有理数的乘方
有理数的乘方
底数
n a
指数 幂
观察 & 发现
形式 记作 读作
a的1次方或a的一次幂
a的平方或a的二次方
a的立方或a的三次方
a的四次方
a
a×a a ×a×a a ×a×a×a
a ×a×…×a n个a
a
a2
a3
a4
an
a的n次方
小结 & 练习☞
写出下列各幂的底数与指数，并说出意义:
4 (1)在64中,底数是___,指数____; 6
这样捏合到第 7 次后可拉出128根面条。
(2)在a4中,底数是___,指数是____；
a
4
5 -6 (3)在(-6)5中,底数是 ___, 指数是______; 2 3 (4)在23中,底数是____,指数是____;
3
(5)在 1 4
5
5 中,底数是 1/4 指数是___; ___,
议一议
－32与(－3)2 有什么不同？结果相等吗？ －32＝-(3 ×3)=－9
创设 & 情境
1个细胞30分钟后分裂成2个， 经过5小时，这种细胞由1个 能分裂成多少个？
2
2×2 =22
2×2×2 =23
2×2×··· ··×2×2 ··
=
10个2
一.有理数的乘方定义
2×2×··· ··×2×2 ··
=
记作 210 记作 an
10个2
a×a ×… ×a ×a n个a
定义：求n个相同44073709551616 第64格: 264 =
…
262144
…
…
…
18446744073709551616粒米
一斤米约有20000粒,约有9223万亿斤 2010年我国的粮食产量是10928亿斤
有理数的乘方
第六讲 有理数的乘方教学目的1、 通过本讲学习，使学生理解乘方的概念及意义2、 会进行有理数乘方的运算3、 了解乘方的一些简单特点，会解乘方的一些实际问题主要知识点1、 有理数的乘方2、 有理数的混合运算3、 （1（3（1（4【当堂检测】1、52表示 个 相乘， 是底数， 是指数。
2、33()4-的底数为 指数为 写成乘法的形式为 。
3、把（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3）写成乘方的形式为 。
4、 计算(1)(－31)3 (6)(－2)14×(－21)15(2)－32×23 (7)－(－2)4(3)(－3)2×(－2)3 (8)(－1)2001(4)－2×32 (9)－23+(－3)2(5)(－2×3)2 (10)(－2)2·(－3)25、1米长的小棒，第一次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多长？第二部分 有理数的乘方综合【典型例题4】若a 为有理数，则下列各式的值一定为正数的是 （ ）（A ）a +1 （B ）|a| （Ｃ）a 2 （D ）a 2 + 1【典型例题5】已知 0 < a < 1 ，那么 、a 、a 2 这三个数的大小关系是（ ）（A ） <a < a 2 （B ） a < < a 2（C ）a 2 < a < （D ）a <a 2 <【典型例题6】(－1)2n +(－1)2n +1=______(n 为正整数).【典型例题7】若25,3a b ==-,试确定19992000ab +的末尾数字是几？【当堂检测】1、互为相反数的两个非零有理数的任何同次幂，它们 （ ）（A ）一定相等 （B ）偶次幂相等，奇次幂不相等（C ）一定不相等 （D ）奇次幂相等，偶次幂不相等2、如果6 个不等于零的有理数的积是负数，那么正因数最多只能有 （ ）（A ）6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个3、如果一个数的平方等于这个数的绝对值，则这个数是（ ）45A C6789、若1001014,4,()a ba b a b a b a b ==+=-+-且，求的值10、观察2的正整数次幂：21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，27 = 128， 28 = 256，29 = 512，… 根据你的观察，请判断 22003 的个位数字是几？11、已知：代数式1a -与2(2)ab -互为相反数， 求111+++ 的值.12、（2。
有理数的乘方
)
4
注意:底数如果是分数或负数时,要添上括号
学以致用
例1 计算：
（1）53
（2）(-3)4
1 3 (3) ( ) 2
学以致用
练习
计算：（1） 7
2
（ （2） - （
2 3
）
3
（5） - ） （ 7
1
2
学以致用
例2 计算：
（ （1）- -2 ） （2） -2
第二章 有理数及其运算
1次
2次
15次
有一张厚度是0.1毫米的纸，小明认为对折15次 后，厚度会超过你的身高，你相信吗？
创设 情境
一种细胞每过30分钟由1 个分裂成2个，经过1小时， 这种细胞由1个能分裂成多少 个？ 经过1.5小时呢？ 2小时呢？ 5小时呢？
2
2×2
2×2×2
观察 发现
a×a×……×a 记为： n n个相同的因数a相乘，即： a
(-4)2中,底数是 -4 ，指数是 2
3
(-4)×(-4) 。 ,读作 -4的2次方 ,意义是 2的3次方 2 2× 2× 2 2 3 中，底数是____，指数是____，读作_________，意义是_______。 3 3 3 3 3
3
2.同桌之间写一个有理数的乘方，并指出同桌所写乘方的底数、
n个a
这种求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。
幂
a
n
指数
相同因数的个数
底数
相同的因数
an读作：a的n次方 或 a的n 次幂
展示才华
1.填空
23中，底数是 2 ，指数是 3 ，读作 2的3次方 ,意义是 2×2×2。 32中，底数是 3 ，指数是 2 ，读作 3的 2次方 ,意义是 3×3 。
有理数的乘方
