弹塑性力学本构关系

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弹塑性本构关系简介

弹塑性本构关系简介

松比)。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关(可称为历 史相关性或路径相关性),本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性(塑性)金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型,目前广 泛采用的有:等向强化;随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1

o A 1
o
1
C
D

弹性

f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变,只是作均匀
称后继屈服面,f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0

如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态,如

f (,ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k,关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j,klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量,形式上仍可表为
Dt ijkl

弹塑性力学第5章—塑性本构关系

弹塑性力学第5章—塑性本构关系

3 2
sij

Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小,来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变,由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J

2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p

ε
p 2
2+
ε
p 2

ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能( U0d
=
J2 2G

( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定,根据简单拉伸实验,在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似,主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔-库仑屈服条件
在实验基础上,提出线性化的莫尔-库仑屈服条件,σ

0
,
σ

弹塑性力学第四章弹性本构关系资料

弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变:
产生的x方向应变:
叠加
产生的x方向应变:
同理:
剪应变:
物理方程:
说明:
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系,称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令: 则: 令:
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律,即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力:
或: ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下,应力与应变有唯一确定的对应关系,三维 应力状态下,一点的应力取决于该点的应变状态,应力是应 变的函数(或应变是应力的函数) 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式(2)中的系数 有36个.
称为弹性常数,共
由均匀性假设,弹性体各点作用同样应力 时,必产生同样的应变,反之亦然.因此 为 常数,其数值由弹性体材料的性质而定.
式(2)推导过程未引用各向同性假设, 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等.
式(2)可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.

弹塑性本构关系简介

弹塑性本构关系简介

2) 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1)虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为:对 一切自平衡的虚应力,恒有如下虚功方程成 立(矩阵)
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性:位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向,多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量,
B c
为混凝土单轴抗压强度,a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1

弹塑性力学-弹塑性本构关系

弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状: 对于任意应力状态,应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合,否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关;
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义,并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
(3)非真实物理功不能引用热力学定律;
(4)德鲁克公设的适用条件:
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时,德鲁克公设成立;
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系,可得:
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得:
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似,Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M,必有
一塑性位势等势面存在,其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系:
dipj Ddipj
式中,D为弹性矩阵。 根据依留申公设,在 完成上述应变循环中, 外部功不为负,即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时,上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0

弹塑性力学-弹塑性本构关系

弹塑性力学-弹塑性本构关系

3 2
( S ij c ij )( S ij c ij ) s ( c 可 据 简 单 拉 伸 试 验 确 定 )
p p
3.2.3 混合强化模型
运动硬化和等向硬化的组合,可以构成更一般的 硬化模型,称为混合强化模型
( ij , H ) F ( ij c ij ) K 0
( ij , H ) F ( ij ij ) 0 F ( ij ) 0 为 初 始 屈 服 面
t r e s c a 、 vo n m ises 、 M - C
移动张量
常 用 线 形 随 动 强 化 ij c ij
p
m is e s :


0 ij
ij

0 ij
d
ij
0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
(3)非真实物理功不能引用热力学定律;
(4)德鲁克公设的适用条件: ①ij0在塑性势面与屈服面 之内时,德鲁克公设成立; ②ij0在塑性势面与屈服面 之间时,德鲁克公设不成立;
势面线
屈服面
(5)金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。 附加应力功为非负的条件
在应变空间,流动规则可用下式表示:
d ij d
p
ij
d

d
都为非负的比例系数。
3.2 硬化规律
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向,也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
• 硬化规律:加载面在应力空间中的位置、大小和 形状的变化规律。(确定加载面依据哪些具体的 硬化参量而产生硬化的规律称为硬化定律) • 硬化模型:实际土体硬化规律+简化假设(如采用 等值面硬化理论,主应力方向不旋转,加载面形 状不变等)

