灰色预测及MATLAB实现

定义 首先对原始的时间序列进行数据处理得到生成列（有规 律的序列）。通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度， 并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动规律，生成有较 强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而 预测未来发展趋势。有累加和累减两种。
关联度
GM(1,1)模型
设原始数据序列 x 基本步骤如下： （1）对原始数据进行累加，以弱化随机序列的波动性和随 机性得到新序列： x x
从上表中可以看出，缺席率保持在0.3左右，可以认为第 五届的缺席率任然为0.3。认为可能的缺席人数为 755×0.3=226.5≈227人。
未知参会率起伏不定，因此用灰色预测法进行预测。把 上表中的数据代入即可预测。
ˆ （4）用最小二乘法求解灰参数 a ( a, ) ( B B )
T T
1
B Yn 。
T
ˆ （5）将灰参数 a 代入
ˆ x dy
(1)
dx
(1)
ax
(1)
，求解得
(1)
dt
(t 1) ( x
(0)

a
)e
at


a
dx ˆ ˆ (1) 由于 a 是通过最小二乘法求出的近似值，因此 x (t 1) 事近似表达
灰色预测的类型：
1、数列预测。对某现象随时间的顺延而发生的变化所做 的预测定义为数列预测。例如对消费物价指数的预测，需要 确定两个变量，一个是消费物价指数的水平。另一个是这一 水平所发生的时间。 2、灾变预测。对发生灾害或异常突变时间可能发生的时 间预测称为灾变预测。例如对地震时间的预测。 3、系统预测。对系统中众多变量间相互协调关系的发展 变化所进行的预测称为系统预测。例如市场中替代商品、相 互关联商品销售量互相制约的预测。 4、拓扑预测。将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找 该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列， 然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。
（3）误差检验可以灵活处理。
3.3 灰色预测应用案例
3.3.1 实例一：长江水质的预测2005年A
【分析】水质问题是复杂的非线性系统，由于样本较 少，需要预测的时间长，其它预测方法效果不好。 年份 污水/亿吨 年份 污水/亿吨 数据 1995 174 2000 234 1996 179 2001 220.5 1997 183 2002 256 1998 189 2003 270 1999 207 2004 285
表1 回执中对住房的要求 要求 合住1 154 78 合住2 104 48 合住3 32 17 独住1 107 59 独住2 68 28 独住3 41 19
男 女
表2 以往几届代表的回执参会情况表
届次 有回执代表数 有回执未参会 未回执但参会 第一届 315 89 57 第二届 356 115 69 第三届 408 121 75 第四届 711 213 104
(0)
(t ) ， q ( x )
e
(0) (0)
(t ) (t )
x
(0)
的均值及方差 s1。
(t ) 的平均值 q 及残差的方差 s2 。 s ④ 计算方差比 C 2 。 s1 ⑤ 求解小误差概率 P P{| e(t ) | 0.0.6745 s1} ⑥ 灰色模型精度检验表
检验方法 不唯一
第三章
灰色预测及MATLAB实现
3.1 灰色预测基础知识 3.2 灰色预测的MATLAB程序
3.3 整灰色预测应用实例
灰色预测及其MATLAB实现
序：
灰色预测方法在数学建模中经常用来处理预测问题，如
2003年A题：SARS的传播问题。
2005年A题：长江水质的评价和预测问题。 2006年B题：艾滋病疗法的评价及治疗的预测问题。 2007年A题：中国人口增长预测问题。 特点是：严格的理论基础、稳定的预测结果、大数据 量和小数据都比较适用。
等级 I级 II级 III级 IV级
相对误差 <0.01 <0.05 <0.1 >0.20
方差比C 小误差概率P <0.35 >0.95 <0.50 <0.65 >0.80 <0,80 <0.70 <0.60
（8）利用模型进行预测： (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x [ x (1), x (2),, x ( n) x ( n 1), x ( n 2),, x ( n m)]
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度， 即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变 动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的 微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等 时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预 测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的 时间。
问题求解关键因素： 未知参会率 = 未回执但参会数 / 总回执数
缺席率 = 有回执未参会 / 总回执数 往届缺席率与未知参会率
届次 缺席率
第一届 第二届 第三届 第四届
0.282540
0.323034
0.296569
0.299578
未知参会率
0.180952
0.193820
0.183824
0.146273
initial sequence simulation future sequence forecast
3.2 灰色预测的MATLAB程序
3.2.1 典型程序结构
（1）对原始数据进行累加。
矩阵处理， MATLAB的长 处
（2）构造累加矩阵B与常数向量。
（3）求解灰参数。 （4）将参数代入预测模型进行数据预测。
程序Lz321
程序Lz331
3.3.2 实例二：预测与会代表人数
问题描述：要求为会议筹备组制一个宾馆客房、租借会议 室、租用客车的合理方案。需要预测与会代表人数，依据是代 表回执数量以及往届的与会人员数据。
已知本届会议的回执情况（表1），往几届会议代表回执和 与会情况（表2），根据这些数据预测本届与会代表。
(1)
ˆ 序列，得到近似数据序列 x ˆ x
(0)
(0)
ˆ (t 1) x
(1)
ˆ (t 1) x
(t )
（7）建立灰色预测模型进行检验，步骤如下：
① 计算 x
(0)
与x
(0)
(t ) 之间的残差和相对误差 (t ) x
(0)
e ② 求原始数据 x ③ 求e
(0)
(0)
ˆ x
P ( x ) dx ( Q ( x )e P ( x ) dx dx C ) P( x) y Q( x) ， y e
式，与原序列区分，多了一个“帽子” 。
ˆ （6）对函数表达式 x
原x
(0)
(1)
ˆ (t 1) 及 x
(1)
(t ) 进行离散，将二者作差以便还
(t 1) ，
【例】某公司1999-2008年利润为（元/年）：[89677 99215 109655 120333 135823 159878 182321 209407 246619 300670]， 预测该公司未来几年的利润情况。 程序见Lz321.m
3.2.2 灰色预测程序说明
（1）熟悉程序中各条命令功能，加深理解。 （2）在实际应用中，只需要替换数据即可。
(1)
(1)
(0)
(x
(0)
(1), x
(0)
(2),, x
(0)
( n))
(x
(1)
(1), x
(1)
(1)
(2),, x
t (1)
Leabharlann Baidu(1)
( n))
(t ) 表示前 t 项的和， x
(t ) x
k 1
(k )
或者 x
(1)
(t 1) x
k 1
(1)
t 1
(1)
3.1灰色预测基础知识
什么是灰色预测？
灰色预测是就灰色系统所做的预测。所谓灰色系统是介于白 色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一 系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部 分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般 地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价 系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价 这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信 息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的 灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章 的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规 律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预 测。
(k )
（2）对 x
(t ) 建立一阶线性微分方程
dx
(1)
ax
(1)

dt 其中，a, 为待定系数，分别称为发展系数和灰色作用，a 的有效区
ˆ ˆ 间是 ( 2, 2) ，定义灰参数 a ( a, ) ，只要求出 a ，即可计算 x
T
(1)
(t ) ，
从而求出 x
(0)
的未来预测值。
（3）对累加生成数据做均值生成 B 矩阵与常数项向量Yn ，即
0.5( x (1) (1) x (1) (2)) (1) (1) 0.5( x (2) x (3)) (0) (0) (0) T B ，Yn ( x (2), x (3),, x ( n)) 0.5( x (1) ( n 1) x (1) ( n))