1．(－4)3的底数是什么？指数是什么？幂是多少？
2．23和32的意义相同吗？
3．(－2)3、－23、－(－2)3分别表示什么意义？
4．(－)4、－分别表示什么意义？
例题讲解
例1计算：
（1）①37；②73；③(－3)4；④(－4)3．
（2）①()5；②()3；③(－)4．
课堂教学具体环节
例2计算并思考幂的符号如何确定：
课题
2.7有理数的乘方（1）
课型
新授
授课时数
1
主备人
朱从帅
主备内容
个人备课
教材分析
运用几个具有相同特征的算式，引出乘方的概念，同时揭示乘方和乘法的关系．
类似于乘法是求几个相同加数的和的运算，乘法是比加法高一级的运算，乘方是求几个相同因数的积的运算，乘方是比乘法高一级的运算．
主要教学方法与活动设计
及时巩固对乘方有关概念的理解，同时引导学生理解乘方
不具有交换律，当底数是分数和负数时，底数应放在括号内．
教学目标
1．知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；
2．知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂；
3．会用科学记数法表示较大的数．
教学重难点
1．有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；
2．用科学记数法表示较大的数．
预习情况反馈
你还能举出类似的实例吗？
2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”；
7×7×7可记作73；读作“7的3次方”．
一般地， 记作an，读作“a的n次方”．
求相同因数的积的运算叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．
26、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数，6、3叫做指数．
有理数的乘方
有理数的乘方有理数是指可以表示为两个整数的比例形式的数，包括正整数、负整数、零和分数。
有理数乘方是指将有理数进行乘方运算，即将一个有理数自己连乘若干次。
乘方的定义乘方是数学中的运算符，用来表示一个数自己连乘若干次的结果。
乘方运算的一般形式是a n，其中a称为底数，n称为指数。
a n表示将底数a连乘n次得到的结果。
对于有理数的乘方，有以下几种情况：1.正整数指数：a n表示将底数a连乘n次得到的结果。
例如，23表示将2连乘3次，即2 * 2 * 2 = 8。
2.负整数指数：a(-n)表示将底数a连乘n次的倒数。
例如，2(-3)表示将2连乘3次得到的倒数，即1 / (2 * 2 * 2) = 1/8。
3.零指数：a^0 = 1，其中a ≠ 0。
任何非零数的零次方都等于1。
4.分数指数：a(m/n)表示将底数a连乘m次后，再开根号n次。
例如，4(2/3)表示将4连乘2次，然后开方3次，即(4 * 4)^(1/3) = 16^(1/3) = 2。
乘方的性质有理数的乘方具有以下几个重要的性质：1.乘方与乘法的关系：a^n * a^m = a^(n+m)。
即相同底数的乘方，指数相加后得到新的指数。
2.乘方中的负指数：a^(-n) = 1 / a^n。
即一个数的负指数等于该数的倒数的正指数。
3.乘方中的零指数：a^0 = 1，其中a ≠ 0。
任何非零数的零次方都等于1。
4.乘方中的分数指数：a^(m/n) = (a m)(1/n) = n√(a^m)。
即一个数的分数指数等于该数的指数的分数根。
有理数乘方的计算对于有理数的乘方，可以利用乘方的性质和乘法运算来计算。
例如，计算2^3 * 2^(-2)：首先，利用乘法的性质，可以将指数相加，得到2^(3+(-2)) = 2^1 = 2。
因此，2^3 * 2^(-2) = 2。
对于分数指数的乘方，可以先计算底数的指数方，然后再开根号。
例如，计算8^(2/3)：首先，将8连乘2次，得到8^2 = 64。
有理数的乘方公式
有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。
a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。
3、零的零次幂无意义。
4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。
6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2、任何数与零相乘，都得零。
3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。
有理数的乘方
-32-(-2)2×(-4)+(－1)2020
8×(－12)3+ (－4)×(－3)－(－1)2021
课堂小结
2.能够正确进行有理数的乘方运算
捏合前捏一次后Fra bibliotek捏两次后
2
2×2=22
捏三次后
2×2×2=？
捏十次之后呢？
？
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
即 a×a×……×a = an
n个
2.在an中，a叫做底数，n叫做指数，把an读作a 的n次幂（或a的n次方）
幂
a n 指数 因数的个数
底数 因数
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
即 a×a×……×a = an
n个
2.在an中，a叫做底数，n叫做指数，把an读作a的n次幂 （或a的n次方）
3.有理数乘方的运算法则 （1）正数的任何次幂都是_正__数 ， （2）负数的奇次幂是_负__数，负数的偶次幂是_正__数. （3）0的任何正整数次幂都是_0__.
