夹逼定理word版
夹逼定理放大缩小建立不等式
夹逼定理放大缩小建立不等式想象一下，你有三个小伙伴，分别是小明、小红和小刚。
他们三个人站成一排，小明在最左边，小刚在最右边，小红在中间。
比如说，咱们要知道小红的身高大概是多少。
我们发现小明很矮，他的身高是1米，小刚很高，他的身高是1.5米。
而小红呢，她站在小明和小刚中间，那我们就可以说小红的身高是大于1米，小于1.5米的。
这其实就是一种简单的不等式关系，就像我们在数学里用夹逼定理建立不等式一样。
再举个例子，有一堆糖果。
我们知道这堆糖果比10颗要多，因为我们数了旁边一小堆就已经有10颗了，而这堆糖果又比20颗要少，因为我们把它和另一堆20颗的糖果比了比，明显少一些。
那这堆糖果的数量就可以用一个不等式表示出来，就是大于10颗小于20颗。
那在数学里呢，我们也经常会遇到这样的情况。
比如说有一个很奇怪的图形，我们不知道它的面积具体是多少。
但是我们可以找到两个我们熟悉的图形。
一个图形的面积我们知道是比较小的，就像一个小正方形，它的面积是4平方厘米。
另一个图形的面积是比较大的，是一个大长方形，它的面积是8平方厘米。
而我们要算面积的这个奇怪图形就夹在这两个图形中间，那这个奇怪图形的面积就肯定是大于4平方厘米，小于8平方厘米啦。
我们还可以想象在一条长长的小路上。
路的起点到一个小亭子的距离是50米，路的终点到这个小亭子的距离是80米。
那这个小亭子距离起点的距离就可以用不等式表示啦，是大于50米小于80米。
所以呀，通过找到一个东西的上下限，就像找到小伙伴的身高范围、糖果的数量范围、图形面积的范围还有小亭子距离的范围一样，我们就可以用夹逼定理来放大或者缩小，然后建立起不等式啦。
这样在很多数学问题里，我们就能大概知道一个数或者一个量的范围，是不是很有趣呢？这种方法就像是给一个神秘的东西围上了两个栅栏，这个神秘的东西就只能在这两个栅栏中间，我们就能清楚地说出它的范围啦。
以后遇到类似的问题，也可以像这样去思考哦。
高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存在准则
x x0
两个重要极限
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
0
(2)
x x0
g ( x ) f ( x ) h( x ), lim g( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
那末当 x x0 时, f ( x ) 的极限存在, 且 lim f ( x ) A.
y
x x0
A A A
o
y h( x ) y f ( x) y g( x )
- 11 -
第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x ) e 二 重要极限 lim(1 x x 在第二节中,利用单调有界原理证明了重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n lim(1 ) e n n 现在说明 n 换成连续变量 x , 在 x , x , x
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
而
所以
sin x lim 1 x 0 x
-9-
夹逼定理
第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e nn n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→（3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
夹逼法则解题例说
解析:由题目可知a = 6,6 = 8,c = 10,e = y,
双曲线的通径丨PQ丨=近=单，由定理1有
a
3
I PQ I +1 MN I
2 _), —f* 丿曰 i mtv i 8
\bfx\-\af2\ = e^可尉 mm =©•
定理2 F是抛物线的焦点,E是抛物线的准线 与其对称轴的交点，经过E和F作两条平行直线，分 别与抛物线相交于两点和M,N两点，则
解析：因为 ln(% + y + 1) + ln(i; -y -2) W (兌 + y + 1) - 1 + (x - y - 2) - 1 = 2x - 3,而兌』又满足 2光- 3 W ln(A； + y + 1) + In(兀 - y-2),所以 2兀-3 =ln(i; 4- y 4- 1) + ln(% - y - 2),当且仅当兌 + y + 1
/(兀)+ 1,从而 an+1 - an 二 1,所以仇2018 = «i + (2018
-1)x1= 2019.
