10波函数.波能量
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讨论1. 讨论 波函数与振动表达式 对于给定的位置座标 x = x 0，波函数
表达式： 表达式： x0 y ( x 0 , t ) = A cos[ ω ( t − )+ ϕ ] u 对于另一点 x = x0 + ∆x，波函数为 x 0 + ∆x y( x0 + ∆x , t ) = A cos[ ω ( t − )+ϕ ] u ω ∆x ∆ ϕ = − ∆ x = −2π = − k∆ x u λ r ∆ x > 0时， ∆ϕ < 0，沿 u方向相依次落后 当 ∆ x = nλ , ∆ ϕ = 2 nπ
13
就成为该处质点的振动
讨论2. 讨论 波函数与波形曲线
的函数， 对于给定时刻 t = t 0，位移 y为座标 x的函数，波函数就是 x 该时刻的波形曲线， 该时刻的波形曲线，即 ：y( x , t 0 ) = A cos[ ω ( t 0 − ) + ϕ ] u x 另一时刻 t = t 0 + ∆t， y ( x , t 0 + ∆t ) = A cos[ ω ( t 0 + ∆t − ) + ϕ ]
播放动画
4
注意： 注意： 1） 波的传播不是介质质元的传播（质元只在各自 波的传播不是介质质元的传播（质元只在各自 的平衡位置附近振动） 的平衡位置附近振动） ，传播出去的仅是质点的振 动状态（亦称相） 动状态（亦称相）。 2） “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动， ） 上游”的质元依次带动“下游”的质元振动， 某时刻质元的振动状态将在较晚时刻于“下游” 某时刻质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处 出现。波动中各质元的振动是受迫振动， 出现。波动中各质元的振动是受迫振动，它们的振动 频率与波源的振动频率相同，与介质无关。 频率与波源的振动频率相同，与介质无关。 3）同相点----质元的振动状态相同。 同相点----质元的振动状态相同。 同相点----质元的振动状态相同 •振动是一个质点的振动 振动是一个质点的振动 4）振动与波动的区别 •波动是一系列质点的振动 波动是一系列质点的振动
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5.4 平面简谐波
振动在空间的传播过程叫做波动。 1. 振动在空间的传播过程叫做波动。 2. 常见的波有两大类 常见的波有两大类: (1) 机械波 (机械振动的传播 机械振动的传播) 机械振动的传播 (2)电磁波（交变电场、磁场的传播） 电磁波（交变电场、磁场的传播） 在微观领域中还有物质波 物质波。 在微观领域中还有物质波。 3. 各种波的本质不同, 各种波的本质不同, 但其基本传播规律有许多相同之处。 但其基本传播规律有许多相同之处。
1 ∂2 y ∂2 y = 2 2 2 u ∂t ∂x
u 为波速
任何物理量满足上述形式即为波动。 任何物理量满足上述形式即为波动。 验证：将一维简谐波(即平面简谐波)的波函数 验证： 一维简谐波(即平面简谐波) y(x,t)=Acos[ω t - (2πx/λ)] 代入上式, 代入上式, π 可知是此方程的解。 可知是此方程的解。 可见波函数是波动方程的解。 可见波函数是波动方程的解。 机械波的传播速度完全取决于介 弹性模量 波速 = 质的弹性模量和介质的密度。 质的弹性模量和介质的密度。 媒质密度
处质点振动的相 振动的相比 超前k Δx 或x 处质点振动的相比x0超前k·Δx
y ( x , t ) = A cos[ ω t + k ( x − x 0 ) + ϕ ]
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由关系 ω = 2πν = 2π / T及u = λ / T = λν
k = 2π / λ
x 对于 y = A cos ω t − u
波函数（波的表达式）有另外常用的几种写法： 波函数（波的表达式）有另外常用的几种写法：
y = Acos(ω t − kx )
t x y = A cos 2π ( − )， T λ
思考： ）振动方程与波函数的区别。 思考： 1）振动方程与波函数的区别。 思考： 2）波形曲线和振动曲线有什么不同？ 思考： 波形曲线和振动曲线有什么不同？
机械波的产生与描述 5.4.1 机械波的产生与描述