温馨提示：幂的底数 是分数或负数时，底 数应该添上括号！
(－5)2底数是___，指数是___，(－5)2读作 ，或 -5；2；-5的2次方；-5的2次幂
注意：(－5)2 =25 －52 = － 25
4.24
（3）23=2×2×2=8
（4）24=2×2×2×2=16
你能迅速的判断下列各幂的正负吗？
§25有理数的乘方
m
计算下列各式，并找出其中的规律。
3
4
1 3 6 ， 2 ， 100 ， 0.2
4
5
1 2 9 ， 1.1 1 3 ， ， 2
3
正数 ； 1、当底数是正数时，乘方的结果是______ 偶数 时，乘方的结果是正数； 2、当底数是负数，指数是_____ 奇数 时，乘方的结果是_____ 负数 。 当底数是负数，指数是_____
（4） 2×2×2×2
（5 ） 2×2×2×2×2
猜想：第n个式子为_______________
求几个相同因数的积的运算叫做乘方，
乘方的结果叫做幂。
a
n
指数
幂
底数
aa
n个a
a = a
读做： “a的n次方” 或 “a的n次幂” n
把下列各式改写成乘方的形式，并说出底数和指数
1、 8888888 2、 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 3、m m
§2.5有理数的乘方
有理数的四则运算
加 减 乘 除
两步曲：1、定号（谁的绝对值大，听谁的）； 2、绝对值相加减 减去一个数，等于加上这个数的相反数
两步曲：1、定号（几个数相乘，积的符号看负数的个数） 2、绝对值相乘
除以一个数（0除外），等于乘以这个数的倒数
（1 ） 2
（2） 2×2
（3） 2×2×2
2、既有乘方又有乘除时，要先算________。
3、当底数是正数时，幂为______； 当底数是负数，指数是_______时，幂为正数，
当底数是负数，指数是_______时，幂为_____。
4、 1的任意次幂均为____； (-1)的奇数次幂为_____，(-1)的偶数次幂为____。
有理数的乘方在教材的地位和作用
有理数的乘方在教材的地位和作用：
有理数的乘方在教材中具有重要地位和作用。
它是有理数运算的一种基本形式，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算后引入的。
以下是其在教材中的地位和作用的详细解释：
1.地位：有理数的乘方既是有理数乘法的推广和延续，又是后续学习有理数的混合运算、科学记数
法和开方的基础。
它起到了承前启后、铺路架桥的作用，将之前学过的有理数运算与后续要学习的内容紧密地联系在一起。
2.作用：通过有理数的乘方的学习，学生可以进一步加深对有理数运算的认识，提高有理数的混合
运算能力。
此外，它还为学生今后学习数的开方以及实数、代数式、方程和函数等更为复杂的数学知识打下坚实的基础。
有理数的乘方的概念
有理数的乘方的概念针对小学生的文章《有理数的乘方，其实很有趣！》小朋友们，今天我们来一起认识一个新的数学知识——有理数的乘方。
你们看，如果有 2 个 2 相乘，我们可以写成2×2，结果是 4。
那要是有 3 个 2 相乘呢？这时候就可以写成2×2×2，结果是 8。
但是这样写是不是有点麻烦呀？所以我们就有了一个更简单的写法，那就是2³，这个 3 就表示有 3 个 2 相乘。
比如说，5 个 3 相乘，就可以写成 3⁵。
那 3⁵等于多少呢？就是3×3×3×3×3，算一算，结果是 243。
再给你们讲个小故事。
小兔子种萝卜，第一天种了 2 颗萝卜籽，第二天种的是第一天的 2 倍，第三天种的又是第二天的 2 倍。
那第三天小兔子种了几颗萝卜籽呢？我们就可以用2³来算，结果是 8 颗。
是不是很神奇呀？小朋友们，有理数的乘方是不是很有趣呢？《神奇的有理数乘方世界》小朋友们，你们知道吗？数学里有一个很神奇的东西，叫有理数的乘方。
比如说，我们有 3 个 5 相乘，写起来就是5×5×5，这样是不是有点麻烦？别担心，我们可以写成5³。
就像搭积木一样，乘方就是把相同的数字一块一块地往上堆。
比如 2 的 4 次方，就是2×2×2×2，等于 16。
想象一下，你有一堆糖果，每次都翻倍，翻倍的次数就是乘方的指数。
比如说，一开始你有 1 颗糖，翻 3 次倍，那就是2³ = 8 颗糖啦。
再比如，教室里的灯，一排有 4 盏，一共有 3 排，那灯的总数就是4³ = 64 盏。
小朋友们，有理数的乘方是不是像魔法一样神奇呀？《走进有理数乘方的奇妙之旅》小朋友们，让我们一起踏上有理数乘方的奇妙之旅吧！先想想，如果有一堆苹果，每次都变成原来的 3 倍，那会怎么样呢？这就和有理数的乘方有关系啦。
有理数乘方的定义
有理数乘方的定义
有理数乘方是指一种由有理数和次幂组成的表示方式，例如4的3次方，表示为4，其中4是有理数，3是次幂，这样的组合叫做有
理数乘方。
有理数乘方的定义
有理数乘方的定义是有理数和次幂的组合，它可隐含在运算式中，形式如下：a，其中a是有理数，n是次幂。
有理数乘方可以用来表
示多项式，因为多项式中的每个变量都可以用有理数乘方的形式表示。
有理数乘方的概念
有理数乘方的最基本概念是，如果有一个数值a，把其乘以a本身n次，就可以得到a的n次幂。
即可以用下面的公式描述：
a=a×a×a×……×a (n个a)
有理数乘方的运算
有理数乘方的运算可以分为乘方少的方法和乘方多的方法，乘方少的方法是指乘方小于等于2的情况，一般可以直接算出，比如：a=a ×a，a=a×a×a，a=a×a×a×a等等。
乘方多的方法则有很多种，
如乘方展开式、乘方公式、积和减、型积分等，这些方法都可以用来求解有理数乘方的值。
有理数乘方的应用
有理数乘方可以用来表示多项式，可以用来解题，并求出多项式的根。
