【矩阵论】第三章Jordan标准型

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Jordan矩阵介绍

矩阵的Jordan 标准形一、矩阵的相似对角化定义1 设A 、B 是两个n 阶方阵，如果存在阶可逆矩阵n P ，使得 B AP P =−1则称B 相似于A ，记为B A ~，可逆矩阵P 称为将A 变成B 的相似变换矩阵。

如果矩阵A 能与一个对角矩阵Λ相似，则称矩阵A 可相似对角化，也说矩阵A 可对角化。

若方阵A 不能与对角矩阵相似，则称矩阵A 不能相似对角化，也说矩阵A 不能对角化。

线性代数课程已给出了矩阵A 可对角化的充要条件：定理1（1）阶方阵n A 可对角化的充要条件是A 有个线性无关的特征向量。

n （2）若阶方阵n A 有个互不相同的特征值n n λλλ,,,21L ，则A 可对角化。

把阶方阵n A 对角化的步骤如下：（1）求出A 的特征值，设互不相同的特征值为s λλλ,,,21L ；（2）对每个特征值i λ（s i ≤≤1），求齐次方程组 0x =−)(E A i λ 的基础解系，得到对应于i λ的线性无关特征向量组{}k i i i p p p L ,,21；若全体线性无关特征向量的个数小于，则矩阵n A 不可对角化。

若线性无关特征向量的个数为，则进行下一步骤。

n （3）将对应于互不相同特征值 s λλλ,,,21L 的特征向量全体作为个列向量构成方阵，则 n ()n P p p p ,,,21L =Λ=−AP P 1为对角矩阵，其对角线上元素为A 的特征值，方阵P 的列向量的顺序与对角矩阵Λ对角线上元素顺序相对应。

二、矩阵的Jordan 标准形一个阶方阵不一定有个线性无关的特征向量，因此不一定存在与之相似的对角矩阵。

我们问：如果一个阶方阵不能与对角矩阵相似，它能否与一个分块对角矩阵相似呢？ Jordan 标准形就是为了解决这个问题。

n n n 本段中的λ可以为复数。

定义2 形如m m J ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=λλλλλ1111)(O 的阶方阵称为一个阶Jordan 块，其中m m λ为复数。

第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

上页下页返回结束1Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材：矩阵论与数值分析----理论及其工程应用上页下页返回结束2Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数邱启荣华北电力大学数理系QQIR@第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束3Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束4Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束5Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束6Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束7Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束8Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束9Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束10Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束11Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束12Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束13Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束14Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束15Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束16Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束17Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束18Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束19Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束20Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束21Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束22Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束23Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束24Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束25Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束26Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束27Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束28Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束29Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束30Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束31Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束32Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束33Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束34Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束35Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束36Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束37Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束38Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束39Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束40Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束41Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束42Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束43Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束44Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束45Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束46Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束47Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束48Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束49Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束50Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束51Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束52Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束53Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束54Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束55Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束56Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束57Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束58Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束59Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束60Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束61Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束62Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束63Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数。

矩阵理论-第三章-矩阵的Jordan标准型.ppt

因此 A10 A6 8A A6(A4 E4 ) 8A 8A
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 m n 型的 –矩阵 A() ，作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A() 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵，如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ，则称 A() 与 B() 是等价的，记作 A() B() ．
推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列式因子，记为 Dk () .
由定义知 Dn() 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk () | Dk1() (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
( 1)2
1
Hale Waihona Puke 1c1c3 c2 c3
( 1)
( 1)2
化为 Smith 标准形，其不变因子为 d1() 1 ， d2() ( 1) ， d3() ( 1)2 .
方法二用定义计算根据最大公因式的计算，知行列式因子为
D1() 1 D2() ( 1) D3() 2( 1)3
以上 i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s .
定义 3.5 di (), i 1,2, , r 的如上因式分解式中，所有幂指数不为 0 的因式
( j )kij
( i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s )，称为 A( ) 的初等因子. 全体初等因子的集合称为初等因子组.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，

