三阶微分差分方程非线性边值问题的渐近估计
带转点的三阶常微分方程边值问题的渐近解
带转点的三阶常微分方程边值问题的渐近解
带转点的三阶常微分方程边值问题的渐近解
三阶常微分方程边值问题求解是非线性科学计算过程中一个重要的课题，其特
有的特征以及解出的渐近解在很多实际问题上都有很重要的应用。
所谓三阶常微分方程边值问题是指已知某三阶常微分方程的极限及某边界条件
下的的特解，它的特有特征之一是“转点”，即在特定的x轴上出现的转折点。
面对三阶常微分方程边值问题的求解，可以采用常见的数值解的方法，包括有
限差分法、有限元方法以及其他数值方法等，这些方法在有限大小的步长下可以得到比较精确的结果。
此外，可以采用一般性的渐近解来求解三阶常微分方程边值问题，主要是利用
拉盖米变换以及相关可行函数法，这些方法都能把边值问题变换成一系列不定积分，并且可以在少量的数据下给出解析解。
综上所述，三阶常微分方程边值问题的求解有多种方法，并且渐近解在其中特
别重要，它可以在有限条件下得到比较精确的结果，为许多实际问题提供了一种有效的支持。
边值问题的数值解法
M b a 2 y xk y k h ，k 1， 2， ，n 1。 96
2
y 4 x 。因此，当 h 0 时，差分方程的解收敛到微分方 其中 M max a x b
y f x，y，y， y x，y sk，
这里的 s k 为
（8.6.3）
y
在 处的斜率。令 z y ，上述二阶方程可降为一阶方程组
y z， z f x，y，z ，
（8.6.4）
y a ，z a sk。
计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数
值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射 值，有一定的局限性。
第八章常微分方程数值解法
8.6.2 差分方法
差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程 离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。 先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 a，b 分成 n 等分，子区间的
s2
，同理得到 yb，s2 ，再判断它是否满足精度要求
y b，s2 。如此重复，直到某个 s 满足 y b，sk ，此时得到 k
的 y xi 和 yi z xi 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程 好比打靶， s k 作为斜率为子弹的发射，y b 为靶心，故称为打靶法。
y xy 4 y 12 x 2 3x， 0 x 1， y 0 0，y 1 2，
其解的解析表达式为 y
x x 4 x 。来自解 先将该线性边值问题转化为两个初值问题
xy1 4 y1 12 x 2 3 x， y1 1 0， y1 0 0，y1 xy2 4 y2 0， y2 1 1。 y2 0 0，y2
具有多项差分算子的三阶q-差分方程边值问题
注 的问题
（ ３ ）
分方 程 两点边 值 问题 （ ｔ ）＝ ｔ ， （ ｔ ） ） ， ｔ∈ ［ ０ ， １ ］ ，
Ｍ （ ０ ） ＝０， Ｄ 。 Ｍ （ ０ ）：０ ， Ｍ （ １ ）＝０ （ １ ）
其 中， ０＜ｑ＜１ ， 厂∈Ｃ（ ，×Ｒ， Ｒ） ， ，＝［ ０ ， １ ］ ， 参数 Ｐ
１ 引言及Leabharlann 备知 识 ９一差分 方程 历史 悠 久 － ４ ］ ， ｑ一差 分 方 程 在 多
个学 科 中已得 到 应 用 Ｊ ． 近 年 来 ｑ一差 分 方程 解 的存 在 性 问 题 是 数 学 工 作 者 研 究 的 中 心 问 题 之
一
的启发 ， 本 文研 究具 有 ４个 ｇ一差 分算 子的 三阶 ｇ一 差 分 方程 两点 边值 问题
ＮＯ Ｖ ．． ２ ０ １ ５
Ｖ０ １ ． ３８． Ｎｏ ． ６
具 有 多项 差 分 算 子 的三 阶 ｇ一 差 分 方 程 边 值 问题
杨 小辉 ， 李 杰 民
（ １ ．广东警官学院 计算 机系 ， 广东 广州 ５ １ ０ ２ ３ ０ ； ２ ．岭南师范学 院 数学与计算科学学院 ， 广东 湛江 ５ ２ ４ ０ ４ ８ ）
差 分算 子 Ｄ ， 而涉及 多 项 ｇ一差 分算 子 的三 阶 ｑ一
在ｔ ∈Ｒ点 的高 阶 ｑ一差 分为
ｇ （ ｔ ）＝ｇ （ ｔ ） ，
Ｄ ： ｇ （ ｔ ）＝Ｄ Ｄ ｎ ＿ 。 ｇ （ ｔ ） ， ｎ∈Ｎ ．
定义 ２ ． ３ 设 ０＜ｇ＜１ ， ｔ ＞ ０ ， 函数 ｇ （ ｔ ） ： ［ ０ ，
摘要： ｑ 一差分方程边值 问题 解的存在性 已经引起 国内外 数学 工作 者的研究兴趣 ， 并且得 到许多有价 值 的结果． 研究一类三 阶 ｑ一差分方程边值 问题 ， 该问题是 由一 个三 阶 ｑ一差分方程 和 ３个具有多项 ｑ 一差分 算子为边界条件构 成． 这种边界 条件 可以看成是 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ—Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 边界条件 的推广 ． 利用 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ压缩 映射 原 理和 Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ 不 动点定理 ， 获得了该类边值问题解 的存在性 和唯一性 的充分条件 ． 所得 条件简 洁 ， 便 于 验证 ． 结果推广和改进 了已有文献 中的定理． 最后 ， 举 ２个例子来演示所得结论 的应用 ．
2m阶差分方程边值问题解的存在性
2m阶差分方程边值问题解的存在性周展;徐菲【摘要】讨论一类2m阶非线性差分方程边值问题.通过建立相应的变分框架,将边值问题的解转换为对应的非线性泛函的临界点.利用环绕定理,获得变分泛函临界点的存在性,进而得到所求边值问题解的存在性.最后给出例子说明本文的结论.【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】2m阶差分方程;环绕定理;边值问题【作者】周展;徐菲【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】O175.8差分方程在诸如物理、生态、金融等领域有着广泛的应用.众所周知，差分方程是微分方程离散化, 它与相应的微分方程有很多共同的性质，但很多差分方程与其对应的微分方程有本质不同.因此，在过去几十年里，许多学者把注意力放在差分方程周期解的存在性、振动性、边值问题等方面，获得了丰富的结果，主要方法包括上下解方法、拓扑度理论、不动点理论等经典方法[1-4].2003 年开始，GUO等开始利用临界点理论研究二阶超线性差分方程的周期解和次调和解[3]，后来，这一方法被用来研究差分方程的边值问题.设R, Z分别表示实数集和整数集.对任给的a, b∈Z且a≤b,定义Z(a,b)={a,a+1,…,b}，Z(a)={a,a+1,…}.Δ为向前的差分算子，定义为Δun=un+1-un,Δkun=Δ(Δk-1un), k∈Z(2).设T∈Z(2), 在参考文献[5]中，ATICI 等讨论了如下差分方程的周期边值问题：这里f∈C(Z(1,T)×R,R).方程(1)作为一个二阶微分方程的离散模型，被应用于很多领域，如空气动力学、核物理等.运用上下解方法，ATICI等建立了边值问题(1)存在唯一解的条件.2014年, LIU等在参考文献[6]中利用临界点理论研究了四阶差分边值问题的解的存在性与不存在性条件.其中δ表示正奇数的比，f∈C(Z(1,T)×R, R).在物理学中方程(2)经常被用来模拟弹性梁的弯曲程度.2009年，ZOU等在参考文献[7] 中利用临界点理论讨论了以下2m阶差分方程：Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1f(n,un)=0,n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在情况.其中 T和m是任给的正整数,且T>m.然而，可以看到大部分参考文献[5-6,8-12]都是研究二阶或者四阶差分方程的, 对一般高阶差分方程的研究相对来说较少.受文献[4-7,13]的启发，本文讨论更一般的2m阶差分方程Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1Δ(g(Δun-1))+(-1)m+1f(n,un)=0, n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在性.其中g∈C(R, R), f(n,·)∈C(R,R)对任意n∈Z(1,T).设m, T∈Z(1)且T>m, 定义向量空间Ω={u={un}|un∈R,n∈Z(1-m,T+m)}，对任意的u,v∈Ω,a,b∈R有au+bv={aun+bvn}.E={u={un}∈Ω|u1-i=u1,uT+i=uT,i∈Z(1,m)}是Ω的一个线性子空间.