产生波的条件——存在弹性介质和波源。 存在弹性介质和波源 1. 产生波的条件 存在弹性介质和波源。 波源处质点的扰动通过弹性介质中的弹性力， 波源处质点的扰动通过弹性介质中的弹性力， 将扰动传播开去，扰动的传播叫行波。 将扰动传播开去，扰动的传播叫行波。
1 频率 ν = T
角频率
单位时间内通过某点完整波的数目 单位时间内通过某点完整波的数目 某点
角频率ω—单位时间振动相位的变化 单位时间振动相位的变化 角频率
3）波长λ ： ）
ω = 2π ν
波线上振动的相相差2π的两质元间的距离。 波线上振动的相相差 的两质元间的距离。 的两质元间的距离 由波源和媒质共同决定。 波长是波的“空间周期” 7 它由波源和媒质共同决定。 波长是波的“空间周期”。
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负方向传播， 问：波向X负方向传播，波函数（波的表达式）如 波向 负方向传播 波函数（波的表达式） 何写？ 何写？
y ( x 0 , t ) = A cos( ω t + ϕ )
x点振动时间比 0超前 点振动时间比x 超前(x-x0)/u 点振动时间比
O
Y
u
P
x0
x
X
x − x0 y( x , t ) = A cos[ ω ( t + )+ϕ ] u
注意：（ 注意：（ a）y与x的区别
( b ) 波的传播速度 u 与质点振动速度 v的区别
u ← 波速，由媒质确定 波速， x ∂y v= = − Aω sin[ ω ( t − ) + ϕ ] ← 质元振动速度 u ∂t
15
讨论4. 讨论 波动方程与波速 平面波波动方程的一般形式为 平面波波动方程的一般形式为
16
讨论5. 与波函数（波的表达式）相关的几种题型： 讨论 与波函数（波的表达式）相关的几种题型：
角频率ω—单位时间振动相位的变化 单位时间振动相位的变化 角频率 角波数k—单位长度波的相位的变化 角波数 单位长度波的相位的变化 时间、空间、相位的 时间、空间、 周期性。 周期性。
∆t ∆x ∆ ϕ = = T 2π λ
8
5.4.2 平面简谐波的波函数
如何写出平面（一维）简谐波的波函数？ 如何写出平面（一维）简谐波的波函数？ 波的表达式） （波的表达式） 抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） ♦ 抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） 将在较晚时刻于“下游”某处出现。 将在较晚时刻于“下游”某处出现。 “下游”振动的时间落后Δx/u 下游”振动的时间落后Δx/u 下游 或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 “下游”振动的相落后k·Δx 下游”振动的相落后k Δx 下游 须知三个条件： ♦ 须知三个条件： 1）某参考点的振动方程： A, ω, ϕ （或T，ν) ）某参考点的振动方程： ， 2） 波长λ (或 u) ） 或 3） 波的传播方向 ）
2
2 . 波的几何描述 表示波的传播方向的射线（波射线） 波线—— 表示波的传播方向的射线（波射线） 波线 波面—— 媒质振动相位相同的点组成的面（同相面） 媒质振动相位相同的点组成的面（同相面） 波面 波阵面—— 某时刻波到达的各点所构成的面（波前） 某时刻波到达的各点所构成的面（波前） 波阵面
5
4）波形图 表示某一时刻波动各质点偏离平衡位置的图。 表示某一时刻波动各质点偏离平衡位置的图。 横轴表示波的传播方向， 横轴表示波的传播方向， 坐标x表示质点的平衡位置， 坐标 表示质点的平衡位置， 表示质点的平衡位置 纵轴表示质点的振动方向，o 纵轴表示质点的振动方向， 坐标y表示质点偏离平衡位置的位移。 坐标 表示质点偏离平衡位置的位移。 表示质点偏离平衡位置的位移 x y平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。 平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。 平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图 说明：在横波中波形图与实际的波形是相同的，但在 说明：在横波中波形图与实际的波形是相同的， 纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况， 纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况， 而区别于质点的实际位置分布。 而区别于质点的实际位置分布。
