离散傅里叶变换应用

（5-7）
**三、误差产生原因及解决办法
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❖对连续非周期信号的数字谱分析实质上是 用有限长抽样序列的DFT（离散谱）来近 似无限长连续信号的频谱（连续谱），其 结果必然会产生误差，主要的误差包括： 栅栏效应、混叠效应和频谱泄漏三种。
三、误差产生原因及解决办法
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❖ 利用DFT逼近傅里叶变换时存在的问题和解决的 方法.
❖ 倒频谱的基本概念及应用等内容。
第一节 用DFT逼近连续时间信号的频谱
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❖ 工程上所遇到的信号，包括传感器的输出信号， 大多是连续非周期信号，这种信号无论是在时域 或频域都是连续的，其波形和频谱如图5-1所示。
x (t)
一
时域的有限化和离散化
二
频域的有限化和离散化
三
误差产生原因及解决办法
四
周期信号的数字谱分析
五
谱分析时DFT参数的选择
六
频谱细化技术
一、时域的有限化和离散化
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时域的有限化，就是对信号的延续时间沿时间轴 进行截断，反映在图5-2中，是把时间区间由（－
∞，∞）限定为（0， T）1 。
三、传感器的频率特性分析
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❖ 为了利用DFT来求解，只能对输出响应y(t )截取 有限长 t p一段进行分析。这样截取一段，势 必产生较严重的泄漏，使得传感器的频率 响应特性在高频部分发生明显的畸变。
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第五章 离散傅里叶变换的应用
5.1 用DFT逼近连续时间信号的频谱 5.2 **用FFT计算线卷积和相关运算 5.3 倒频谱分析 5.4 系统频谱响应函数分析及确定
内容提要
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❖ 离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT） 的重要性不仅在于理论上的严格性，而且还在于 工程上的实用性，凡是可以利用傅里叶变换进行 分析、综合和处理的技术问题，都能利用FFT有 效地解决。
其功率谱为
P() X ()X () X () 2
一、倒频谱的定义
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❖ 定义
Cx ( ) F[log P()] 2（5-25）
为连续信号x(t)的倒频谱，它实质是“信号对数功
率谱的功率谱”。
❖ 实际工程中常用幅值倒频谱，其表达式为
Ca ( ) （F15[l-o2g6P）()]
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❖ 对动态压力传感器频率特性的测定，目前通用的 实验方法如图5-13所示。
压力信 号源
被测 传感器
抗混迭 滤波器
采 样 FFT A/D
D/A
打印 输出
数据
图5-13 传感器动态标定系统框图
三、传感器的频率特性分析
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❖ 但对传感器而言，其频率响应总是有限的，因此， 在激波管产生的阶跃信号输入情况下，传感器的 输出响应 可能y(如t) 图5-15 b所示。在这种情况下， 是非时限y(t信) 号，且归一化稳态值为1，不满足绝对 可积的条件。
a
Xa(ω)
0
t
0
ω
图5-1 连续非周期信号时域 波形和频谱
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X a ()

xa
(t
)e

jt
dt
（5-1）
1
xa (t) 2

X
a
(
)e
jt
d
（5-2）
❖由式（5-1）、式（5-2）和图5-1，可以 看出
❖1）两式中的积分区间均为（－∞，∞）；
❖2）X a (和) x都a (t是) 连续函数。
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❖显然，上述两点无法满足计算机进行数字 信号处理的要求，若要应用FFT进行分析和 处理，必须在时、频域进行有限化和离散 化处理。
❖有限化和离散化处理是在时、频域对被处 理的连续信号近似或逼近，是一种近似处 理。
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2） h(与t) H互(为)傅里叶变换对。 3）系统为单输入，并没有明显的噪声输 入。 4）频率响应函数的相频特性与互谱的相位特性完 全相同。 ❖ 5）频率响应函数的幅频特性图上，幅比值可以用 线性坐标，其单位为输出信号的物理单位除以输 入信号的物理单位。
三、传感器的频率特性分析
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Xs(Ω)