易知E与RT是同构的，因此，在空间E上可以定义内积如下：由E上的内积可以诱导空间E上的范数：对任意的r≥1, 可以定义空间E上的另一种范数：因为E是有限维空间，所以存在2个常数c2(r)≥c1(r)>0使得c1(r)‖u‖2≤‖u‖r≤c2(r)‖u‖2,∀u∈E这里u.显然J ∈C1(E,R)，其中C1(E, R)表示Hilbert空间E上Fréchet可微且其Fréchet导数是连续的泛函集合.根据E的定义, 有f(n,un),∀n∈Z(1,T).因此，u是泛函J的一个临界点当且仅当u满足边值问题(5)～(6).记u={un}∈E，由于E与RT同构，所以u可写成u=(u1,u2,…,uT)*∈RT.那么存在T×T阶矩阵A 使得显然, A是一个半正定矩阵.令σ+(A)为A的所有正特征值构成的集合.定义}.设W, Y分别为A的0特征值和所有正特征值对应的特征向量空间,则W={(u1,u2,…,uT)*∈RT|ui=w,w∈R,i∈Z(1,T)},且下面介绍一些临界点理论的基本概念和基本结果.定义1 设S是一个实Banach空间, J∈C1(S,R)满足Palais-Smale条件 (简称P.S.条件)，如果对任给的{un}⊂S,{J(un)}有界，当n→∞时J′(un)→0蕴含{un}有收敛的子列.记Bρ={y∈S: ‖y‖<ρ}是以0为中心，半径为ρ的开球，‖y‖=ρ}为Bρ的边界.引理1(环绕定理[14]) 设S=S1⨁S2是一个Hilbert空间, 其中，S1是S的一个有限维的子空间. 若J∈C1(S,R)满足P.S.条件且满足：(1)存在常数σ>0和ρ>0使得J|∂Bρ∩S2≥σ;(2)存在e∈∂B1∩S2和常数R1>ρ使得J|∂Q≤0, 其中⨁{re|0<r<R1}.那么J存在临界值c≥σ, 这里表示∂Q上的恒等算子.定理1 如果以下假设都满足:(A1)f(n,v),g(v)是关于v连续, 且g(0)=0, G(v)≥0对v∈R成立，其中n∈Z(1,T); (A2)对任给的n∈Z(1-m,T),pn>0;(A3)当n∈Z(1,T),v∈R时F(n,v)≥0且(A4)存在正常数R2和β>2使得0<βF(n,v)≤vf(n,v), n∈Z(1,T),|v|≥R2；(A5)存在正常数R3和α<β使得0<sg(s)≤αG(s),n∈Z(1,T),|s|≥R3.那么边值问题(5)～(6)至少存在2个非平凡解.注1 由(A4)知，存在正常数使得,∀(n,v)∈Z(1,T)×R.注2 由(A5)、(A1)知，存在正常数得,∀s∈R.记p*=max{pn, n∈Z(1-m,T)},p*=min{pn, n∈Z(1-m, T)}.则p*≥p*>0.为了方便定理1的证明, 需要验证下面的引理.引理2 假设(A1)～(A5)都满足, 那么泛函J满足P.S.条件.证明设{u(l)}l∈Z(1)⊂E是一个P.S.序列，则存在常数C使得|J(u(l))|≤C,∀l∈Z(1).根据式(11)，注1和注2有‖a1c1β(β)‖‖‖u(l)‖α-‖注意到J(u(l))≥-C, 则由式(13)得‖‖u(l)‖2-‖C.因为β>max{2,α}, 所以存在常数N0>0使得‖u(l)‖≤N0,∀l∈N. 因此, {u(l)}是E 上的有界序列.因为E是有限维的, 所以 {u(l)}存在收敛的子列.即J满足P.S.条件. 定理1的证明由(A3)知f(n,0)=0, n∈Z(1,T), 结合(A1)中g(0)=0知0是 J的一个临界点, 且J(0)=0.式 (13)蕴含lim‖u‖→+∞J(u)=-∞, 因此，J在E上有上界，-J是强制的.记cmax为{J(u)}的上确界,对任给的c0>|cmax|, 存在一个常数t>0,使得|J(u)|>c0>|cmax|,‖u‖>t.根据J在E上的连续性, 存在使得即是J的一个临界点. 可断定cmax>0. 事实上, 由(A3)知存在和η>0使得F(n,u)≤ε|u|2,|u|≤η.对任给的u=(u1,u2,…,uT)*∈Y，‖u‖≤η有|un|≤η,n∈Z(1,T). 因此,‖u‖2-ε‖u‖2=‖u‖2令,∀u∈Y∩∂Bη有J(u)≥σ>0,所以cmax=supu∈EJ(u)≥σ>0, 故cmax对应的临界点是边值问题(5)～(6)的一个非平凡解. 要得到另一个非平凡解可以利用引理1.由引理2 知J满足P.S.条件.其次，令S2=Y,S1=W，则E=S1+S2.由式(14)知J|Y∩∂Bη≥σ，因此J满足引理1的第一个条件.为了验证J满足引理1 的第二个条件，设e∈∂B1∩Y，对任给的w∈W,r∈R,令u=re+w,有‖‖w‖β.定义,‖w‖β.可以得到,因此k1(r)，k2(w)有上界.注意到，则存在一个正常数R4>η使得J(u)≤0,∀u∈∂Q成立, 其中⨁{re|0<r<R4}.由引理1知J存在一个临界值c≥σ>0,其中}.令使得c. 如果,那么定理1的结论成立.不然,有,也即).令h=id,有.与上述方法类似，可以将e换成-e∈∂B1∩Y，同样存在一个常数R5>η使得∀u∈∂Q1,J(u)≤0成立，其中⨁{-re|0<r<R5}，再次利用引理1可以得到J存在一个临界值c′≥σ>0,其中}.同理，存在u′∈E使得J(u′)=c′，如果定理1的结论成立，否则有,即,也即).令h=id,有因为J|∂Q≤0与J|∂Q1≤0,所以u′一定是Q和Q1的内点，然而Q∩Q1⊂W且对任给的u∈W都有J(u)≤0成立，即c′≤0与c′>0矛盾，因此结论成立，定理1 得证.例1 设T为一正整数, 考虑四阶差分方程边值问题Δu-1=Δu0=0,ΔuT=ΔuT+1=0对照式(5), 有因此易知边值问题(15)～(16)满足条件(A1)～(A5), 其中α=4,β=6, 由定理1 知至少存在2个非平凡解.【相关文献】[1] AGARWAL R P, O′REGAN D. Singular discrete (n,p) boundary value problems[J]. Appl Math Lett, 1999, 12(8): 113-119.[2] AGARWAL R P, WONG F H. Upper and lower solutions method for higher-orderdiscrete boundary values problems[J]. Math Ineq Appl, 1998, 1(4): 551-557.[3] GUO Z M, YU J S. Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations[J]. Sci China Ser A, 2003, 46(4): 506-515.[4] ZHOU Z, YU J S, CHEN Y M. Periodic solutions of a 2nth-order nonliner difference equation[J]. Sci China Math, 2010, 53(1): 41-50.[5] ATICI F M, CABADA A. Existence and uniqueness results for discrete second-order periodic boundary value problems[J]. Comput Math Appl, 2003, 45(6/9): 1417-1427. [6] LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Nonexistence and existence results for a class of fourth-order difference Neumann boundary value problems[J]. Indag Math, 2015, 26(1): 293-305.[7] ZOU Q R, WENG P X. Solutions of 2nth-order boundary value problem for difference equation via variational method[J]. 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一类积分微分差分方程的非线性混合边值问题
单调 迭代法 （ 打靶 法 ） 和上下解 （ 界定 函数对 ） 法 为 证 明非 线 性 问题 的构 造性 存 在 结 论 提供 了方 方 便， 这种有 效 的方 法 已被广 泛地运 用 于许 多微 分 方程 的初值 边值 问题ｎ ， 例如 ， ［ ］ 立 了一 类 积分 文 ２建 微 分差分 方程边 值 问题 ｆ （）＝ ｆ（， （） ［ ］ ￡ ， （ — ｒ ， ￡） ｔ Ｅ ，］ ￡ ＝ ｔＬ ￡ ， （）ｘ ｔ ） Ｌ （） ， ∈ ｏ １ ， ： ｚ ｚ 【 （）＝ （） ｔ∈ ［ ｒ ０ ， Ｌ １ Ｌ ￡ ￡， ｚ 一 ，］ ｚ ）一 Ａ （ 的解 的存 在性结 果． ［ ］ 论 了下述 非线性 边值 问题 文 ３讨 ｆ （）＝ ｆ（， （） ［ ］ ￡ ， （ — ｒ ， ￡） ｔ Ｅ ，］ ￡ ＝ ｔＬ ￡ ， （） ｘ ｔ ） Ｌ （） ， ∈ ｏ １ ， ＝ ｚ ｚ … …
其 中 （ ） （ （ ） “ ０ ，（ ） ． ０ 一 ａ ０ ， （ ） ０ ） 定 义 ２ 称 连续 函数 ｆ ｔ ， ， 关 于 在 集 合 一 ｛ｔ ， ， Ｊ∈Ｅ ，］ Ｊ Ｊ ｒ Ｊ Ｊ ， （， ， ｚ ） （， ， ｚ ） ｔ ｏ １ ； ≤ ， ≤ － ，
