数模最短路与最优问题
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其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边.
[3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素
偶对构成集合的映射，称为关联函数.
例1 设 G=(V,E, )，其中
V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
(e1) v1v2 , (e2 ) v1v3, (e3) v1v4, (e4 ) v1v4, (e5 ) v4v4 .
为顶点的数目．
( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
点不相邻，则称 G 为二元图（或二分图）；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，则 G 称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
返回
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数 目（环算两次）称为 v 的次数（或度数），记为d (v) ．
5.图的广泛应用
图的应用是非常广泛的,在工农业生产、交通运 输、通讯和电力领域经常都能看到许多网络,如 河道网、灌溉网、管道网、公路网、铁路网、电 话线网、计算机通讯网、输电线网等等.还有许 多看不见的网络,如各种关系网,像状态转移关系、 事物的相互冲突关系、工序的时间先后次序关系 等等,这些网络都可以归结为图论的研究对象— —图.其中存在大量的网络优化问题需要我们解 决.还有象生产计划、投资计划、设备更新等问 题也可以转化为网络优化的问题.
（２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d＋(v) ，从顶点 v 引入的边的数目称为 v 的入度，记为d－(v) ，
d (v) = d＋(v) + d－(v) 称为 v 的次数．
d(v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１ d(v) 2 (G) vV (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
返回
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时， 1 ( e )= ( e ),则称 G1 是 G 的子图．
特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
欧拉的结论
• 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次 回到出发点的路线的充要条件是:
• 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接 起来;
• 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数.
• 由此得出结论:七桥问题无解.
欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇 之作,因此称欧拉为图论之父.
4.图的作用 图是一种表示工具.改变问题的描述方式,往 往是创造性的启发式解决问题的手段.一种描述 方式就好比我们站在一个位置和角度观察目标, 有的东西被遮挡住了,但如果换一个位置和角度, 原来隐藏着的东西就可能被发现.采用一种新的 描述方式,可能会产生新思想.图论中的图提供 了一种直观,清晰表达已知信息的方式.它有时 就像小学数学应用题中的线段图一样,能使我们 用语言描述时未显示的或不易观察到的特征、 关系,直观地呈现在我们面前,帮助我们分析和 思考问题,激发我们的灵感.
5．建模案例：最优截断切割问题
6．实验作业
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1．图的定义 2．顶点的次数 3．子图
二、 图 的 矩 阵 表 示 1． 关联矩阵
2． 邻接矩阵
返回
图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图,如果：
[1] V={v1, v2 ,, vn }是有限非空集，V 称为顶点集，
G 的图解如图
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e ，称为图的有向边 （或弧），而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e ，称为图的无
向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向 边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
定义 若将图 G 的每一条边e 都对应一个实数 w (e )，则称 w (e )为边的 权，并称图 G 为赋权图. 规 定 用 记 号 和 分 别 表 示 图 的 顶 点 数 和 边 数 .
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边（或平行边）．
（３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
数学建模与数学实验
最短路径与最优匹配问题
主讲：陈六新 chenliuxcqupt.edu
实验目的 实验内容
1．了解最短路与最优匹配的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路与最优匹配
1．图 论 的 基 本 概 念
2．最 短来自百度文库路 问 题 及 其 算 法
3．最 短 路 的 应 用 4．最优匹配及算法
例如,在1978年,美国财政部的税务分析部门在对 卡特尔税制改革做评估的过程中,就有一个 100,000个约束以上,25,000,000个变量的问题,若 用普通的线性规划求解,预计要花7个月的时间.他 们利用网络分析的方法,将其分解成6个子问题,利 用特殊的网络计算机程序,花了大约7个小时问题 就得到了解决.
6.基本的网络优化问题 基本的网络优化问题有:最短路径问题、最小 生成树问题、最大流问题和最小费用问题.图论 作为数学的一个分支,已经有有效的算法来解决 这些问题.当然这当中的有些问题也可以建立线 性规划的模型,但有时若变量特别多,约束也特 别多,用线性规划的方法求解效率不高甚至不能 在可忍受的时间内解决.而根据这些问题的特点, 采用网络分析的方法去求解可能会非常有效.
