激光原理 周炳琨版课后习题答案
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得
10m
1m
10cm
0
2.00cm
2.08cm
2.01cm
由(2)得
所以得到：
4．图2.1所示三镜环形腔，已知 ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的 ，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线， ， 为光轴与球面镜法线的夹角。
8．(1)一质地均匀的材料对光的吸收系数为 ，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？(2)一束光通过长度为1m的均匀激励的工作物质。如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。
解：(1)出射光强与入射光强之比为
所以出射光强只占入射光强的百分之三十七。
(2)设该物质的增益为g，则
图2.1
解：
稳定条件
左边有
所以有
对子午线：
对弧失线：
有：
或
所以
同时还要满足子午线与弧失线
5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm， ， ，镜的反射率为 ，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。
8．今有一球面腔， ， ， 。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
解：该球面腔的g参数为
由此， ，满足谐振腔的稳定性条件 ，因此，该腔为稳定腔。
两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为
根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。
解：入射高斯光束的共焦参数
根据 ，可得
束腰处的q参数为：
与束腰相距30cm处的q参数为：
与束腰相距无穷远处的q参数为：
16．某高斯光束 =1.2mm， 。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。
解：入射高斯光束的共焦参数
又已知 ，根据
解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的 模的场分布可以写成
令 ，则I式可以写成
式中 为厄米多项式，其值为
由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令 ，得
考虑到 ，于是可以得到镜面上的节点位置
所以， 模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和 处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为 ；而沿y方向没有节线分布。
由此可得：
其中 为普朗克常数， 为真空中光速。
所以，将已知数据代入可得：
时：
时：
时：
3．设一对激光能级为 和 ( )，相应的频率为 (波长为 )，能级上的粒子数密度分别为 和 ，求
(a)当 ，T=300K时，
(b)当 ，T=300K时，
(c)当 ， 时，温度T=？
解：当物质处于热平衡状态时，各能级上的粒子数服从波尔兹曼统计分布：
(a)当 ，T=300K时：
(b)当 ，T=300K时：
(c)当 ， 时：
6．某一分子的能级 到三个较低能级 、 和 的自发跃迁几率分别是 ， 和 ，试求该分子 能级的自发辐射寿命 。若 ， ， ，在对 连续激发并达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值 、 和 ，并回答这时在哪两个能级间实现了集居数反转。
激光原理
周炳琨
（长按ctrl键点击鼠标即可到相应章节）
注：考华科者如需激光原理历年真题与答案可联系
E-mail:745147608@qq.com
第一章
习题
2．如果激光器和微波激射器分别在 、 和 输出1W连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？
解：若输出功率为P，单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n，则：
14．某高斯光束腰斑大小为 =1.14mm， 。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径 及波前曲率半径R。
解：入射高斯光束的共焦参数
根据
z
30cm
10m
1000m
1.45mm
2.97cm
2.96m
0.79m
10.0m
1000m
求得：
15．若已知某高斯光束之 =0.3mm， 。求束腰处的 参数值，与束腰相距30cm处的 参数值，以及在与束腰相距无限远处的 值。
为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求
根据图2.5.5可以查出对应于 的腔菲涅耳数
由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长
因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现 模单模振荡。
6．试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
解：该百度文库子 能级的自发辐射寿命 为：
在连续激发时，对能级 、 和 分别有：
所以可得：
很显然，这时在能级 和 之间实现了粒子数反转。
7．证明当每个模式内的平均光子数(光子简并度)大于1时，辐射光中受激辐射占优势。
证：受激辐射跃迁几率为
受激辐射跃迁几率与自发辐射跃迁机率之比为
式中， 表示每个模式内的平均能量，因此 即表示每个模式内的平均光子数，因此当每个模式内的平均光子数大于1时，受激辐射跃迁机率大于自发辐射跃迁机率，即辐射光中受激辐射占优势。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜 和 的曲率半径分别为 和 ，
工作物质长 ，折射率
根据稳定条件判据：
其中
由(1)解出
解：设 模为第一高阶模，并且假定 和 模的小信号增益系数相同，用 表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式
根据已知条件求出腔的菲涅耳数
由图2.5.5可查得 和 模的单程衍射损耗为
氦氖增益由公式
计算。代入已知条件有 。将 、 、 、 和 的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。
即该物质的增益系数约为 。
第二章
习题
1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，有
往返矩阵变为
若光线在腔内往返两次，有