此外，有理数乘方也可以用来解决有关函数、微分方程、概率等问题。
另外，根据有理数乘方的定义，可以很容易地将变量代入相
应的公式中，从而轻松解决问题。
结论
有理数乘方是一种表示方式，由有理数和次幂组成，可以用来表示多项式，并用来解题、解决函数、微分方程和概率问题等。
《有理数的乘方》
《有理数的乘方》一、教学目标根据新课标的要求及七年级学生的认知水平，我将制定本节课的教学目标如下：1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义。
2.能准确说出有理数乘方的底数、指数和幂；能准确地计算有理数的乘方。
3. 经历观察、类比、归纳得出有理数乘方的概念店过程，领会重要的数学建模思想、归纳思想，形成数感、符号感，发展抽象思维。
二、教学重、难点重点：幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算。
难点：准确建立底数、指数和幂三个概念，并能求幂的运算。
本节课，借助多媒体课件，通过讲授法、归纳法等多种形式进行学习。
针对乘方运算的抽象概括性，我们采用特殊到一般的思路和具象化、归纳法的思路。
三、教学过程（一）课堂引入某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个. 经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？分裂方式如下所示:时间/h分裂次数细胞个数简写0.51221122×2221.532×2×223242×2×2×224…………0.5n42×2×2×…×2（二）新知探究【有理数的乘方】求n个相同因数的积的运算叫做乘方。
一般的，n个相同的因数a相乘，即，记作，读作：a的n次幂或a的n次方。
用图表表示：读作：a的n次幂或a的n次方．【乘方的意义】【有理数的乘方计算】例1：设计意图：类比乘法的符号法则，剖析乘方运算的符号法则和运算步骤。
【探·数学之理】珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8848米。
把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰。
这是真的吗? 【折纸丈量宇宙】解：0.1×230 =0.1×1073741824=107374182.4（毫米） =107374.1824米 ＞8848米×12=106133.16米 【体会数学之妙】设计意图：薄薄的一张纸仅仅通过30次的对折就超过了世界上最高的山峰。
有理数的乘方
有理数的乘方2.6有理数的乘方1.乘方的概念求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在 n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
幂指数2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
注意：（－a ）n与－a n的区别和联系；a b n 与(ab)n 的区别2.7有理数的混合运算1.运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
2.科学计数法把一个大于10的数表示成 n a 10⨯的形式（其中101<≤a ， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。
一、填空题1．对于(－2)6，6是______的指数，底数是______，(－2)6＝______.对－26，6是____的指数，底数是____，－26＝______．2．计算：(1)34＝______； (2)－34＝______； (3)(－3)4＝______；(4)－(－3)4＝______；=32)5(3______； =3)32)(6( ______； =-3)32)(7(______；=--3)2()8(3______；3．当n 为正奇数时，(－a )n ＝______；当n 为正偶数时，(－a )n ＝______4．－12的计算结果是( )． (A)1 (B)－11 (C)－1 (D)－2 5．－0.22的计算结果是( )． (A)－0.04 (B)0.04(C)0.4(D)－0.46．312-的计算结果是( )．(A)91 (B)31-(C)91-(D)317．下列各式中，计算结果得0的是( )． (A)22＋(－2)2 (B)－22－22 (C)2221)21(--(D)2221)21(+-8．下列各数互为相反数的是( )．(A)32与－23 (B)32与(－3)2(C)32与－32 (D)－32与－(－3)2 三、计算题 9．6×(－2)2÷(－23)10．222232)32(2)2(-+--11．(3×2)2＋(－2)3×5－(－0.28)÷(－2)212．)2131()1()3(3322-⨯---÷-13．|32|)2.0(1)1.0(1323--+--- 14．234)2(21])43()21[(1-+--+综合运用一、选择题15．下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0；②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m )2；③对于任何有理数m 、n (m ≠n )，都有(m －n )2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m )3． (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 16．