三阶微分差分方程非线性边值问题的渐近估计

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大 连 交 通 大 学 学 报
第３ ２卷
（ ） 在上 、 ３存 下解 卢（）和 （） 使得 Ｏ ｔ ｔ ｔ， Ｌ ）≤ （
卢（） （ ）≤ｐ （ ） ” ｔ ｔ， ｔ ｔ ， （）≤ ／ ｔ ，一 ≤ ｔ ３ ） （ ≤
１且
有 界 ， （ ， ， （ 一 ， ， ）≥ ｍ ＞０； ｔ ， ｔ ） ８
含 时滞项 的问题 ， 至今 还很 少有 人 涉及 ． 文利用 本 微分 不等 式技 巧 ， 虑 一 般 的三 阶 非线 性 时滞 微 考 分方 程 的 Ｒ ｂｎ边值 问题 ｏｉ
＝
｝ ｔ ， ， （ — ，” Ｊ Ｉ ， ｔ ） ） ≤ 厂 （
（ Ｉ ， １ １ Ｉ ） （ ”） ，
（ ）ｈ ， ）∈Ｃ Ｒ ） 且 （ ｒ） 固定 的 ２ （ ７ ／ （ ， ， 对 ／ 关 于 叼单 调不 减 ．
收 稿 日期 ：０ ００ ． ２ １ －８３ ０
作者简介 ： 国灿 （ ９３一） 男 ， 王 １６ ， 教授 ， 硕士 ， 主要从事微分 方程边 值问题 的研究
Ｅ－ ａｌ： ｎ ｇ ＠ ｄ１ ｃ ｍ ｉ ｗａ ｇ ｃ ． ｎ．
文献标识码 ： Ａ
０ 引言
在 理论 上有 重 要 意 义 ， 且 在 实 际 问题 中有 而
（ ）对 任何 的 Ｎ ＞０， 存在 ｈ＝ｈ Ｎ）＞０ 使 （ ， 得 所有 （， ， （ — ） ）∈ ［ ，］× ［ ｆ ， ｔ ， ０１ 一Ⅳ，
Ｎ］×Ｒ 成立
重要 应 用 的三 阶非 线 性 常 微 分 方程 的奇 摄 动 ， 文 献 ［ ］ 其 参 考 文 献 已作 过 一 系列 研 究 ， 对 包 １及 但
三 阶微 分 差 分 方 程 非 线 性 边 值 问题 的 渐 近 估 计
王 国 灿 ， 佳 莹 张
（ 大连 交 通 大 学 理 学 院 ， 宁 大连 １６ ２ ） 辽 １０ ８
摘
要： 利用 微分不等式技巧研究 了一类三 阶微 分差分方程 的非线性边值 问题 的渐近估计 ． 以二 阶边值
问题 的已知结果为基础 ， 建立 了 Ｖ ｌ ｒ 型积分微分差 分非线性 方程解 的存在性 ， 利用反证 法 获得 了 ｏｔ ｒ ｅａ 再 解的唯一性． 同时 ， 构造适 当的上下解 ， 得到 了三阶微 分差 分方 程解 的存 在性 与唯一 性． 果表 明 ： 种 结 这 技巧为其它边值 问题 的研究提出 了崭新 的思路 ． 关键词 ： 三阶微分 方程 ； 非线性边值 问题 ； 微分不 等式
ｘｏ （ ）＝Ａ， （ ｔ一７ ＝ （ ） Ｉ ｔ， ）
一
×Ｒ 使 得
／ ｔ ， （ — ， ）＝ ， ， ｔ ）
（ （ ） （ ） １ ， １ ）＝０
（） ３