Ωs
0

Ωs
Ω
图5-3 时域离散化后的频谱
二、频域的有限化和离散化
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与时域一样，对频域也要进行有限化和离散化处理。
频域的有限化，是在频域轴上取一个周期的频率区
间 [0。,Ω频s] 域的离散化，就是对一个周期内的频谱进
行抽样， 有Ω （kΩ1
k） 0,则,1,2, , N 1

1 N
N 1
X。ˆ (k )WNnk
k 0
二、倒频谱的应用——对语言信号的分析
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❖ 元音“a”的对数谱和倒频谱表示在图5-11上。从图中可以 看到有两个特点：一是有大量的谐波分量，谐波间距等于 语音音调；二是有许多共振峰，即所谓的构形成分，它由 声道的形状决定，并确定了特定的元音声。
提高频率分辨率，应当增加信号的有效数据长度
或 从
N而，T看1也到可以原采来用看频不谱细到化的技“术频，
使谱线变密 谱景象”
， 。
T1
三、误差产生原因及解决办法
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❖ （二）混叠效应
❖ 时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频 率 fs 1不T 够高时，采样信号相对原信号就会产生 频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是由 于时域的离散化引起的，克服的办法是提高采样 频率，设法满足采样定理，保证 fs ， 其2 f中m 是 原信f m号的最高频率。如果时间记录长度为 ， 则
xs(t)xa(t)

0
T1
t
T
5-2 连续信号时域有限化和离散化
一、时域的有限化和离散化
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❖ 那么，原连续信号的频谱离散化后，可近似表示为

X a () T xa (nT )e jnT
（5-3）
n
❖经有限化，即n由（－∞，∞）近似为（0，T1） ，上
xa(t)
y(t)
-T1/2
0
T1/2 t
W(t)
1
-T1/2
0 T1/2 t
图5-5 用矩形窗截断信号
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第三节 倒频谱分析
一
倒频谱的定义
二 倒频谱的应用——对语言信号的分析
一、倒频谱的定义
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❖ 设时域连续信号x(t)的傅里叶变换为
X () x(t)e jtdt
❖ 本节主要介绍一下系统频率响应函数的基本特性、 基本测定方法，并以传感器的频率特性分析为例， 说明离散傅里叶变换（DFT）的应用。
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主要内容
一 频率响应函数的基本特性
二
频率响应函数的测定
三
传感器的频率特性分析
一、频率响应函数的基本特性
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❖ 频率响应函数的物理意义：首先假定输入是频率
❖ 并简写成
Cx ( ) C f ( ) Cv ( )
二、倒频谱的应用——对语言信号的分析
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❖ 从图5-11中还可以看出，有声道产生的构形成分 与嗓音产生的语音特征，在倒频谱中处于完全不 同的地方，可以明显地加以区别。
第四节 系统频率响应函数分析及确定
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为 的正弦波，输出也是一个相同频率的波。同一
频率的输出振幅之比，等于系统的模 H；(输) 出和 输入的相位差等于系统的相角 。频(率) 响应函数 就是系统的幅频和相频特性。
一、频率响应函数的基本特性
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❖ 频率响应函数的基本特性:
1） H()，即0幅频特性为正值函数。
式可表示为
N 1
X a () T xa (nT )e jnT n0
（5-4）
❖ 要进行数字谱分析，上式中的还须进行有限化和离
散化。
二、频域的有限化和离散化
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❖ 时域上的变化必然引起频域上的变化，由于在时 域上对 xa (进t) 行了抽样，则在频域上将引起频谱的 周期化（是原连续信号频谱的周期延拓，延拓周 期为 ）Ω，s 如图5-3所示。
❖ 以压力传感器为例，一般而言，他可以看作是一线
性时不变系统，如图5-12 所示。设传感器的单位冲
激响应为 h(t，) 输入为 x，(t则) 输出响应
，根
据卷y(积t) 定 h义( y有) x(t)
H () Y () X ()
x(t) 传感器 y(t)
h(t)
图5-12 传感器Biblioteka Baidu型
三、传感器的频率特性分析
❖ （一）栅栏效应
非周期信号具有连续谱，但用DFT来计算非周期信
号的频谱时，只能观察到有限个（N个）离散频
谱值，而频谱间隔中的值就观察不到了，就好像 通过栅栏观察景物一样，一部分景物被阻挡了， 这种现象称为栅栏效应。将能够感受到的频谱最 小间隔值称为频谱分辨率。频谱分辨率反映了谱 分析算法能将信号中两个靠得很近的谱保持分开
❖
图5-11 元音“a”的对数谱和倒频谱分析
二、倒频谱的应用——对语言信号的分析
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❖为分析方便，用 f /(2 ) 代替 ，则可用 Pv ( f )
表示原来声道内发出的语音信号的功率谱，用 Pf ( f ) 表示共振嗓音成分的功率谱，两者合成的元音声 的功率谱为
xs(t)xa(t)