07 塑性本构关系

07 塑性本构关系
哈工大 土木工程学院
3 / 66
07 塑性本构关系
几种简化模型
哈工大 土木工程学院
4 / 66
07 塑性本构关系
第1节 弹性本构关系
当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态, 当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态,本 构关系就是广义虎克(Hooke)定律 构关系就是广义虎克 定律 在直角坐标系里,对各向同性材料, 在直角坐标系里,对各向同性材料,有:
e xx e yy ezz e xy e yz e zx 1 = = = = = = s xx s yy szz s xy s yz szx 2G
εx εy ε y εz γ xy γ yz εz εx γ zx 1 = = = = = = σ x σ y σ y σ z σ z σ x 2τ xy 2τ yz 2τ zx 2G
1 ′ 2G I 2
2
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07 塑性本构关系
也可通过偏张量关系式代入第二不变量得到该关系式
1 ′ I 2 = (σ 1 σ 2 )2 + (σ 2 σ 3 )2 + (σ 3 σ 1 )2 6 2 1 = ( 2G ) [(ε 1 ε 2 )2 + (ε 2 ε 3 )2 + (ε 3 ε 1 )2 ] 6
1 ε x = [σ x v (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y v (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z v (σ x + σ y )] E
γ xy = γ yz = γ zx =
τ xy
G
E:弹性模量 :
τ yz
G
ν:泊松比

弹塑性本构关系的认识及其在钢筋混凝土中的应用浅谈_塑

弹塑性本构关系的认识及其在钢筋混凝土中的应用浅谈_塑

弹塑性本构关系的认识及其在钢筋混凝土结构中的应用浅谈摘要:本文首先对弹塑性本构关系和钢筋混凝土材料的本构模型作了简要概述,然后结合上课所学知识和自己阅读的几篇文章,从材料的屈服准则、流动准则、硬化准则和加载卸载准则等四个方面详细阐述了弹塑性本构关系。

最后,结合上述准则简要论述了混凝土这一常用材料在地震作用下的弹塑性本构关系。

关键词:弹塑性本构关系,钢筋混凝土,地震Understanding of Elastoplastic Constitutive Relation and a Brife Talk of Its Aapplication to Reinforced Concrete StructureAbstract:This paper firstly makes a brief overview about elastoplastic constitutive relation and reinforced concrete constitutive model. Then,elaborating the elastoplastic constitutive relation from the four aspects of material yield criterion,flow rule,hardening rule,loading and unloading criterion based on what I have learned in class and reading from a few articles. Lastly,a simply introduction on the elastoplastic constitutive of reinforced concrete under earthquake is demonstrated.Keywords:elastoplastic constitutive relation; reinforced concrete structure; earthquake1 引言钢筋混凝土结构材料的本构关系对钢筋混凝土结构有限元分析结果有重大的影响,如果选用的本构关系不能很好地反映材料的各项力学性能,那么其它计算再精确也无法反映结构的实际受力特征。

弹塑性力学塑性本构关系

弹塑性力学塑性本构关系

0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
15
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影,反映了塑性应变增量的大小。
可假设:
d
1 h
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
0
如果hd以 d累积pf塑2ij d性d32应ijd变ijpdkfddijpkdp作32p0为d内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
p ij
d
k k p k d2 p f f
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h f
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H

15第10章经典弹塑性本构关系、第11章岩土本构关系和第12章 弹塑性力学边值问题分析(第15讲)

15第10章经典弹塑性本构关系、第11章岩土本构关系和第12章 弹塑性力学边值问题分析(第15讲)

A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
dσ ij
= Dijkl dε kl − Dijkl
∂g ∂σ kl
∂f ∂σ ij
Dijkl
A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
d ε kl
=
( Dijkl

Dijkl A+
∂g ∂σ kl ∂f ∂σ ij
∂f ∂σ ij
Dijkl
Dijkl
¾塑性应变εijp硬化定律: ¾塑性功Wp硬化定律: ¾ 塑性体应变εvp 硬化定律
2
¾塑性应变εijp硬化定律:
ξβ
=
ξβ

p ij
)


= ∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
d ξβ
=
∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
∂ξβ
∂ε
p ij

p ij
=0
得:
∂Φ ∂σ ij
=
dsij
/
2G,

p ij
= deipj ,
dεm
=
1 3K

m
∂f / ∂sij = sij ,

p ij
=
dλsij
展开为

p x
=

p y
=

p z
=

p xy
=

p yz
=

p zx
=

sx
sy

塑性力学-塑性本构关系

塑性力学-塑性本构关系

第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论(形变理论):在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。

Il’yushin(伊柳辛)理论。

•增量理论(流动理论):在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。

Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。

3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形:小变形加载:简单加载适用范围:物体内每一点应力的各个应力分量,在加载过程中成比例增长简单加载:()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点:应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下,判断简单加载的条件:荷载按比例增长(包括体力);零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用:满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载:按照单一曲线假设,应力强度减小•外载荷减小,应力水平降低•塑性变形发展,应力重分布,局部应力强度降低简单卸载定律:•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载,按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性,内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系,包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围:刚塑性材料3-7 流动法则--Levy-Mises & Prandtl-Reuss。

塑性力学03-塑性本构关系ppt课件

塑性力学03-塑性本构关系ppt课件
的应力和应变的改变量, 即B点的应
B
%
力和应变为
% , %
o
p e
因为卸载要服从弹性本构关系,
即 E. 这就是说,我们可以
由因为卸载引起的荷载的改变
%
量 P P% P 按弹性计算得到.
• 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到:
卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P P% P 为假想荷载按弹性计算所
是某一非零的参考应力状态,
t 是单调增加的参数.
这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
应变增量强度
d
p i
的公式得到
d
p i
d
2 3
Sij Sij
2 3
d
i
所以 d 3dip 3d i 2 i 2H 14i
• 将上面得到的 d代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化
材料的增量型本构方程:
dii
1 2
E
d ii
deij
1 2G
dSij
3d i 2H i
Sij
或写成:
dij
z
2
S
1 E
1 F
1
4
1
z
S
3
1 G
3 F
ln
2
z
屈服曲线

最新7.弹塑性力学--塑性本构关系汇总

最新7.弹塑性力学--塑性本构关系汇总

f g J2 k
Cep ijkl
ij kl
ik jl
il jk
k2
sij skl
d ij
C d ep ijkl kl
d x
d
y
d
d z d xy
d
yz
d zx
d x
d y
d
d d
z xy
d
yz
d zx
C ep ijkl
Ce ijkl
Cp ijkl
6
1.理想塑性材料的增量本构关系
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影,反映了塑性应变增量的大小。
可假设:
d
1 h
f
ij
d ij
d
p ij
1 h
f
ij
f
kl
d kl
如何确定?
f
ij d ij
f ij k
16
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
f ij ,ij , k 0
sx2 sysx
Cp ijkl
G k2
szsx
sxy sx
s
yz
sx
szxsx
sxsy
s
2 y
szsy
sxy sy
syz sy
szx sy
sxsz
sysz
s
2 z
sxy sz
syz sz
szx sz
sx sxy sy sxy sz sxy sx2y syz sxy szx sxy
sx syz

弹塑性力学第4章

弹塑性力学第4章
3
B 0,0,0
A 1 , 2 , 3
1
2
B点坐标原点,平均应力=0的应力状态
4.2.2屈服曲面:
f 上述屈服条件在应力空间所表达的曲面称之为屈服曲面。
1
, 2 , 3 C
f 1 , 2 , 3 C f 1 , 2 , 3 C
1 2k s , k s
2
Tresca 屈服条件可以表示为:

2 3 s 3 1 s 1 2 s
复杂应力状态下判断物体是否进入塑性阶段的公式。
Tresca 屈服条件的优缺点: 优点:当主应力顺序已知时,表达式简单 缺点: 1)当主应力顺序未知时,表达式复杂 2) 只考虑最大最小主应力 3) 屈服曲面为正六角柱面,棱边处切平面不唯一
Mises 屈服条件 用下列方程表示: 1 2 或
2
2 3 3 1 6B 2
2 2
2

x y

2
y z

2
2 2 2 6B 2 z x +6 xy yz zx


即:
f ij 0
加载过程 卸载过程
点在屈面上移动为加载过程
加载准则
f 0
f 0
f 0
理想材料 强化材料 加载
加载 中性变载
卸载 卸载
屈服条件为Mises的加载准则
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
J 2 0/ i 0
2s
3
Mises屈服条件的表达式:
x y y z z x +6 xy 2 yz 2 zx 2 2 s 2

塑性力学-简单弹塑性问题

塑性力学-简单弹塑性问题
ys
h2
理想弹塑性材料、矩形截面 b × h −σ s −
σ = Φ (ε ) = σ s
ys ys
其中:
⎤ ⎡ I (A ) M = σs ⎢ z e + Sp⎥ ⎦ ⎣ ys
2 3 I z ( Ae ) = b ⋅ y s 3
h2 2 S p = b( − y s ) 4
6
σs
+
M 3 1 y = − ( s )2 Me 2 2 h 2
+
ε=
y
+
σ

+
σs
σ
ρ
σ*
卸载前的应力、应变:σ 残余应力: σ * = σ − σ
ε
卸载过程应力改变量: σ = M y
I
10
2. 等截面梁的横向弯曲
•弯矩是变化的 M = M (x) •存在剪应力 忽略剪应力对屈服的影响
y ⎧ σs ⎪ σ ( x, y ) = ⎨ y s ( x ) ⎪Φ ( ε ) ⎩ 在 y ≤ ys ( x )时 在 y ≥ ys ( x )时
中性层曲率:
ρ
=
σs
Ey s
5
M = 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y = 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y + 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y
0
h2
ys
h2
0
ys
= =
E
ρ σs
ys
I z ( Ae ) + 2 ∫ Φ (ε ) ⋅ dA ⋅ y
ys
h2
I z ( Ae ) + 2 ∫ Φ (ε ) ⋅ dA ⋅ y
z
该问题是球对称的。采用 球坐标 不为零的应力分量 σ θ σ ϕ σ r

非线性有限元-9-弹塑性本构关系

非线性有限元-9-弹塑性本构关系

屈服面:
对于单向应力状态,其屈服条件可以写成 s
可以看出,描述一维问题的屈服条件需要应力-应变曲线上的一个临界点
(屈服点),描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面,该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f 1,2,3 C
F J2, J3 C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数:
最大剪应力屈服条件。 1870年:圣维南(Saint-Venant)提出在平面情
况下理想刚塑性的应力-应变关系。假设最大剪应 力方向和最大剪应变率方向一致,求解了柱体中发 生部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受 内压问题。 1871年:莱维(Levy)将塑性应力-应变关系推广 到三维情况。
3) 塑性阶段:继续加载,材料可承受 更大应力,称为材料强化,并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载, 路径接近直线,即坏点:继续加载至可承受的最大 极限应力,试件出现颈缩而破坏,
称为强度极限。
单轴试验下材料的弹塑性性态 (3/3)
强度限 b
A
弹性限 s
其它:1)在强化规律方面,除等向强化模型外, 普拉格(Prager)提出随动强化等模型;2)在实 验分析方面,运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法 等能测量大变形的手段。等等。
单轴试验下材料的弹塑性性态 (1/3)
对塑性变形基本规律的认识来自于实验: 1) 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; 2) 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型,
25
二、塑性力学的基本法则
将上述单轴应力状态的基本概念推广到一般的应力 状态,需要利用塑性力学的增量理论。
初始屈服条件

