专题04 分式方程中的参数问题(解析版)

专题04 分式方程中的参数问题
考纲要求:
1. 了解分式方程的概念
2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验.
3.会用分式方程解决简单的事件问题.
基础知识回顾:
1.分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤：
()1去分母化分式方程为整式方程.
()2解这个整式方程，求出整式方程的根.
()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验.
3.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.
应用举例:
招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【例1】若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为______．
【答案】1
【解析】方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1，
故答案为1
招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是
整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。

【例2】取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为________．
【答案】．
【解答】解：由分式方程，得
m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）
x＝1或﹣2时，分式方程无解，
x＝1时，m＝2，
x＝﹣2时，m＝0，
所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为．
招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.
【例3】已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3
【答案】A
【解析】方程两边同乘以x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，
移项及合并同类项，得x＝m﹣3，
∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，
∴，
解得，m≤3，
故选：A．
【例4】若关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围.
【答案】m<2且m≠0.
【解析】
解:由=1,得(x+1)2-m=x2-1,解得x=-1+.由已知可得-1+<0,-1+≠1且-1+≠-1,
解得m<2且m≠0.
招数四、与其它方程或不等式结合求参数问题：
【例5】关于x的两个方程260
x x
--=与
21
3
x m x
=
+-
有一个解相同，则m= ．
【答案】﹣8．
【解析】
【例6】若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】A
【解析】由关于x的不等式组得
∵有且仅有三个整数解，
∴＜x≤3，x＝1，2，或3．
∴，∴﹣＜a＜3；
由关于y的分式方程﹣＝﹣3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），
∴y＝2﹣a，
∵解为正数，且y＝1为增根，
∴a＜2，且a≠1，∴﹣＜a＜2，且a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．
故选：A ．
方法、规律归纳:
1.按照基本步骤解分式方程时，关键是确定各分式的最简公分母，若分母为多项式时，应首先进行因式分解，将分式方程转化为整式方程，给分式方程乘最简公分母时，应对分式方程的每一项都乘以最简公分母，不能漏乘常数项；
2．检验分式方程的根是否为增根，即分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，如果它使分式方程的最简公分母为0.则为增根． 增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3. 分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
实战演练:
1.若关于x 的分式方程
﹣1＝有增根，则m 的值为______．
【答案】3
【解析】方程两边都乘（x ﹣2），得3x ﹣x+2＝m+3
∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）＝0，
解得x ＝2，当x ＝2时，m ＝3．
故答案为3．
2.若关于x 的分式方程1322m x x x -=---有增根，则实数m 的值是 ． 【答案】1．
【解析】
试题分析:去分母，得：13(2),m x x =---
由分式方程有增根，得到20,x -= 即 2.x =
把2x =代入整式方程可得： 1.m =故答案为：1.
3. 若关于x 的分式方程
=2a 无解，则a 的值为_____．
【答案】1或
【解析】
解：去分母得：
x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
4.已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数，则k的取值范围为（）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【答案】B
【解析】∵＝2，
∴＝2，∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，∴k≠﹣1，
∵x＞0，∴2+k＞0，∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2且k≠﹣1，
故选：B．
5.已知关于x的方程无解，则a的值为_____________．
【答案】-4或6或1
【解析】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），
整理得：（a-1）x=-10，
（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；
（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，
当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；
当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，
即当a=1，-4或6时原方程无解．
故答案为-4或6或1
6．关于x的方程﹣1＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4D．k＜4且k≠﹣4 【答案】C．
【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，
解得：x＝，
根据题意得：＞0，且≠2，
解得：k＞﹣4，且k≠4．
故选：C．
7 . 若关于x的方程2230
x x
+-=与
21
3
x x a
=
+-
有一个解相同，则a的值为（）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3 【答案】C．
【解析】解方程2230
x x
+-=，得：x1=1，x2=﹣3，
∵x=﹣3是方程
21
3
x x a
=
+-
的增根，
∴当x=1时，代入方程
21
3
x x a
=
+-
，
得：
21
131a
=
+-
，解得a=﹣1．
故选C．
8．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．0 B．1 C．4 D．6
【答案】B
【解析】由不等式组得：
∵解集是x≤a，∴a＜5；
由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y＝，
∵有非负整数解，∴≥0，
∴a≥﹣3，且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3
它们的和为-3+1+3=1．
故选：B．
9．已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，又关于x的分式方程﹣
2=有正数解，则满足条件的整数k的和为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】解不等式-(4x+)＜0，得：x＞，
解不等式﹣(x+2)+2≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为＜x≤2，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴﹣2≤＜﹣1，解得:﹣3≤k＜5；
解分式方程-2=得：x=，
∵分式方程有正数解，∴＞0，且≠1，
解得：k＞﹣3且k≠﹣1，
所以满足条件的整数k的值为﹣2、0、1、2、3、4，
则满足条件的整数k的和为﹣2+0+1+2+3+4=8，
故选：D.
10.阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．
完成下列问题：
（1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程=﹣1无解．直接写出n的取值范围．
【答案】（1）：m＜且m≠﹣；（2）n=1或n=．
【解析】
请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；
（1）解关于x的分式方程得，x=，
∵方程有解，且解为负数，
∴，
解得：m＜且m≠-；
（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，
由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，
代入整式方程得：n=；
当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，
综上，n=1或n=．。