*波源与介质相对静止时，波源的频率等于介质中 波源与介质相对静止时， 波源与介质相对静止时 质点的振动频率。 质点的振动频率。 λ：表示波在空间的周期性 表示波在空间的周期性 ν：表示波在时间上的周期性 表示波在时间上的周期性
⇒ 通过波速 联系起来 通过波速u
u=
u=
λ
T
= λ ⋅ν
ω
k
2π 2π 其中： ;k = 其中： ω＝ T λ
处质点振动的相 振动的相比 落后k Δx 或x 处质点振动的相比x0落后k·Δx
y ( x , t ) = A cos[ ω t − k ( x − x 0 ) + ϕ ]
点在0点的左侧 问：当P点在 点的左侧（x <0），上式是否仍成立？ 点在 点的左侧（ ） 上式是否仍成立？ 仍成立。 【答】：仍成立。
波面 波 线
平面波
球面波
3.横波和纵波 3.横波和纵波 按波线与振动 方向关系 横波（ 横波（transverse wave ） 纵波（ 纵波（longitudinal wave ）
3
1）横波 各质点振动方向与波 的传播方向垂直的波。 的传播方向垂直的波。 如绳波、电磁波为横波。 如绳波、电磁波为横波。 为横波 2）纵波 播放动画 各质点振动方向与波的传播方向平行的波。 各质点振动方向与波的传播方向平行的波。 纵波是靠介质疏密部变化传播的。 纵波是靠介质疏密部变化传播的。 如声波，弹簧波为纵波。 如声波，弹簧波为纵波。
都是变量， 若x和t都是变量，那么波函数 描述了在波的传播方向 上 x处质点在 t时刻的位移。 时刻的位移。 波动的意义： 波动的意义：既描述了 一系列质元的振动情况 及各质元间 振动位相的差异， 示出随着时间的推移， 振动位相的差异，又表 示出随着时间的推移， 波形沿传播 方向运动的情况。 方向运动的情况。
“下游”某处出现。 下游”某处出现。 下游
0
4
8
12
16
20
24
t=0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t=T
“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 上游 某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于
波动是振动状态的传播，不是媒质的传播。 波动是振动状态的传播，不是媒质的传播。 状态的传播 媒质的传播
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波函数（波的表达式）的求法： 波函数（波的表达式）的求法： Y 知道参考点x 的振动方程： 知道参考点 0的振动方程：
y ( x 0 , t ) = A cos( ω t + ϕ )
O
u
x0
P
wenku.baidu.com
X
x x点 将重复 0点的振动，但时间落后 （x－ x0 )/ u 点 将重复x 的振动，
x − x0 y( x ,t ) = A cos[ ω ( t − )+ϕ ] u
6
y
u x
4. 描述波的特征量 1） 波速 u ： 振动状态传播的速度(由媒质决定 ） 由媒质决定) 由媒质决定 2） 周期 ： 是波的“时间周期”。 ） 周期T： 是波的“时间周期” 一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。 一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。 它由波源决定（波源、观测者均不动时） 由波源决定（波源、观测者均不动时）
u
两波形不重合， 两波形不重合，跟踪波 谷： y ( x1 , t 0 ) = y ( x 2 , t 0 + ∆ t )
前进（行波） 波形沿 u 方向以波速 u 前进（行波）
y
x1 x2 t0 − = t 0 + ∆t − ur u
x 2 − x1 = u ∆ t
v u
x
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r u
x
y
u∆t
讨论3. 讨论 波函数的物理意义
讨论1. 讨论 波函数与振动表达式 对于给定的位置座标 x = x 0，波函数
表达式： 表达式： x0 y ( x 0 , t ) = A cos[ ω ( t − )+ ϕ ] u 对于另一点 x = x0 + ∆x，波函数为 x 0 + ∆x y( x0 + ∆x , t ) = A cos[ ω ( t − )+ϕ ] u ω ∆x ∆ ϕ = − ∆ x = −2π = − k∆ x u λ r ∆ x > 0时， ∆ϕ < 0，沿 u方向相依次落后 当 ∆ x = nλ , ∆ ϕ = 2 nπ