评注:本题由递推关系，通过迭代得到/(兀+ 1) M/&) +1且/(兀+ 1) W/&) +1,再利用“夹逼法 则”将不等式转化为等式.
例3 若实数兌』满足2% - 3 Wln(%+y + l) + ln(%-y-2)，贝[J xy = ________ .
参考文献
［1 ］玉云化.椭圆的一个新性质［J］-河北理科教学研究. 2009.6.
gn
夹逼法则解题例说
浙江省金华市第六中学(321000) 虞懿
夹逼定理常用放缩
夹逼定理常用放缩引言夹逼定理（也称为夹逼准则或夹逼定理）是数学分析中一个经典的定理，它通常用来证明极限存在或不存在的问题。
夹逼定理在解决许多实际问题时都起到了关键作用。
在本文中，我们将探讨夹逼定理的常用放缩方法，通过逐步引进放缩的思路，帮助读者更好地理解和运用这一定理。
什么是夹逼定理夹逼定理是数学分析中一种用于证明极限问题的重要工具。
它可以用来判断函数或数列的极限是否存在，并得到其极限值。
夹逼定理的核心思想是通过将一个函数或数列夹在两个已知函数或数列之间，对其进行放缩，从而确定其极限。
常用放缩方法1. 引入中间函数在使用夹逼定理时，我们经常需要引入一个中间函数，将待求的函数或数列夹在这两个函数之间。
这个中间函数可以是已知的函数，也可以是我们自己构造的函数。
通过选择合适的中间函数，我们可以更好地控制待求函数或数列的范围，从而进行放缩。
2. 利用不等式对于一些函数或数列，我们可以通过确定一个下界和上界，利用不等式进行放缩。
例如，对于一个数列a n，如果我们已知b n≤a n≤c n，其中b n是一个已知的下界函数，c n是一个已知的上界函数，我们就可以通过夹逼定理得到a n的极限。
3. 递推放缩在一些递推序列的问题中，我们可以利用递推关系进行放缩。
假设有一个递推序列a n，我们已知a n≤a n+1≤c n，其中a n+1是由a n递推出的。
通过这个关系，我们可以不断放缩序列的范围，确定其极限。
4. 迭代放缩有些函数或数列的放缩可以通过迭代的方式进行。
假设我们已知g0(x)≤f(x)≤ℎ0(x)，其中g0(x)和ℎ0(x)是已知函数，f(x)是待求函数。
我们可以通过不断迭代g k(x)和ℎk(x)，即g k(x)≤g k+1(x)≤f(x)≤ℎk+1(x)≤ℎk(x)，直到g k(x)和ℎk(x)收敛到同一个函数ℎ(x)，我们就得到了f(x)的极限。
举例说明为了更好地理解夹逼定理的常用放缩方法，我们举一个具体的例子。
关于夹逼定理的理解
关于夹逼定理的理解夹逼定理是数学中的一种重要定理，它在解决数学问题时起到了至关重要的作用。
夹逼定理也被称为迫敛定理或挤压定理，它在应用于解决极限问题时特别有用。
夹逼定理的核心思想是通过比较两个函数来确定一个函数的极限。
假设我们有三个函数f(x), g(x), h(x)，且在某个区间内满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)。
如果当x趋近于某个特定值时，f(x)和h(x)都趋近于同一个数L，那么我们可以推断出g(x)也趋近于L。
夹逼定理的直观解释如下：假设我们有一个函数g(x)，我们想要确定它在某个点的极限。
但是由于g(x)的表达式过于复杂或难以处理，我们无法直接计算出极限。
这时，我们可以找到两个较为简单的函数f(x)和h(x)，它们在这个点的极限分别为L。
通过确定f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，我们可以利用夹逼定理推断出g(x)的极限也为L。
夹逼定理的应用非常广泛，特别是在解决数列和函数的极限问题时。
例如，我们想要计算函数f(x) = sin(x)/x在x趋近于0时的极限。
由于直接代入0会导致分母为0的情况，我们无法得到准确的结果。
但是，我们可以通过夹逼定理来解决这个问题。
我们知道sin(x)的极限在x趋近于0时为0，且1/x的极限在x趋近于0时为无穷大或负无穷大。
因此，我们可以推断出f(x)在x趋近于0时的极限为0。
夹逼定理的应用不仅限于数学领域，它在其他学科如物理学、经济学等也有广泛的应用。
通过夹逼定理，我们可以通过比较不同的模型或理论来确定一个问题的解或极限。
夹逼定理不仅给我们提供了一种思维方式，还能够帮助我们解决一些复杂的问题。
夹逼定理是一种重要的数学定理，在解决极限问题时起到了关键的作用。
通过比较两个函数，我们可以确定一个函数的极限。
夹逼定理不仅在数学领域有广泛的应用，还可以在其他学科中发挥作用。
通过夹逼定理，我们可以解决一些复杂的问题，推断出一个函数的极限。
夹逼定理的应用不仅提高了我们对数学问题的理解，还拓宽了我们的思维方式，使我们能够更好地解决各种问题。
夹逼定理
1 Show how sin is bounded. 3 x 1 1 , if x 0 1 sin 3 x