0
T1
t
T
5-2 连续信号时域有限化和离散化
一、时域的有限化和离散化
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❖ 时域的离散化，就是对连续信号进行抽样，采样后， 有 t nT (n则 0,1, 2，,.., N 1) ，其结果如图5-2 所示T1。 NT xa (t) xs (t)
的能力。若时域抽样周期为T，抽样点数为N，则
有
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三、误差产生原因及解决办法
F Ω1 1 1
2 T1 NT
（5-8）
❖N率起T的F实与，际使T上成1 得就反在是比频信。谱号栅抽在栏样时效间域应隔上是之的由间截于的断频频长域谱度的T无离1 法，散反分化引辨映
出来，因此是不可避免的。为了改善栅栏效应，
T xa (nT)e N T DFT[xa (nT)] TX (k)
n0
Xa(kΩ1)
❖由上式可知，X a (kΩ1 )
与 X (k，) 仅相差一个
系数 。同T 理可得
（5-6）
0 Ω1
Ωs Ω
图5-4 连续信号频谱的有限化和离散化
xa
(nT
)

1 T
IDFT[ X
a
(kΩ1 )]
Px ( f ) Pv ( f )Pf ( f ) ❖ 若以对数形式表达，上式可改写成
lg Px ( f ) lg[Pf ( f )] lg[Pv ( f )]
二、倒频谱的应用——对语言信号的分析
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❖ 因为傅里叶变换的线性特性，所以在倒频谱中仍 保持相加的关系。 F{lg[Px ( f )]} F{lg[Pf ( f )]} F{lg[Pv ( f )]}
在 T1时间内的采T样1 次N必须满足
N 2 f mT1
（5-9）
三、误差产生原因及解决办法
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❖ （三）频谱泄漏 ❖ 频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断，
把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外 的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗）信 号乘相应的信号，如图5-5所示。
号 相区X别a (n，1)用 化后的频谱。
来表示X非a (k周Ω1)期信号频谱离散
二、频域的有限化和离散化
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N1
X a (kΩ1 ) T xa (nT )e jkΩ1nT
N 1
jk 2 nT
T xa (nT )e NT
n0
n0
N 1
j 2 nk
Ω1
Ωs N

2 / T
N

2
NT

2
T1
（5-5）
二、频域的有限化和离散化
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❖需要指出，上式中， T代1 表信号截断的时间长度， 不是信号周期概念，因为原信号是非周期信号；
也不是Ω1基频的概念，而是频谱离散化后相邻离散 点的频率间隔。因此为了与周期信号离散谱的符
一、倒频谱的定义
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❖ 在实际数字信号处理时，对有限长序列的倒谱计 算步骤为
N 1
❖(1)对时域信号 x(n作) DFT X (k) ；x(n)WNnk n0
❖(2)对频域信号 X (取k) 对数： Xˆ (k) ；ln X (k)
❖(3)求倒谱：xl (n)