本文 考虑积 分微 分差分 方程 边值 问题 （ ＶＰ Ｂ ） ｆ （）＝ ｆ ｔＬ（） Ｅ ｘ （） ｘ ｔ ｒ ， ￡） ｔ∈ Ｅ ，］ ￡ （ ， ￡ ， Ｔ ］ ￡ ， （ — ） Ｌ （） ， ｚ ｚ ｏ１， …
【 （）： （） ｔ ［ ｒ ０ ， ｈ Ｌ ０ ， （ ） Ｌ （ ） Ｌ ￡ ￡ ， ∈ 一 ，］ ｚ （ （ ） Ｌ １ ， １ ）一 Ａ， ｚ ｚ ｚ
题 ， 到 了此 边 值 问 题 解 的 存 在 性 的 充分 条件 ． 得 关 键 词 ： 分 微 分 差分 方 程 ； 值 问 题 ； 形 边 界 函数 法 ； 下 解 积 边 变 上 中 图 分 类 号 ： ７ ． ０１ ５ １ 文献 标识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ ７ ６ ７ （ ０ ７ Ｏ —０ ９ ０ １ ０ ５ ３ ２ ０ ） ４ ０ １ — ３
具有多项差分算子的三阶q-差分方程边值问题
具有多项差分算子的三阶q-差分方程边值问题杨小辉;李杰民【摘要】q-差分方程边值问题解的存在性已经引起国内外数学工作者的研究兴趣,并且得到许多有价值的结果.研究一类三阶q-差分方程边值问题,该问题是由一个三阶q-差分方程和3个具有多项q-差分算子为边界条件构成.这种边界条件可以看成是Sturm-Liouville边界条件的推广.利用Banach压缩映射原理和Krasnoselskii 不动点定理,获得了该类边值问题解的存在性和唯一性的充分条件.所得条件简洁,便于验证.结果推广和改进了已有文献中的定理.最后,举2个例子来演示所得结论的应用.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(038)006【总页数】9页(P875-883)【关键词】q-差分方程;q-微分;q-积分;边值问题【作者】杨小辉;李杰民【作者单位】广东警官学院计算机系,广东广州510230;岭南师范学院数学与计算科学学院,广东湛江524048【正文语种】中文【中图分类】O175.7q-差分方程历史悠久[1-4],q-差分方程在多个学科中已得到应用[5-8].近年来q-差分方程解的存在性问题是数学工作者研究的中心问题之一[9-17].Sturm-Liouville型边值问题一直是大家关注的问题[18-21].B. Ahmad等[12]研究了三阶q-差分方程两点边值问题解的存在性,其中是标准三阶q-差分算子.C. L. Yu等[15]研究了三阶q-差分方程两点边值问题正解的存在性,其中,0<q<1,Iq={qn:n∈N}∪{0,1},f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)),α,β≥0,α+β>0且(α-β)/(α+β)≤q,α、β、q都是常数,注意到边值问题(1)和(2)仅涉及到一个q-差分算子Dq,而涉及多项q-差分算子的三阶q-差分方程边值问题的研究较少.受到文献[12-13]的启发,本文研究具有4个q-差分算子的三阶q-差分方程两点边值问题其中,0<q<1,f∈C(I×R,R),I=[0,1],参数pi∈(0,1)(i=1,2,3),α、β、γ都是常数,且α,β,γ≥0,记首先介绍相关概念,然后给出2个引理.定义 2.1[8] 设0<q<1,g在R上有定义,g在t∈R点的q-差分为定义 2.2[8] 设0<q<1,g在R上有定义,g在t∈R点的高阶q-差分为定义 2.3[8] 设0<q<1,t>0,函数g(t):[0,t]→R在区间[0,t]上的q-积分记为Iqg(t),定义为). (该级数收敛)若g在[a,b]上有定义,函数g(t)定义在区间[a,b]上的q-积分定义为注意到IqDqg(t)=g(t)-g(0)(g(t)在t=0处连续).引理 2.4[8] q-差分算子有如下性质:r.引理 2.5 设y(t)∈C[0,1],则u为边值问题u(0)-αDp1u(0)=0,u(1)+βDp2u(1)=0,的解当且仅当β(1+p2)]y(s)dqs+(1-p2)dqs}.证明设u为(4)式的解.在[0,t]上对方程进行q-积分得到对(6)式在[0,t]上进行q-积分得到对(7)式在[0,t]上进行q-积分得到其中,a0、a1、a2是常数.当t≠0时,注意到}.又有还有同理此时,可知Dpiu(0)=a1.当t≠0时,于是有].类似(10)和(11)式可得利用(4)式的边值条件可以得到把(13)式代入(8)式,并令t=1得到由(9)式知所以利用u(1)+βDp2u(1)=0得到s.(15)式两边通乘以1+q,左边等于β(1+p2)+γβ(1+p3)]=a2Δ,右边等于β(1+p2)]y(s)dqs+s.整理得β(1+p2)]y(s)dqs+(1-p2)dqs}.把(16)式代入(13)式,可得a0和a1,把a0、a1和a2代入(8)式得到(5)式,所以u满足(5)式.反之,设u满足(5)式,容易验证u满足(4)式.证毕.为了进一步的分析,设X=C[I,R]表示从I到R的所有连续函数集合,定义范数‖X‖=sup{|x(t)|,t∈I}.这时X为Banach空间.记(1+p2)q](1-p2+β)}.定理 3.1 设f∈C(I×R,R),I=[0,1],且满足Lipschitz条件∀t∈I, u,v∈R,L为Lipschitz常数,则当LH<1时,(3)式有唯一解,其中H为(17)式定义.证明构造X上的非线性算子F为β(1+p2)]f(s,u(s))dqs+(1-p2)dqs}, u∈X.由f的连续性容易证明F:X→X是全连续算子,u为(18)式的解当且仅当u∈X为F 的不动点.设先取δ使LH≤δ<1,再取r使r≥MH/(1-δ).设Br={u∈X:‖u‖≤r},当u∈Br时,有|u(t)|≤r,t∈[0,1],所以β(1+p2)]f(s,u(s))dqs+(1-p2)dqs}|≤f(s,0)|+|f(s,0)|)dqs+(1+β)(1+q)qs+β(1+p2)]×(|f(s,u(s))-f(s,0)|+|f(s,0)|)dqs+(|f(s,u(s))-f(s,0)|+|f(s,0)|)dqs]}≤(1+β)(1+q)qs+β(1+p2)|dqs+β(1+p2)dqs+(1+p2)q](1-p2+β)]}≤(1+p2)q](1-p2+β)]}≤(Lr+M)H=LHr+MH≤LHr+(1-δ)r=(LH+1-δ)r≤r.(H为(17)式所定义.)这表明FBr⊂Br.设u,v∈X有[f(s,u(s))-f(s,v(s))]dqs+β(1+p2)][f(s,u(s))-f(s,v(s))]dqs+[f(s,u(s))-f(s,v(s))])dqs}|≤L‖u-v‖β(1+p2)|dqs+L‖u-v‖L‖u-v‖(1+p2)q](1-p2+β)]}=LH‖u-v‖.当LH<1时,F是压缩映射.由Banach压缩映射原理,F在Br内有唯一不动点u.利用引理2.5,u是(3)式的唯一解.引理 3.2[18](Krasnoselskii不动点定理) 假设K是Banach空间X的一个非空有界闭凸子集.若算子F1和F2是满足条件:(i) F1x+F2y∈K,x,y∈K;(ii) F1是全连续算子;(iii) F2是压缩算子,那么存在z∈K使得z=F1z+F2z.定理 3.3 设f∈C(I×R,R),且满足条件:(A1) |f(t,u)-f(t,v)|≤L|u-v|,L为Lipschitz常数;(A2) 存在φ∈C(I,R+)使得|f(t,u)|≤φ(t), ∀(t,u)∈I×R,若Lh<1,其中则(3)式至少有一解.证明设Banach空间X如第二节定义.算子F1和F2分别如下定义:(1+β)(1+q)qs+β(1+p2)]f(s,u(s))dqs+(1-p2)dqs}, u∈X.由引理3.2知u为(3)式的解当且仅当u满足u=F1u+F2u.设r≥‖φ‖H且固定,取K={u∈X:‖u‖≤r}.证明分3步完成.第1步:证当u,v∈K时,F1u+F2v∈K.β(1+p2)]f(s,v(s))dqs+β(1+p2)]|f(s,v(s))|d qs+(1-p2+β)|f(s,v(s))|/(1-p2)dqs}|≤‖φ‖(1+p2)q](1-p2+β)]}≤‖φ‖(1+p2)q](1-p2+β)]}≤‖φ‖H≤r.因此F1u+F2v∈K,这表明引理3.2的(i)成立.第2步:证F1是全连续算子.由条件(A2)知F1是连续,又K有界,于是可设∀t1,t2∈I,且t1<t2,u∈K有qs(t1-t2)]f(s,u(s))dqs|=→0, t1→t2.上式表明F1(K)是相对紧的.由Arzelá-Ascoli定理知F1在K上是紧的,所以F1是全连续算子.因此引理3.2的(ii)成立.第3步:证F2是压缩算子.设u,v∈K时有[f(s,u(s))-f(s,v(s))]dqs+[f(s,u(s))-f(s,v(s))]dqs}|≤|f(s,u(s))-f(s,v(s))|dqs+|f(s,u(s))-f(s,v(s))|dqs]}≤L‖u-v‖(1+p2)q](1-p2+β)]}≤Lh‖u-v‖.结合(19)式知F2是压缩算子.因此引理3.2的所有条件都成立.由引理3.2知存在u∈K满足u=F1u+F2u.所以(3)式至少有一解,即定理3.3成立.证毕.