The problem with multiplying all three parts by x 3 is that, when x < 0 , x 3 < 0 . The inequality symbols would have to be reversed for negative values of x. One way to avoid this problem is to use absolute value.
(Section 2.6: The Squeeze (Sandwich) Theorem) 2.6.1
SECTION 2.6: THE SQUEEZE (SANDWICH) THEOREM
PART A: EXAMPLES We will formally state the Squeeze (Sandwich) Theorem later. Example 1 below is one of many basic examples in which we use the Squeeze (Sandwich) Theorem to prove that the limit of a function is 0, where the function includes a trig function. Example 1
Therefore, 0
பைடு நூலகம்( x < 0)
Now, we apply the Squeeze (Sandwich) Theorem.
1--1.6夹逼准则和重要极限
当 0 x 时, 2
2 x x x 0 cos x 1 1 cos x 2 sin2 2( ) 2 , 2 2 2
x2 lim 0, x0 2
lim(1 cos x ) 0,
x 0
lim cos x 1,
x 0
又 lim1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
高等数学
例1. 求
tan x sin x 1 lim 解: lim x 0 x 0 x x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
例2. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
sin x 0 1. lim _____ ; x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
1 1 2. lim x sin ____ ; x x
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 4 (4) , (5)
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
( 2) lim yn a , lim zn a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且lim x n a .
n
n
2.重要极限
设 为某过程中的无穷小, lim sin 1
某过程
高等数学
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
高等数学
§1.6 极限存在准则及两个重要极限
sin x 1 ——夹逼准则及重要极限 lim x 0 x
一、夹逼准则
二、重要极限
高等数学
一、夹逼准则
夹逼定理原理范文
夹逼定理原理范文夹逼定理（Squeeze theorem）是微积分中一个重要的极限定理，用于证明在其中一种情况下函数的极限存在。
夹逼定理是基于函数间的比较关系的。
假设有三个函数f(x)、g(x)和h(x)，满足在一些区间上的条件：f(x)≤g(x)≤h(x)(1)且对于这段区间上的x，都有f(x)和h(x)的极限相等，即：lim (x→c) f(x) = L 和lim (x→c) h(x) = L (2)那么，根据夹逼定理，可以推断g(x)在这段区间上的极限也存在，并且等于L，即：lim (x→c) g(x) = L (3)夹逼定理的应用是相对灵活的。
在实际问题中，有时候很难直接证明一个函数的极限存在，但是如果能够找到两个函数，一个从下面夹逼住，一个从上面夹逼住，且这两个函数的极限相等，就可以得出结论。
这个定理在微积分中的应用非常广泛。
下面举一个典型的例子来说明夹逼定理的应用。
假设我们要证明函数 f(x) = x^2 + cos(x) 的极限在 x趋近于0时存在。
首先，我们需要找到两个函数，一个从下面夹逼住f(x)，一个从上面夹逼住f(x)。
我们可以选择 g(x) = x^2 和 h(x) = x^2 - cos(x)，显然有：g(x) = x^2 ≤ f(x) ≤ h(x) = x^2 + cos(x)接下来我们来证明当x趋近于0时lim (x→0) g(x) = lim (x→0) x^2 = 0lim (x→0) h(x) = lim (x→0) (x^2 + cos(x)) = 0 + cos(0) = 1根据夹逼定理，我们可以得出结论：lim (x→0) f(x) = 0通过这个例子，我们可以看到夹逼定理的作用。
