高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
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高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
应用高等数学第4章4-1不定积分27页PPT
一、运算法则 二、进一步的练习
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积 分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解 （1）因为 （ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找 到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理） 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常 数.
.
（2）因为 (arcsxin)
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积 分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解 （1）因为 （ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找 到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理） 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常 数.
.
（2）因为 (arcsxin)
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
高等数学课件--D4_1不定积分
x (1 x )
2
2
dx
arctan x ln x C
2012-10-12
例8. 求
1 x 2 dx .
( x 1) 1
2 4
x
4
解: 原式 =
1 x 2 2 ( x 1)( x 1) 1
1 x
2
2
dx
dx
( x 1) dx
1 x2 ) x2 ( x (1 x )
2
2 2
2
1 x
2
1 1 x
2
(2)
sin x cos x
sin x cos x
2 2
sec x csc x
2012-10-12 同济高等数学课件
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2
2
6. 求不定积分 解：
(e
2x
e 1)
csc xdx cot x C
2
同济高等数学课件
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2012-10-12
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
e dx e C
x
(12)
(13)
x
a
x
2
2012-10-12
1 3
x C
3
C 称为积分常数, 不可丢 !
sin xdx
cos x C
同济高等数学课件
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
高等数学不定积分的计算教学ppt
令u 10x
1 10
sin
udu
1 10
cos
u
C
u回代 1 cos10x C. 10
[ 1 cos10x C] sin10x 说明结果正确 10
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
e3xdx 1
3
e 3 xd(3 x )
令u 3x
1 3
eudu 1 eu C 3
u回代 1 e3x C 3
x
; 6
原式
(x
1 3)( x
2)
dx
1 5
(
x
1
3
x
1
)dx 2
1 5
[
x
1
d(x 3
3)
x
1
2
d(
x
2)]
1 (ln | x 3 | ln | x 2 |) c 1 ln | x 3 | c
5
5 x2
练习
求
dx x2 5x 4 .
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
sin xdx d(cos x);
sec x tan xdx d(sec x); csc x cot xdx d(csc x).
sec2 xdx d(tan x); csc2 xdx d(cot x);
dx d(arcsin x);
1 x2
dx 1 x2 d(arctan x);
第四章 不定积分
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
《高等数学教学课件汇编》第四章 不定积分
1 sin
精选课件ppt
5
( 7 ) sin xdx cos x c
(8
)
dx cos 2
x
sec
2 xdx
tan
xc
1
( 9 ) sin 2 x dx
csc
2 xdx
cot
xc
(10 ) sec x tan xdx sec x c
(11 ) csc x cot xdx csc x c
(3)
1 x3
x
dx
( 4 ) x ( x 2 5 ) dx
( 5 )
(
x
1)3 x2
dx
( 6 ) ( e x 3 cos x ) dx
( 7 ) 2 x e x dx
( 2 e ) x dx
(2e)x c ln(精选2 课e 件) ppt
2xex 1 ln 2
c
8
(8 )
d dx
(G ( ( x)))
(G (u )) u ( x )
(x)
( g (u )) u ( x) ( x )
g ( ( x)) ( x)
证毕
精选课件ppt
11
例 6 sec xdx
解 : sec
xdx
cos cos
x 2 x dx
d (sin 1 sin
x) 2x
1 2
(1
1 x x2 x (1 x 2 )
dx
( 1
1 x2
1 ) dx x
1
1 x2
dx
1 x
dx
arctan x ln x c
( 9 )
1
x
4
x2
第4章-不定积分 高等数学教学课件
考察不定积分 cos 3xdx.
显然cos 3x的原函数不能由基本积分公式直接求出,
但cos3x是基本初等函数f (u) = cosu与 u=3x的复合函数.
sin 3x' 3cos3x,1 sin 3x就是cos3x的一个原函数.
3
cos 3x的原函数与cos u的原函数关系密切,前者可通过后者求得.
表达式.
定义2 若F(x)是函数f (x) 在区间I上的一个原函数,
则f (x)的原函数的一般表达式F(x)+C称为f (x)的不定积
分，记作 f (x)dx,即
f (x)dx F(x) C,
其中 称为积分号，f (x)称为被积函数, f (x)dx称为被积表达式,
x称为积分变量, C称为积分常数.