塑性力学第五章本构关系ppt课件

塑性力学第五章本构关系ppt课件

(5-2)
将三个正应变相加,得:
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记:平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系:
m 3K m
(5-4)
(5-2)式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
(5-5)
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将(5-41)式代回(5-39)式,可求出
(5-41)
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
(5-44)
在(5-39)式中,给定 sij 后不能确定 dij ,但反之却可由 dij
确定 sij 如下:
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将(5-38)式与(5-41)式加以比较就发现:
dW p s d s d
(5-45)
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则:
d
p ij
d sij
对应于π平面上,d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
(5-5)
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1

《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)

《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)
dW W
W W ij ij
0
ij
ij
一些书上写为
W dW ij d ij
0
2019/5/16 15
ij
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
在线弹性体应力与应变为线性关系,材料均匀
和小变形情况,以及当 ij=0 时 ij=0。 用指标符号表示:ij = Eijkl kl Eijkl 共有81个元素(四阶张量常数)。
§4-2 线弹性体的本构关系
2.5 各向同性材料 各个方向弹性性质一样,[C]中仅有2个独立 系数:
C11 C12 C12 C11 C12 C11 C 对 称
2019/5/16
0 0 0 0 0 0 (C11 C12 ) 0 0 (C11 C12 ) 0 (C11 C12 ) 0 0 0
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
2019/5/16
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A

V
V
f udV F udS
S
s
:函数增量
2019/5/16
x3
弹性主轴
x2
x3’
22
§4-2 线弹性体的本构关系
Qi’j x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3 代入 得
2019/5/16 23
x1 x2 1 0
x3 0 0 -1
0 1 0 0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
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横观各向异性材料,其独立的弹性常数为13个;正应变会 产生切应力,切应变也会产生正应力 工程上,单斜晶体(如正长石)可简化为横观各向异性弹 性体。
二. 正交各向异性材料
z
具有三个相互垂直弹性对 称面的材料称为正交各向异性 材料。 设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面,材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。
c12 c12
c13 c13
c14 c1415 c16 0
横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为
x c11 c12 c13 c22 c23 y z c33 xy 对 yz 称 zx c14 c24 c34 c44 0 0 0 0 c55 x y z 0 xy c56 yz c66 zx 0 0 0
三. 横观各向同性材料
设体内每一点存在一轴(z轴),在 与此轴垂直的平面(Oxy)内,所有射线 方向的弹性性质均相同。 称该平面为各 向同性面。
z z

y
y

x x
具有各向同性面,且各各向同性 面相互平行(或具有弹性对称轴)的 物体,称为横观各向同性材料。
O
在正交各向异性的基础上,按相似分析步骤, 设 xy 平面 旋转前后应力应变关系不变,比较其 绕 z 轴旋转任意角度 , 弹性常数可得
yz yz
zx zx
T
T
C
C C
c15 c16 c25 c26 c35 c36 c45 c46 0
例如比较 [C] 和 [C] 中的第一行
c1n c11 c1n c11
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx xy c41 x c42 y c43 z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yz c66 zx
正交各向异性材料,其独立的弹性常数为9个;正应变仅 产生正应力,切应变仅产生切应力。 工程上一般用三个弹性模量(Ex、 Ey 、 Ez ),三个泊松 比(Poisson)(xy、 yz、 zx)和三个切变模量(Gxy、 Gyz、 Gzx)表示。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹 性体。
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
如,c22 c2222 , c56 c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质,但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导, ij f ij 有势, 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能(应变能)。
一. 横观各向异性材料
仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 设Oxy平面为材料的弹性对称面,z轴为弹性主轴。 体内一点P(x, y, z)的应力和应变 为{ } 和{ }。则 C 其中[C]为各向异性的弹性矩阵 现将z轴反向,考 察其本构关系
x z z P (x, y, -z) z)
二. 广义胡克(Hooke)定律
受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关 系(胡克定律)的启发, 线弹性材料在复杂应力状态下其应力 张量与应变张量亦呈线性关系。 称为广义胡克定律的一般形式 x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
U 0 ij ij
—— Green公式
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x , y , z , xy , yz , zx x y z xy yz zx

