数模最短路与最优问题

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数学建模最短路问题

设链W=v0e1v1e2…eivi已选定，则从E\{e1,e2,…,ei}中选取一条与ei相邻的边ei+1，除非已无选择余地，否则不要选G\{e1,e2,…,ei}的桥。
直到(2)不能进行为止，算法终止时得到的是Euler回路。
欧拉图与Fleury算法
01
02
如果G不是连通的Euler图，则G中含有奇度顶点（但奇度顶点的个数为偶数），此时图G的一条邮递路线必定在某些街着上重复走了一次或多次，它等价于在这些边上加一条或多条重复边，使新图G' 不含奇度顶点，并且所加边的总权为最小。
01
Dijkstra Algorithm
02
Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
最短路问题求解算法
用Dijkstra求解最短路问题
例求从顶点u0到其余顶点的最短路。
解：先写出距离矩阵（实际应为对称矩阵）
Dijkstra算法的迭代步骤如下
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12
第11章最短路问题
添加副标题
1 问题的提出
STEP2
STEP1
图论是离散数学的重要分支，在物理学、化学、系统控制、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科学管理、电子计算机等各个领域都具有极其广泛的应用。
1
图论的历史可以追溯到1736年，这一年发表了图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题。
02
1 匹配与覆盖
基本概念
定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M-饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想）匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使|M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。

最短路问题(数学建模资料)

网络优化
Network Optimization
/netopt
清华大学课号：40420213（本），70420133（研）
第5章最短路问题(Shortest Path Problem)
清华大学数学科学系谢金星办公室：理科楼1308# （电话：62787812） Email:jxie@ /faculty/~jxie
u s 0, u min{u w }. i ij j i j
一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.
(5.7) (5.8)
10
最短路树（树形图）
定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶点 j 都存在最短路，它们构成以起点 s 为根的树形图（称为最短路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.
1
最短路问题的例子和意义
S
T
许多实际问题都可以转化为最短路问题
其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算法调用
2
最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题
例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing）某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958）假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备. T T 假设费用均非负，则在最优解中 I 0 I T 0 ，即 xt d t

数学建模实验报告-第十一章-最短路问题

实验名称：第十一章最短路问题一、实验内容与要求掌握Dijkstra算法和Floyd算法，并运用这两种算法求一些最短路径的问题.二、实验软件MATLAB7.0三、实验内容1、在一个城市交通系统中取出一段如图所示，其入口为顶点v1，出口为顶点v8,每条弧段旁的数字表示通过该路段所需时间，每次转弯需要附加时间为3，求v1到v8的最短时间路径.63V4 2 V7 4 V8程序:function y=bijiaodaxiao(f1,f2,f3,f4)v12=1；v23=3;v24=2;v35=1；v47=2；v57=2;v56=6；v68=3；v78=4；turn=3;f1=v12+v23+v35+v56+turn+v68；f2=v12+v23+v35+turn+v57+turn+v78;f3=v12+turn+v24+turn+v47+v78；f4=v12+turn+v24+v47+turn+v57+turn+v56+turn+v68；min=f1;if f2<minmin=f2;endif f3<minmin=f3；endif f4〈minmin=f4；endminf1f2f3f4实验结果：v1到v8的最短时间路径为15，路径为1—2-4-7-8.2、求如图所示中每一结点到其他结点的最短路。