例 4.1 考查如下边值问题t∈[0,1], L>0,u(1)+D1/4u(1)=0,则当0<L<1/1.604 5时,(20)式有唯一解.证明与(3)式对应,易知q=1/2,p1=1/3,p2=1/4,p3=1/5,α=1/4,β=1,γ=1,容易验证Δ=99/20,H≈1.604 5,f=L[t3+cos t+1+sin u(t)],且|Lsin u-Lsin v|≤L|u-v|,当0<L<1/1.604 5时,有LH<1,所以定理3.1的条件完全满足,则(20)式有唯一解.证毕.例 4.2 考查如下边值问题t∈[0,1], L>0,u(1)+D1/4u(1)=0,则当0<L<3 213/4 070时,(21)式有唯一解.证明与(3)式对应,易知q=1/2,p1=1/3,p2=1/4,p3=1/5,α=1/4,β=1,γ=2,易算得Δ=153/20,h=4 070/3 213,且当0<L<3 213/4 070时,有Lh<1,所以定理3.3的条件完全满足,则(21)式有唯一解.证毕注 4.3 文献[12-13]中的定理不能应用到(20)和(21)式.致谢刘玉记教授对本文提供了指导,广东警官学院青年项目(2013-Q01)和湛江师范学院自然科学研究项目(QL1101)对本文给予了资助,谨致谢意.【相关文献】[1] Jackson F H. On q-difference equations[J]. Am J Math,1910,32(4):305-314.[2] Carmichael R D. The general theory of linear q-difference equations[J]. Am JMath,1912,34(2):147-168.[3] Mason T E. On properties of the solutions of linear q-difference equations with entire function coefficients[J]. Am J Math,1915,37(4):439-444.[4] Adams C R. On the linear ordinary q-difference equation[J]. Ann Math,1928,30(4):195-205.[5] Finkelstein R, Marcus E. Transformation theory of the q-oscillator[J]. J MathPhys,1995,36:2652-2672.[6] Finkelstein R.The q-Coulomb problem[J]. J Math Phys,1996,37:2628-2636.[7] Gasper G, Rahman M. Basic Hypergeometric Series[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1990.[8] Kac V, Cheung P. Quantum Calculus[M]. New York:Springer-Verlag,2002:1-5.[9] Bangerezako G. Variational q-calculus[J]. J Math Anal Appl,2004,289(2):650-665.[10] Ahmad B, Ntouyas S K. Boundary value problems for q-difference inclusions[J]. Abst Appl Anal,2011,2011:15.[11] Ahmad B, Ahmed A, Ntouyas S K. 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一类三阶微分方程的非线性三点边值问题
ｔ ， ，＜ ｃ ， ，， ａｔ Ｙ ， ） ＜ （） ３
（ ｔ ， ） ２ ， Ｙ ， 在域上 连续且 关于 满足 Ｎ ｇ ｍ Ｙ ａｕ ｏ条 件（ 见定义 ２ ； ） （ ） （ Ｙ，２ ３ ｈ Ｂ， ， ： 在域 Ｄ ＝ａ（） ６】［ （）卢 ｙ ， 幻） ［ ｂ ， ）×ａ ｂ ， 卢（
今尚未见较好 的结果 。 本文研究三阶微分方程 的混合型非线性三点边值 问题
ｔ，Ｙ ， ）ａｔｃ ， ， ，＜＜ ， （） １
在 Ｄ上关于 满足 Ｎ ｇｍｏ ａｕ 条件 。
２ 解的存在性 首先研究较为简单 的三点边值问题
ｔ ， ）ａ ｔｃ ， Ｙ ， ，＜＜ Ｙ （） ５
证 明： 根据三阶微分方程的微分不等式理谢 ｑ 可知 ， 对 于Ｖ ＣＥ［ ） ｃ】边值 问题 ａ ， （）， ｃ 卢
Ｉ＂ ｔＹＹ ， ， ／ ， ， ）
Ｉ（） ， Ⅱ ＝ Ｙ（ ）Ｃ ，Ⅱ Ｙ（ ）８，（ ，Ｅ 口ｃ；（） Ａ＜ （）ｇａ （）ａ ）ａ ６ ， （）ａ ｃ ， ｔ ｔ 【，】ａ 口 ≤ ｆ ａ，［ ｎ， ａ ，（）ａ ｂ ，（） ） ｌ
三阶微 分方程 的两点或 三点边值 问题 的微分 不等式
理 论与解 的存在性 ， 已有不 少的结果ｆ 但 它们的边 界条 一， 件中， 均为各端点或 中间点的函数 值及导数值 与其 他端点
的函数值及导数值无关的情形 。至 于端点 的函数值及导数
Ｊ
（ ａ￡这 ，均 正 数 Ａ一 ￡ ） ，里ＮＡ 为 常 ，ｃ ＿ （ ） （
Ⅱ ≥ｍ 】 （） （） （）８（） ， ＞ 则称 ＿ ｔ ， ） ） ａ ｃ 【 Ⅱ ｌ ｃ］ 口 ｌＮ Ａ， ， ｝ 厂 ， Ｙ， （Ｙ
非线性三阶三点边值问题系统的正解
女 Ⅱ 果（ ， ） ∈Ｃ ａ （ ［ ０ ， １ － １ ， Ｅ ０ ， ｏ ｏ ） ） ×Ｃ ａ （ Ｅ ０ ， １ ］ ， Ｅ ０ ， 。 。 ） ） 满足系统（ １ ） 中的微分方程 和边界条件 ， 则
称（ 甜 ， ） 为 系统 （ １ ） 的解．若 （ ， ） 为 系统 （ １ ） 的解 ，
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａｎ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｉ ｒ ｄ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ － ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ — —
非 线性 三阶三点边值 问题 系统，给 出其至少存在一个正解 的充分条件 ，所用 的主要工具是不动点指数理论．
关键词 ：三阶三点边 值 问题 ；系统；正解 ；存在 性；不动点指数
中图分类号 ： ０１ ７ ５ 文献标志码 ： Ａ
Ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ａ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ ｎｏ ｎｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ｔ ｈｉ ｒ ｄ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ
第４ ３ 卷 第 ４期 ２ ０ １ ７ 年 ８月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖｏ １ ． ４ ３ Ｎｏ ． ４ Ａｕ ｇ ． ２ ０１ ７
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ — ５ １ ９ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ — ０ １ ５ ０ — ０ ４
一个非线性二阶q-差分方程的边值问题的研究
一个非线性二阶q-差分方程的边值问题的研究杨小辉;彭定忠【摘要】This paper uses nonlinear alternative for single valued maps and presents an existence result for three-point boundary value problems of nonlinear q-difference equations, and gives an example to illustrate the advantage of our result.%利用不动点定理，得到了一个非线性二阶q-差分方程的边值问题解的存在性结论，并给出一个实例来说明。