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1导出的子图，记为 G[V1].
[3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素
偶对构成集合的映射，称为关联函数.
例1 设 G=(V,E, )，其中
V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
(e1) v1v2 , (e2 ) v1v3, (e3) v1v4, (e4 ) v1v4, (e5 ) v4v4 .
为顶点的数目．
( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
点不相邻，则称 G 为二元图（或二分图）；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，则 G 称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
返回
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数 目（环算两次）称为 v 的次数（或度数），记为d (v) ．
5.图的广泛应用
图的应用是非常广泛的,在工农业生产、交通运 输、通讯和电力领域经常都能看到许多网络,如 河道网、灌溉网、管道网、公路网、铁路网、电 话线网、计算机通讯网、输电线网等等.还有许 多看不见的网络,如各种关系网,像状态转移关系、 事物的相互冲突关系、工序的时间先后次序关系 等等,这些网络都可以归结为图论的研究对象— —图.其中存在大量的网络优化问题需要我们解 决.还有象生产计划、投资计划、设备更新等问 题也可以转化为网络优化的问题.
（２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d＋(v) ，从顶点 v 引入的边的数目称为 v 的入度，记为d－(v) ，
d (v) = d＋(v) + d－(v) 称为 v 的次数．
d(v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１ d(v) 2 (G) vV (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
返回
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时， 1 ( e )= ( e ),则称 G1 是 G 的子图．
特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
欧拉的结论
• 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次 回到出发点的路线的充要条件是:
• 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接 起来;
• 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数.
• 由此得出结论:七桥问题无解.
欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇 之作,因此称欧拉为图论之父.
4.图的作用 图是一种表示工具.改变问题的描述方式,往 往是创造性的启发式解决问题的手段.一种描述 方式就好比我们站在一个位置和角度观察目标, 有的东西被遮挡住了,但如果换一个位置和角度, 原来隐藏着的东西就可能被发现.采用一种新的 描述方式,可能会产生新思想.图论中的图提供 了一种直观,清晰表达已知信息的方式.它有时 就像小学数学应用题中的线段图一样,能使我们 用语言描述时未显示的或不易观察到的特征、 关系,直观地呈现在我们面前,帮助我们分析和 思考问题,激发我们的灵感.
5．建模案例：最优截断切割问题
6．实验作业
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1．图的定义 2．顶点的次数 3．子图
二、 图 的 矩 阵 表 示 1． 关联矩阵
2． 邻接矩阵
返回
图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图,如果：
[1] V={v1, v2 ,, vn }是有限非空集，V 称为顶点集，
G 的图解如图
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e ，称为图的有向边 （或弧），而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e ，称为图的无
向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向 边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
定义 若将图 G 的每一条边e 都对应一个实数 w (e )，则称 w (e )为边的 权，并称图 G 为赋权图. 规 定 用 记 号 和 分 别 表 示 图 的 顶 点 数 和 边 数 .
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边（或平行边）．
（３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
数学建模与数学实验
最短路径与最优匹配问题
主讲：陈六新 chenliuxcqupt.edu
实验目的 实验内容
1．了解最短路与最优匹配的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路与最优匹配
1．图 论 的 基 本 概 念
2．最 短来自百度文库路 问 题 及 其 算 法
3．最 短 路 的 应 用 4．最优匹配及算法
例如,在1978年,美国财政部的税务分析部门在对 卡特尔税制改革做评估的过程中,就有一个 100,000个约束以上,25,000,000个变量的问题,若 用普通的线性规划求解,预计要花7个月的时间.他 们利用网络分析的方法,将其分解成6个子问题,利 用特殊的网络计算机程序,花了大约7个小时问题 就得到了解决.
6.基本的网络优化问题 基本的网络优化问题有:最短路径问题、最小 生成树问题、最大流问题和最小费用问题.图论 作为数学的一个分支,已经有有效的算法来解决 这些问题.当然这当中的有些问题也可以建立线 性规划的模型,但有时若变量特别多,约束也特 别多,用线性规划的方法求解效率不高甚至不能 在可忍受的时间内解决.而根据这些问题的特点, 采用网络分析的方法去求解可能会非常有效.
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1导出的子图，记为 G[V1].