通过找到合适的上下界，我们可以间接地推断出一个函数的极限存在，并且等于两个边界的共同极限。
夹逼定理的应用不仅限于一维情况，也可以推广到二维和多维函数的极限存在性的证明。
只需要在这些函数之间建立适当的比较关系，且边界函数的极限相等，就可以使用夹逼定理来推断其他函数的极限存在性。
夹逼定理准则1
2
0
cos x 1
1 cos x
2 sin2
x
2
x 2
x2
,
2 2 2
即
x2 0 1 cos x ,
2
10
当x 0时, x 2 0,由夹逼定理知l：imcos x 1,
2
x0
再由1式及夹逼定理得：
lim sin x 1. x x 0
1
x
a a
x
a
,
x
由于
x
lim1
a a
e,
x x
令
1
a a
u,
由复合函数求极限的法则：
x
lim1
a
x
limua
ea.
x
x
ue
lim1
a
x
ea
x x
第七节 极限存在准则 两个重要极限
夹逼准则
推出
重要极限:
lim
x0
sin x x
1
应
极限存在准则
单调有界数列 推出 必有极限
重要极限:
lim1
1
x
e
用
x x
柯西极限存在准则
1
一、极限存在准则及重要极限
1.极限存在准则
①夹逼准则 （夹逼定理）
准则1：如果数列xn,yn及zn满足下列条件：
证：先设x 0, x 0, 可设0 x .
2
如图：A,C在单位圆周上,AOC x,
OC是半径,且AB OC , DC OC ,
1极限存在准则-两个重要极限(可编辑修改word版)
n 2 + i∑∑n n n n n n第一章第六节极限存在准则 两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3 分钟）。
首先给出极限存在准则（10 分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5 分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10 分钟）；课堂练习（5 分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1000 11、limn →∞i =11000 个 0 相加，极限等于 0。
n 2、limn →∞i =11 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、lim x ，其中 x = n →∞， x 1 = ，极限不能确定。
对于 2、3 就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:(1) y n ≤ x n ≤ z n (2) lim y = a , n →∞(n = 1,2,3 )lim z = a , n →∞那么数列 x 的极限存在, 且lim x = a . n →∞证： y n → a ,z n → a , ∀> 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 上 上上 n > N 1 上上上y n - a < , 上 n > N 2上上上z n - a < ,n 2+ i 3 + x n - 1 3n2+ 1 n2+ 2 n2+ nn2+ 1 n2+ n11+1n11+1n2nn取N = max{N1 , N2}, 上两式同时成立, 上a-<y n<a+,a-<z n<a+,当n > N 时，恒有a-<y n≤x n≤z n<a+,上x n -a <上上, ∴lim x =a.n→∞ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限o准则Ⅰ′ 如果当x ∈U (x0,) (或x>M)时,有(1) g(x) ≤ f (x) ≤h(x),(2) lim g(x) =A,x→x0( x→∞) lim h(x) =A, x→x0( x→∞)那么limx→x0( x→∞)f (x) 存在, 且等于A .准则I和准则I' 称为夹逼准则。
夹逼定理原理范文
夹逼定理原理范文夹逼定理（也称为夹逼原理）是微积分中的一个重要原理，它在函数的连续性、极限和导数等概念中起到了重要的作用。
夹逼定理表明，如果一个函数在其中一区间上被另外两个函数夹在中间，并且这两个函数的极限相等，那么该函数的极限也存在且等于这个共同的极限。
夹逼定理的数学表述如下：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a,b]上满足f(x)≤g(x)≤h(x)，并且limx→c f(x) = limx→c h(x) = L那么有：limx→c g(x) = L。