(3)如果f (x)有多个原函数，那么这些原函数之 间有什么关系？
对此有如下三个定理:
定理1(原函数存在定理)
如果f (x)在某一区间连续，那么它在该区 间的原函数一定存在. 注 (1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故 初等函数在其定义域内都有原函数.
(2)一个函数的原函数不是唯一的.
定理2
证明 G 'x F 'x f x, x I, G x F x ' G '(x) F '(x) f (x) f (x) 0, x I.
由Lagrange中值定理，知
Gx F x C0, xI，
其中 C0是常数.
证毕
由定理2和3知,若F(x) 是f (x)的一个原函数,则 f (x) 的所有原函数全体就是形如F(x)+C的函数构成的集, 其中C为任意常数. 因此,F(x)+C是f (x)的原函数的一般
《高数不定积分》课件
对求解结果进行检查，确认计算结果是否正确。
总结与复习
通过本课件的学习，您已经了解了不定积分的基本概念、公式和常见函数的积分方法，以及常见题型的解决步骤。 现在可以进行总结和复习，巩固所学内容。
部分特殊函数的不定积分需要 使用特定的公式和技巧进行求 解，如指数函数和对数函数。
解决不定积分例题的步骤与方法
1 分析与拆解
2 选择合适的方法
仔细阅读题目，分析函数的特征，并拆解成基本 的函数表达式。
根据不同的函数类型，选择换元法、分部积分法 等适合的方法进行计算。
3 化简与推导
4 检查答案
根据所选方法，化简积分表达式，并推导出结果。
基本不定积分公式
常数函数
∫kdx = kx + C
幂函数
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1
指数函数
∫e^x dx = e^x + C
三角函数
∫sinx dx = -cosx + C
常见初等函数的不定积分
指数函数
求解e^x的不定积分时，结果是e^x 本身。
三角函数
不定积分涉及正弦、余弦等三角函 数时，需要根据具体的公式进行求 解。
对数函数
∫1/x dx = ln|x| + C，对数函数的 不定积分需要使用特定的公式。
换元法与分部积分法
1
分部积分法
2
将不定积分中的乘积表达式应用分部积分
公式，化简积分运算。
3
换元法
将不定积分中的自变量进行变换，通过代 换简化积分的计算。
技巧与窍门
熟练掌握换元法和分部积分法的常用技巧， 能够灵活运用于不定积分的求解。
《高数》不定积分》课件
《高数》不定积分》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
不定积分的概念【高等数学PPT课件】
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t
f (t)
1
2
t3
f
(t )dt
1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
v0t
x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
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如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
二、不定积分的性质
【例5】
解 虽然被积函数是一个无理式，但是这里我们还是可以通 过性质2及不定积分基本公式（2）求解该不定积分．
【例6】
二、不定积分的性质
三角函数的情形是比较复杂的，但是一般 我们可以通过三角恒等变形，得到被积函数的 等价形式，利用不定积分的基本性质，通过对 等价形式的求积分，得到原来函数的不定积 分．我们在以后遇到的很多问题中都应用到恒 等变形的思想．
性质3可以推广到有限个函数的情形，即有
利用基本积分表和不定积分性质，可以直接求一些简单的不 定积分．
二、不定积分的性质
【例4】
解 对于两个有理多项式的商的积分，特别是分母是幂函数 的情形，我们一般可以除下来，利用性质2，把分式函数看 成是一些幂函数相加得到的新函数，再应用不定积分基本 公式（2）求不定积分．
一、基本积分表
（9）∫csc2x dx=-cotx＋C; （10）∫secxtanxdx=secx＋C ; （11）∫cscxcotx dx=-cscx＋C;
以上公式是求不定积分的基础,必须熟记.在应用这些公式时, 有时需要对被积函数做适当的变形.