V110 V3V59 V6function[D,R]=floyd(a)n=size（a,1）；D=afor i=1：nfor j=1:nR(i,j）=j;endendRfor k=1:nfor i=1：nfor j=1:nif D（i,k)+D（k,j）<D(i,j)D（i，j)=D(i，k)+D(k，j);R(i，j)=R（i,k）;endendendkDRend程序：>〉a=[0 3 10 inf inf inf inf inf;3 0 inf 5 inf inf inf inf；10 inf 0 6 inf inf inf inf;inf 5 6 0 4 inf 10 inf ;inf inf inf 4 0 9 5 inf ;inf inf inf inf 9 0 3 4;inf inf inf 10 5 3 0 6;inf inf inf inf inf 4 6 0;];［D,R］=floyd(a)实验结果：D =0 3 10 Inf Inf Inf Inf Inf3 0 Inf 5 Inf Inf Inf Inf10 Inf 0 6 Inf Inf Inf InfInf 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8k =1D =0 3 10 Inf Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf InfInf 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 4 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 k =2D =0 3 10 8 Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf Inf8 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 82 234567 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 k =3D =0 3 10 8 Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf Inf8 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 82 234567 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8k =4D =0 3 10 8 12 Inf 18 Inf3 0 11 5 9 Inf 15 Inf10 11 0 6 10 Inf 16 Inf8 5 6 0 4 Inf 10 Inf12 9 10 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 418 15 16 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 2 6 2 81 2 4 4 4 6 4 81 4 3 4 4 6 4 82 234567 84 4 4 4567 81 2 3 4 5 6 7 84 4 4 4567 81 2 3 4 5 6 7 8 k =5D =0 3 10 8 12 21 17 Inf3 0 11 5 9 18 14 Inf10 11 0 6 10 19 15 Inf8 5 6 0 4 13 9 Inf12 9 10 4 0 9 5 Inf21 18 19 13 9 0 3 417 14 15 9 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 2 2 2 81 2 4 4 4 4 4 81 4 3 4 4 4 4 82 2345 5 5 84 4 4 4567 85 5 5 5 567 85 5 5 5 567 81 2 3 4 5 6 7 8 k =6D =0 3 10 8 12 21 17 253 0 11 5 9 18 14 2210 11 0 6 10 19 15 238 5 6 0 4 13 9 1712 9 10 4 0 9 5 1321 18 19 13 9 0 3 417 14 15 9 5 3 0 625 22 23 17 13 4 6 0 R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 4567 65 5 5 5 567 85 5 5 5 567 86 6 6 6 6 678 k =7D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0 R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8 k =8D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0 R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8四、实验体会。

数学建模模最短路

基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。

关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。

目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。

顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。

最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。

因此掌握最短路问题具有很重要的意义。

第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。

最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。

2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。

第5讲最短路问题

(3)设 E1 ? E,且 E1 ? ? ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图,
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
返回
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )? ?? ，其中：
mij
?
?1 ??0
插入点矩阵以便得到两点间的最短路径．
返回
算法原理—— 求距离矩阵的方法
把带权邻接矩阵
W 作为距离矩阵的初值，即
D(0)=
(d
(0 ij
)
)? ??
=W
（１）D(1)=
(d
(1) ij
)?
??
，其中
d
(1) ij
?
min{d
(0) ij
,
d
(0 i1
)
?
d (0) 1j
}
d
(1) ij
是从
v
i
到
v
j
若vi是e j的起点若vi是e j的终点若vi与e j不关联
返回
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A ? (aij )? ?? ，其中：
aij ? ???10
若vi与v j相邻若vi与v j不相邻
注：假设图为简单图
v1
?0 ? A= ? 1
? ???
0 1
v2 v3 v4
1
0
1
? ?
v1
0 1 1 ?v2
1．图论的基本概念
2．最短路问题及其算法
3．最短路的应用 4．建模案例：最优截断切割问题

图论模型(最优连线问题、最短路问题)