【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】4页(P10-13)【关键词】存在性;q-差分方程;q-微分;q-积分;三点边值问题【作者】杨小辉;彭定忠【作者单位】广东警官学院计算机系，广州 510230;湖南理工学院数学学院，湖南岳阳 414006【正文语种】中文【中图分类】O175.7q−积分理论由Jackson[1]在上世纪初首先提出, 后Carmichael[2], Mason[3], Adams[4], Trjitzinsky[5]等做了大量的工作. 从那时起, q−积分理论在很多领域得到了发展和应用[6～10], 最近又开始为大家所关注. Bashir Ahmad等在文[11]中研究了如下问题解的存在性:其中是常数.马如云在文[12]中研究了如下问题正解的存在性:其中0<η<1.本文考察下列具有三点分边值条件的非线性q−差分方程的边值问题:解的存在性, 其中定理假设BVP(1)中,还满足如下条件:是个非减连续函数,使得存在M>0使得则BVP(1)至少有一个解.先给出q−差分的基本概念[13].设I⊂R, I≠∅, f:I→R, 0<q<1, 记则称为函数f在点t的q−差分. 如果f′(0)存在, 则高阶q−差分定义采用递归形式:函数f( t)定义在区间[a, b]上的q−积分是:当a=0时, 如果收敛, 则如果f定义在区间[0,b]上, 则注意到,. 如果f在t=0处连续, 则在q−积分中, 乘法法则和分部积分公式分别是:顺序积分定义为:引理1 BVP(1)等价于如下积分方程:其中容易验证证明设u是BVP(1)的解, 对进行q−积分, 得到再次q积分, 得到其中c1、c2都是任意常数. 对式(4)两次q−微分, 可以得到把BVP(1)的边值条件代入(3)和(4), 得到c1=0, 且引理2 设X是一个Banach 空间, C是X中的闭凸子集, Ω是C中的开子集且0∈Ω. 若F:Ω→C是个连续、紧的算子(即F( Ω)是C中的相对紧子集), 则下列之一成立,(ⅰ) F在中有一个不动点;(ⅱ) 在∂Ω上有一个u满足其中定理的证明: 设X是[0,1]上的连续函数集合. 规定范数容易知道X是一个Banach 空间. 定义X上的算子F:其中u∈X, t∈I. 容易知道(ⅰ) F把X中的有界集映射到其中的有界集.设是X的有界子集, 假设则有因此有(ⅱ) F在X中的有界集上是等度连续的.设是X的有界子集,则有当不式右边趋向于零. 由Arzelá-Ascoli 定理的推论, 可以得到F: X→X是全连续的. (ⅲ) 假设那么对∀t∈I, 有所以因此由条件(A2)知, 存在M使得设注意到算子是连续的和全连续的, 并且由Ω的选择可知不存在使得满足再由引理2知BVP(1)有一个解.取取则根据定理1知BVP(5)有解.【相关文献】[1] F.H. Jackson. On q-difference equations [J]. American J. Math, 1910 (32): 305～314[2] R.D. Carmichael. The general theory of linear q-difference equations[J]. American J. Math, 1912(34): 147～168[3] T.E. Mason. On properties of the solutions of linear q-difference equations with entire function coefficients[J]. American J. Math, 1915(37): 439～444[4] C.R. Adams. On the linear ordinary q-difference equation[J]. American Math. Ser. II, 1929(30): 195～205[5] W.J. Trjitzinsky. Analytic theory of linear q-difference equations[J]. Acta Mathematicas, 1933[6] T. Ernst. A new notation for q-calculus and a new q-Taylor formula,U.U.D.M. Report 1999: 25, ISSN 1101-3591, Department of Mathematics, Uppsala University, 1999[7] R.J. Finkelstein. q-Field theory[J]. Lett. Math. Phys, 1995(34): 169～176[8] R.J. Finkelstein. q-deformation of the Lorentz group[J]. J. Math. Phys, 1996(37): 953～964.[9] R. Floreanini, L. Vinet. Automorphisms of the q-oscillator algebra and basic orthogonal polynomials[J]. Phys. Lett. A, 1993(180): 393～401[10] R. Floreanini, L. Vinet. Symmetries of the q-difference heat equation[J]. Lett. Math. Phys, 1994(32): 37～44[11] Bashir Ahmad, Ahmed Alsaedi, Sotiris K Ntouyas. A study of second-order q-difference equations with boundary conditions[J]. Advance in Difference Equations, 2012(35): 1～10[12] Ruyan Ma. positive solutions of nonlinear three-point boundary-value problem[J]. Electronic Journal of Differentia Equations, 1998(34): 1～8[13] V. Kac, P. Cheung. Quantum Calculus[M]. Springer, New York, 2002。
某一类非线性三点边值条件的三阶奇摄动边值问题
某一类非线性三点边值条件的三阶奇摄动边值问题王国灿【摘要】研究了非线性三阶常微分方程带有非线性三点边值问题的奇异摄动.首先利用积分算子和上下解技巧,获得了解的存在性和唯一性;其次在适当的条件下,通过构造具体的上下解,建立解的渐近估计.【期刊名称】《大连交通大学学报》【年(卷),期】2018(039)005【总页数】3页(P111-113)【关键词】非线性三阶方程;线性三点边值;上下解;奇摄动【作者】王国灿【作者单位】大连交通大学理学院,辽宁大连 116028【正文语种】中文0 引言三阶非线性微分方程三点边值问题的奇摄动日益被人们所关注[1-6]，但由于上下解理论的限制，目前只看到几篇讨论简单的三点边值问题或线性边值问题的文章，有关解的唯一性方面的内容很少涉及.本文讨论以下一般的三阶非线性微分方程的非线性三点边值的奇异摄动问题.εx‴=f(t,x,x′,x″,ε)(1)(2)将研究方程(1)具有非线性边值条件(2)的解的存在性与唯一性.1 引理下面考虑三阶边值问题x‴=f(t,x,x′,x″)(3)(4)定义如果存在函数β(t)和α(t)∈C3[-1,1]，使得当-1≤t≤1时，α′(t)≤β′(t)，β″(t)≤f(t,β(t),β′(t),β″(t))，α‴(t)≥f(t,α(t),α′(t),α″(t))，且当-1≤t≤0时，β(t)≤α(t)，当0≤t≤1时，α(t)≤β(t)，则称β(t)和α(t)为方程(3)的上下解.方程(1)满足Nagumo条件，如果函数满足下述两个条件之一者：(*)对正数N，存在正函数h=h(N)，使得当(t,x,x′,x″)∈[0,1]×[-N,N]×R2成立|f(t,x,x′,x″)|≤hΦr1(|x′|)Φr2(|x″|)，其中0≤r1≤1，r2>0，r1+r2≤3，且Φr(l)=max{1,lr},r>0，0≤l≤+∞(**)对一切(t,x,x′)∈[0,1]×R2使得f(t,x,x′,x″)=O()，|x″|→∞引理1 如果方程(3)与边界条件(4)满足(1)函数f(t,x,x′,x″)∈C([-1,1]×R3)，满足Nagumo条件，且当-1≤t≤0时，关于x 单调不减；当0≤t≤1时，关于x单调不增.(2)g(ξ,η),h(ξ,η)∈C(R2)，且g(ξ,η)，h(ξ,η)对固定的ξ关于η单调不减.(3)方程(3)存在上下解β(t)和α(t)，且β(0)=A=α(0)，g(α′(-1),α″(-1))≥0,g(β′(-1),β″(-1))≤0,h(α′(1),α″(1))≤0,g(β′(1),β″(1))≥0,则边值问题(3)、(4)有一解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0，α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.引理2 如果满足且(2)存在β(t)∈C3[-1,1]，当-1≤t≤1时，β‴β′(t)>0，当-1≤t≤0时，β(t)≤0，当0≤t≤1时，0≤β(t)，β(0)=0，且a1β′(-1)+b1β″(-1)<0，a2β′(1)+b2β ″(1)>0，其中b1,b2≥0,b1+b2>0.则边值问题y‴(5)(6)只有零解.引理1与引理2 可以利用文献[9]的处理方法得到.2 结论为方便起见，恒假设下列条件成立(1)函数f(t,x,x′,x″,ε)及其关于x,x′,x″,ε的一阶偏微商在闭区域Ω={(t,x,x′,x″,ε)|-1≤t≤1,-∞<x,x′,x″<∞,0≤ε≤ε0},(ε0为正常数)上连续有界.(2)函数f(t,x,x′,x″,ε)满足Nagumo条件.(3)边值问题0=f(t,x,x′,x″,0),x(0)=A有解x0(t)∈C3[0,1].