电路分析基础~~第六章 正弦稳态电路分析

比较上两式可得
j u (t ) Re[ 2Ue j (t u ) ] Re[ 2Ue u e jt ]
有效值相量
振幅相量
U Ue ju U u
U m U m e ju U m u


两相量之间的关系
U m 2U


引入相量后，正弦电压又可表示为
u (t ) Re[ 2 U e
6-2-1
复
数
j
b
一．复数的概念
一个复数 A 有四种数学表达形式：
| A|

直角坐标形式：
指数形式： 三角形式： 极坐标形式：
A a jb
A | A | e j
O
a
1
A | A | (cos j sin ) A | A |
复数在复平面上用矢量表示
二．复数运算规则 复数的加、减运算
A1 | A1 | e j1 | A1 | j (1 2 ) | A1 | e (1 2 ) j 2 A2 | A2 | e | A2 | | A2 |
三、复数运算定理 定理1 若为a实数，A(t)为任意实变量的复值函数。则有
Re[a A(t )] a Re[ A(t )]
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
对应相量的为 相量图为
141.4 110 100 110 A I 2
j

U
7.07

3
V
1

I 100 110o A
[例6-3]
已知正弦电压相量为 U1 3 j 4 V ，频率 f 50HZ

，试写出对应正弦量的时域表示形式。 解：正弦波对应角频率 2 f 100 rad / s
（3）初相位要小于π 例：
u(t ) 10 cos(100t 30 ) i(t ) 5 sin( 100t 15 ) u(t ) 10 cos(100t 30 ) i(t ) 5 cos(100t 15 )
6-1-3
正弦量的有效值
在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算 为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应， 这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表 示。
u(t ) U m cos(t u )
6-1-2
正弦量的相位差
在同一正弦稳态电路中，任意电量都是同频的正弦量， 因此各正弦量的区别在于振幅和初相不同。为了衡量各正弦 电压和电流间变化进程之间的差别，即两个同频正弦量之间 的相位关系，引入“相位差”的概念。 设两个同频正弦量为：
i1 (t ) 2I1 cos(t 1 )
A A1 A2 (a1 jb1 ) (a 2 jb2 ) (a1 a 2 ) j (b1 b2 )
复数的乘、除运算
A1 A2 | A1 | e j1 | A2 | e j2 | A1 || A2 | e j (1 2 ) | A1 || A2 | (1 2 )
第6章 正弦稳态电路分析
一、什么是正弦稳态电路
动态电路在正弦激励下的完全响应由固有响应和强制 响应组成的。在正弦激励下，动态电路的固有响应是随时 间的增长而衰减的，经过一段时间后，固有响应将趋于零。 这时电路的完全响应则由强制响应，也即稳态响应决定。 在正弦激励下，处于稳态响应阶段的电路称为正弦稳态电 路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 (t ) 的时域形式，得： i2
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗 的电能量为
W1 p(t )dt Ri 2 (t )dt
o o
T
T
直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为
W2 RI 2 dt RI 2T
o
T
如果上述两种情况下，电阻R消耗的能量相同，即
RI T Ri 2 (t )dt
t
um
正弦量的振幅 正弦量的角频率，表示其随时间变化的快慢 正弦量的初相位，表示其起始值的大小
u
规定 u的取值范围为：
u
u可以为正为负，为正时，最大值发生在计时时刻之前
为负时，最大值发生在计时时刻之后
u (t ) Um
u
u (t )
Um
t
u
t
u(t ) U m cos(t u )
对应正弦相量的极坐标形式为：
U1 3 j 4 553.1 V

对应时域表示形式为：
u1 (t ) 5 2 cos(100 t 53.1) V
6-3 正弦稳态电路的相量模型
6-3-1 基尔霍夫定律的相量形式
基尔霍夫电流定律在时域内可表示为
i
k
k
(t ) 0
若 i k 为正弦波，则有
u (t ) 10 cos(314t ) V 3

i(t ) 141.4sin(104 t 20o ) A
试写出它们对应的相量并作出相量图。
解：对应相量的为
U

10 7.07 (V ) 3 2 3
i (t ) 141.4 sin( 10 4 t 20 ) 141.4 cos(10 4 t 20 90 ) 141.4 cos(10 4 t 110 )
－
C
由 U C U C u I C I C i j C C 2
I C CU C i u 2
电容的容抗 电容的容纳
可得

j

IC

2
UC
1
1 XC C 1 BC C XC
U C jX C I C
本章的主要内容
6-1 正弦量 6-2 正弦量的相量表示法 6-3 正弦稳态电路的相量模型 6-4 正弦稳态电路的相量分析法 6-5 正弦稳态电路的功率 6-6 三相电路
6-1 正 弦 量
6-1-1 正弦量的三要素
u (t ) Um
u
正弦电压的瞬时值可表示为：
u(t ) U m cos(t u )
d j t Re( 2 I C e ) C [Re( 2 U C e )] Re[ 2 jC U C e jt ] dt j t
电容元件伏安关系的相量形式 1 j CU UC IC IC C j C