【例1】
一、基本积分表
解 应用不定积分基本公式(2)，有
（2）熟练掌握第一类换元积分法的运用以后，可 以省略写出引进变量u的步骤．
一、第一类换元积分法
下面是常用的凑微分等式，请熟记，对以后解题大有帮 助．
一、第一类换元积分法
【例4】
【例5】
一、第一类换元积分法
【例7】
一、第一类换元积分法
【例8】
解 被积函数中含有正弦函数且为偶次方，在计算这 种积分时，往往要运用三角恒等式，将被积函数降幂转化 为积分公式表中所列的形式．本题利用半角公式sin2x=1－ cos2x/2，将被积函数降为一次幂后再积分．
一、基本积分表
（1）∫k dx=kx＋C (k是常数);
（2）
(α∈R，α≠-1）;
（3）∫1/x dx=ln|x|＋C；
（4）∫ax dx=ax/lna＋C （a>0，a≠1）;
（5）
（6）∫sinx dx=-cosx＋C;
（7）∫cosx dx=sinx＋C;
（8）∫sec2x dx=tanx＋C;
二、不定积分的性质
思考
下列两个式子正确吗？为什么？
第三节
换元积分法
一、第一类换元积分法
运用不定积分的线性运算法则和基本积分公式，可以求 一些简单函数的不定积分．为了求出一些更复杂函数的不定 积分，我们来学习与复合函数求导法则相对应的积分方 法．通常的做法是通过适当的变量代换，将某些比较复杂的 被积函数变换成符合基本积分表中的形式，从而容易求出积 分，这种积分的方法叫换元积分法．不定积分换元积分法通 常分为第一类换元积分法和第二类换元积分法两种．
【例1】
求∫exdx. 解 因为(ex)′=ex,所以
∫exdx =ex+C.
二、不定积分的概念
【例2】
求∫1/xdx. 解 当x>0时,因为(ln x)′=1/x，所以
∫1xdx =ln x+C; 当x<0时,因为
∫1/xdx =ln(－x)+C. 综上可得，∫1/xdx =ln|x|+C.
,所以
y=∫3x2dx =x3+C, 又曲线过点(0,1)，从而得C=1,于是所求的曲线方程为
y=x3+1.
第二节
不定积分的基本积分表 与性质
一、基本积分表
由于求不定积分与求导数是互逆的运算, 因此,由导数的基本公式就可以得到相应的不 定积分的基本公式,为了便于记忆和应用,我们 把一些基本的积分公式列成一个表,通常称为 基本积分表.
二、不定积分的性质
性质1
性质1清楚地表明了不定积分运算与微分运算之间的 互逆关系．
二、不定积分的性质
注意
对函数f（x）先求积分，再求导数，其结果等于f （x），而对函数f（x）先求导数，再求积分，其结果 不再是f（x），而是f（x）＋C．
二、不定积分的性质
性质2
如果常数k≠0，那么
性质2说明，不定积分中不为零的常数因子可以提到积分号 外面来．
三、不定积分的几何意义
（2）在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线， 这些切线的斜率相等，从而使相应点的切线相互平行(见图 4-1).
三、不定积分的几何意义
【例3】
已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方 的3倍，且曲线过点(0,1)，求此曲线. 解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义知， y′=3x2，由不定积分的定义知
二、不定积分的性质
性质3
如果函数f1（x）及f2（x） 的原函数存在，那么
性质3说明∫［f1（x）± f2（x）］dx是f1（x）±f2（x）的原 函数，由于它涉及两个积分记号，形式上含有两个积分常数，把 这两个积分常数合并为一个，因此它实际上是f1（x）±f2（x）的 不定积分，即与∫f1（x） dx±∫f2（x） dx相等.
一、第一类换元积分法
【例9】
【例10】
一、第一类换元积分法
【例11】
注意
当被积函数为两个三角函数（正弦函数和余弦函数） 的一次乘积时，一般要先积化和差再积分．
一、第一类换元积分法
【例12】
一、第一类换元积分法
【例13】
解 凡是分母可以分解因式的分式，一般都需要先将 复杂分式化成几个最简单的分式，再积分．由于
二、不定积分的概念
定义2
若函数Fx是f(x)在区间I上的一个原函数,则函数f(x) 的全体原函数F(x)+C称为fx在区间I上的不定积分,记 为∫f(x)dx,即
∫f(x)dx =F(x)+C， 其中记号“∫ ”称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx 称为被积表达式,x称为积分变量,C称为积分常数.
