
第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续3)
例1 P[x]n中，∨f(x),定义Ð(f(x))=f/(x) 则Ð为P[x]n上的线性变换.
Rn中的线性变换Y=AX与n阶方阵一一对应.
第七章线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续4)
A可由Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)线性表示:
mn
A
aij Eij
i1 j 1
∴ Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为Pm×n的一组基，
dim Pm×n=m×n
第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续4）
设α1, α2 , ... ,αr为线性空间 V的一组 基,
第七章 线性空间 与线性变换§4 子空间的维数与基 维数公式（续1）
定义 设W1，W2是线性空间V的两个子空 间，则V的子集
W1∩W2={α | α ∈W1且α ∈ W2}， W1+W2={α 1+ α 2| α1 ∈W1，α 2∈ W2 } 分别称为这两个子空间的交与和.
定理4 线性空间V的两个子空间W1，W2 的交与和仍是V的子空间.
第七章 线性空间 与线性变换§ 5 线性变换及其矩阵表示(续9)
定理6 设T为线性空间V上的线性变换， 从基Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn 到基Ⅱ：η1,η2,…,ηn的过渡阵为P ， T在两组基下的矩阵分别为A和B，则 B=P-1AP
证：T(ξ1，ξ2，…，ξn)=(ξ1，ξ2，…，ξn)A T(η1,η2,…,ηn)= (η1,η2,…,ηn)B
(
K
(1
),
K
(2
),
...,
K
(
n
))
(1,
2
,
...,
n
)
0
...
k ...
... ...
0
...
0
0
...
k
第七章 线性空间与线性变换§5 线性变换及其矩阵表示(续7)
例1 P[x]n中，∨f(x),定义Ð(f(x))=f/(x) 取基1,x,x2,…,xn-1,求Ð在此基下的矩阵A.
(1
,
2
,
...,
r
)
k2 ...
则称α1, α2,..., αr为V的一组基，
kr
称V为r维线性空间 （dimV=r）.
称k1,k2,...,kr为α在基α1, α2,..., αr下的坐标.
第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续2） 例1 求P[x]n（次数小于n的多项式全体）的一组基与维数.
k1,k2,…,km,使 k1α1+k2α 2+…+kmαm=0； 线性无关的充要条件为：k1α1+k2α 2+…+kmαm=0 时 ki必全为零；
2.向量组A可由向量组B线性表示，则 rA≤rB； 3.设α1, α 2,…,αm线性无关， 而α1, α 2,…,αm，b线性相 关，则b 可由α1, α2,..., αm唯一地线性表示.
1 a111 a212 ... an1n
2
a121
a222 ...
............
an2n
n a1n1 a2n2 ... annn
记作：
a11 a12 ... a1n
(1,2
,
...,n
)
(1
,
2
,
...,
n
)
a21 ...
a22 ...
... ...
a2
n
...