同济版高数下册第八章课件

自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量, 记作 0， 或0.
M2 M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
三角形法则:源自文库
a
abc ab b
ab b
a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)abc
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
a b
ba
aaa(a)0
Rz M
O
Q y
由勾股定理得
P x
N
r OM O2 P O2 Q O2 R x2y2z2
对两点 A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2),因
M A 1 2(ab) MB 1 2(ba)A M C 1 2(ab) M D 1 2(ba)
M aB
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
解: 设 M 的坐标为(x,y,z),如图所示
AMMB
AM OM OA M BO BOM
A
M B
o
OM OA(O BOM ) A
得
OM 11 (O A OB
B
即
(x,y,z)1
1
( x 1 x 2 ,y 1 y 2 , z 1 z 2 )
M
说明: 由
(x,y,z)1
1
( x 1 x 2 ,y 1 y 2 , z 1 z 2 )
若a0, 则有单位向 ea 量 a1 a . 因此 a a ea
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
ba ( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± b , a , b 同向时取正号
a
反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
a a
a
故ba.
a b
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
的坐标为 M(x,y,z),则
z C
O M O N M O O A O BC
OA xi, OB yj, OCzk
k
O
j
i
r
M
B y
rxiyjzk记(x,y,z)
A x
N
此式称为向量 r 的坐标分解式 , xi,yj,zk称为向r 量
沿三个坐标轴方向的分向量, x,y,z称为r向 的量 坐 . 标
5x3ya
①
3x2yb
②
其 a （ 2 中 ， 1 ， 2 ） ,b （ 1 ， 1 ， 2 ） .
解: 2×① －3×② , 得
x2a3b(7,1,1)0
代入②得 y1(3xb) (1,1 2,1)6 2
例3. 已知两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)及实数1,
在AB所在直线上求一点 M , 使 AM M.B
x轴(横轴)
Ⅷ
yOz面
OxOy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C z
R(0,0, z)
B(0, y,z)
得定比分点公式:
A
xx11x2 ,
y
y1 y2 1
,
zz11z2
当1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M B
o
A
中点公式:
B
xx1
2
x2
,
y
y1
2
y2
,
zz1
2
z
2
M
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r(x,y,z)作 , O M r ,则有 rOM O O N P O N M Q OR
第一节
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小, 记作 M 1M 2,或 a , 或 a .
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a(ax,ay,az),b(bx,by,bz), 为实数，则
ab(a x b x ,a y b y ,a z b z)
a (ax,ay,az)
平行向量对应坐标成比例:
当a0时, b a
ba
bx by b z ax ay a z
bx ax
by ay
bz az
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
a
三角不等式
ba
a bab
a bab
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 : 0时，a与a同向 ，aa;
0时, a与a反向 ，aa;
0时, a0.
总之:
a a
可见 1aa
运算律 : 结合律 (a) (a)a 1aa;
分配律 ()aaa (ab)ab
而a 0,故 0,即.
“ ” 已知 b＝ a , 则
当0时, b＝0
当0时, a , b 同向
a∥b
当0时, a , b 反向
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, ABa,ADb,
试 a 与 用 b 表 M ,示 M A ,M B ,M C . D
解: abAC2MC2MA
D
C
baBD2MD2MB b
C(x,0,z)
r
O
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0) A(x, y,0)
z
O x
坐标轴 :
y0
y
x轴 z 0
y轴 z 0 x0
坐标面 : xO y 面 z0
yO z 面 x0 zO x 面 y0
x0 z轴 y 0
2. 向量的坐标表示
以 在空i,间 j,直k 分 角坐标系别 下x,,y 任,表 z 意轴 向量 示 r上 可用向径的 ,O设M点表单 M示.