(4)函数g(ξ,η,ε),h(ξ,η,ε)∈C(R2×[0,ε0])，且均关于η单调不减.(5)当(t,x,x′,x″,ε)∈Ω时，fx′(t,x,x′,x″,ε)≥m>0；fx″(t,x,x′,x″,ε)有界；当-1≤t≤0时，fx(t,x,x′,x″,ε)≥0，当0≤t≤1时，fx(t,x,x′,x″,ε)≤0.(6)(i)对任何的正数L0，存在正数N0，使得g(ξ,-N0,ε)≤0，g(ξ,N0,ε)≥0，|ξ|≤L0，0≤ε≤ε0.(ii)对任何的正数L1，存在正数N1，使得h(ξ,-N1,ε)≤0，h(ξ,N1,ε)≥0，|ξ|≤L1，0≤ε≤ε0.(7)函数g(ξ,η,ε)及h(ξ,η,ε)在[0,ε0]×R2上连续可微，且gξ(ξ,η,ε)≤0,gη(ξ,η,ε)≥0,gξ2+gη2≠0定理1 如果满足条件(1)～(6)，则当ε>0充分小时，边值问题(1)、(2)有解x(t,ε)，且在-1≤t≤1上使得不等式成立，其中D1,D2待定.证明由假设，当(t,x,x′,ω(ε)x″,ε)∈Ω时，存在正数k,M,N，使得|fx′(t,x,x′,x″,ε)|≤k,|fε(t,x,x′,x″,ε)|≤M,|x‴0(t)|≤N，记其中，K为待定常数，Ni是条件(6)中Li取时的正数.对于任何的ε∈[0,ε0]，再令β(t,ε)=x0(t)+γ(t,ε)，α(t,ε)=x0(t)-γ(t,ε)，于是当ε>0充分小时，α′(t,ε)≤β′(t,ε)，β′(t,ε)>0，-1≤t≤1；β(t,ε)≤0，-1≤t≤0，β(t,ε)≥0，0≤t≤1，且β(0,ε)=0，且其中,K满足|fx″γ″(t,ε)|≤Kε.同理f(t,α(t,ε),α′(t,ε),α″(t,ε),ε)-εα‴(t,ε)≤0，由β(t,ε)的构造，β″(1,ε)≥N1，于是同理g(α′(-1,ε),α″(-1,ε),ε)≥0≥h(α′(1,ε),α″(1,ε),ε)，从而，引理3的条件满足，β(t,ε)≤x(t,ε)≤α(t,ε)，-1≤t≤0，α(t,ε)≤x(t,ε)≤β(t,ε)，0≤t≤1，再从α(t,ε)与β(t,ε)的表达式，我们得估计式其中D1,D2为正常数.定理2 如果满足条件(5)和(7)，则当ε>0充分小时，边值问题(1)，(2)至多存在一个解.证明在此，只对足够小的ε>0进行论证，假设边值问题(1)、(2)有两个不同解x1(t,ε)，x2(t,ε)，令y(t)=x2(t,ε)-x1(t,ε)，则y(t)应满足下述边值问题其中,由条件(1)知，于-1≤t≤1上连续，且a1≤0,b1≥0,a2≥0,b2≥0，且a1+b1>0,a2+b2>0，于是选取则有β‴β′(t,ε)>0，-1≤t≤1，当-1≤t≤0时，β(t,ε)≤0，当0≤t≤1时，0≤β(t,ε)，β(0,ε)=0，且a1β′(-1)+b1β″(-1)<0，a2β′(1)+b2β″(1)>0，则据引理4，边值问题(1)，(2)至多只有唯一解.参考文献：【相关文献】[1]王国灿，金丽.三阶奇摄动非线性边值问题[J].应用数学与力学，2002，23(6):597- 603.[2]XIE FENG.Singular perturbation of two points boundary value problem for a class of third order quasilinear differential equation，Chinese Quar[J].J．of Math，2001，16(3):69- 74.[3]王国灿.奇摄动三阶非线性边值问题[J].吉林大学自然科学学报，1997，112(4):9- 12.[4]许国安，余赞平，周哲彦.奇摄动三阶半线性三点边值问题[J].福建师范大学学报(自然科学版)，2006，22(3):6- 9.[5]ZHAO WEILI. Singular Perturbations for Third order Nonlinear boundary Value Problems, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications，1994，44(10):1225- 1242.[6]周钦德，苗树梅.Volterra 型积分微分方程的奇摄动[J].高校应用数学学报，1998，3(3):392- 400.[7]BERNFELD S R,LASHMIKANTHAN V. An introduction to nonlinear boundary value problems[M]. New York:Academic press， 1974.[8]杜媛芳，王国灿，三阶微分方程三点边值问题及其应用[D].大连：大连交通大学，2009.[9]王国灿，三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性[J].大连交通大学学报，2012，33(3)：86- 69.。
牛顿法变形式在非线性方程组上的三阶局部与半局部收敛性_刘忠礼
[收稿日期] 2010-12-07[基金项目] 北京联合大学校级科研项目资助(zk200910x )[作者简介] 刘忠礼(1971-),男,北京联合大学生化学院数学教研室讲师,研究方向:数值计算。
牛顿法变形式在非线性方程组上的三阶局部与半局部收敛性刘忠礼,张 洪(北京联合大学,北京100023)摘 要 非线性方程及非线性方程组的数值求解一直是计算数学所关注的问题,公认的经典算法是N ewton 法。
而用牛顿迭代法的变形公式,讨论其在非线性方程组情形下的三阶局部收敛性和Kantorovich 型的半局部收敛性,并给出数值例子,说明此迭代公式的有效性和可行性。
关键词 非线性方程组;T raub 公式;局部收敛;半局部收敛;收敛球Cubic Convergence and Applications of a Variant of Newton -Method for Systems of Nonlinear EquationsLI U Zhong -li ,ZH AN G H ongAbstract Numerical solutio ns for nonlinear equations and systems of nonlinear equations have always appealed greatly to people.Newton method is a universally acknow ledged classical algor ithm.T his paper probes into the thir d -order semilocal co nvergence of a variant of Newton method or T raub formula for the systems of nonlinear equations and presents the numerical examples for proving the cor rectness of the analysis of such convergence and confirming the efficiency and feasibility of the iter at ive for mula.Key words systems of nonlinear equations;T raub formula;local co nvergence;semilocal conv er gence;conv erg ence ball 中图分类号 O 241 文献标识码 A 文章编号 1674-3229(2011)01-0005-031 引言考虑非线性方程组F (x )=0(1.1)其中F 是R nR n上可导的非线性映射。
非线性微分方程三阶三点边值问题一个正解的存在性
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ６ ． ０ １ ３
Ｕ ” （ ｔ ）＋Ｙ （ ｔ ） ＝０， ｔ∈ （ ０ ， １ ） ， 有 唯一 解
ｒ１
数， 且形式上较简单 ， 得 到了新的性质 ， 通 过 运 用
Ｇ ｕ ｏ—Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ 不 动点 定理 ， 在非 线性 项 厂 满 足
一
（ ３ ）
定 条件 的情 况下得 到 了边值 问题 （ １ ）和 （ ２ ）至少
个 正解 的存 在性 准则．
定理 １ 设 Ｅ是 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 ， Ｋ ｃ Ｅ是 锥．
“ （ ０ ） ＝Ｕ ” （ ０ ） ＝０ ， ｕ （ １ ）一 “ （ 叼）＝Ａ， （ ４ ）
一
“ （ ｔ ）＝ Ｉ Ｇ （ ｔ ， ｓ ） Ｙ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋
２ ０ １ ６年 １ １月 第３ ９卷 第 ６期
四川 师范大学 学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
ａ （ ｔ ）不 恒为零 ， 其 中 『为 （ ０， １ ） 上 的任 意常 数．
Ｗｉ ｌ ｌ ｉ ａ ｍｓ 不动 点定 理得 到 了边 值 问题 （ １ ）和 （ ２ ）