电容元件的相量模型为：
IC
1 jC
+ U
[例6-6]
电路如图示，已知 u (t ) 120 2 cos(1000t 90) V
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF I R IC I L
120 j120 V U 2 U j120 IR j8 A R 15
UR R IR
由

欧姆定律的相量形式
U R U R u , I R I R i
U R I R R u i


j


IR
UR
1

电阻元件的相量模型为：
IR
R
二．电容元件
+ UR

－
duC (t ) 电容元件的时域伏安关系： iC (t ) C dt
正弦电流也可表示为
i(t ) 2I cos(t i )
同理可得正弦电压u（t）的有效值为
U
Um 2
0.707U m
有效值在工程中应用十分广泛。大部分使用于50HZ的 交流电表测读的都是有效值。交流电机和电器铭牌上所标注 的额定电压或电流都是指有效值。通常所说的民用交流电的 电压220V，指的就是电压的有效值。

j t
] Re[U m e jt ]

2 U e j t 称为旋转相量
引入旋转相量后，上式对 应的几何意义是一个正弦量在 任何时刻的瞬时值，等于对应 的旋转相量同一时刻在实轴上 的投影，如图所示。
注意： （1）正弦量与相量仅为对应关系，并非相等关系，
（2）正弦量的时间函数表达式称为正弦量的时域表 示，相量表示形式称为正弦量的相量表示或频域表 示。 [例6-1] 正弦电压和电流分别为
ik (t ) 2 I k cos( t ik ) Re[ 2 Ik e jt ] 0
k k k
k
I
k
0
KCL的相量式
同理，可得KVL的相量形式为
U
k
k
0
[例6-4]
如图所示，电路节点上
i1 (t ) 2 2 cos314t A, i2 (t ) 2 2 cos(314t 120) A
定理2 若A(t)和B(t)为任意实变量的复值函数。则有
Re[ A(t ) B(t )] Re[ A(t )] Re[ B(t )]
定理3
j t 若A为复数,其极坐标形式为 A Am e 。则有
d d j t Re[ Am e ] Re[ Am e jt ] Re[ j Ame jt ] dt dt
IC j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A
由相量表示，得其瞬态表示：
i3 (t ) 2 2 cos(314t 120) A
相量图如图所示

j

I2
I1


I1 I3
I2

1
6-3-2 R、L、C元件伏安关系的相量形式 一．电阻元件
因为
u (t ) Ri (t )

所以 Re( 2 U R e jt ) R Re( 2 I R e jt ) Re( 2 RI R e jt )
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
6-2 正弦量的相量表示法
正弦量为什么要用相量表示？
正弦稳态电路中，电路中各支路的稳态响应是与激励同 频率的正弦量。激励的频率通常是已知的，因此要求响应， 只要确定它们的振幅和初相这两个量就行了 相量表示法就是用复数来表示正弦量的振幅和初相，将 描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程，而这些方程 在形式上又与直流电路的方程相类似，从而大大简化了正弦 稳态响应的分析与计算。
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
则 A B
6-2-2
正弦量的相量表示法
u(t ) 2U cos(t u )
正弦电压 复指数函数
2Ue j (t u ) 2U cos(t u ) j 2U sin(t u )
2 o
T
I
1 T

T
0
i 2 (t )dt
则将电流I 定义为周期电流信号i (t )的有效值。 当周期电流为正弦电流时
i(t ) I m cos(t i )
代入上式，可得正弦电流的有效值I为
Im 1 T 2 I 0 [I m cos(t i )] dt 2 0.707 I m T
三．电感元件
diL 电感元件的时域伏安关系： u L L dt
电感元件伏安关系的相量形式和相量模型

U L j LI L
由上式可得
IL
jL
+ U L－

U L LI L u i 2

j

2
UL

IL
1
电感的感抗和感纳
XL L
1 1 BL XL L