夹逼定理可以用于证明一个极限存在，并求得其极限值。
它是基于一个很直观的观察，即如果一个函数在其中一点附近夹在两个极限相等的函数之间，那么这个函数的极限也将等于这个共同的极限。
夹逼定理在微积分中有广泛的应用。
例如，在研究无理数的性质时，可以利用夹逼定理证明无理数的存在。
在求解极限时，夹逼定理可以帮助我们确定一个函数的极限，即使该函数的表达式较为复杂。
下面举一个具体的例子来说明夹逼定理的应用。
例题：证明limx→0x^2sin(1/x)=0。
解：对于给定的函数f(x)=x^2sin(1/x)，我们想要证明其极限等于0。
首先，我们可以找到一个函数g(x)和一个函数h(x)，使得对于x≠0，有g(x)≤f(x)≤h(x)。
考虑函数g(x)=x^2，它在整个实数轴上都非负，因此对任意x≠0，有g(x)≤f(x)。
另一方面，考虑函数h(x)=x^2，它也在整个实数轴上都非负，因此对任意x≠0，有f(x)≤h(x)。
因此，我们可以得到：x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2，对任意x≠0。
接下来，我们需要证明limx→0x^2=0。
由于x^2≥0，对任意的x≠0，显然有0≤x^2、再考虑函数g(x)=0，它处处等于0，因此对任意的x≠0，有x^2≥0≥g(x)。
limx→0x^2=0。
另一方面，对于函数h(x)=x^2，我们有limx→0x^2=0。
夹逼定理的几何解释-概念解析以及定义
年会单身活动策划方案怎么写年会单身活动策划方案第一部分：活动概述（字数：500）1.1 背景介绍在现代社会中，越来越多的人选择单身生活，因此，为了满足单身人士的需求，我们计划在公司年会上加入一些针对单身人士的活动，为他们提供交流和认识新朋友的机会。
1.2 活动目的通过这些单身活动，我们希望能够为单身人士提供一个轻松、开心的交流平台，让他们在年会期间不再感到孤单，增进彼此的了解，并有机会结识有意思的单身朋友。
1.3 活动时间和地点活动时间：在公司年会的正式晚宴结束后进行。
活动地点：在年会晚宴所在场地的一侧设立单身交流区域。
第二部分：活动内容（字数：2000）2.1 单身人士互动游戏设计一系列单身人士互动游戏，通过这些游戏的过程中，让单身人士可以互相交流、破冰，并增进彼此的了解。
例如：2.1.1 “认识新朋友”游戏将所有参与活动的单身人士分成小组，每个人向大家介绍自己的名字、兴趣爱好和职业，并告诉大家期望认识什么样的伴侣。
2.1.2 “共同目标”游戏将单身人士分为若干小组，每个小组需要完成一个任务，例如拼图、解谜等。
通过共同完成目标，增进团队合作和沟通，并培养彼此间的亲近感。
2.2 单身交流角落在年会场地内设置一个单身交流角落，为单身人士提供一个轻松愉快的聚集地点。
在这个角落中，可以设置一些小型派对桌椅，供单身人士坐下聊天、交流。
同时，提供一些小型游戏或娱乐设施，例如乒乓球桌、桌游等，让单身人士可以在游戏中互相认识。
2.3 单身相亲牵线在年会期间，为单身人士提供相亲牵线的机会。
我们可以在活动开始前通过问卷的形式了解单身人士的基本信息和期望，然后根据这些信息帮助单身人士进行合适的牵线活动。
可以设立一个专门的牵线咨询区域，由专业的人员进行咨询和牵线。
同时也可以利用现代科技手段，例如通过手机应用程序进行相亲牵线。
2.4 单身主题聚会在年会结束后的某个晚上，组织一场单身主题聚会。
我们可以选择一个有特色和氛围的场地，例如酒吧或夜总会，并提供一些特别的活动和节目，让单身人士在一个热闹、欢快的氛围中更好地互相交流和认识。
夹逼定理
夹逼定理,也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。
定义,一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：（1）当n>No时，其中No∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，（2）当n→+∞，limYn =a；当n→+∞ ，limZn =a,那么，数列{Xn}的极限存在，且当n→+∞，limXn =a。
证明.,因为limYn=a limZn=a 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1，N2，当n>N1时，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε，∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε，a-ε<Zn<a+ε，有a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε，即∣Xn-a∣<ε成立。
