夹逼定理word版

一、夹逼准则及第一个重要极限

1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件

（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =

（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞

=

则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞

= .

证明 由lim n n x a →∞

=⇒0ε∀>,1N ∃,当1

n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<

又由lim n n z a →∞

=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<

取1

2

{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有

n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,

故 lim n n y a →∞

=.

上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:

2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足

(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0

,()U x x δ∈ (或x M >)时）；

(2)0

()

lim ()x x

x f x A

→∞→=，0()

lim ()x x

x h x A

→∞→=.

则 0(

)

lim ()

x x x g x →∞

→

存在且等于 A .

上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求

2

n n

→∞

+

++

+

解

因为

2111

n n

n

≤+++≤

+

又因为 lim

1,lim 1n n

→∞→∞==

所以 由夹逼准则得

21111

n n →∞

+

++

=+.

3、第一个重要极限： 0sin lim 1x x

x

→=

证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）

而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以

111

sin tan 222

x x x <<， 即 sin tan x x x <<,

从而得 sin cos 1x

x x <<.

因为函数sin x

x 与cos x 都是偶函

数，所以在区间(,0)2π

-内，

sin cos 1x

x x

<<也成立.

135

图-

故对于一切满足不等式 02

x π

<

<

的x 都有

sin cos 1

x

x x

<< 由 0

limcos 1x x →= 及夹逼准则可得

0sin lim 1x x

x

→=.

特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例

例1 求 0tan lim x x

x →

解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x

→→=⋅=.

例2 求201cos lim x x

x →-

解 201cos lim x x x →-2

2

02sin 2lim x x x →=2

0sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

2

0sin 12lim 22x x x →⎛

⎫ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭

211122=⋅=.

例3 求 1lim(1)tan 2x x x π

→-

解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则

1

lim(1)tan

2

x x x π

→-0

(1)

lim tan

2

y y y π→-=0

lim cot

2

y y

y π→=

2

lim cos

lim cos

22

sin sin

2

22

y y y

y

y

y

y

y ππππππ→→=⋅

=⋅

2

π=

.

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）