第6章 不可压缩流体的平面势流 《流体力学》教案

第六章 不可压缩流体的平面势流§6-1 有势流动的速度势函数一、速度势函数ϕ对于无旋流动，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂y u x x w z u z y w υυ (1)根据数学分析可知：上式成立是z w y x u d d d ++υ成为某一函数),,,(t z y x ϕ的全微分的充要条件。

ϕ称为速度势函数，简称速度势。

即：z w y x u d d d d ++=υϕ又有：z z y y x x d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕx u ∂∂=∴ϕ，y ∂∂=ϕυ，z w ∂∂=ϕ又由矢量分析：kz i y i x k w i i u V ϖϖϖϖϖϖϖ∂∂+∂∂+∂∂=++=ϕϕϕυϕϕ∇==grad (2)即速度势的梯度等于流场的速度。

在柱坐标中：径向速度：r r ∂∂=ϕυ 切向速度：θϕϕυθ∂∂=∂∂=r s轴向速度：z z ∂∂=ϕυ由此可见，ϕ对任意方向的偏导数，就是速度V ϖ在该方向的投影，这是ϕ的一个重要性质。

函数),,,(t z y x ϕ称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动)0rot (=V ϖ，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。

在有势流动中，Γ和ϕ的关系为：()⎰⎰++=⋅=B AB AAB z w y x u s V Γd d d d υϖϖAB BAϕϕϕ-==⎰d (3)即在有势流动中，沿AB 曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B 与起点A 的速度势之差。

又：在有势流动中，沿任一封闭周线K 的速度环量()⎰⎰++=⋅=K K z w y x u s V Γd d d d υϖϖ⎰K ϕd ＝ 若ϕ是单值或由斯托克斯定理，则0d =⎰Kϕ二、势函数方程将x u ∂∂=ϕ，y ∂∂=ϕυ，z w ∂∂=ϕ代入不可压流体连续方程： 0=∂∂+∂∂+∂∂z w y x u υ则有：02222222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕz y x (4)(其中2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇称为拉普拉斯算子) 即在不可压流体的有势流动中，速度势ϕ满足拉普拉斯方程。

凡是满足拉普拉斯方程的函数，数学上称为调和函数，所以，速度势点数是一个调和函数。

对柱面坐标，ϕ的拉普拉斯方程为：222222211z r r r r∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕθϕϕϕϕ (5) 〔推导过程为：将r r ∂∂ϕυ＝，θϕυθ∂∂r ＝，z z ∂∂ϕυ＝代入柱面坐标的连续方程，即可〕根据以上讨论可知：只要流体流动无旋。

则必然存在单值的速度势函数，反之，若流场中存在单值的势函数ϕ，则此流动必为无旋流动。

此外，流动无旋，流场中沿封闭曲线的速度环量为零。

即：ϕω⇔0＝ϖ00=⇒Γ＝ωϖ 因此，求解不可压流体的无旋流动问题，便可归结为求解速度势问题，以此求得速度场，再由无旋流动的伯努利方程constg 2g 2=++V p z ρ，求得压力分布。

§6-2 流函数一、不可压缩流体的流函数ψ以上引进的势函数虽然能使问题简化，但它仅限于有势流动(即无旋流动)，对于有旋流动，我们必须根据定常，不可压二元流动的连续方程，引出流函数的概念。

推导如下：由二元不可压流体的连续方程0=∂∂+∂∂y x u υ则： y xu ∂∂-=∂∂υ (1) 又：平面流动的流线微分方程为：υy u x d d =0d d =-⇒x y u υ (2)由数学分析可知：(1)是(2)成为某一函数),(y x ψ的全微分的充要条件。

即：x y u d d d υψ-= (3)又：y y x x d d d ∂∂+∂∂=ψψψ所以，y u ∂∂=ψ，x ∂∂-=ψυ (4)则，x y x u ∂∂∂=∂∂ψ2，y x y ∂∂∂-=∂∂ψυ2 022=∂∂∂-∂∂∂=∂∂+∂∂y x x y y x u ψψυ 说明ψ满足连续性方程二、流函数的基本性质(1) 等流函数线为流线显然，在流线上，x y u d d υ-，即⇒=⇒0d ψ 即：c =ψ即，c =ψ的曲线为流线。

在每条流线上ψ的常数值各不相同。

(2) 即：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。

证：取两道流成21,ψψ，再取曲线AB 垂直于各流线，假定垂直纸面的尺寸为1，在AB曲线上取微元线段l d ，其上速度为V ϖ，则通过曲线AB 的体积流量为：()⎰⎰+==BAB Ad ),cos(),cos(d ly V x V u l V q n ϖϖυ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=B A d )d d (d d l l x ly u υ ()12A B B ABAd d d ψψψψψυ-=-==-=⎰⎰x y uX 指向减小方向，l x d d 为负。