v3
8.1 最优连线问题（最小生成树）
例1 现需从自来水厂接自来水管道到各个城镇，自来水厂到各城镇之间铺设自来水管道价格如下，问如何铺设最经济。
A 8 B
5
E 1
7 6
水厂
3 10
D 9
C
分析： ①显然铺设的自来水管道要连通各个顶点； ②铺设的管道中如果有回路，则去掉一条边，仍可行。故所铺设的管道是连通各个顶点且没有回路的图形，称为图G的生成树。我们的目标是寻找一颗图G的生成树，其各条边的权之和最小，称为最小生成树。 1956年，Kruskal给出了一种求最小生成树的算法，称为避圈法。
e2 e5
e4
M
v2
v3
v4
v4
0 0 0 1
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
e3
v3
例3
v1 2 v2
v1 v1 v2 v3 v4
3 7
8
M
v2
v3
v4
v4
0 7
2 0 8
0 5
3 0
5
lv; v; s(k+1)=v; k=k+1; u=s(k); end l z 输出结果为： l=0 2 1 7 3 6 9 12 z=1 1 1 6 2 5 4 5
注：l输出的是u1到u1、u2、…、u8各个顶点的最短路径距离。 z输出的是最短路径中u1、u2、…、u8的父节点。
%求从u0到uj0的最短路径 disp('起点为u1.'); j=input('输入终点u'); disp('下面求从起点u1到终点'); j, disp('的最短路径。'); lj=[]; while j~=1 lj=[[j],lj]; j=z(j); end lj=[[1],lj]; lj 例如求u1到u8的最短路径，程序执行后输出为：1 2 5 6 8 各位有兴趣还可以考虑将图可视化，点击屏幕输入终点以及在图形上输出显示最短路径。

教师培训课件：数学建模中的最短路

在网络通信中，寻找最短路径，提高数据传输的稳定性和速度。
本课程的目标和内容
掌握最短路问题的基本概念和求解方法。
通过实际操作和案例分析，提高解决实际问题的能力。
理解最短路问题在现实生活中的应用和案例分析。
最短路问题的数学
02
模型
图论基础
图论是研究图的结构、性质和应用的数学分支。图由节点和边组成，节点表示事物，边表示事物之间的关系。
概念讲解
详细解释最短路的概念、定义和特点，确保学生理解最短路的数学基础。
互动讨论
鼓励学生提问和发表观点，通过讨论加深学生对最短路问题的理解。
如何使用图论和算法解决最短路问题
图论基础
介绍图论的基本概念，如节点、边和权重，为解决最短路问题奠
定基础。
算法讲解
详细讲解Dijkstra算法和BellmanFord算法等常用解决最短路问题的算法，让学生掌握核心思想。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算
法。
该算法由美国数学家理查德·贝尔曼和莱曼·福特共同提出。
Bellman-Ford算法的基本思想是利用松弛操作来更新路径上的节点距离，并检查是否存在负权环
。
Floyd-Warshall算法
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间的最短路径的算法。
详细描述
在城市交通路线规划中，最短路问题是一个关键问题。通过应用最短路径算法，可以找到城市中两点之间的最短路径，从而优化交通路线的布局和设计。这有助于提高交通效率，减少出行时间和成本，缓解城市交通拥堵问题。
物流配送路径优化
总结词

数学建模floyd算法最短路算法详解ppt课件

选址问题--重心问题
例 3 某矿区有七个矿点，如图所示．已知各矿点每天的产矿量
q ( v j) （标在图的各顶点上）．现要从这七个矿点选一个来建造矿厂．问
应选在哪个矿点，才能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总运力
floyd算法查找最短路路径的方法一算法的基本思想三算法步骤算法的基本思想直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出成为图的距离矩阵同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径
最短路算法
恣意一对顶点之间的最短路算法:Floyd算法
〔一〕算法的根本思想
( ) 1、求间隔矩阵的方法 2、求途径矩阵的方法 3、查找最短路途径的方法
算法原理—— 求途径矩阵的方法
在建立间隔矩阵的同时可建立途径矩阵R．
R = ( r i ) , j r i j 的含义是从 v i 到 v j 的最短路要经过点号为 r i j 的点．
R ( 0 ) ( r i ( 0 ) ) , r j i ( 0 ) j j
d i ( 2 ) j 是从 v i 到 v j 的只允许以 v 1 、 v 2 作为中间点的路径中最短路的长度．
…
（） D ( ) = ( d i ( ) j) ，其中 d i ( ) j m d i ( j1 i ),d n i ( 1 ) { d ( j 1 ) }
选址问题--中心问题
例 2 某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务，