一、第一类换元积分法
定理1
(第一类换元积分法)若已知∫f(u)du=F(u)+C，并且u=φ(x) 是可微函数，则有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．(4-1) 证因为∫f(u)du=F(u)+C，所以F′(u)=f(u)．根据复合函数的求 导法则，得
因此 证毕．
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．
一、第一类换元积分法
例如，上节思考题中提到的积分：∫2xcosx2 dx， 观察被积函数发现，不能用直接积分法积出，但被积 表达式中的一部分2xdx如果凑微分变成dx2，再将积 分变量换成变量u=x2,这样被积表达式就和基本积分公 式(7)相同了．因此，本题可这样求解
一、第一类换元积分法
上述这种解题方法的关键是将被积函数的一部分与dx凑微分， 然后引入中间变量，把中间变量看成新的积分变量的情况下，被 积函数就符合了基本积分公式的形式，利用积分公式求出结果， 再把中间变量换回原变量即可，即如果不定积分∫g(x)dx不能直 接利用基本积分公式求解，但被积函数g(x)可变形为
现在要解决其反问题：已知曲线上任意一点x处的 切线的斜率，要求该曲线的方程.为此，引进原函数的 概念.
一、原函数的概念
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数.
【例2】
解 应用不定积分基本公式(2)，有
一、基本积分表
注意
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题,但是表示 上是取用了根式和分式形式,遇到这样的情况一般先化 成xμ的形式,再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分.
一、基本积分表
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
二、不定积分的性质
【例5】
解 虽然被积函数是一个无理式，但是这里我们还是可以通 过性质2及不定积分基本公式（2）求解该不定积分．
【例6】
二、不定积分的性质
三角函数的情形是比较复杂的，但是一般 我们可以通过三角恒等变形，得到被积函数的 等价形式，利用不定积分的基本性质，通过对 等价形式的求积分，得到原来函数的不定积 分．我们在以后遇到的很多问题中都应用到恒 等变形的思想．
性质3可以推广到有限个函数的情形，即有
利用基本积分表和不定积分性质，可以直接求一些简单的不 定积分．
二、不定积分的性质
【例4】
解 对于两个有理多项式的商的积分，特别是分母是幂函数 的情形，我们一般可以除下来，利用性质2，把分式函数看 成是一些幂函数相加得到的新函数，再应用不定积分基本 公式（2）求不定积分．
一、基本积分表
（9）∫csc2x dx=-cotx＋C; （10）∫secxtanxdx=secx＋C ; （11）∫cscxcotx dx=-cscx＋C;
以上公式是求不定积分的基础,必须熟记.在应用这些公式时, 有时需要对被积函数做适当的变形.
【例1】
一、基本积分表
解 应用不定积分基本公式(2)，有
（2）熟练掌握第一类换元积分法的运用以后，可 以省略写出引进变量u的步骤．
一、第一类换元积分法
下面是常用的凑微分等式，请熟记，对以后解题大有帮 助．
一、第一类换元积分法
【例4】
【例5】
一、第一类换元积分法
【例7】
一、第一类换元积分法
【例8】
解 被积函数中含有正弦函数且为偶次方，在计算这 种积分时，往往要运用三角恒等式，将被积函数降幂转化 为积分公式表中所列的形式．本题利用半角公式sin2x=1－ cos2x/2，将被积函数降为一次幂后再积分．
一、基本积分表
（1）∫k dx=kx＋C (k是常数);
（2）
(α∈R，α≠-1）;
（3）∫1/x dx=ln|x|＋C；
（4）∫ax dx=ax/lna＋C （a>0，a≠1）;
（5）
（6）∫sinx dx=-cosx＋C;
（7）∫cosx dx=sinx＋C;
（8）∫sec2x dx=tanx＋C;
二、不定积分的性质
思考
下列两个式子正确吗？为什么？
第三节
换元积分法
一、第一类换元积分法
运用不定积分的线性运算法则和基本积分公式，可以求 一些简单函数的不定积分．为了求出一些更复杂函数的不定 积分，我们来学习与复合函数求导法则相对应的积分方 法．通常的做法是通过适当的变量代换，将某些比较复杂的 被积函数变换成符合基本积分表中的形式，从而容易求出积 分，这种积分的方法叫换元积分法．不定积分换元积分法通 常分为第一类换元积分法和第二类换元积分法两种．
【例1】
求∫exdx. 解 因为(ex)′=ex,所以
∫exdx =ex+C.