矩阵论第三章答案

d1 (λ ) = L = d n −1 (λ ) = 1 ， d n (λ ) = (λ − a )
n
因此初等因子只有一个，即有 (λ − a )n .
11. 证：
A（ λ ）与 B（ λ ）相抵当且仅当它们有相同的不变因
子，当且仅当它们的各阶行列式因子相同.
1 1 ⎤ ⎡λ − 2 ⎢ 12. 解：（ 1 ）因为 λI − A = ⎢ − 2 λ + 1 2 ⎥ ⎥ 的初等因子为 ⎢ − 1 λ − 2⎥ ⎣ 1 ⎦
0 0 ⎤ r2 − (− 1)r3 ⎡1 0 0 ⎤ c 2 − (2λ − 1)c1 ⎡1 ⎢0 ⎥ ⎢ 2 λ − λ ⎥ ⎯⎯ ⎯ λ2 ⎥ ⎯⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ⎯→ ⎢0 λ ⎥ 2 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ c3 + (− λ )c1 ⎢ ( ) r + 1 − λ r 0 λ − λ − λ − λ 0 0 − λ − λ 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2. 解：（ 1）因为 A 的特征矩阵为
⎡λ + 1 ⎤ ⎢ ⎥ λ+2 ⎢ ⎥ A(λ ) = λI − A = ⎢ ⎥ λ −1 ⎢ ⎥ λ − 2⎦ ⎣
所以 A（ λ ）的行列式因子为
⎡1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1⎦
不变因子为
d 1 (λ ) = D1 (λ ) = 1, d 4 (λ ) = D4 (λ ) D3 (λ ) d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1,
10. 解：
因为 A(λ ) = (λ − a )n ，所以 Dn (λ ) = (λ − a )n ，又因
c1 λ − a c2 O
O
= c1c 2 L c n −1 ≠ 0 ，
λ − a c n −1

矩阵论-Jordan标准型

d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵，其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.

第3讲(3)Jordan标准形

17
[方法2] 用初等变换，把J(λ)=λE − J化成 (6.4.1)的形式.
⎡λ − a
(λ
E
−
J
)
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
18
3
⎡0 ⎯c⎯1+c2⎯×(λ⎯−a⎯)→ ⎢⎢(λ − a)2
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
r2 + r1×(λ
ξ3=[2，1，−6]′；ξ2不是A的特征向量，但将ξ2代入Aξ2=ξ1+ξ2 即 (A−E)ξ2 = ξ1. 便可解得.
42
7
因此取
⎡⎢0 ⎢
−1 2
2
⎤ ⎥
⎥
P = [ξ1,ξ2 ,ξ3 ] = ⎢0 0 1 ⎥ ,
⎢⎢1 0 −6⎥⎥
⎣
⎦
就可使
⎡1 1 0⎤ P −1AP = J = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
0 0⎤ ⎥
1
1
⎥ ⎥
0 1 ⎥⎦
⎡1 1
或
⎢ ⎢0
1
⎢ ⎢⎣
0
0
0⎤
0
⎥ ⎥
−2
⎥ ⎥⎦
36
6
例6 设
⎡ 1 2 0⎤
A
=
⎢ ⎢
0
2 0⎥⎥
⎢⎣−2 −2 1⎥⎦
问：A是否与对角阵相似？如不与对角阵相似，求可逆矩阵P，使得P−1AP为 Jordan标准形.
37
解 λ −1 −2 0
λ E − A = 0 λ − 2 0 = (λ −1)2(λ − 2) 2 2 λ −1

矩阵论—矩阵的Jordan标准形

所以，A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子，由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。

第3章_Jordan标准型

4. 初级因子和Jordan块的关系:一一对初级因子和Jordan块的关系块的关系: 应 Jordan block 初级因子
(λ − λ 0 )
k
λ0 ⋱ λ0 k × k
Examples : 1 2 1 −1 − 2 6 1 0 2 A= , B = − 1 0 3 , J 0 = 0 0 2 −1 −1 4 0 0 3 0 0 1 0 , 2 1 0 2
哈密顿， (Hamilton， Rowan,1805哈密顿，W．R．(Hamilton，William Rowan,18051865)爱尔兰人 1865)爱尔兰人．爱尔兰人．哈密顿自幼聪明，被称为神童．哈密顿自幼聪明，被称为神童．他3岁英语已读得非常岁时是不错的地理学者；好，4岁时是不错的地理学者；5岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史岁掌握了意大利语和法语，觉得英语过于平庸，诗；8岁掌握了意大利语和法语，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语岁不到开始学习阿拉伯语、用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语...；他极想学习汉语，但是太难搞到书。14岁时岁时，亚语...；他极想学习汉语，但是太难搞到书。14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．而出尽风头．主要贡献：力学、数学、光学．主要贡献：力学、数学、光学．
3 2
− 3 3 − 2 A = − 7 6 − 3 1 −2 2 g ( A) = A3 + 4 A2 − 5 A − 7 E