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就成为该处质点的振动
讨论2. 讨论 波函数与波形曲线
的函数， 对于给定时刻 t = t 0，位移 y为座标 x的函数，波函数就是 x 该时刻的波形曲线， 该时刻的波形曲线，即 ：y( x , t 0 ) = A cos[ ω ( t 0 − ) + ϕ ] u x 另一时刻 t = t 0 + ∆t， y ( x , t 0 + ∆t ) = A cos[ ω ( t 0 + ∆t − ) + ϕ ]
播放动画
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注意： 注意： 1） 波的传播不是介质质元的传播（质元只在各自 波的传播不是介质质元的传播（质元只在各自 的平衡位置附近振动） 的平衡位置附近振动） ，传播出去的仅是质点的振 动状态（亦称相） 动状态（亦称相）。 2） “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动， ） 上游”的质元依次带动“下游”的质元振动， 某时刻质元的振动状态将在较晚时刻于“下游” 某时刻质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处 出现。波动中各质元的振动是受迫振动， 出现。波动中各质元的振动是受迫振动，它们的振动 频率与波源的振动频率相同，与介质无关。 频率与波源的振动频率相同，与介质无关。 3）同相点----质元的振动状态相同。 同相点----质元的振动状态相同。 同相点----质元的振动状态相同 •振动是一个质点的振动 振动是一个质点的振动 4）振动与波动的区别 •波动是一系列质点的振动 波动是一系列质点的振动
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5.4 平面简谐波
振动在空间的传播过程叫做波动。 1. 振动在空间的传播过程叫做波动。 2. 常见的波有两大类 常见的波有两大类: (1) 机械波 (机械振动的传播 机械振动的传播) 机械振动的传播 (2)电磁波（交变电场、磁场的传播） 电磁波（交变电场、磁场的传播） 在微观领域中还有物质波 物质波。 在微观领域中还有物质波。 3. 各种波的本质不同, 各种波的本质不同, 但其基本传播规律有许多相同之处。 但其基本传播规律有许多相同之处。
1 ∂2 y ∂2 y = 2 2 2 u ∂t ∂x
u 为波速
任何物理量满足上述形式即为波动。 任何物理量满足上述形式即为波动。 验证：将一维简谐波(即平面简谐波)的波函数 验证： 一维简谐波(即平面简谐波) y(x,t)=Acos[ω t - (2πx/λ)] 代入上式, 代入上式, π 可知是此方程的解。 可知是此方程的解。 可见波函数是波动方程的解。 可见波函数是波动方程的解。 机械波的传播速度完全取决于介 弹性模量 波速 = 质的弹性模量和介质的密度。 质的弹性模量和介质的密度。 媒质密度
处质点振动的相 振动的相比 超前k Δx 或x 处质点振动的相比x0超前k·Δx
y ( x , t ) = A cos[ ω t + k ( x − x 0 ) + ϕ ]
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由关系 ω = 2πν = 2π / T及u = λ / T = λν
k = 2π / λ
x 对于 y = A cos ω t − u
波函数（波的表达式）有另外常用的几种写法： 波函数（波的表达式）有另外常用的几种写法：
y = Acos(ω t − kx )
t x y = A cos 2π ( − )， T λ
思考： ）振动方程与波函数的区别。 思考： 1）振动方程与波函数的区别。 思考： 2）波形曲线和振动曲线有什么不同？ 思考： 波形曲线和振动曲线有什么不同？
机械波的产生与描述 5.4.1 机械波的产生与描述
产生波的条件——存在弹性介质和波源。 存在弹性介质和波源 1. 产生波的条件 存在弹性介质和波源。 波源处质点的扰动通过弹性介质中的弹性力， 波源处质点的扰动通过弹性介质中的弹性力， 将扰动传播开去，扰动的传播叫行波。 将扰动传播开去，扰动的传播叫行波。
1 频率 ν = T
角频率
单位时间内通过某点完整波的数目 单位时间内通过某点完整波的数目 某点