最短路三大算法及其优化算法大总结+模板

最短路三⼤算法及其优化算法⼤总结+模板最短路问题三⼤算法及其优化算法总结+模板前⾔这⾥给了最短路问题中三⼤算法及其优化后的算法总结和模板，总结⼀下，以便后续学习。

Floyd-Warshall多源最短路，即要求求出图中每两个顶点之间的最短路。

虽然Floyed的复杂度是O(n3)，但是4⾏却简单很多，本质上是动态规划算法。

思想：从i号顶点到j号顶点只经过前k号顶点的最短路径。

const int inf=0x3f3f3f3f;int Floyd(){//初始化n个顶点for(i = 1; i <= n; i ++)for(j = 1; j <= n; j ++)if(i == j)e[i][j] = INF;elsee[i][j] = 0;for(k = 1; k <= n; k ++)//Floyd-Warshall算法核⼼语句for(i = 1; i <= n; i ++)for(j = 1; j <= n; j ++)if(e[i][j] > e[i][k]+e[k][j])e[i][j] = e[i][k]+e[k][j];}Bellman-FordBellman-Ford算法能解决存在负权边的单源点最短路径问题。

可以检测⼀个图是否存在负权回路：如果在进⾏了n-1轮松弛后，仍然可以继续成功松弛，说明存在负权边。

const int inf=0x3f3f3f3f;struct node{int from,to,w;};node edge[100];bool Bellman(int s){for(i = 1; i <= n; i ++)dis[i] = inf;dis[s]=0;bool flag;for(i = 1; i <= n; i ++){flag = false;for(j = 1; j <= m; j ++){x = edge[j].from ;y = edge[j].to ;z = edge[j].w ;if(dis[y] > dis[x] + z){dis[y] = dis[x] + z;flag = true;}}if(!flag) //最好加上这句话，很重要break;//如果更新到n遍，还能够继续更新dis数组，说明存在负权环if(flag&&i == n)return false;//返回false表⽰这个图存在负权环}return true;//返回true表⽰求最短路成功}SPFA 使⽤队列优化的Bellman-Ford算法每次实施⼀次松弛操作后，就会有⼀些顶点已经求得其最短路，此后这些顶点的最短路的估计值就会⼀直保持不变，不再受到后⾯松弛的影响，但是每次还要判断是否需要松弛，浪费了时间。

数学建模分组最短路径问题

数学建模分组最短路径问题
数学建模分组最短路径问题是一个经典的优化问题，其目标是找到一组路径，使得从起点到终点的总路径长度最短。

问题的输入包括起点、终点，以及中间的节点和与节点相关的边的信息。

每个节点都有一个特定的成本值，表示从一个节点到另一个节点的移动成本或距离。

解决这个问题的一种常见方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。

这些算法可以计算出从起点到任意节点的最短路径，然后可以根据问题的要求构建出一组最短路径。

在分组最短路径问题中，还需要考虑每个路径的长度限制。

可以通过修改Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法来考虑这个限制。

一种方法是在计算最短路径时，将路径长度作为一个约束条件来考虑，只有在路径长度不超过限制时才选择该路径。

此外，还可以使用数学规划方法来解决分组最短路径问题。

可以将问题建模为一个线性规划模型，并使用线性规划求解器来求解最优解。

在这种方法中，可以定义一组决策变量来表示每条路径的选择与否，并将路径长度和路径长度限制作为约束条件。

总而言之，数学建模分组最短路径问题涉及到图论、算法和数学规划等多个领域，可以通过适当的算法和数学工具来求解最优解。

数学建模最短路

并称图 G 为赋权图.
规定用记号和分别表示图的顶点数和边数.
常用术语：（１）端点相同的边称为环．（２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．（３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
称为相邻的边．（４）边和它的端点称为互相关联的．（５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图．（６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
用上述算法求出的l(v) 就是u0 到v 的最短路的权，从v 的父亲标记 z(v) 追溯到u0 , 就得到u0 到v 的最短路的路线.
例求下图从顶点 u1 到其余顶点的最短路． TO MATLAB (dijkstra.m)
先写出带权邻接矩阵：
0
2 0
1
8 6
1

