大学物理振动波动课件

2 (2) x0 = − A v0 > 0 2
A 1
4.
− A P ϕ2 同频率) 相位差 (同频率 − A/ 2 o 同频率
v0
ϕ 1
— 两振动“步调” 两振动“步调”
v0
3 π 4 π ϕ2 =π + = 3 3 +A v x A v 2
ϕ2
3
A 1
x
相位差 o ∆ϕ = (ωt +ϕ2) −(ωt +ϕ1) =ϕ2 −ϕ1 (初相差 初相差) 初相差
v
− 0 . 08 − 0 . 04
o
x/m
0 . 04
0 . 08
14.
m = 0.01 kg, A = 0.08 m, T = 4 s , t = 0,x = 0.04 m,v0 < 0 最短时间 求(1) t = 1.0 s, x, F (2) x = 0.04 m 到-0.04 m最短时间 v
k m ∆ l0 k1 k2 m
讨论: 讨论
判断振动性质， 动力学分析 — 判断振动性质，求固有量 (动和静 平衡位置，偏离量 (θ )、力(矩)分析 动和静)平衡位置 偏离量x 分析… 动和静 平衡位置， 、 矩 分析
5.
二.简谐运动的运动学描述
1.振幅 A 振幅 最大位移 A = xmax 表征能量 2.周期与频率 周期与频率 x = Acos(ωt +ϕ) = Acos[ω(t +T) +ϕ]= Acos(ω t +ϕ +2π) 比较 ωT = 2π 2π 即 ω = = 2πν T
第九章
概述
振动
振动、 振动、波动 — 横跨物理学所有领域
一.广义振动 — 物理量在中心值附近作周期性变化
1. 机械振动 特征 形态 位置或位 移 运动学— 运动学 周期性 动力学— 恢复力 动力学 轨迹 — 直线或曲线
平动(质点 或转动(刚体 质点) 刚体) 形式 — 平动 质点 或转动 刚体 2. 非机械振动 电磁振荡、交流电…… 电磁振荡、交流电 以上具有相似物理规律和研究方法
注
a. x — 平衡位置 量度 b. k、ω — 固有性质 与初始条件无关 A、ϕ — 初始条件 与固有性质无关 c.
x = Acos(ω t +ϕ)
dx v = = −Aωsin ω +ϕ) ( t dt v
m
t 或(ω t +ϕ ) 周期性函数
dx a = 2 = −A 2 cos(ω +ϕ) ω t am dt
1.
二.最基本的振动 —— 简谐运动
简谐运动
叠加 分解 一维平动 — 弹簧振子 复摆（含单摆） 一维转动 — 复摆（含单摆）
复杂振动
理想模型
2.
9－1 简谐运动 振幅 周期与频率 相位 v l0 一.简谐运动 k F
弹簧振子(一维平动 一维平动
−A 集中质量＋弹性系统 集中质量＋弹性系统) 以平衡位置为原点、 以平衡位置为原点、建立图示坐标系
正角， Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限 正角，
状态 相位 一 一对应
−π 3
二.旋转矢量法
1. 表示谐振动（三要素） 表示谐振动（三要素）
v0 x
x = Acos(ω − ) t 3 2. 描绘 －t 曲线 描绘x
π
o
A
v x0 P
ω
3. 确定初相位ϕ (或相位 (几何法 或相位) 几何法) 或相位 几何法
11.
讨论:如振子 ， 时处于下状态， 讨论:如振子P，t = 0 时处于下状态，求ϕ A π 2 π (1) x0 = − v0 < 0 ; 由图知 ϕ =π − = 1 v
2 第一次到达 x = A 处的速度和 2
x ( cm)
2
−1 −2
分析: a. 简便路径 用旋矢法求ϕ 分析: 简便路径:
b. 旋矢图
2 π 由图知 ϕ = 3 11 π α1 = =ω t =ω ∆ 6
o
0
1
t ( s)
和ω ,并结合相位法求第三问 A 并结合相位法求第三问 v
ω
−2
v A 1
讨论: 比较：解析法、旋矢法、相位法 讨论: 比较：解析法、旋矢法、
v A 2
ϕ1
图(a)
ϕ 规定 ∆ ≤π逆时பைடு நூலகம்在前为超前
超前x 对(a)图 x2超前 1 (ϕ2－ϕ1)≤π 图 (b)图 x1 超前 x2 图 π/2 或 x2滞后 x1
3 π 2
v A 1
x
o
v A 图(b) 2
π/2
12.