二、不定积分的概念
【例2】
求∫1/xdx. 解 当x>0时,因为(ln x)′=1/x，所以
∫1xdx =ln x+C; 当x<0时,因为
∫1/xdx =ln(－x)+C. 综上可得，∫1/xdx =ln|x|+C.
,所以
y=∫3x2dx =x3+C, 又曲线过点(0,1)，从而得C=1,于是所求的曲线方程为
y=x3+1.
第二节
不定积分的基本积分表 与性质
一、基本积分表
由于求不定积分与求导数是互逆的运算, 因此,由导数的基本公式就可以得到相应的不 定积分的基本公式,为了便于记忆和应用,我们 把一些基本的积分公式列成一个表,通常称为 基本积分表.
二、不定积分的性质
性质1
性质1清楚地表明了不定积分运算与微分运算之间的 互逆关系．
二、不定积分的性质
注意
对函数f（x）先求积分，再求导数，其结果等于f （x），而对函数f（x）先求导数，再求积分，其结果 不再是f（x），而是f（x）＋C．
二、不定积分的性质
性质2
如果常数k≠0，那么
性质2说明，不定积分中不为零的常数因子可以提到积分号 外面来．
三、不定积分的几何意义
（2）在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线， 这些切线的斜率相等，从而使相应点的切线相互平行(见图 4-1).
三、不定积分的几何意义
【例3】
已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方 的3倍，且曲线过点(0,1)，求此曲线. 解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义知， y′=3x2，由不定积分的定义知
二、不定积分的性质
性质3
如果函数f1（x）及f2（x） 的原函数存在，那么
性质3说明∫［f1（x）± f2（x）］dx是f1（x）±f2（x）的原 函数，由于它涉及两个积分记号，形式上含有两个积分常数，把 这两个积分常数合并为一个，因此它实际上是f1（x）±f2（x）的 不定积分，即与∫f1（x） dx±∫f2（x） dx相等.
一、第一类换元积分法
【例9】
【例10】
一、第一类换元积分法
【例11】
注意
当被积函数为两个三角函数（正弦函数和余弦函数） 的一次乘积时，一般要先积化和差再积分．
一、第一类换元积分法
【例12】
一、第一类换元积分法
【例13】
解 凡是分母可以分解因式的分式，一般都需要先将 复杂分式化成几个最简单的分式，再积分．由于
二、不定积分的概念
定义2
若函数Fx是f(x)在区间I上的一个原函数,则函数f(x) 的全体原函数F(x)+C称为fx在区间I上的不定积分,记 为∫f(x)dx,即
∫f(x)dx =F(x)+C， 其中记号“∫ ”称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx 称为被积表达式,x称为积分变量,C称为积分常数.
一、第一类换元积分法
定理1
(第一类换元积分法)若已知∫f(u)du=F(u)+C，并且u=φ(x) 是可微函数，则有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．(4-1) 证因为∫f(u)du=F(u)+C，所以F′(u)=f(u)．根据复合函数的求 导法则，得
因此 证毕．
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．
一、第一类换元积分法
例如，上节思考题中提到的积分：∫2xcosx2 dx， 观察被积函数发现，不能用直接积分法积出，但被积 表达式中的一部分2xdx如果凑微分变成dx2，再将积 分变量换成变量u=x2,这样被积表达式就和基本积分公 式(7)相同了．因此，本题可这样求解
一、第一类换元积分法
上述这种解题方法的关键是将被积函数的一部分与dx凑微分， 然后引入中间变量，把中间变量看成新的积分变量的情况下，被 积函数就符合了基本积分公式的形式，利用积分公式求出结果， 再把中间变量换回原变量即可，即如果不定积分∫g(x)dx不能直 接利用基本积分公式求解，但被积函数g(x)可变形为
现在要解决其反问题：已知曲线上任意一点x处的 切线的斜率，要求该曲线的方程.为此，引进原函数的 概念.
一、原函数的概念
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数.
【例2】
解 应用不定积分基本公式(2)，有
一、基本积分表
注意
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题,但是表示 上是取用了根式和分式形式,遇到这样的情况一般先化 成xμ的形式,再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分.
一、基本积分表