专题04 分式方程中的参数问题(解析版)

专题04 分式方程中的参数问题

考纲要求:

1. 了解分式方程的概念

2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验.

3.会用分式方程解决简单的事件问题.

基础知识回顾:

1.分式方程的定义：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的一般步骤：

()1去分母化分式方程为整式方程.

()2解这个整式方程，求出整式方程的根.

()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验.

3.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.

应用举例:

招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

【例1】若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为______．

【答案】1

【解析】方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣2＝0，

解得x＝2，

当x＝2时，m＝1

故m的值是1，

故答案为1

招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是

整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。

【例2】取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为________．

【答案】．

【解答】解：由分式方程，得

m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）

x＝1或﹣2时，分式方程无解，

x＝1时，m＝2，

x＝﹣2时，m＝0，

所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为．

招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.

【例3】已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3

【答案】A

【解析】方程两边同乘以x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，

移项及合并同类项，得x＝m﹣3，

∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，

∴，

解得，m≤3，

故选：A．

【例4】若关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围.

【答案】m<2且m≠0.

【解析】

解:由=1,得(x+1)2-m=x2-1,解得x=-1+.由已知可得-1+<0,-1+≠1且-1+≠-1,

解得m<2且m≠0.

招数四、与其它方程或不等式结合求参数问题：

【例5】关于x的两个方程260

x x

--=与

21

3

x m x

=

+-

有一个解相同，则m= ．

【答案】﹣8．

【解析】

【例6】若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1

【答案】A

【解析】由关于x的不等式组得

∵有且仅有三个整数解，

∴＜x≤3，x＝1，2，或3．

∴，∴﹣＜a＜3；

由关于y的分式方程﹣＝﹣3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），

∴y＝2﹣a，

∵解为正数，且y＝1为增根，

∴a＜2，且a≠1，∴﹣＜a＜2，且a≠1，

∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．

故选：A ．

方法、规律归纳:

1.按照基本步骤解分式方程时，关键是确定各分式的最简公分母，若分母为多项式时，应首先进行因式分解，将分式方程转化为整式方程，给分式方程乘最简公分母时，应对分式方程的每一项都乘以最简公分母，不能漏乘常数项；

2．检验分式方程的根是否为增根，即分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，如果它使分式方程的最简公分母为0.则为增根． 增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

3. 分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．

实战演练:

1.若关于x 的分式方程

﹣1＝有增根，则m 的值为______．

【答案】3

【解析】方程两边都乘（x ﹣2），得3x ﹣x+2＝m+3

∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）＝0，

解得x ＝2，当x ＝2时，m ＝3．

故答案为3．

2.若关于x 的分式方程1322m x x x -=---有增根，则实数m 的值是 ． 【答案】1．

【解析】

试题分析:去分母，得：13(2),m x x =---

由分式方程有增根，得到20,x -= 即 2.x =

把2x =代入整式方程可得： 1.m =故答案为：1.

3. 若关于x 的分式方程

=2a 无解，则a 的值为_____．

【答案】1或