外文翻译原文.

毕业设计外文文献翻译院系：数学与计算机科学学院

年级专业：12级数学与应用数学

姓名：施钰桢

学号：121301025

有限维向量空间

本文译自：Paul R.Halmos. Finite-Dimensional Vector Spaces. Library of Congress Cataloging in Publication Data, 1916.

§2.向量空间

现在我们来到了这本书的基本概念这里.有如下的定义，令F是一个数域; F中的元素叫做标量.

定义：向量空间V满足以下公理.

（A）对于任意的x和y，在V中有唯一确定的向量与它们对应，称为x与y的和，并记作x+ y，满足：

（1）交换律，x+ y= y+x.

（2）结合律，x+（y+z）=(x+y)+z.

（3）在V中存在一个独特的向量0（称为原点），对于任意向量x使得+0.

x

x=

（4）对于任意向量x，V中存在一个向量-x与之对应，使得x+（- x）= 0. （B）对于任意α和x，其中α是一个标量，x是V中的向量，在V中有唯一确定的向量与它们对应，称为α和x的积，记作αx，有如下公式：（1）乘法结合律，α（βx）=（αβ）x.

（2）对每个向量x有，1x=x.

（C）（1）向量乘法分配律，α（x+ y）=αx+αy.

（2）标量乘法分配律，（α+β）x=αx+βx.

这些公理在逻辑上不要求是独立的，它们只是其中的一个特性，为了方便我们研究.向量空间V和数域F之间的关系通常被描述为V是F上的向量空间.如果F是实数域R，V被称为实数向量空间;同样，如果F是Q或者是E，我们称V为有理向量空间或复数向量空间.

§3.实例

在讨论关于公理的影响前，我们举一些例子.在整个操作中我们将一遍又一遍参考这些例子，并利用现有的符号.

（1）让1E （=E ）为复数的集合，如果我们令x +y 和αx 为普通的复数加 法和乘法，则1E 为复数域上的向量空间.

（2）p 为所有多项式的集合，变量t 为复数系.我们解释到复数多项式的加法和乘法能写成向量加法和乘法，就称p 为复数向量空间；原点在多项式p 中恒等于零.

这本书的典型例子即实例（1）太过简单实例（2）太复杂.我们再举一个例子，复数向量空间（我们将在后面看到）一般足够为我们所用.

（3）设n E ,n =1,2,…, 是所有n 元复数的集合.如果x =（1ξ，...,n ξ）和 y =（1η，...,n η），根据定义,有

x +y = (1ξ+1η,…, n ξ+n η),

x α= (α1ξ,…, αn ξ),

0 = (0,…,0),

-x = (-1ξ,…,- n ξ).

这些§2中的真理（A ），（B ）与（C ）都很容易满足，所以n E 是一个复数向量空间，被称为n 维复坐标空间.

（4）对于每个正整数n ，设n P 为所有多项式的集合（复系数，如实例（2））当维≤n -1时，多项式恒等于零. （通常都是以维来讨论的，这多项式的维是没有定义，所以我们不能说维≤n -1）跟线性运算的解释一样（加法和标量乘法）如（2）n P 是一个复数向量空间.

(5)与n E 相近的所有n 维实数为n R ，它跟n E 的加法和标量乘法的定义相同，但现在我们只考虑实数标量α，空间n R 是一个实数向量空间，它会被称为n 维

实坐标空间.

（6）前述所有实例可以进行推广.例如，（1）中的一个明显的概括，可以说每个所述的数域可以被视为其自身的向量空间.一个常见的推广（3）和（5）是由任意数域F和n维F元素构成集合n

F;相同情况下线性运算的正式定义为F=E.

（7）根据定义，数域至少具有两个元素;一个是向量空间.由于每个向量空间包含原点，实际上（即除符号）一个向量空间只具有一个向量，这个是最简单的向量空间将用 来表示.

（8）如果在所有实数域R中，加法和有理实数乘法的定义跟之前是一样的，那么R为实数向量空间.

（9）如果在所有复数的集合E中，加法和复实数乘法的定义跟之前是一样的，那么E为复数向量空间. （将此例与（1）对比，他们有很大的不同）

§4.评论

公理和符号的评论.数域和向量空间的公理存在惊人的相似之处（和同样惊人的差异）.在这两种情况下，公理（A）中描述了该系统的加法结构，公理（B）描述了其乘法结构，公理（C）说明两种结构的联系，（在§1和§2）中的公理（A）的交换律是代数中较为熟悉的术语; （§2）中公理（B）及（C）中承认了标量作为运算的符号.我们顺便提下，如果标量是元素（而不是数域），相应的向量空间的广义概念称为模.

特殊实向量空间（如2R和3R）是熟悉的几何图形.似乎在这个阶段坚持R以外的数域显然是没有任何理由的，特别是复数域E.我们希望读者愿意去相信它，我们后面尽量使用复数性质（共轭，代数包闭），并且，我们的研究结果为希尔伯特空间的复数的推广在向量空间中的两个应用程序现代（量子力学）物理和数学中发挥重要的作用.它的一大缺点就是画图难度大.对普通图（阿根图）1E和2R 图是无法区别的，用图形表示似乎是超出人能达到的范围.因此我们不得不使用

E和n R，例如将2E称为平面.

一些图像语言来区分n

最后，我们对符号评论.我们观察到的符号0具有两个含义：一个作为标量，一个作为向量.为了使情况变的不那么糟，我们将在后面引入线性泛函与线性变换来给它下定义.幸运的是，0 的各种解释由此可得知，紧记这句话，我们就不会混淆了.

练习

1.证明，如果x 和y 是向量，α是一个标量，则下面的关系成立.

0),(00),(0),(=∙=-=+αc b x

x a

00),(=∙x d (观察到相同的符号被用在这个等式的两边;左侧它表示的是标量，右侧它表示的是向量.)

(e) 如果αx =0，那么α=0或x =0（或α=0且x =0）

(f) –x =(-1) x

(g) y +(x -y )=x (这里x -y =x +（-y ）)

2. 如果P 是素数，则n

P Z 是向量空间（cf. §1，例3）;在这个向量空间里有多少个向量？

3. 设V 是所有（命令）对数或实数的集合.如果),(21ξξ=x 和),(21ηη=y 为V 中的元素，有

x +y = ），（2211ηξηξ++

αx = ）

，（01αξ 0 =（0,0） -x = ），（21--ξξ

在线性操作的这些定义中V 是一个向量空间吗？为什么？

4. 有时一个向量空间中的一个子集,本身就是一个向量空间(线性操作已经给出).例如,向量空间3E 和3E 中子集V 组成的向量）

，，（321ξξξ，有