为使),cos(y V ϖ为正，所以在d x 前加负号。

证毕。

由此可见：两根流线之间的流量等于两流函数的差值。

同时，由于在引出ψ这个概念时，没有涉及流体是有粘性还是无粘性(即理想或实际)，有旋或无旋。

所以，不论是有粘性还是无粘性，有旋还是无旋，只要是不可压流体的平面流动，就存在流函数。

三、流函数方程02222222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ψψψψz y x (5)1四、边界条件若无穷远处均匀来流绕流一物体时，在不分离的情况下，对于固定不动的边界，在壁面上流体的法向速度为0，而壁面必然是流线，通常令壁面上的流函数值为0，因此，壁面上的边界条件可写作：0=∂∂=n V n ψ或ψ=0 (6a)对于无穷远处均匀来流，当取X 轴与来流方向一致时，则有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂==∂∂=∂∂=∞0x y V y x u ψϕυψϕ (6b)五、ϕ与ψ之间的关系 1．满足柯西黎曼条件对不可压流体的平面无旋(有势)流动，则必然同时存在ψ和ϕ，而对平面无旋流动，由0=z ω，可推出则0=∂∂-∂∂y ux υ (7)再将y u ∂∂=ψ，x ∂∂-=ψυ代入上式得：022222=∂∂+∂∂=∇y x ψψψ (8) 对极坐标：0112222222=∂∂+∂∂+∂∂=∇θψψψψr r r r (9)所以不可压流体平面无旋流动的流函数ψ，满足拉普拉斯方程，也是调和函数。

又：对平面无旋流动，必然存在由⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=x y y x u ψϕυψϕ⇒柯西黎曼条件 2．流线与等势线正交0=∇⋅∇ψϕ是流线与等势线正交的条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇⋅∇j y i x j y i x ϖϖϖϖψψϕϕψϕ0=∂∂∂∂+∂∂∂∂⇒y y x x ψϕψϕ式就是等势线簇c =ϕ和流线簇c =ψ互相正交的条件。

所以说明c =ϕ(等势线簇) 和流线簇c =ψ正交。

在XY 坐标平面上由c =ϕ及c =ψ画图，构成正交网格，称为流网。

如下图所示。

§6-3 几种简单的势流流动不可压流体平面无旋流动的流函数ψ和势函数ϕ，满足拉普拉斯方程，而且，拉普拉斯方程是线性齐次方程，其解具有叠加性。

设21ϕϕ，是两个有势流动，均满足：012212212=∇=∂∂+∂∂ϕϕϕy x ，022222222=∇=∂∂+∂∂ϕϕϕy x叠加后，可得；()()()021222122212=+∇=∂+∂+∂+∂ϕϕϕϕϕϕy x (1) 同理：()()()021222122212=+∇=∂+∂+∂+∂ψψψψψψy x (2)11ϕ∇=V ρ，22ϕ∇=V ρ()212121V V V ρρρ+=∇+∇=+∇=∇=ϕϕϕϕϕ一、 一、平行流(均匀直线流动，无旋，参看下图)设流体作等速直线流动，流场中各点速度大小，方向均相同。

即θcos ∞=V u ，θυsin ∞=Vθθϕsin cos ∞∞+=yV xV (3a)y u x d d d +-=υψθθψcos sin ∞∞+-=yV xV (3b)当取x 轴与来流方向一致时，则有，0=θ，0=υ∞=xV ϕ，∞=yV ψ显然，c =ϕ与c =ψ互相垂直(斜率互为负倒数)，并且都满足拉普拉斯方程。

又：由位流伯努利方程constg 2g 2=++V p z ρy由const =V ，则const g =+ρpz若平行流在水平面上进行(即z =常数)，或流体重度可忽略不计，则const =p 即流场中压力处处相等。

二、点源与点汇设在无限大平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出。

(如图所示)这种流动称为点源。

这个点称为源点。

反之，若流体沿径向直线匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。

r 且r r ∂∂=ϕυ切向速度0=θυ又：对半径为r ，单位长度的圆柱面，由质量守恒，则流体通过统一圆柱面的流量Q 应相等。

则：常数=⋅⋅=r r Q υπ12r Qr πυ2=⇒ (4)式中，Q 是点源(或点汇)单位时间流入(或流出)的流量。

称为点源或点汇的强度。

对点源Q ＞0，⇒0>r υ我们取+Q ，对点汇，Q ＜0，⇒0<r υ，取-Q 。

则r r Q r r r r d 2d d d πυϕϕ±==∂∂=点源点汇22ln 2ln 2y x Q r Q +±=±=⇒ππϕ (5)当r =0时，ϕ与r υ都变成无穷大，所以源点(或汇点)是奇点。

所以(4)，(5)仅仅在源点(汇点)以外才适用。

又由柯西黎曼条件：y x ∂∂=∂∂ψϕx y ∂∂-=∂∂ψϕ则yy x x d d d ∂∂+∂∂=ψψψ积分：θπψ2Q±= (6)或由极坐标的柯西黎曼条件：s r ∂∂=∂∂ψϕr s ∂∂-=∂∂ψϕ则：⎰⎰±=±=∂∂+∂∂=θπθπψψψ2d 2d d Q r r Q s s r r等势线const =ϕ，即const =r 是半径不同得同心圆，(由⇒=⇒==Qc r C r Qππϕ2eln 2圆的方程)，与流线const =ψ(即const =θ)互相正交。

(参图虚线为等势线，实线为流线)。

又将ϕ与ψ代入极坐标的拉普拉斯算子22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r均满足拉普拉斯方程02=∇ϕ，02=∇ψ由此可见，点源与点汇均是无旋流动。

对无限水平面的无穷远处02==∞r Qr πυ三、涡流与点涡1、速度分布设有一旋涡强度为J 的直线涡束，该涡束半径为r 0沿Z 轴方向为无限长(如图)，且该涡束好像刚体一样以等角度ω绕自身轴旋转，由于假设直线涡束沿Z 轴方向无限长，即认为在与Z 轴垂直的所有平面上流动情况都一样。

所以，此种流动可视为平面运动处理。

而涡束周围的流体将被带动着做旋转运动。

如图所示，这种运动称为涡流。

设涡束轴为Z 轴，则由涡束所诱导的环流的流线就是以坐标原点为圆心的圆心园。