第3,4,5节Jordan标准形

并且对于Jordan块矩阵有
ik J ik
1 Ck k 1 Ck2k 2
ik
1 Ck k 1

Ckni 1k ni 1 ni 2 k ni 2 Ck C ni ni k 1 k 1 i Ck ik
1 1 1 令 P [1 , 2 , 3 ] 1 1 0 1 0 1
第4步写出对角化形式
3 则 P 1 AP 3 3 3
问：
如果
3 令 P [ 2 ,1 , 3 ] ，则 P 1 AP 3
1 * * 2 U H AU T * n
由于AAH A H A, 所以TT H T H T ,
再利用引理知T对角矩阵.
因此U H AU T diag (1 , 2 ,, n )
（7）设是方阵 A 的特征值, 对应的一个特征向量 x 则 (1) k 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。
(2) 2 是 A2 的特征值，对应的特征向量仍为 x。
(3) 当 A 可逆时， 1 是 A1 的特征值，对应的特征向量仍为 x。
设推广：是方阵 A 的特征值， k 是 Ak 的特征值。则
第2步求线性无关的特征向量，即求 (i E A) x 0 的基础解系
1 3
1 (1,1,1)T
2 3 3 2 (1,1,0)T , 3 (1,0,1)T
1 , 2 , 3 线性无关，
第3步如有n个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵P(P可逆)
第三章相似矩阵

第三章特征值与矩阵的Jordan标准型

74
则
AU1 = U1
λ1 0 . . . 0
c12 c13 · · · c1n C1
.
由于 C1 为 n − 1 阶矩阵, 由归纳假设, 存在 n − 1 阶酉矩阵 U2 使 b22 b23 · · · b33 · · · ∗ U2 C1 U2 = B1 = .. . b2n b3n . . . bnn 为上三角矩阵. 令 U = U1 则 U ∗ AU = 1
证注意 P 是第三种初等矩阵, P −1 = I − αEpq . 故 P −1 A 仅将 A 的第 q 行的 −α 倍加到第 p 行, 因此所得矩阵仍是上三角矩阵且不改变 A 的对角线; AP 的意义类似. 因此知 B 是与 A 的主对角线相同 (包括顺序) 的上三角矩阵. 直接计算可得 bpq . 例 3.1.1 设 λ1 = λ2 , P = I −
0. 故由分块 Schur 三角化定理, 可设 A = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中 Ai 是特征值均为 λi 的 ni 阶上三角矩阵. 则 f (A) = (A − λ1 I )n1 (A − λ2 I )n2 · · · (B − λs I )ns . 由例 3.1.2 可知, 对每个 i, 均有 (Ai − λi Ini )ni = 0, 故上式的第 i 个因子 (A − λi I )ni 的第 i 个块为 ni 阶 0 矩阵, 从而整个乘积等于 0 矩阵. 由于 n 阶矩阵 A 的特征多项式是 n 次多项式, Cayley-Hamilton 定理表明, A 的 n 次幂可由其较低次幂的线性组合给出, 因此, A 的高于 n 次的幂可由其低于 n 次的幂的线性组合给出, 故对任意自然数 m, 有 Am ∈ Span{I, A, A2 , · · · , An−1 }. 换句话说, n 阶矩阵 A 的任意次幂均属于由 I, A, A2 , · · · , An−1 生成的 Mn (C) 的子空间. 这就提供了一种计算高次幂的降幂算法. 例 3.1.3 设 A= 求 A2 , A3 , A4 . 解 A 的特征多项式为 f (λ) = λ2 − 4λ + 1, 所以 A2 − 4A + I = 0. 故知 A2 = 4A − I, A3 = 4A2 − A = 15A − 4I, A4 = 15A2 − 4A = 56A − 15I. 命题 3.1.1 (Sylvester 降幂公式) 设 A 与 B 分别是 m × n 与 n × m 矩阵, m ≥ n. 则 |λIm − AB | = λm−n |λIn − BA|. 证注意下述分块矩阵的恒等式: I B 0 I 因此, 矩阵 C1 = BA 0 A 0 与矩阵 C2 = 0 0 A AB 0 0 A AB = BA BAB A AB = BA 0 A 0 I B 0 I , 2 3 1 2 ,

第三章矩阵论

设n阶矩阵A的互异特征值 1 (n1重), 2 (n2 重)
，，s (ns 重)， ni n，A的特征多项式是
i 1 s
f ( ) I A ( 1 )n1 ( 2 )n2 ( s )ns
则A的最小多项式必有如下形式，
m( ) ( 1 )m1 ( 2 )m2 ( s )ms
定义次数最低且首项系数为1的矩阵A的化零多项式, 称为A的最小多项式, 记为 m( ) .
定理3.8 多项式 ( ) 是矩阵A的化零多项式当且仅当 m( ) ( ) . 特别地, 有 m( ) f ( ) , 其中 f ( )是A的特征多项式.
推论1 矩阵A的最小多项式是唯一的. 定理3.9 矩阵A的特征多项式、最小多项式有相同的根.（重数可能不同）
1
的特征向量；
X 21 , X 22 , X 2l2是属于的特征值 2 的特征向量；
X k 1 , X k 2 , X klk 是属于的特征值的特征向量； k
则
X11 , X12 , X1l1 , X 21 , X 22 , X 2 l2 ,, X k1 , X k 2 , X klk
定义若A 经有限次初等变换后变为 B , 则称 A B 相抵.记为 A B . 与相抵关系是方阵的一种等价关系，具有 1.自反性 2.对称性 3.传递性
定理： B 的充要条件是存在两个可 A 逆矩阵 P 与 Q ，使得
AX X
例已知三维线性空间V的基 1 , 2 , 3 ，线性变换T满足， T 1 1 2 2 2 3 T 2 2 1 2 2 3 T 3 2 1 2 2 3 求T的特征值与特征向量.