三阶非线性差分方程边值问题多个正解的存在性
ａ （ ） ‘ｔ ） ‘ｔ ， ｕ ｔ ＝ｚ ＋１ 一ｚ ） （ （ △ ｚ ｔ ＝ａ ａ （） ， （）＝△（ （） ， １ Ｎ）＝ （） （ ｕ ｔ ） △ ｕ ｔ ‘ △ ｚ ｔ ） Ｚ（ ， ‘
１ 引言
则 Ｓ在 Ｋｎ（ ＼ ） 上有一个不动点．
２ 预 备 知识 和 定 理
本文考虑三 阶非线性差分方程 △ ｚ ｔ ）＋ （，（ 一１ ， （） ｚ ｔ ） ＝０ （ 一１ ， ｔｚ ｔ ） ／ ｔ ， （ ＋１ ） ， ｔ ‘ ‘ ／ ， ‘ Ｅ ｚ（ ， ， １ Ⅳ） （． ） １ １ 在下面的边值条件下
设 Ｂ是 Ｂ ｎｅ ａａｈ空间， ＫＣＢ是 Ｂ 中的一个 锥 ， 是
３ ３
ｌ —３ ３
●● ●
…
Ｏ Ｏ
Ｏ Ｏ Ｏ
● ●●
ｌ
一
Ｏ … Ｏ
一
ｌ
●●
３ ｌ … Ｏ
● ●●
ｑ＝
●
０ ０
０ ０
Ｏ Ｏ
一
理及两个正解存在的充分条件 ， 见文［ ］ １ ．本文受文献［ ］ ２、 ［］ ３ 的启发 ， 避开求 Ｇｅｎ函数 ， ｒ ｅ 而将 差分方程 边值 问题转 化为等 价的算子方程 ， 利用代数 知识结合 Ｇ ｏ—Ｋａｎ ｓｌ ｕ ｒｓｏｅ’ ｓｉ ｌ 不动点定理 ， ｄ 讨论边 值 问题 （ ． ） （ ． ） １１ 一 １２ 多个正 解存 在的条件． 引理 １ １ ． 卜 （ ｕ Ｇ ｏ—ｌｌｓ ０ｅ’ｌｉ 【ａｎ ｓｌｓ 不动点定理 ） ｒ ｄ
ｕ ｏ ＝ ， ｚ １ ０ ｚ Ｎ＋２ ０ （ ） ０ ‘ ）＝ ， ‘ （ （ ）＝ ， （． ） １２
三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ＵＲＮＡ Ｏ ＤＡＬ Ａ ０ Ｌ Ｆ Ｉ Ｎ Ｊ Ａ ＯＮＧ Ｉ ＯＴ Ｕ ＶＥ Ｉ Ｙ ＮＩ ＲＳ Ｔ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ３ １３ ．
Ｊｎ２ ２ ｕ ． ０１
文章编号 ：６ ３ ９９ ２ １ ）３０ ８ —４ １７ —５０（０ ２ ０ —０ ６０
（ ） 则 ｏ （ ）≤ （）≤ ／ （） ｔ， Ｌ ｔ ｔ ｏ ３ ｔ ，一１≤ ｔ １ 如 ０ ≤ ，
＾
（） ２ 存在 （）∈Ｃ ［ ，］ 使得 Ｊ ｔ ｔ ｊ 一１１ ， Ｂ ）＜ （
＾ ＾
果 ｇ ｕ １ ， （） （（ ）ｕ １ ）＝Ｏ则定理为真； ， 如果 ｇ （ ） （ １，
文献标识码 ： Ａ
０ 引言
在理 论上 有 重要 意 义 ， 且 在 流体 力 学 中有 而
重要 应用 的三 阶非 线 性 常 微 分 方 程 三 点 边 值 问
（ ） （， “Ｗ） ∈ Ｃ ［ １１ １ ｌｔ 厂 ， ， （ 一 ，］×Ｒ ） 且 在 ， ［ ，］上关 于 单 调不减 ， ［ ，］上关 于 单 一１０ 在 ０１
＾
ｇ （ ） （ ） （ １ ， １ ）＜０ ｇ （ ） 卢 １ ） ＞０ ， （ １ ， （ ）
故 存在一致收敛 的子序列 ｛ （） ， （） 使得 ￡｝ ｛ ｆ ｝
（） 。 ， （ ） Ｍ。 ， ￡一 （ ）卢 一 （）
一
１≤ ｔ≤ １ Ｊ ｝ 。 ．— 。
一
＾
一
如果 上 式等式 成 立 ， ％ （）便 是 （ ） （ ） 解． 则 ｔ ３ ，４ 的 否 则考 虑边值 问题
关于求非线性PDEs渐近解的三种方法的开题报告
关于求非线性PDEs渐近解的三种方法的开题报告题目：关于求非线性PDEs渐近解的三种方法摘要：本文将探讨三种计算非线性偏微分方程（PDE）渐近解的方法，分别是微扰展开法、重整化群方法以及多尺度方法。
非线性PDEs是理论物理学、天文学、流体力学等领域的重要问题。
由于其复杂性质，已有的解法仍然有限，而这三种方法都是基于系统的求解方法，可以帮助我们更好地了解非线性PDEs。
本文将以实验数据为基础，实现这些方法的编程实现，并进行实验测试。
实验结果表明，在特定条件下，这三种方法都可以得到准确的解，且比较吻合解析解。
在后续的应用中，我们可以根据实际问题的性质，选择适当的解法并进行改进以获得更好的结果。
关键词：非线性PDEs，微扰展开法，重整化群方法，多尺度方法正文：一、研究背景偏微分方程（PDEs）在现代物理学、天文学、地球物理学等领域有着广泛的应用，可以用于描述许多自然现象的数学模型。
但是，PDEs在数学上求解比较困难，尤其是对于非线性PDEs来说更是如此。
传统的求解方法通常只适用于线性PDEs。
因此，我们需要寻找新的方法来解决这个问题。
本文将探讨三种计算非线性PDEs渐近解的方法。
二、研究内容1. 微扰展开法微扰展开法是一种基于“微小扰动”的计算方法。
通过扰动项的逐次微调，可以得到一个近似的解。
这种方法也适用于非线性PDEs，通过将非线性项看做是一种扰动，可以得到一个渐近解。
2. 重整化群方法重整化群方法是一种描述系统行为的方法。
它通过对物理量随尺度变化的变化率进行计算，来描述系统的行为。
该方法适用于非线性PDEs，可以得到宏观的渐近解。
3. 多尺度方法多尺度方法是一种处理渐近问题的方法。
针对具有多个尺度的复杂问题，该方法可以将问题分解为不同尺度的部分。
通过对不同尺度的分析和组合，可以得到一个整体的渐近解。
这种方法对于非线性PDEs尤为适用。
三、研究意义这三种方法都是基于系统的求解方法，可以通过对非线性PDEs进行分析和处理，得到一个渐近解。
三阶奇摄动非线性边值问题
则 边 值 问 题 （ ） （ ） 解 ｕ ｔ 使 得 ４ 、５ 有 （）
ａ ｔ （ ）≤ ｕ ｔ （ ） （ ）≤ ｔ ０ ≤ ｔ≤ １ ．
证 明 由 ｒ ５ 及 ０ ｓ （） （ ）的单 调 性 ， 任 意 的 ｓ ｓ ≤ ｓ≤ ｓ ） 我 们 有 ａ ｓ 对 （。 ２， （ ）≤ ｒ ｓ （ ） （ ）≤ ｓ，
１ 辅 助 引 理
首 先 ， 们 考 虑 二 阶 Ｖ ｌｒ 我 ｏ ｅ ａ型 积 分 微 分 方 程 边 值 问 题 ｔｒ
“”
＝
ｆ ｆ Ｔ ） （， ｕ ，
（） ４ （） ５
ｇ “ ０ ， （ ） ＝ ０ （ （ ） “ １ ， ０ ， １ ） ＝ ０ （ （） “ １） ，ｈ “ ０ ， （ ） “ （ ） “ （ ） ，
此外 ， 在 ｓ 、２ ｓ ≤ ｓ） 得 存 １ ｓ（ ｌ ２使
ｒ ｓ） ： ａ ０ ，０ ｓ） ＝ ａ １ ；ｒ ｓ） ＝ （ ） （ ２ ＝ （ ） （１ （） （１ （ ） （ ２ ０ ，０ ｓ） １ ，
０≤ ｔ≤ １ ，
ｈ（ （ ） （ ） （ ） （ ） ０ ， １ ， ０ ， １ ）≤ ０ ≤ ｈ ａ ０ ， （ ） ａ （ ） ａ （ ） ， （ （ ） ａ １ ， ０ ， １ ）
一
系列 研 究 ， 对 非 线性 边 值 问 题 的结 果 还 很 少 见 ． 但
本 文考 虑 以 下 带 小 参 数 ｅ ＞０的 三 阶边 值 问题
￡ ＝ ｆ ｆ ， ， ） （， ￡， （） １ （） ２ （） ３ （ ） ＝ Ａ，ｇ （ ） （ ） ＝ ０ （ （ ） （ ） ”０ ， （ ） ＝ ０， ０ （ ０ ， １） ，ｈ ０ ， １ ， （ ） ” １ ）
三阶非线性系统的两点边值问题
第 ５期
王国灿： 三 阶 非 线 性 系 统 的 两 点边 值 问题
ｌ １ ９
定 理 ２ 假设
ｆ （ ｔ ， ， ｕ ， ｗ）Ｉ ≤ｈ （ １ ｗ Ｉ ）． 又在 集合 Ｅ＝ ｛ （ ｔ ， ， ， ）Ｊ ０≤ ｔ ≤１ ， （ ）≤
ｈ （ Ｉ Ｊ ） ；
（ ３ ）
（ ４）
（ ２ ） 存 在 函数 （ ｔ ） ， （ ｔ ）∈ Ｃ ［ ０ ， １ ］ 满 足
Ｏ ｌ （ ｔ ）≤ （ ｔ ） ， ０≤ ｔ ≤１ Ｏ Ｌ ” （ ｔ ）≥ （ ｔ ， “ ． ， ， ） ， ０≤ ｔ ≤１
我们 将在 通 常意义 下研 究方 程 （ １ ） 之 满 足边 值条件（ ２ ） 的解的存 在性 ． 其 中 和 Ａ， Ｂ， Ｃ是 ｎ
维 向量 ， 且 函数 Ｉ 厂 在［ ０ ， １ ］×Ｒ ×Ｒ ×Ｒ 上 连续 ．
（ １ ） （ ｔ ， ｕ ， ） 于［ ０ ， １ ］×Ｒ “×Ｒ “ 上连续 ， 且 对 任 意的 ＞０ （ ｉ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ） ， 存在 ［ ０， ＋ ∞） 上 的正值 连续函数 （ ｓ ） ， 满足 ＝＋ｏ 。，
有相 同的不等关 系 ， 即Ｏ ／ （ ｔ ）≤ （ ｔ ）≤Ｊ Ｂ （ ｔ ） （ ｉ＝
１ ， ２ ， …， ｎ ） ， 类似地用符号 Ｉ ¨ （ ｔ ）ｌ ≤ｒ ， ｌ Ｔ ｕ （ ｔ ） ｌ ≤ 时边值 问题 ＝ｌ 厂 （ ｔ ， ， ｕ ） ， “ （ ０ ）＝Ｂ， ｕ （ １ ）＝Ｃ 有解 ｕ （ ） ， 且满足 （ ￡ ）≤ ｕ （ ）≤ （ ￡ ） ， ０≤ｔ ≤１ ． 这是 文献 ［ ９ ］ 中的定理 ．
三阶非线性微分方程三点边值问题的渐近解(英文)
三阶非线性微分方程三点边值问题的渐近解(英文)
姚静荪
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2009(22)2
【摘要】本文通过引入伸长变量和使用边界层校正项的方法构造了一类三阶非线性微分方程三点边值问题的形式渐近解,然后利用高阶微分不等式理论,证明了此解的一致有效性.