下列说法中，正确的是( )．(A)一个数的平方一定大于这个数 (B)一个数的平方一定是正数 (C)一个数的平方一定小于这个数 (D)一个数的平方不可能是负数17．设n 为自然数，则：(1)(－1)2n －1＝______；(2)(－1)2n ＝______；(3)(－1)n ＋1＝______．18．当n 为正奇数时，(－a )n ＝______；当n 为正偶数时，(－a )n ＝______． 19．用“＞”或“＜”填空：(1)－32________(－2)3； (2)｜－3｜3________(－3)2；(3)(－0.2)2________(－0.2)4；(4)2)21(________2)31(20．如果－a ＞a ，则a 是________；如果｜a 3｜＝a 3，则a 是________．如果｜a 2｜＝－｜a 2｜，则a 是________；如果｜－a ｜＝－a ，则a 是________． 三、解答题21．某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．请根据你所学知识，描述一下细胞的数量是呈什么方式增长的?并计算5小时后1个细胞可以分裂成多少个细胞．拓展探究22．已知22×83＝2n ，则n 的值为( )．(A)18 (B)11 (C)8 (D)7 23．根据数表1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7 ……可以归纳出一个含有自然数n 的等式，你所归纳出的等式是_____________． 24．实验、观察、找规律计算：31＝______；32＝______；33＝______；34＝______；35＝______；36＝______；37＝______；38＝______． 由此推测32004的个位数字是______科学记数法课堂学习检测一、填空题1．把下列各数用科学记数法表示出来： (1)10＝__________； (2)200＝__________； (3)8600＝__________；(4)600800＝__________． 2．把下列用科学记数法表示的数还原： (1)1.0×102＝__________； (2)1.1×103＝__________； (3)2.1×106＝__________；(4)3.008×105＝__________．3．你对地球和太阳的大小了解多少?请完成下列填空：(1)地球的半径大约是6370千米，用科学记数法表示为________米．(2)太阳的半径大约是6.96×105千米，精确到整数，大约是________万千米．(3)地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为________米．4．(1)用四舍五入法，求1.549的近似值(保留两个有效数字)是________；(2)用四舍五入法，求7531000的近似值(保留两个有效数字)是________．5．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他的身高的精确值在________米与________米之间(保留四位有效数字)．6．3.05万是精确到________位的近似数．二、填空题7．下列是科学记数法的是()．(A)50×106(B)0.5×104(C)－1.560×107(D)1.5108．已知：a＝1.1×105，b＝1.2×103，c＝5.6×104，d＝5.61×102，将a，b，c，d按从小到大顺序排列正确的是()．(A)a＜b＜c＜d (B)d＜b＜c＜a (C)d＜c＜b＜a(D)a＜c＜b＜d 9．“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1300000000度，这个数用科学记数法表示，正确的是()．(A)1.30×109(B)1.3×109(C)0.13×1010(D)1.3×1010综合运用一、选择题10．下列说法正确的是()．(A)近似数1.60和近似数1.6的有效数字一样(B)近似数1.60和近似数1.6的精确度一样(C)近似数250百和25000的精确度一样(D)近似数8.4和0.8的精确度一样11．下列说法正确的是()．(A)2.46万精确到万位，有三个有效数字(B)近似数6百和600精确度是相同的(C)317500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为3.18×105(D)0.0502共有5个有效数字，它精确到万分位二、填空题(用乘方形式表示结果)12．求近似值：①3.14159(精确到0.001)_________________；②0.008003(保留2个有效数字)_________________；③528187(精确到万位)_________________；④101001000(保留3个有效数字)_________________．三、解答题13．我们经常会看到“光年”和“纳米”这两个名称．你知道它们的含义吗?(1)光年(1ight year)是天文学中使用的距离单位，符号是L. y．，主要用于度量天体间的距离．1光年是光在真空中一年所走的距离：真空中光速为299792.458千米/秒，1年≈60×60×24×365.25秒，请你计算一下1光年大约是多少千米(保留六位有效数字)．(2)光年是一个较大距离的单位，而纳米(nanometer)则是表示微小距离的单位，符号是nm ．，主要用于度量微粒的大小．1纳米9101=米，即1米＝109纳米．请你写出纳米和分米、厘米、毫米之间的换算关系．1厘米＝______纳米，1毫米＝______纳米．14．已知1 km 2的土地上，1年内从太阳那里能得到相当于燃烧1.3×108kg 煤所产生的能量．那么我国960万km 2的土地上1年内从太阳那里获得的能量相当于新开发1个年产煤多少吨的煤矿?拓展探宄15．你相信吗? 有人说：“将一张纸对折，再对折，重复下去，第43次后纸的厚度便相当于地球到月球的距离．”已知一张纸厚0.006cm ，地球到月球的距离约为3.85×108m ．用计算器算一下这种说法是否可信．作业布置1、你能求出1021018125.0⨯的结果吗?2、若a 是最大的负整数，求2003200220012000a a a a +++的值。
