2014高考数学选做题汇编

2014高考选做题汇编
1 （辽宁）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.
解.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .
由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠
DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PFA .
由于AF 垂直EP ，所以∠PFA =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC .
由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°， 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .
2（辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
解.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩
由2
21
1
1x y += 得2
2()12y x +=，即曲线C 的方程为22
14
y x +
=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩
＝＝ （t 为参数）.
(Ⅱ)由2
214220
y x x y ⎧+
=⎪⎨⎪+-=⎩
解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨
=⎩. 不妨设12
(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12
k =，于是所求直线方程为11
1()22
y x -=-，
化极坐标方程，并整理得
2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即3
4sin 2cos ρθθ
=
-.
3（辽宁）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，
记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x M
N ∈时，证明：221
()[()]4
x f x x f x +≤
. 解.（Ⅰ）33,[1,)
()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩
当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤
，故413
x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；
所以()1f x ≤的解集为4
{|0}3
M x x =≤≤.
(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得13
44
x -≤≤，因此
13{|}44N x x =-≤≤，故3
{|0}4
M N x x =≤≤.
当x M N ∈时，()1f x x =-，于是
22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+
2111
()(1)()424
x f x x x x =⋅=-=
--≤.
4..（新课标二22）（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲 如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB
（1）
EC.BE BE ∠CE ∠BE ∠αBE,∠βαβBE ∠∠DEB ∠PDA ∠∠∠∠∠.
AE ∠CE ,∠EB ∠,,,2===+=+∴+===+=+====∠Δ=∴==，所以，即即则连接为等腰三角形。

，D B D D D PAD BAD PAB BCE PAB B B D PAB AB PAD PD PA DC PD PA PC αβ
（2）
2
22PA PA -PA PB -PB)PA -(PA DC BD ,
,PA DC,BD DE AD PB PB PB PB PC PB PC PB PA DC PD PC PB =•=••=••==•∴==•=•=•）
（
5.（新课标二23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D
处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
6.（新课标二24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a
++->
（Ⅰ）证明：()f x ≥2；
（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.
7.（广东9）不等式521≥++-x x 的解集为 .
(]
[)
(]
[),32,:12532,,32,.
-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:
8.（湖北）选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩
⎪
⎨⎧=
=33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角
坐标为_______.
9.（福建）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t
y t a x 42，（t 为参数），圆C 的参数方程为
⎩
⎨
⎧==θθ
sin 4cos 4y x ，（θ为参数）. （I ）求直线l 和圆C 的普通方程；
（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.
解（I ）直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=.
（II ）因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离4d =
≤,解得
a -≤≤
10.（福建）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . （I ）求a 的值；
（II ）若r q p ，，
为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p . .
解（I ）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=,当且仅当12x -≤≤时,等号成立,所以()f x 的最小值等于3,即3a =.
（II ）由（I ）知3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,
所以22222222 p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=, ()(111)(111)()9即2223
++≥.
p q r。