角频率ω—单位时间振动相位的变化 单位时间振动相位的变化 角频率
3）波长λ ： ）
ω = 2π ν
波线上振动的相相差2π的两质元间的距离。 波线上振动的相相差 的两质元间的距离。 的两质元间的距离 由波源和媒质共同决定。 波长是波的“空间周期” 7 它由波源和媒质共同决定。 波长是波的“空间周期”。
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负方向传播， 问：波向X负方向传播，波函数（波的表达式）如 波向 负方向传播 波函数（波的表达式） 何写？ 何写？
y ( x 0 , t ) = A cos( ω t + ϕ )
x点振动时间比 0超前 点振动时间比x 超前(x-x0)/u 点振动时间比
O
Y
u
P
x0
x
X
x − x0 y( x , t ) = A cos[ ω ( t + )+ϕ ] u
注意：（ 注意：（ a）y与x的区别
( b ) 波的传播速度 u 与质点振动速度 v的区别
u ← 波速，由媒质确定 波速， x ∂y v= = − Aω sin[ ω ( t − ) + ϕ ] ← 质元振动速度 u ∂t
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讨论4. 讨论 波动方程与波速 平面波波动方程的一般形式为 平面波波动方程的一般形式为
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讨论5. 与波函数（波的表达式）相关的几种题型： 讨论 与波函数（波的表达式）相关的几种题型：
角频率ω—单位时间振动相位的变化 单位时间振动相位的变化 角频率 角波数k—单位长度波的相位的变化 角波数 单位长度波的相位的变化 时间、空间、相位的 时间、空间、 周期性。 周期性。
∆t ∆x ∆ ϕ = = T 2π λ
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5.4.2 平面简谐波的波函数
如何写出平面（一维）简谐波的波函数？ 如何写出平面（一维）简谐波的波函数？ 波的表达式） （波的表达式） 抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） ♦ 抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） 将在较晚时刻于“下游”某处出现。 将在较晚时刻于“下游”某处出现。 “下游”振动的时间落后Δx/u 下游”振动的时间落后Δx/u 下游 或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 “下游”振动的相落后k·Δx 下游”振动的相落后k Δx 下游 须知三个条件： ♦ 须知三个条件： 1）某参考点的振动方程： A, ω, ϕ （或T，ν) ）某参考点的振动方程： ， 2） 波长λ (或 u) ） 或 3） 波的传播方向 ）
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2 . 波的几何描述 表示波的传播方向的射线（波射线） 波线—— 表示波的传播方向的射线（波射线） 波线 波面—— 媒质振动相位相同的点组成的面（同相面） 媒质振动相位相同的点组成的面（同相面） 波面 波阵面—— 某时刻波到达的各点所构成的面（波前） 某时刻波到达的各点所构成的面（波前） 波阵面
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4）波形图 表示某一时刻波动各质点偏离平衡位置的图。 表示某一时刻波动各质点偏离平衡位置的图。 横轴表示波的传播方向， 横轴表示波的传播方向， 坐标x表示质点的平衡位置， 坐标 表示质点的平衡位置， 表示质点的平衡位置 纵轴表示质点的振动方向，o 纵轴表示质点的振动方向， 坐标y表示质点偏离平衡位置的位移。 坐标 表示质点偏离平衡位置的位移。 表示质点偏离平衡位置的位移 x y平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。 平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。 平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图 说明：在横波中波形图与实际的波形是相同的，但在 说明：在横波中波形图与实际的波形是相同的， 纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况， 纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况， 而区别于质点的实际位置分布。 而区别于质点的实际位置分布。