矩阵理论第三章矩阵的Jordan标准型[可修改版ppt]

若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是它的不变因子.
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ； 2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ． 3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
那么 A( ) C( ) ．
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵，分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
例 3.1 –矩阵
1
A(

矩阵论—Jordan标准形

P( i , j ) -1 = P( i , j ) ,
P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) , P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) .
由此得出初等变换具有可逆性：设 - 矩阵 A() 用初等变换变成 B()，这相当于对 A() 左乘或右乘一个初等矩阵. 再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B()
2. - 矩阵的Smith标准形
初等变换的定义
定义下面的三种变换叫做 - 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行(列)互换位置； (2) 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c ； (3) 矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵 .
就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由
B()可用初等变换变回 A() . 我们还可以看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是为了使 P( i(c) ) 可逆的缘故.
- 矩阵的等价
定义 - 矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果
可以经过一系列初等变换将 A() 化为 B() .
a11 ( ) A( ) a ( ) i1
a1 j ( ) aij ( )

a11 ( ) 0
a1 j ( ) aij ( ) a1 j ( ) ( )

a11 ( ) 0 = A1() .
P[] 的元素,就称为 - 矩阵.
讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上
关于若尔当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在

矩阵论第3章矩阵的Jordan标准形

数余子式等概念．
定义 3.1.2 设 - 矩阵 A() P[]mn ，若 A() 中有一个
r(1 r min{m, n}) 阶子式不为零，而所有 r 1阶子式（如果有的话）全为零，则称 A() 的秩为 r ，记为 rank(A()) r ．
进一步，若 n 阶－矩阵 A() 的行列式 A() 不等于零，则称 A() 是满秩的．
．
所以 rankA() rankB() 2 ．但由矩阵的初等变换可知，如果 A() 与
B() 等价，则 A() 与 B() 之间只能差一个非零常数因子，而 A()
与 B() 不满足这一条件，所以 A() 与 B() 不等价．
这个例子说明，秩相等不是－矩阵等价的充分条件．
3.1.3 －矩阵的Smith标准型
第3章矩阵的Jordan标准形
－矩阵的理论和矩阵的 Jordan 标准形不但在矩阵理论与计
算中起着十分重要的作用，而且在工程上的控制理论、系统分析、
力学等领域具有广泛的应用．本章主要讨论－矩阵的概念与基本性质，及其 Smith 标准形，然后利用－矩阵的理论导出矩阵的
Jordan 标准形，最后给出矩阵的 Cayley－Hamiltom 定理．
a 11 0
a11b22
a11b12 c22 a11b12b21
（第二行加到第一行）
a11 0
a11b12
a11b22 c22 a11b12b21 a22 a11b12b21
a 11 0
a11b12 (1 a22
b21 ) a22 a11b12b21
元素 a11b12 (1 b21 ) a22 不能被 a11 整除，这就将
（1）第一行存在元素不能被 a11 整除：

第三节Jordan标准型3

0
0 0 0 0 1/ 3 1 0
P −1
1 0 = 0 0
0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 3 0
1 0 0 1/ 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 1 0
1 0 −1 P AP = 0 0
选
* p21 = k1 p11 + k 2 p21
3k 2 − k1 = k1 k 2
k1 , k 2待定。
− 2 − 2 6 x1 3k 2 − k1 − 1 − 1 2 x2 = k1 − 1 − 1 2 x k 2 3
(
)
0 1 0 0
= p1 p2 p3
(
λj 1 0 λj L L pk j 0 O M 0 0
)
λj 1
O O L 0
0 0 0 1 λj
= (λ j p1 λ j p2 + p1 λ j p3 + p2 L L λ j pk j + pk j −1 )
− 1 p11 = 1 0
3 p21 = 0 1
( A − λ1E )x = p11
− 2 − 2 6 x1 − 1 − 1 − 1 2 x2 = 1 − 1 − 1 2 x 0 3
1 0 − 2 2 − 1 − 8 1 − 1 0 0 2 − 1 0 − 2 0 1 0 0 − 1 − 6 − 1 1 4 0 2 −1 0
0 − 2 0 − 8 1 − 1 − 2 = − 1 − 8 0 1 0 0 = 0 1 6 1 2 − 1 0 0