有理数的乘方
2
）根
(2)面条拉扣两次后是（ 2 2 ）根
(3)面条拉扣三次后是（ 2 2 2 ）根
(4)面条拉扣四次后是（ 2222 ）根
(5)面条拉扣五次后是（ 2 2 2 2 2 ）根
乘方:
像 22222 这样, 求相
同因数乘积的运算, 叫做乘方。
2 2 2 记作：？ 读作：？
6个2
2 2 2 记作：？ 读作：？
7, 指数
,13指数
4。
5。
在 (5)4 中, 底数是 ,5指数 。4
在 33中, 底数是 3, 指数 。3
在
1 3
2
中,
底数是
1 3,
指数
。2
【例1】计算
特别地, a的2次方称为“a的平方”； a的3次方称为“a的立方”。
【例2】计算
（1）(1 )5 2
（4） 33
5
（2） 3 53
_________的立方等于它本身。
【例3】填空
5. (+1)2003 －(－ 1)2002=___ 6. － 14+1=______
7. 12n _____,12n1 _____.
n为正整数
【例4】计算
(1) 32 (2)3, (2) 32 23, (3)(8) (2)3, (4) 32 ,
2.7 有理数的乘方（一）
手工拉面是我国的传统面食.制作时,拉面师 傅将一团和好的面,揉搓成1根长条后,手握两端 用力拉长,然后将长条对折,再拉长,再对折,每次 对折称为一扣,如此反复操作,连续扣六七次后便 成了许多细细的面条.假如一拉扣了6次,你能算 也共有多少根面条吗?
拉扣后面的根数:
(1)面条拉扣一次后是（
有理数的乘方
（4）23
乘方的法则
负数的奇次幂是负数； 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂是正数
零的任何次幂都是零
（1）（-3）2 ；（2）-32 ；（3）（2/3）2 ； （4）22/ 3 ； （5）（-1）2005
解：
（1）（-3）2 =（-3）×（-3）=9 （2）-32 = -3×3= -9 （3）（2/3）2 =2/3 ×2/3=4/9 （4）22/ 3 =2 ×2/3=4/3 （5）（-1）2005 = -1
小故事
古时候，在某个王国里有位聪明的大臣， 他发明了国际象棋，献给了国王，国王非常 喜欢，为了对这位大臣表示感谢，国王答应 可以满足这个大臣一个要求，大臣说只有一 个要求，就是：“就在这个棋盘上放一些米 粒吧！放完后这些米粒都归我！第1格放1粒， 第二格放2粒，第三格放4粒，然后是8粒、 16粒、32粒……一直放到第64个格。”国王 听后笑着说：“你真傻！要这么一点米有什 么意思！”大臣也笑了：“就怕您国库里没 有这么多米。”
小 结
• 乘方也可以和加、减、乘、除一 样是
一种运算，幂是乘方运算的结果；
• 一个数可以看作自身的一次方，如21=2，
m1=m,通常指数1不写；
• 底数a可以是正数、负数或O。当底数是 负 数或分数时， 底数要加括号 • 指数n是正整数； • an是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘 法运算来进行有理数的乘方运算。
a.a 边长为a的正方形的面积是＿＿＿， a.a.a 棱长为a的正方体的体积是＿＿＿。
a.a
a.a.a
请比较： 1.细胞分裂六次后的个数式子： 2×2×2×2×2×2 2.正方体的体积值式子：a.a.a 它们有什么共同点？ 答：它们都是乘法，而且因数 都相同。
初中数学 有理数的乘方性质有哪些
初中数学有理数的乘方性质有哪些有理数的乘方性质是数学中的重要概念之一。
它涉及到正数、负数和零的乘方规则，对于学习数学的初中生来说是基本且必须掌握的知识。
本文将详细介绍有理数的乘方性质，包括乘方的定义、乘方的性质、零的乘方、负数的乘方、乘方的分配律以及乘方的幂等性等。
一、乘方的定义有理数的乘方可以理解为连乘的操作，即将一个数连续乘以自身多次。
例如，对于一个有理数a和一个正整数n，a的n次方表示将a连乘n次，即a的n次方等于a × a × ... × a （共n个a相乘）。
二、乘方的性质有理数的乘方具有以下性质：1. 任何数的0次方都等于1，即a的0次方等于1（其中a不等于零）。
2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a的1次方等于a。
3. 任何数的负整数次方等于其倒数的相应正整数次方，即a的-n次方等于1/(a的n次方)（其中a不等于零，n为正整数）。
三、零的乘方零的任何正整数次方都等于零，即0的n次方等于0（其中n为正整数）。
四、负数的乘方负数的乘方存在两种情况：1. 如果指数是偶数，负数的指数次方是一个正数。
例如，(-a)的2次方等于a的2次方。
2. 如果指数是奇数，负数的指数次方是一个负数。
例如，(-a)的3次方等于-a的3次方。
五、乘方的分配律有理数的乘方满足分配律，即对于任意的有理数a、b和正整数n，(a × b)的n次方等于a的n次方× b的n次方。
