趣味“数学活动”之二“揭开拼图魔术的奥秘”教学实录

数学活动课教学实录“揭开拼图魔术的奥秘” 丁浩勇 （安徽省无为县刘渡中心学校 238341）

数学活动课上，丁老师手拿积木走进教室，同学们感到非常好奇，只听丁老师开口说道：“同学们，你们在电视上看过台湾魔术师刘谦表演的拼图魔术吧！当时你一定很惊讶，刘谦老师增加两块积木到一副积木中然后重新拼图，结果拼出来的图形面积与原来的图形面积竟然相等．明明增加了两块积木，面积应该会增大呀，怎么经过魔术师的手后，面积会不变呢，这到底是怎么回事呢？今天，老师就来给你们揭秘．先请看我的魔术表演——”

只见丁老师把4块拼成三角形的积木（如图1）放在讲台上，然后从口袋中又掏出一小块正方形积木说：“下面我用这5块重新拼成一个三角形，并且它‘全等’于原来4块积木拼出的三角形．”丁老师一边说着，一边迅速地拼出了一个与原三角形“全等”的新三角形（如图2）．

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2225图1

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5图2

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3

看到这里，同学们惊呆了，这怎么可能呢？明明增加了一块，面积怎么会不变呢？纷纷要求老师告诉他们其中的奥秘．这里，丁老师趁机说道：“其实，前后两个图形的面积不是没有变，只是我们的眼睛让这奇妙的数学魔术欺骗了．这个问题我们可以用锐角三角函数的知识来揭穿．”

丁老师一边用投影展示图3和图4，一边说：“请同学们在白纸上画一个边长为13cm 的正方形，然后用剪刀按图3的尺寸裁剪，再把剪下的四块按图4重新排列．完成后请同学们再来比较一下这两个图形的面积．”

图3

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85

555

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图4

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2

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同学们发现图3的正方形的面积为13×13＝169（cm 2），图4的长方形面积为21×8＝168（cm 2），相同的4块拼成正方形面积为169cm 2，拼成长方形面积为168cm 2，少这1cm 2的面积到底哪去了呢？正当同学们迷惑不解的时侯，丁老师引导说：“我们来计算一下图4中∠1和∠2的正切值看看有什么发现吧！”说到这里，丁老师用粉笔在黑板上写道：

∵385881tan =-=∠，5

13

2tan =∠．

∴2tan 1tan ∠≠∠．

“这说明什么？这说明我们拼图4的长方形时在对角线附近发生了微小的重叠，正是这微小重叠导致了面积的丢失．这微小的重叠我们肉眼一般是不会发现的，但是如果图形做得特别大，我们的眼睛就不会被欺骗了．”丁老师说道．

聪明的同学们，现在你们能自己解决图1与图2中的问题了吧！对于刘谦的拼图魔术你还会感到神秘吗？