三角形中位线定理

结论:（1）三角形三条中位线围成的三角形周长是原三角形
周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一 。 （2）三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
2.你能用三角形中位线定理,证明在开 始分蛋糕的过程中，分得的四块蛋糕 的形状全等吗？
A
D
E
B
F
C
3.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， 5㎝ ① BC=10cm，则DE=___. 60° ②∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
四个小朋友要分一块三角形蛋糕，但 他们想要大小形状完全相同的蛋糕， 线段 DE、EF、FD是怎样得到的线段呢？ 你能帮他们实现这个愿望吗？
A
D
E
B
F
C
定义：连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
几何语言： A
∵点D、E分别是AB和AC的中点 D 中点 ∴DE是△ABC的中位线
一个三角形有几条中位线？ B
∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、 AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
B
C
∴AB∥FC
又AD=DB ∴BD∥= CF
A D B A D B E C F
E
F 过点C作CF∥AB，与DE的
延长线相交于点F。
C
延长DE到F，使EF=DE， 连结CF。
A
D B E C
F
A E
H
D
（1）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是_______ 菱形 ？
G
F D E F H G B C
B
（2）顺次连结菱形各边中点 A 矩形 ？ 所得的四边形是________
C
（3）顺次连结正方形各 边中点所得的四边形是 正方形 ___________ ？
⑷顺次连结四边形各边中点，
当原四边形对角线相等时， 所得的四边形是菱形 ﹍﹍﹍ 。 当原四边形对角线互相垂直 矩形 时，所得四边形是﹍ ﹍ 。 当原四边形对角线相等且 互相垂直时，所得四边形 是﹍﹍﹍
A H
E
F
D
证明:连结AC ∵AH=HD 1 CG=GD H G AC ∴HG∥A
2
B
G C
C (三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的 1 EF AC 一半 ) EF∥AC 2 同理 ∴HG∥EF且 ∴四边形EFGH是平行四
知识提升
1.任意画一个四边形 ABCD,顺次连接各边 中点E、F、G、H。 四边形EFGH是什么 特殊的四边形呢? 请证明你的结论。
通过这一节课的学习 你有那些收获？
怎样将一张三角形硬纸片剪成两部 分,使分成的两部分能拼成一个平行四 边形?
请动手试一试!
已知a、b、c分别为三角形的三边， 试判断(a+b)x² +2cx+(a+b)=0的根的 情况。
1、三角形中位线的定义：连结三角形两 边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形中位线定理：三角形的中位线 平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3、用三角形中位线定理测量不能直接到 达的两点之间的距离。 4、用三角形中位线定理可以证明顺次连接四 边形各边中点得到的四边形是平行四边形； 顺次连接矩形，菱形，正方形各边中点分别 得到菱形，矩形，正方形。
1 求证：DE ∥ BC，且DE= 2 BC 。
A
D
已知：如图，DE是△ABC 的中位线
证明：如 图，延 长DE 到 F，使 EF=DE ，连 结CF. ∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
1 E 2
C
B
∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC 1 又∵ DE 1 DF DE BC 2 2
C
F
N
B
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N. 测出MN的长，就可知A、B两点的距离
6.例:求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的 四边形是平行四边形 已知：在四边形ABCD中,E.F.G.H 求证：四边形EFGH是平行四边形
分别是AB、BC、CD、DA的中点.
B A
H
D
G C
E
F
2.证明线段倍分关系的方法常有三种： （1）三角形中位线定理。 DE = ½ CB （2）直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半。
CD
A E
中点
C
B
D
中点
B
D 中点
C A
=½
AB
（3）直角三角形300角所对的 B 直角边等于斜边的一半。 BC = ½ AB C
300
A
思考：
变式练习
A
如果 DE是△ABC的中位线 那么 ⑴ DE∥BC， ⑵ DE= BC
1 2
D B
E C
用 途
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段 1 的2倍或 2
***中点想到 中线、中位线
1.已知： D、E、F分别为△ABC的边AB、AC、BC的中点。 A (1）已知DE=5，DF=4，EF=6， 则BC= ，AC= ， AB= ， D E △ DEF的周长= ， △ ABC的周长= ， B C △ DEF的周长是△ABC 周长的 , F (2）图中有 个平行四边形。 （3）若△ABC的面积是 20，则△DEF的面积是 ， △DEF的面积是△ABC的面积的 。 (4）连结AF则AF是△ABC的 ，AF与DE 的关系是 。
4. △ABC的周长为18cm，这个三角形的三条中 位线围成的△DEF的周长是多少？ 9㎝
A D E C
B
A
D
F
E
C
B
(1题)
（2题）
5.A 、 B 两点被池塘隔开 , 如何用卷 尺，利用今天所学的知识测量A、 B两点之间的距离呢？
A B
A
M
E
若MN=36 m，则AB=2MN=72 m 如果，MN两点之间还有阻 隔，你有什么解决办法？
延长DE到F，使EF=DE， 连结CF、AF、CD。
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
用几何语言示:
∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC
A
1 DE = BC 数量关系 2
B
位置关系 D E
C
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF ∴四边形BCFD是平行四边形
A
D
E
B
F
C
A
D
E
F
B
返回
C
D 。 F
。E
一个三角形共有三条中位线。
B
C
如图，线段DE是△ABC 的中位线， 你能猜测出DE和BC有什么
A
关系吗？
DE∥BC,且DE= BC
B C
1 2
D
E
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线 求证：DE ∥ A D E F
1 BC，且DE= 2 BC
证明方法1：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.
E 中点 C
F
注意：
三角形的中位线和中线区别： 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 理解三角形的中位线定义的两层含义: ① ∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线
A
② ∵ DE为△ABC的中位线
∴ D、E分别为AB、AC的中点