如
步调一致” 同相 “步调一致” ±2kπ K = 0,12,L , ∆ϕ = ) 步调相反” ±(2k +1 π x 反相 “步调相反” x x v x v
−(m sinθ + F) = m t g a 2 2 Fr = m α r d2θ 5 2 = − 2θ ω dθ 2 dt at = (R−r) 2 dt (sin θ ≈θ) at = rα 7(R−r)l T = 2π 5g
R
θ v F T
c
r
v F
v m g
18.
[例2] 细杆(m,l )竖直时,水平轻质弹簧 k )处于 例 细杆( 竖直时,水平轻质弹簧( 处于 自然状态, 求细杆作小幅摆动时的周期T。 自然状态, 求细杆作小幅摆动时的周期 。
A 1
o
v A 2
A 1
o
t
v o A 2
o
t
v A
+A x
ϕ =ϕ2 =0 1
ϕ1 = 0,ϕ2 =π
5. ∆t 或ω
－ 如振子由初始状态 ( x0=－A/2 , v0<0)
回到平衡位置(第一次 回到平衡位置 第一次) 第一次 − A − A/ 2 π π 5 π 由旋矢图知 ω∆t =α = + =
讨论: 讨论
动力学分析步骤? 动力学分析步骤
19.
9－4 简谐运动的能量 －
以弹簧振子为例
1 2 1 t :系统能量 Ek = m = m 2A2 sin 2(ωt +ϕ) v ω 2 2
1 2 1 2 2 2 EP = kx = m A cos (ωt +ϕ) ω 2 2 1 2 1 2 1 2 E = Ek + EP = m + kx = kA =C 守恒 v
8.
9－2 旋转矢量 － 一.简谐运动与匀速圆周运动
v 如图所示 旋转矢量 A
t = 0 (M0 , P0 )
t (M , P)
y
v M ω A ω t +ϕ M0 v
v vm
o
ϕ
v an
ωt + ϕ
π ωt +ϕ + v 2
A
A
P P0
ω
x
x
v v o a v
x
9.
矢端M 矢端
匀速率 运动性质 圆周运动
x0 = Acosϕ v0 = −Aωsin ϕ
v0 2 2 A= x0 +( ) ω = arctan −v0 ) — 任意角(4个象限) 任意角(4个象限) (4个象限 ϕ ( ω0 x x0 或 ϕ = arccos 再结合 0(>0、= 0、<0)判断 再结合v A
转动正向 O
θ l
*C
有
d2θ m gl = −( )θ 2 dt J
mgl (ω = ) J
2
v P
（C点为质心） 点为质心） 点为质心 转 动 正 向
二.单摆 (数学摆 — 复摆一个特例 数学摆) 数学摆
J =m l
2
θ =θm cos(ω +ϕ) 运动方程 (准谐振动 A t 准谐振动) 准谐振动 θ l 2π J T= = 2π l — 质心 c 至转轴 o 距离 v ω mgl F
分析: 分析:
− 0 . 08 − 0 . 04
o
x/m
0 . 04
0 . 08
a. 先求运动方程(三要素 ,其中ϕ 为关键 三要素) 三要素 其中
解析法
b. ϕ 和∆t 求解 旋转矢量法 如ϕ : 解析法 由 x0 = 0.04 = 0.08cosϕ
v0 = −Aωsin ϕ < 0→sin ϕ >0
d. 推广 — 角谐振动 θ < 5° ( 9－3 ) 角谐振动( ° － )
4.
2
[例] 证明下列振动仍为简谐振动,并求固有量 ω ) 例 证明下列振动仍为简谐振动 并求固有量(k, 并求固有量 （1）将弹簧振子竖直悬挂，已知平衡时弹簧 ）将弹簧振子竖直悬挂， 伸长量为∆ 伸长量为∆l0 （2）如图所示，两弹簧串联，水平面光滑 ）如图所示，两弹簧串联，
投影点P 投影点
简谐振动 角频率 相位 初相位
关系
合与分 数值相等 同上 同上
ω
角速度( 角速度(逆)
(ω t＋ϕ ) t 时角位置 ＋
ϕ
t = 0 角位置
y
v vm
v anv
A
ωt + ϕ
π ωt +ϕ + 2
M
ω
v v o a vP
x
10.
注
a. 规定
＋ － Ⅳ象限 负角
b.
