【矩阵论】第三章Jordan标准型

dn(
x)
(
)kn1 1
A(
)
2
0
0
0
0
0 0
12
D1 1
A( ) 的非零二级子式为:
2
0
0
2
1,
0
0 12 ,
2
0
0
12
13 .
D2 1.
A(
)
2
0
0
0
0
0 0
12
又 D3 A 2 13 .
所以，A 的不变因子为 ：
d1 D1 1,
d2
D2 D1
1,
d3
D3 D2
12 .
1 0 0
2） 2 1 0 1, 0 2 1
D3 1.
2 1 0 0
A
0 0 0
2 1 0
0 0
2 0
1 2
又 D1 D2 , D2 D3
D1 D2 1. 而 D4 A 24 .
下证 f g，分三种情形：
① A( ) i, j B( ). 此时 B( ) 的每个k 级子式或 者等于 A( ) 的某个k 级子式，或者与 A( ) 的某个 k 级子式反号. 因此，f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 公因式， 从而 f ( ) g( ). ② A( ) ic B( ). 此时 B( ) 的每个k 级子式或 者等于 A( ) 的某个k 级子式，或者等于 A( ) 的某个
4）秩为 r的 矩阵的 个r行列式因子满足： Dk ( ) Dk1 ( ), k 1,2, , r 1.
例、求 矩阵的不变因子
1
A
2
0
0
0
0
0 0
12
2 1 0 0
2
A
0 0 0
2 1 0
0 0
2
0
1
2
解：1） A( ) 的非零1级子式为:
2 , , 1 2.
一、行列式因式
例1 求
1 2
A(
)
1 2 2
的各阶行列式因子。
2
解： 由于 (1 ,) 1 ，所以 D1() 1。
解：
1 2 (2 1) f () 1 2 3( 1) g()
2 1 2
显然 ( f (), g()) ，而且其余的7
各2 阶子式也都包含 作为公因子，
di ( ) di1( ), i 1,2, r 1,
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1( )d2( ) dk ( ), k 1, 2, r.
证：设 矩阵 A( ) 的标准形为
d1( )
D(
)
dr ( )
0
0
其中 d1( ), dr ( ) 为首1多项式，且
di ( ) di1( ), i 1,2, r 1,
所以 D2()
A() 3 2 D3() 3 2
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行
列式因子是不变的．
设 A( ) 经过一次初等变换变成 B( ) ，f ( ) 与 g( ) 分别是 A( ) 与 B( ) 的 k 级行列式因子．
A( ) 的不变因子为
d1 d2 d3 1, d4 24 .
例1、若12级复矩阵A的不变因子是:
1,1, ,1, ( 1),2 ( 1)2( 1), ( 1)2( 1)( 2 1)2
9个
则A的初等因子有7个，它们是
( 1)2, ( 1)2, ( 1)2, ( 1), ( 1), ( i)2, ( i)2
２、初等因子与不变因子的关系
分析: ① 设n级矩阵A的不变因子为已知：
d1( x), d2( x), , dn( x) 将 di ( x) (i 1,2, , n) 分解成互不相同的一次因式
的方幂的乘积:
d1(
x)
(
1 )k11 (
)k12 2
d2(
x)
(
)k21 1
(
)k22 2
( r )k1r , ( r )k2r ,
级子式的 ( )倍的和，即为 A( ) 的两个 k 级子式
的组合， 因此 f ( ) 是 B( ) 的k 级子式的公因式，
从而 f ( ) g( ). 同理可得， g( ) f ( ).
f ( ) g( ).
2）若 矩 阵 A的(标) 准形为
d1( )
D(
)
dr ( )
0
0
其中 d1( ), dr ( ) 为首1多项式，且
k 级子式的 c 倍. 因此，f ( )是 B( ) 的 k 级子式的 公因式， 从而 f ( ) g( ).
③ A i j B . 此时B( )中包含 i, j 两行
的和不包含 j 行的那些 k 级子式与 A( ) 中对应的 k 级子式相等； B( ) 中包含 i 行但不包含 j 行的 k 级 子式，按 i 行分成 A( ) 的一个k 级子式与另一个 k
2
0
2
1 0 0
[3[32((1)]1)]
0 0
0
0 B( ) 2
B( ) 即为 A( ) 的标准形.
例 用初等变换化λ―矩阵为标准形.
1 2
A(
)
1 2 2 2
将其化成Smiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱh标准形。
§3.2 几个因式
一、 行列式因式 二、 不变因式 三、 初等因式 四、三个因式之间的关系
第三章 Jordan标准型
§3.1 λ─矩阵
定理3.1.1 一个n阶 －矩阵A( )是可逆的充 分必要条件为行列式|A( )|是一个非零的数．
例 用初等变换化λ―矩阵为标准形.
1 2 1
A( )
2
1 2 3 1 2
解：
1 2 1 1
A(
)
[31 ]
1
2
2 3 1
0 1
1 2 1 1
[1,3 ]
0 1
2 3 1
1 2
1 2 1 1
31 0 2
0 3 2
1 0
0
[21(2 1),[31( 1)]]
0 0
2 3
2
1 0
0
[2,3]
0 0
2
2 3
1 0
0
[32( ) ]
0 0
由2），A( ) 的k 级行列式因子为
Dk ( ) d1( )d2( ) dk ( ), k 1, 2, r.
于是
d1( ) D1( ),
d2 ( )
D2( ) , D1( )
,
dr ( )
Dr ( ) Dr1( )
即 d1( ), ,dr ( ) 由 A( ) 的行列式因子所唯一确定.
所以 A( )的标准形唯一.