定义３（１）设 P(u,v)是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
则称w(P) w(e) 为路径 P 的权． eE ( P)
(2) 在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
P* (u, v) ，称为 u 到 v 的最短路．
固定起点的最短路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路．假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
若(vi , v j ) E,且wij为其权若i j
若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1
0 A= 2

7
v2 v3 v4
2 7 v1
0 8 3 v2
8 3
0 5
5 0

浅谈最短路的数学模型解问题

浅谈最短路的数学模型解问题在生产与科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。

这种把一个问题可看作一个前后关联且具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题，而最短路问题是这类问题中的比较典型的一种。

现在我们一起来探讨这类问题的特点和解决方法。

问题1（最小价格的管道铺设方案）如下图用点表示城市，现有共7个城市。

点与点之间的连线表示城市间有道路相连。

连线旁的数字表示道路的长度。

现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。

首选我们要明确以下2点：（1）管道长短与成本价格之间有什么关系？显然，管道越短，成本越低。

（2）你能在众多管道路线中找到一条最短的管道路线吗？答案是肯定的。

这是一般人都有的最直接最原始的思路。

我们在这里就是要寻找一个比较简便的方法。

本题的实质就是求从城市A到城市D的一条最短路。

1、建立数学模型：Min{d（xk，xk+1）+f（xk+1）}的含义是：前一个阶段距离加上后一状态变量到终点的最短距离，然后在这些距离和中取最小者，即为所求的最短距离。

其中xk+1=u（xk），即从状态xk出发，采取决策uk到达下一状态xk+1；Sk表示从状态xk 出发的所有可能选取的决策的集合；而f4（x4）=0称为边界条件，因为状态x4=D已经是终点；各个决策路径xk+1=u（xk）都是所有决策的集合Sk中的一种，即xk+1=u（xk）∈Sk。

2、模型求解：①从最后一个阶段即第三阶段开始，按f3的定义有②第二个阶段有2个状态，而每个状态又有3个决策可选取，因此有B1到D的最短路长得B1到D的最短路径B2到D的最短路长得B2到D的最短路径③当k=1时，有A到D的最短路长得A到D的最短路径，故从A到D的最短弧长为6，路径为最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。

最短路问题-2

S (vi ) = max{d ij } i = 1,2, Lν 1≤ j ≤ν (3)求出顶点 v k ,使 S (v k ) = min{S (vi )}
1≤i ≤ν
则 v k 就是要求的建立消防站的地点.此点称为图的中心点中心点. 中心点
TO MATLAB (road3(floyd))
0 3 5 D = 10 7 5 .5 7
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选址问题--重心问题选址问题--重心问题 -例 2 某矿区有七个矿点,如图所示.已知各矿点每天的产矿量 q (v j ) (标在图的各顶点上) 现要从这七个矿点选一个来建造矿厂. . 问应选在哪个矿点,才能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总运力 (千吨公里)最小.
(1)求距离阵 D= ( d ij )ν ×ν .
�
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选址问题--中心问题选址问题--中心问题 -例 1 某城市要建立一个消防站,为该市所属的七个区服务, 如图所示.问应设在那个区,才能使它至最远区的路径最短.
(1)用 Floyd 算法求出距离矩阵 D= ( d ij )ν ×ν .
(2) 计算在各点 vi 设立服务设施的最大服务距离 S (vi ) .
数学建模与数学实验最短路问题
实验目的
1,了解最短路的算法及其应用 , 2,会用Matlab软件求最短路 ,会用软件求最短路

实验内容
3,最短路的应用 , 4,建模案例:最优截断切割问题 ,建模案例: 5,实验作业 ,
最短路的应用
一, 选址问题 1, 中心问题 , 2, 重心问题 , 二,建模案例:最优截断切割问题建模案例:
3 0 2 7 4 2 .5 4
5 2 0 5 2 4 .5 6