旋矢图
一般： 一般：
分析: 分析: 偏离θ
对o : −[m l sinθ +klsinθ(l cosθ)] = 1m 2 d θ g l 2 3 dt2 o θ 很小时 sinθ ≈θ cosθ ≈1 很小时,
2
θ
有 −(mg l +kl2)θ = 1ml2 d θ 2 3 dt2
2
v m g
L
v F
K
2ml ∴ = 2π T 3(mg +2kl)
2 2 2
能量 总能量 势能 动能
Ep
C
E E k
O
B
o
T 4
T 2
3T T 4
t
Ep
−A
x
+A
x
20.
讨论: 讨论
能量法 —— 判断广义简谐运动 简谐运动——能量特征 能量特征——能量守恒 简谐运动 能量特征 能量守恒 以弹簧振子为例： 以弹簧振子为例： 振子偏离平衡位置 x 时
1 2 1 2 E = m + kx =C v 2 2
x
A
T
T 2
o
−A
t
单位时间,全振动次数的 π 单位时间,全振动次数的2π倍
ω、T、ν — 固有量，取决振动系统动力学特征 固有量，
弹簧振子固有周期
m T = 2π k
6.
x 由前知 v f [(ωt +ϕ)] ⇒“ωt +ϕ” t 时状态(相) — 相 a
3. 相位
x = Acos(ωt +ϕ) ωt +ϕ = ±2kπ k = 0,1,2,… x = A ,v = 0 π ωt +ϕ = ±2kπ x = 0 ,v < 0
l T = 2π g
O
T
v P17.
m
[例1]一半径为 r 的均质球 可沿半径为 R 的固定 例 一半径为 的均质球,可沿半径为 大球壳的内表面作纯滚动(如图 如图)试求圆球绕平衡 大球壳的内表面作纯滚动 如图 试求圆球绕平衡 位置作微小运动的动力学方程及其周期. 位置作微小运动的动力学方程及其周期 O 矩 分析 分析: 分析: 偏离θ 力(矩)分析
m m
o x
A
x
偏离x 偏离
∑F = F =−kx
2
动力学方程
k：劲度系数、一般为振动常数 ：劲度系数、
dx k 2 = − x = − x 运动微分方程 ω 2 dt m k 2 ω ：角频率 ω = — 系统属性
x = Acos(ωt +ϕ)
m
等 价 判 别 式
运动方程
3.
A、ϕ ：积分常数 — 初始条件
P α o
6. 谐振动合成 9－5) 谐振动合成( －
3
2
6
由此 ω与∆ t 可互求
13.
三.谐振动的运动学分析
1. 已知运动方程 一系列物理量 已知运动方程→ 2. 由已知条件 运动方程(确定三要素 →其它物理量 已知条件→运动方程 确定三要素 确定三要素) 其它物理量
[例1] 一质量为 例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振 的物体作简谐运动， 的物体作简谐运动 幅为0.08 m,周期为 s,起始时刻物体在 x = 0.04 m 幅为 ,周期为4 , 轴负方向运动（如图） 试求: 处,向ox 轴负方向运动（如图）.试求: (1) t=1.0 s时,物体所处的位置和所受的力； 时 物体所处的位置和所受的力； (2) 由起始位置运动到 x = -0.04m处所需要的最 处所需要的最 短时间. 短时间.
π 2 第一次到达次 x = A 处相位 ωt +ϕ =α2 = − 2 4
α1 P ϕ 1.414 x(cm) −1 o α2 2 v A
16.
9－3 单摆和复摆 － 一.复摆 (物理摆 — 一维角谐振动模型 物理摆) 物理摆
如图 偏离平衡位置θ M = −mgl sin θ 如 θ <5o sinθ ≈θ M = −(m )θ ( K = mgl ) gl
2 x =－A ,v = 0 ωt +ϕ =π ±2kπ － 3 π x = 0 ,v > 0 ωt +ϕ = ±2kπ 2 π
(或 − )
2
一般取k= 一般取 0 描述 ±2kπ—重复性 π 重复性
如 t = 0 则ϕ — 初始状态
7.
4. 常数 、 的确定 解析法 常数A ϕ 的确定( 解析法) t=0
旋矢法 由旋矢图
π 知 ϕ= 3
π ϕ =± 3
ω
x/m
15.
π 判断 ϕ = 3
A
o
π 3
0.04 0.08
[例2] 一简谐运动的 x – t 曲线，如图所示，求： 例 曲线，如图所示， 运动方程,并用旋矢表示之； (1) 初相ϕ ； (2) 求运动方程,并用旋矢表示之； (3) 加速度。 加速度。