这个性质说明乘方的运算可以与乘法运算结合，满足分配律。
六、乘方的幂等性任何数的1次方都等于它本身。
例如，对于任意的有理数a，a的1次方等于a。
这个性质说明任何数的1次方不改变其值。
综上所述，有理数的乘方性质包括乘方的定义、乘方的性质、零的乘方、负数的乘方、乘方的分配律以及乘方的幂等性。
这些性质是初中数学中重要的基础知识，对于理解和运用有理数的乘方运算有着重要的作用。
有理数的乘方
3
)
=
5
计算：3
4
=；−3爱Fra bibliotek2若a
n
> 0
，n为奇数，则a （ ）．
智
．
康
20
18
/0
=
；(−1)
2n
=
．
4
=
；(−3)
4
=
；−(−3)
4
=
．
三、有理数混合运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【知识拓展】 （1）在运算过程中，通常将带分数化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除运算．另外有些运算可以同时进 行，以简化解题． （2）通常把六种基本的代数运算分成三级．第一级运算时加和减，第二级运算时乘和除，第三级运算是乘方，运算 顺序的规定是，先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算． 计算下列各式： 1
有理数的乘方
一、乘方的定义
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a 中，a 叫做底数，n叫做指数．当a 看做a 的n次方
n n
的结果时，也可以读作“a 的n次幂”．例如在6 中，底数是6，指数是4，6 读作“6的4次方”，或“6的4次幂”．
4 4
(−2)
5
表示（ ）．
A. 5个−2 相乘的积 B. −2 乘5的积 C. 2个−5 相乘的积 D. 5个−2 相加的和
二、乘方运算法则
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 1 设n为自然数，则：(−1)
6/ 12
有理数的乘方
-968 . ( 4) ( 10) [(4) (1 3 ) 2] ______
3 2 2
新知
观察
2
第二级运算
乘除运算
1 3 50 2 1 5 第三级运算 加减运算
第一级运算 乘方运算
问:算式含有哪几种运算?
做有理数的混合运算，注意以下顺序：
我们学习了哪 些运算？
加法、减法、乘法、除法、乘方
一个运算中，含有有理数的加、减、乘、 除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算.
计算：
1 (1) ( 2) 3 ______; -10 ( 2) ( 3) 2 ( 1) 4 _____; -2 (3) ( 3) 2 ( 1) 4 ( 2) ______;
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘方（二）
回顾
一般地，n个相同的因数a相乘，即
a ·a · ·a
…
，记作 a ，读作
n
n个 a的n次方. 求n个相同因数的积的运算叫做
乘方，乘方的结果叫幂.
回顾
n a=
a ·a · ·a
…
n个
底数
运算 结果 加法 和 减法 差
a
n
指数 幂
除法 乘方 商
乘法 积
幂
新知
1、先乘方，再乘除，最பைடு நூலகம்加减；
2、同级运算，从左到右进行
3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号依次进行.
2 1 辨析: 4 6 . 3 3
2
正确解法:
4 解:原式 4 2 9
4 2 9
14 9
《有理数的乘方》
有理数乘方的基本概念
有理数乘方的分类
有理数乘方可以分为正整数乘方、负整数乘方和零乘方。
有理数乘方的计算方法
计算有理数乘方时，需要将幂次与底数相乘，直到幂次为1为 止。
乘方在数学中的应用
幂运算的运用
通过乘方运算，我们可以快速计算出 一些常见数字的幂次结果，例如，2 的10次方等于1024。
能量与功率
在物理学中，能量和功率的乘方可以用来描述物体在不同状态下的能量转换。例如，根据热力学第一定律，系统 能量的变化量等于输入的热量与输出的热量之差，即$\Delta U = Q - W$。
乘方在计算机科学中的应用
数据压缩
在计算机科学中，数据压缩是一种常见的有理数乘方应用。通过将数据乘以一个 固定的因子，可以减少数据的存储空间和传输时间。
《有理数的乘方》
汇报人： 2023-12-21
目录
• 引言 • 有理数乘方的性质与运算规则 • 有理数乘方的计算方法与技巧 • 有理数乘方在日常生活中的应
用 • 有理数乘方的拓展与延伸 • 总结与回顾
01
引言
乘方的定义与意义
乘方的定义
乘方是指将一个正整数或负整数 的幂相乘的一种运算。
乘方的意义
复利计算
在金融领域，复利计算是一种常见的有理数乘方应用。通过将本金与利息相乘 ，可以计算出未来的资产总值。
投资回报
投资者在评估投资回报时，通常会使用乘方来计算未来的资产增长。例如，如 果年利率为5%，投资10年后，本金将增长到原来的$(1.05)^{10}$倍。
乘方在物理领域的应用
速度与加速度
在物理学中，速度和加速度的乘方可以用来描述物体运动的变化。例如，如果一个物体以初始速度v0开始运动， 经过时间t后，其速度将变为$v0 \times (1 + \frac{at}{v0})^{t}$，其中a为加速度。
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有理数的乘方
教学目标
（一）知识目标
1.有理数乘方的意义.