*波源与介质相对静止时，波源的频率等于介质中 波源与介质相对静止时， 波源与介质相对静止时 质点的振动频率。 质点的振动频率。 λ：表示波在空间的周期性 表示波在空间的周期性 ν：表示波在时间上的周期性 表示波在时间上的周期性
⇒ 通过波速 联系起来 通过波速u
u=
u=
λ
T
= λ ⋅ν
ω
k
2π 2π 其中： ;k = 其中： ω＝ T λ
处质点振动的相 振动的相比 落后k Δx 或x 处质点振动的相比x0落后k·Δx
y ( x , t ) = A cos[ ω t − k ( x − x 0 ) + ϕ ]
点在0点的左侧 问：当P点在 点的左侧（x <0），上式是否仍成立？ 点在 点的左侧（ ） 上式是否仍成立？ 仍成立。 【答】：仍成立。
波面 波 线
平面波
球面波
3.横波和纵波 3.横波和纵波 按波线与振动 方向关系 横波（ 横波（transverse wave ） 纵波（ 纵波（longitudinal wave ）
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1）横波 各质点振动方向与波 的传播方向垂直的波。 的传播方向垂直的波。 如绳波、电磁波为横波。 如绳波、电磁波为横波。 为横波 2）纵波 播放动画 各质点振动方向与波的传播方向平行的波。 各质点振动方向与波的传播方向平行的波。 纵波是靠介质疏密部变化传播的。 纵波是靠介质疏密部变化传播的。 如声波，弹簧波为纵波。 如声波，弹簧波为纵波。
都是变量， 若x和t都是变量，那么波函数 描述了在波的传播方向 上 x处质点在 t时刻的位移。 时刻的位移。 波动的意义： 波动的意义：既描述了 一系列质元的振动情况 及各质元间 振动位相的差异， 示出随着时间的推移， 振动位相的差异，又表 示出随着时间的推移， 波形沿传播 方向运动的情况。 方向运动的情况。
“下游”某处出现。 下游”某处出现。 下游
0
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t=0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t=T
“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 上游 某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于
波动是振动状态的传播，不是媒质的传播。 波动是振动状态的传播，不是媒质的传播。 状态的传播 媒质的传播
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波函数（波的表达式）的求法： 波函数（波的表达式）的求法： Y 知道参考点x 的振动方程： 知道参考点 0的振动方程：
y ( x 0 , t ) = A cos( ω t + ϕ )
O
u
x0
P
wenku.baidu.com
X
x x点 将重复 0点的振动，但时间落后 （x－ x0 )/ u 点 将重复x 的振动，
x − x0 y( x ,t ) = A cos[ ω ( t − )+ϕ ] u
6
y
u x
4. 描述波的特征量 1） 波速 u ： 振动状态传播的速度(由媒质决定 ） 由媒质决定) 由媒质决定 2） 周期 ： 是波的“时间周期”。 ） 周期T： 是波的“时间周期” 一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。 一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。 它由波源决定（波源、观测者均不动时） 由波源决定（波源、观测者均不动时）
u
两波形不重合， 两波形不重合，跟踪波 谷： y ( x1 , t 0 ) = y ( x 2 , t 0 + ∆ t )
前进（行波） 波形沿 u 方向以波速 u 前进（行波）
y
x1 x2 t0 − = t 0 + ∆t − ur u
x 2 − x1 = u ∆ t
v u
x
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r u
x
y
u∆t
讨论3. 讨论 波函数的物理意义