也就是说limXn=a二.函数的夹逼定理F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有F(x)≤f(x)≤G(x)则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)即A≤limf(x)≤A故limf(Xo)=A简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理.应用1.设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
[精品]夹逼定理
![[精品]夹逼定理](https://img.taocdn.com/s3/m/ccccca1c82c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b3c0.png)
[精品]夹逼定理在人类历史上，夹逼定理一直是一个难题。
从一开始，人类就没有完全解决这个难题。
直到人类有了更好的解决办法，所以夹逼定理才能被我们不断地使用。
现在，我们来学习一下。
我们可以从一开始就给自己定位，明确自己的目标，从而制定相应方向进行努力。
这样做是为了让你在学习的过程中变得更好。
当一个人发现周围出现一种可以用来对付他的敌人时，应该如何采取行动呢？你一定会想找一个办法来对付他。
1.先确定敌人用什么武器。
当我们要向敌人发起进攻时，我们首先会去想这个武器是用来对付敌人的还是自己用来对付敌人的就非常重要了。
比如，你发现一位同学在考试中作弊。
这是你没有采取任何行动的结果。
这时候，这个同学会采取什么办法来报复呢？如果他使用自己的武力来攻击你，那么他也会受到相应的惩罚。
但是如果他使用的是一些其它的武器呢？那他就不会受到惩罚，甚至还会受到更加严重的惩罚。
所以我们必须确定敌人用的是什么武器了？这里有一个方法是：你得先找到一个敌人是谁用的武器或其使用方法最简单、最直接的方法来判断敌我双方都用了哪些武器或方法。
2.用什么武器把他们逼到夹逼定理中的夹逼地方。
假如敌人从一开始就处在夹逼定理的夹逼地，那我们应该如何做呢？首先，我们要先确定一下对手的位置和能力，然后再做相应的准备。
由于对手是在一个不太好的地方攻击他们的，所以我们需要找一个可以对付他的地方，然后从这个地方开始，一步步往上接近他，最后让对手掉到一个更差的地方去威胁他。
接下来我们说一下这个问题究竟有多难：如果敌人不喜欢被攻击，那么这个地方必须是他不喜欢被攻击到的位置上的地方；如果有一个敌人喜欢被攻击，那么这个地方就应该是他不喜欢被攻击到的位置上的地方了。
假如敌人喜欢被攻击到这里了，那么这个地方应该是他不喜欢被攻击到的地方，这就是这个问题给我们带来的一个陷阱。
然后将你找来的东西放在那个地方。
这个东西必须和被攻击的人一模一样才行哦！当我们用别的办法来对付他们时，我们应该做哪里呢？如果大家都已经把这个方法当成一个常规武器了，那就只有一个办法可以让大家这么做了：将你找来最好的武器（也就是最简单的）放在自己需要攻击的地方，然后再找一个最适合这一种情况的武器将他们压到最差位置去。
夹逼定理证明过程
夹逼定理证明过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠夹逼定理证明过程这个神奇的玩意儿。
你想想啊，夹逼定理就像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的锁呢！它说的是，如果有两个函数从两边把另一个函数给夹住了，而且这两个家伙在某个点的极限是一样的，那被夹住的那个函数在这个点的极限也就只能是这个啦！是不是挺有意思的？
咱就好比说，有个小不点儿在中间，两边有两个大块头紧紧靠着它，这两个大块头往一个地方跑，那中间的小不点儿还能跑哪儿去呀，肯定也得跟着呀！这就是夹逼定理的精髓呢！
那怎么证明它呢？这可得好好琢磨琢磨。
咱先找到那两个夹住的函数，然后就盯着它们看呀，看它们怎么一点点地靠近那个极限。
就好像看着两个人赛跑，一点点接近终点一样。
比如说有个例子，要证明一个函数的极限。
咱就找到两个跟它差不多的函数，一个比它大，一个比它小，然后让这两个家伙在某个地方的极限相等。
这就好比找了两个保镖，一个在左边护着，一个在右边护着，把中间那个宝贝函数保护得严严实实的。
然后呢，咱就开始分析啦！看看这两个保镖怎么靠近目标的，中间那个函数是不是也得跟着一起呀。
要是这两个保镖都到了同一个地方，那中间那个还能跑哪儿去呢？肯定也在那儿啦！
这过程就像解一个谜一样，一点点地把线索找出来，最后得出答案，哇，那种感觉可真棒！
你说夹逼定理是不是很神奇呀？它就像一个隐藏的魔法，能帮我们解决好多看似很难的问题呢！咱可得把它好好掌握住，以后遇到难题就拿出来用一用，那可就轻松多啦！
总之呢，夹逼定理证明过程虽然有点复杂，但只要咱静下心来好好琢磨，就一定能搞明白。
就像爬山一样，虽然过程有点累，但爬到山顶看到美丽的风景时，一切都值啦！大家加油哦，相信你们一定能学会这个厉害的定理的！。
夹闭定理公式