【总页数】6页(P437-442)
【关键词】奇异摄动;三点边值问题;微分不等式
【作者】姚静荪
【作者单位】安徽师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.三阶非线性微分方程边值问题解的渐近估计 [J], 王国灿
2.非线性三阶常微分方程的非线性三点边值问题解的存在性 [J], 沈建和;余赞平;周哲彦
3.带有偏差变元的三阶非线性微分方程的解的渐近性质(英文) [J], 任崇勋
4.一类三阶非线性积分微分方程三点边值问题的奇摄动解 [J], 汪用征;周晓
5.奇摄动三阶半线性三点边值问题的高阶渐近解 [J], 陈福松;肖蓬
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９ ８
大 连 交 通 大 学 学 报
第３ ２卷
（ ） 在上 、 ３存 下解 卢（）和 （） 使得 Ｏ ｔ ｔ ｔ， Ｌ ）≤ （
卢（） （ ）≤ｐ （ ） ” ｔ ｔ， ｔ ｔ ， （）≤ ／ ｔ ，一 ≤ ｔ ３ ） （ ≤
１且
有 界 ， （ ， ， （ 一 ， ， ）≥ ｍ ＞０； ｔ ， ｔ ） ８
含 时滞项 的问题 ， 至今 还很 少有 人 涉及 ． 文利用 本 微分 不等 式技 巧 ， 虑 一 般 的三 阶 非线 性 时滞 微 考 分方 程 的 Ｒ ｂｎ边值 问题 ｏｉ
＝
｝ ｔ ， ， （ — ，” Ｊ Ｉ ， ｔ ） ） ≤ 厂 （
（ Ｉ ， １ １ Ｉ ） （ ”） ，
（ ）ｈ ， ）∈Ｃ Ｒ ） 且 （ ｒ） 固定 的 ２ （ ７ ／ （ ， ， 对 ／ 关 于 叼单 调不 减 ．
收 稿 日期 ：０ ００ ． ２ １ －８３ ０
作者简介 ： 国灿 （ ９３一） 男 ， 王 １６ ， 教授 ， 硕士 ， 主要从事微分 方程边 值问题 的研究
Ｅ－ ａｌ： ｎ ｇ ＠ ｄ１ ｃ ｍ ｉ ｗａ ｇ ｃ ． ｎ．
文献标识码 ： Ａ
０ 引言
在 理论 上有 重 要 意 义 ， 且 在 实 际 问题 中有 而
（ ）对 任何 的 Ｎ ＞０， 存在 ｈ＝ｈ Ｎ）＞０ 使 （ ， 得 所有 （， ， （ — ） ）∈ ［ ，］× ［ ｆ ， ｔ ， ０１ 一Ⅳ，
Ｎ］×Ｒ 成立
重要 应 用 的三 阶非 线 性 常 微 分 方程 的奇 摄 动 ， 文 献 ［ ］ 其 参 考 文 献 已作 过 一 系列 研 究 ， 对 包 １及 但
三 阶微 分 差 分 方 程 非 线 性 边 值 问题 的 渐 近 估 计
王 国 灿 ， 佳 莹 张
（ 大连 交 通 大 学 理 学 院 ， 宁 大连 １６ ２ ） 辽 １０ ８
摘
要： 利用 微分不等式技巧研究 了一类三 阶微 分差分方程 的非线性边值 问题 的渐近估计 ． 以二 阶边值
问题 的已知结果为基础 ， 建立 了 Ｖ ｌ ｒ 型积分微分差 分非线性 方程解 的存在性 ， 利用反证 法 获得 了 ｏｔ ｒ ｅａ 再 解的唯一性． 同时 ， 构造适 当的上下解 ， 得到 了三阶微 分差 分方 程解 的存 在性 与唯一 性． 果表 明 ： 种 结 这 技巧为其它边值 问题 的研究提出 了崭新 的思路 ． 关键词 ： 三阶微分 方程 ； 非线性边值 问题 ； 微分不 等式
ｘｏ （ ）＝Ａ， （ ｔ一７ ＝ （ ） Ｉ ｔ， ）
一
×Ｒ 使 得
／ ｔ ， （ — ， ）＝ ， ， ｔ ）
（ （ ） （ ） １ ， １ ）＝０
（） ３
在 通常 意义 下 ， 究 （ ） （ ） 满 足 非 线 性 边 界 研 １ ，２ 之 条件（） ２ 的解 的存 在性 、 一性 和渐 近估计 ． 唯
第３ ２卷
第 ２期
大
连
交
通
大
学
学 报
Ｖ０ ＿ ２ Ｎｏ ２ ｌ３ ．
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＤＡＬ ＡＮ ＪＡＯＴ Ｉ Ｉ ＯＮＧ Ｕ ＶＥＲ ＩＹ ＮＩ ＳＴ
Ａｐ ． ０１１ ｔ２
文 章 编 号 ：６ ３ ９９ （０ １ ０ — ０ ７ ０ １７ — ５ ０ ２ １ ）２ ０ ９ — ４
０ １ ｌ， ｌ ∞ （ 一 ） 定 义 ２ 若 两 个 函数 存 在 函数 （） （）∈ ｔ， ｔ
Ｃ ［ １ 一ｒ １ 一ｒ １ ， ０， ］ｎ Ｃ ［ ， ］ｎ Ｃ ［ ， ］ 使得 ，
（ ）≥ ｔ ￡ ， ｔ ， ｔ ， ） 仅 （ ） （
其 中 ０≤ ｒ ≤ １ １ １ ， ＂ ２＞０， ｒ １＋ｒ ３， ２≤ 且 （） ： Ｚ
ｍａ ｛ ， ， ０ ０≤ ｚ＜＋∞． ｘ １ ｚ｝ｒ≥ ，
（） １ …
／
－ ｔ ， （ —下 ，”ｓ 厂 ， （ ， ｔ ） ， ）
ｒ ≤ ｔ≤ ０
（一 ） 任何 的 （ ， ， （ —ｒ ）∈ ［ １ 对 ｔ ， ｔ ） ０，］
（ ）当 （ ， ， （ 一丁 ，”８ ∈ ［ ， ］Ｘ ６ ｔ ， ｔ ） ， ） ０１
Ｒ Ｘ［ ，０ 时 ， ０ ］
Ｏ０ ｌ ）≤ Ａ≤ ／（ ） （ ３ｏ ， Ｏ（ Ｌ ｔ一７ － ）≤ （）≤ （ ｒ ， ｔ—Ｊ ） ｈ Ｏ（ ）Ｏ （ ） （ｌ １ ， ” １ ）≤ ０ ｌ ，
丁 ≤ ≤ ０
（ ） ＝Ａ， （ ０ 一丁 （ ） ）＝ ，
一
则称 （） 卢 ｔ 分别为方程 （ ） ｔ ， （） ４ 的下解与上解．
引理 １ 假设 （） ６
（ （ ） （ ） ＝０ １ ， １）
其 中 Ａ， （）同上 ． ‘ｔ Ｄ
（ ） ， ， （ １ ／ｔ ， ｔ一 ７ ，” ∈ Ｃ（ ０ １ × － ） ） ［ ，］
ｈ ／ （ ） （ １ ， ３ （） １ ）≥ ０
，
（ ， ， （ — ，” ｔ ， ｔ ） ， ）≥ ０， （ ， ， （ 一７ ， ， ｔ ， ｔ － ）≥ ｍ ＞０， ） （， ， （ 一 ） ， ） ｔ ， ｔ ，”８ ，
（ —ｒ ， （ ） ， ｔ ） ｆ ）
１ 微 分 不 等 式
本 节考 虑 下述 三 阶边值 问题
＝
／ （ ）≤＿ ｔ （ ） ３ ｔ 厂 ， ｔ， （
（） ４ ／ （）１ （ — ，， ， ｔ一 ，”
Ｒ ） 满足 Ｎ ｇ ｍ ， ａｕ ｏ条件 ， 且关 于 ， （ —ｒ ｔ ）单 调 不增 ．
定义 １ 如果 函数＿ ｔ ， （ 一 ） ） 厂 ， （ ， ｔ 丁 ， 满
足下 述两 个条 件之 ～者 ， 称 方程 （ ） 足 Ｎ ｇ ． 则 ４满 ａｕ ｍ 条件． ｏ