同理
x U 0 c12 y x y y U 0 c21 x x y c13 c31 c14 c41
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。 弹性主轴 弹 如果材料具有弹性对称面, 性 则本构关系还可简化,使弹性常 对 称 数进一步缩减。 方
弹性对称
弹性体中每一点均有一个对 称方向,在这些对称方向上弹性 性质相同,即应力应变关系不变。 称为弹性对称。

弹性主轴
弹性对称方向
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。
如果材料的 ij f (ij ) 呈单值连续关系(不一定线性),则 称为柯西(Cauchy)弹性材料(一般意义上的弹性)。
呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。 在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件,使 ij f ( ij ) 有势函数存在,则这种弹性性质又称为超弹性。 可以证明线弹性一定是超弹性。
各向同性材料独立的弹性常数只有2个
§4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
一. 广义胡克定律的基本形式
对于各向同性材料的广义胡克定律表达式,展开
x c11 x c12 y z y c11 y c12 z x z c11 z c12 x y
c14 c24 c34 c44
c15 c25 c35 c45 c55
c16 x c26 y c36 z c46 xy c56 yz c66 zx
弹性矩阵为对 称矩阵,共有21个 独立的弹性常数
c12 c21 c15 c51

c56 c65

cmn cnm

x c11 c12 c22 y z xy 对 yz zx
c13 c23 c33

第四章
本构关系
§4-1 物体的弹性性质和广义胡克定律 §4-2 线弹性材料的本构关系 §4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
§4-1 物体的弹性性质· 广义Hooke定律
一. 弹性的概念
一般情况下,物体的应力与应变呈某一函数关系,可表示为: ij f ij 应力与应变张量均为六个独立分量。则 x f1 x , y , z , xy , yz , zx
x
O
P (x, y, z)
y
将 x 轴反向,仿前分析步骤可得
c14 c16 c24 c26 c34 c36 c46 c56 0
将 y 轴反向,不产生新的结果。
综合之,正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为
x c11 c12 c13 c22 c23 y z c33 xy 对 yz 称 zx 0 0 0 c44 0 0 0 0 c55 x y z 0 xy 0 yz c66 zx 0 0 0
1 c11 c12 xy 2 1 yz c11 c12 yz 2 1 zx c11 c12 zx 2
xy
令 则 张量形式
1 c12 G c11 c12 2 x 2G x xy G xy
弹性对称面
O
y
在新坐标下,由于弹性对称,应力应变关系保持不变 C 但P点坐标和应力应变分量发生变化
x y z
两坐标系三轴的方向余弦为
x
y x
1
0 0
0
1 0
0
0 -1
由坐标变换 代入上式 由 比较得
x y z xy x y z xy
1 c11 c22 , c55 c66 , c13 c23 , c44 c11 c12 2
所以,横观各向同性材料的广义胡克定律可表示为
x y z xy yz zx c11 c12 c11 c13 c13 c33 0 0 0 1 c11 c12 2
对 称
1 c22 c33 , c44 c66 , c55 c22 c23 2
0 0 0 0 1 c11 c12 2
x y z 0 xy yz 0 zx 1 c11 c12 2 0 0 0
四. 各向同性材料
在横观各向同性的基础上,将 z 轴反向,考察其反向前后 的应力应变关系可得
所以,各向同性材料的广义胡克定律可表示为
c11 x y z xy yz zx c12 c11 c12 c12 c11 0 0 0 1 c11 c12 2

矩阵表示形式: 其中
C
、 ——分别称为应力和应变列阵 C ——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个
ij cijkl kl
张量表示形式:
其中 cijkl ——称为弹性常数,共81个系数,
因 ij 、 ij 各六个独立, cijkl 缩减为36个独立的常数。 cmn和cijkl 的下标对应关系:
y f 2 x , y , z , xy , yz , zx z f3 x , y , z , xy , yz , zx xy f 4 x , y , z , xy , yz , zx yz f5 x , y , z , xy , yz , zx zx f 6 x , y , z , xy , yz , zx
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