夹闭定理公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一、夹逼准则及第一个重要极限
1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件
（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =
（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞
=
则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞
= .
证明 由lim n n x a →∞
=⇒0ε∀>,1N ∃,当1
n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<
又由lim n n z a →∞
=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<
取1
2
{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有
n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,
故 lim n n y a →∞
=.
上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:
2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足
(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0
,()U x x δ∈ (或x M >)时）；
(2)0
()
lim ()x x
x f x A
→∞→=，0()
lim ()x x
x h x A
→∞→=.
则 0(
)
lim ()
x x x g x →∞
→
存在且等于 A .
上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求
2
n n
→∞
+
++
+
解
因为
2111
n n
n
≤+++≤
+
又因为 lim
1,lim 1n n
→∞→∞==
所以 由夹逼准则得
21111
n n →∞
+
++
=+.
3、第一个重要极限： 0sin lim 1x x
x
→=
证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）
而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以
111
sin tan 222
x x x <<， 即 sin tan x x x <<,
从而得 sin cos 1x
x x <<.
因为函数sin x
x 与cos x 都是偶函
数，所以在区间(,0)2π
-内，
sin cos 1x
x x
<<也成立.
135
图-
故对于一切满足不等式 02
x π
<
<
的x 都有
sin cos 1
x
x x
<< 由 0
limcos 1x x →= 及夹逼准则可得
0sin lim 1x x
x
→=.
特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例
例1 求 0tan lim x x
x →
解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x
→→=⋅=.
例2 求201cos lim x x
x →-
解 201cos lim x x x →-2
2
02sin 2lim x x x →=2
0sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
2
0sin 12lim 22x x x →⎛
⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
211122=⋅=.
例3 求 1lim(1)tan 2x x x π
→-
解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则
1
lim(1)tan
2
x x x π
→-0
(1)
lim tan
2
y y y π→-=0
lim cot
2
y y
y π→=
2
lim cos
lim cos
22
sin sin
2
22
y y y
y
y
y
y
y ππππππ→→=⋅
=⋅
2
π=
.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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