2.能实行有理数的乘方运算.
（二）水平目标
1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义.
2.能实行有理数的乘方运算.
（三）情感目标
通过师生共同交流，渗透利用数学知识解决实际问题的思想，以激发学生学习的兴趣，树立解决问题的信心
教学重点
有理数乘方的意义.
教学难点
1.理解有理数乘方的意义.
2.合理实行乘方运算.
教学方法
讲练结合法
教学过程
一、创设情景问题，引入课题
问题一：
某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个。
经过 3 小时,这种细胞
由1个能分裂成多少个?
分裂方式如下所示:
这个细胞分裂一次可得多少个细胞？分裂两次呢？分裂三次呢？ 那么,3小时共分裂了多少次？
2个; 2X 2个; 2X 2X 2个; 六次：
2 X 2X 2X 2X 2X 2个.
认真观察下面的式子
X 2 X 2 X 2 X 2
它们有什么相同点?
它们都是乘法；并且它们各自的因数都相同.
问题二
一个边长为2的正方形面积可写成
2咒2 = 22 3 3 一个棱长为2的正方体体积可写成 2>^ 2沢2 = 2
2 ）、（-3）气-3）沢（-3）咒（-3） =（—3）4
2 2 2 2 2 4
3 ）、（一尹 VW 十？4
汗汽貝？灵
(1) 2X 2
二、归纳概括:
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方
般的，n个相同的有理数a相乘，我们常记作:
a n
其中a代表相同的因数，n代表相同因数的个数. 乘方的结果叫做幕
n—指数
24底数是2,指数是4, 24读作2的4次方，或2的4次幕。
一个数能够看作这个数的一次幕，女口： 8能够看作81指数1通常省略不写。
试一试
1 、把下列各试写成幕的形式
3
1）、6咒6 咒6=6
4 ）、（扌）"1）"》"1）"1）=（夕）5
5）、a ae 二二a = a n
n 个 a
2、说出下列各幕的底数、指数及意义: 1）、在64
中,底数是—,指数 意义是
、在a 4中,底数是 _____ ,指数是
意义是
、在（-6）5中,底数是 __ ,指数是
意义是
、在-25中,底数是 ______ ,指数是
意义是
三、应用迁移，巩固提升 例题计算:
⑵、2’ ；⑶、24
（5）、（-2）’
（6）、（-2）4 解: (1) 22 =2X2 =4
(2) 2’ =2 咒 2咒 2 =8
3) 24 =2咒2^2天2 =16
(4) (-2)2=(-2)X(-2) =-4
(5) (-2)’ =(-2)X(-2)X(-2) = -8
(6) (-2)4 =(-2)X (-2)咒(-2)咒(-2) = -16
请观察以上几个式子从中你能发现什么?
（1）、22 2
⑷、（一
乘方的符号法则:
正数的任何次幕都是正数，负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕 是正数。
练一练
2、判断下列各式吗？为什么?
1）、8咒8迖 8天 8 =
84 ） 2) 、-0.13 = (-0.1)咒(0(1)0(0.1)
3)
(-2尸(-2)气-2)覚(-2)= -24 J j j 2( 2)— 5
5 5 5 ( 5)
5 -4)W=(€)3) 4 4
4 4 注意：
负数或分数的乘方，底数必须加上括号。
否则，它的意义就会发 生改变。
思考题:
若 a + 2 +(2-b)2 =0，求 a b 的值。
a + 2=0 2-
b =0
解：
•••
a + 2 +(2-b)2 =0 a = -2 a
b = (-2)2 b = 2 22
=4 1、化简：1、（-1）100
2 、(-1) 200
3 2 1 2 3 、-(-3)2 4、(-右)2
4)、
四、课堂小结通过本节的学习你学到了什么？请用自己的话概括出来。
五、板书设计
§ 2.10.2有理数的乘方
、创设情景问题，弓I入课题
二、归纳概括:
三、应用迁移，巩固提升
四、课堂小结
六、布置作业课本习题2.11
1、2、4。