可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
10m
1m
10cm
0
2.00cm
2.08cm
2.01cm
由(2)得
所以得到：
4．图2.1所示三镜环形腔，已知 ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的 ，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线， ， 为光轴与球面镜法线的夹角。
8．(1)一质地均匀的材料对光的吸收系数为 ，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？(2)一束光通过长度为1m的均匀激励的工作物质。如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。
解：(1)出射光强与入射光强之比为
所以出射光强只占入射光强的百分之三十七。
(2)设该物质的增益为g，则
图2.1
解：
稳定条件
左边有
所以有
对子午线：
对弧失线：
有：
或
所以
同时还要满足子午线与弧失线
5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm， ， ，镜的反射率为 ，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。
8．今有一球面腔， ， ， 。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
解：该球面腔的g参数为
由此， ，满足谐振腔的稳定性条件 ，因此，该腔为稳定腔。
两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为
根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。
解：入射高斯光束的共焦参数
根据 ，可得
束腰处的q参数为：
与束腰相距30cm处的q参数为：
与束腰相距无穷远处的q参数为：
16．某高斯光束 =1.2mm， 。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。
解：入射高斯光束的共焦参数
又已知 ，根据
解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的 模的场分布可以写成
令 ，则I式可以写成
式中 为厄米多项式，其值为
由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令 ，得
考虑到 ，于是可以得到镜面上的节点位置
所以， 模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和 处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为 ；而沿y方向没有节线分布。
由此可得：
其中 为普朗克常数， 为真空中光速。
所以，将已知数据代入可得：
时：
时：
时：
3．设一对激光能级为 和 ( )，相应的频率为 (波长为 )，能级上的粒子数密度分别为 和 ，求
(a)当 ，T=300K时，
(b)当 ，T=300K时，
(c)当 ， 时，温度T=？
解：当物质处于热平衡状态时，各能级上的粒子数服从波尔兹曼统计分布：
(a)当 ，T=300K时：
(b)当 ，T=300K时：
(c)当 ， 时：
6．某一分子的能级 到三个较低能级 、 和 的自发跃迁几率分别是 ， 和 ，试求该分子 能级的自发辐射寿命 。若 ， ， ，在对 连续激发并达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值 、 和 ，并回答这时在哪两个能级间实现了集居数反转。
激光原理
周炳琨
（长按ctrl键点击鼠标即可到相应章节）
注：考华科者如需激光原理历年真题与答案可联系
E-mail:745147608@qq.com
第一章
习题
2．如果激光器和微波激射器分别在 、 和 输出1W连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？
解：若输出功率为P，单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n，则：
14．某高斯光束腰斑大小为 =1.14mm， 。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径 及波前曲率半径R。
解：入射高斯光束的共焦参数
根据
z
30cm
10m
1000m
1.45mm
2.97cm
2.96m
0.79m
10.0m
1000m
求得：
15．若已知某高斯光束之 =0.3mm， 。求束腰处的 参数值，与束腰相距30cm处的 参数值，以及在与束腰相距无限远处的 值。
为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求
根据图2.5.5可以查出对应于 的腔菲涅耳数
由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长
因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现 模单模振荡。
6．试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
解：该百度文库子 能级的自发辐射寿命 为：
在连续激发时，对能级 、 和 分别有：
所以可得：
很显然，这时在能级 和 之间实现了粒子数反转。
7．证明当每个模式内的平均光子数(光子简并度)大于1时，辐射光中受激辐射占优势。
证：受激辐射跃迁几率为
受激辐射跃迁几率与自发辐射跃迁机率之比为
式中， 表示每个模式内的平均能量，因此 即表示每个模式内的平均光子数，因此当每个模式内的平均光子数大于1时，受激辐射跃迁机率大于自发辐射跃迁机率，即辐射光中受激辐射占优势。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜 和 的曲率半径分别为 和 ，
工作物质长 ，折射率
根据稳定条件判据：
其中
由(1)解出
解：设 模为第一高阶模，并且假定 和 模的小信号增益系数相同，用 表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式
根据已知条件求出腔的菲涅耳数
由图2.5.5可查得 和 模的单程衍射损耗为
氦氖增益由公式
计算。代入已知条件有 。将 、 、 、 和 的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。
即该物质的增益系数约为 。
第二章
习题
1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，有
往返矩阵变为
若光线在腔内往返两次，有
可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。