在 通常 意义 下 ， 究 （ ） （ ） 满 足 非 线 性 边 界 研 １ ，２ 之 条件（） ２ 的解 的存 在性 、 一性 和渐 近估计 ． 唯
第３ ２卷
第 ２期
大
连
交
通
大
学
学 报
Ｖ０ ＿ ２ Ｎｏ ２ ｌ３ ．
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＤＡＬ ＡＮ ＪＡＯＴ Ｉ Ｉ ＯＮＧ Ｕ ＶＥＲ ＩＹ ＮＩ ＳＴ
Ａｐ ． ０１１ ｔ２
文 章 编 号 ：６ ３ ９９ （０ １ ０ — ０ ７ ０ １７ — ５ ０ ２ １ ）２ ０ ９ — ４
０ １ ｌ， ｌ ∞ （ 一 ） 定 义 ２ 若 两 个 函数 存 在 函数 （） （）∈ ｔ， ｔ
Ｃ ［ １ 一ｒ １ 一ｒ １ ， ０， ］ｎ Ｃ ［ ， ］ｎ Ｃ ［ ， ］ 使得 ，
（ ）≥ ｔ ￡ ， ｔ ， ｔ ， ） 仅 （ ） （
其 中 ０≤ ｒ ≤ １ １ １ ， ＂ ２＞０， ｒ １＋ｒ ３， ２≤ 且 （） ： Ｚ
ｍａ ｛ ， ， ０ ０≤ ｚ＜＋∞． ｘ １ ｚ｝ｒ≥ ，
（） １ …
／
－ ｔ ， （ —下 ，”ｓ 厂 ， （ ， ｔ ） ， ）
ｒ ≤ ｔ≤ ０
（一 ） 任何 的 （ ， ， （ —ｒ ）∈ ［ １ 对 ｔ ， ｔ ） ０，］
（ ）当 （ ， ， （ 一丁 ，”８ ∈ ［ ， ］Ｘ ６ ｔ ， ｔ ） ， ） ０１
Ｒ Ｘ［ ，０ 时 ， ０ ］
Ｏ０ ｌ ）≤ Ａ≤ ／（ ） （ ３ｏ ， Ｏ（ Ｌ ｔ一７ － ）≤ （）≤ （ ｒ ， ｔ—Ｊ ） ｈ Ｏ（ ）Ｏ （ ） （ｌ １ ， ” １ ）≤ ０ ｌ ，
丁 ≤ ≤ ０
（ ） ＝Ａ， （ ０ 一丁 （ ） ）＝ ，
一
则称 （） 卢 ｔ 分别为方程 （ ） ｔ ， （） ４ 的下解与上解．
引理 １ 假设 （） ６
（ （ ） （ ） ＝０ １ ， １）
其 中 Ａ， （）同上 ． ‘ｔ Ｄ
（ ） ， ， （ １ ／ｔ ， ｔ一 ７ ，” ∈ Ｃ（ ０ １ × － ） ） ［ ，］
ｈ ／ （ ） （ １ ， ３ （） １ ）≥ ０
，
（ ， ， （ — ，” ｔ ， ｔ ） ， ）≥ ０， （ ， ， （ 一７ ， ， ｔ ， ｔ － ）≥ ｍ ＞０， ） （， ， （ 一 ） ， ） ｔ ， ｔ ，”８ ，
（ —ｒ ， （ ） ， ｔ ） ｆ ）
１ 微 分 不 等 式
本 节考 虑 下述 三 阶边值 问题
＝
／ （ ）≤＿ ｔ （ ） ３ ｔ 厂 ， ｔ， （
（） ４ ／ （）１ （ — ，， ， ｔ一 ，”
Ｒ ） 满足 Ｎ ｇ ｍ ， ａｕ ｏ条件 ， 且关 于 ， （ —ｒ ｔ ）单 调 不增 ．
定义 １ 如果 函数＿ ｔ ， （ 一 ） ） 厂 ， （ ， ｔ 丁 ， 满
足下 述两 个条 件之 ～者 ， 称 方程 （ ） 足 Ｎ ｇ ． 则 ４满 ａｕ ｍ 条件． ｏ