弧度制

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弧度制

[类题通法] 1．常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
区域角的表示
例5 写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
S={α|-450+k·3600≤α≤1200＋k·3600,k∈Z}
弧 • 弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
度 • 符号表示：rad
制 • 读作：弧度
圆周360°是多 l
B
少弧度呢？
r
1rad
O
A
2π=360°
由： 2π=360° 得： π=180°
1 = rad
180
1rad=

180

57.30
我们在上次课中知道了角因为旋转方向不同会形成正角，负角，零角。那用弧度制表示时又是怎样的呢？
象
y
限角第二象限第一象限源自x0第三象限第四象限
何谓“象限角”？
角的终边在第几象
限，我们就说这个
角是第几象限角。
y
角的顶点与原点重合
角的始边与x轴的非负半轴重合
x 0
— *—
三、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S { | k 360 0, k Z}
第二节弧度制
03 弧度与角度的转换
弧
度
1、用弧度表示下列各角的大小：
制
60°、90°、-60°、-270°
2、用角度表示下列各角的大小：
5 5
6 4 18

弧度制

弧度
若l= 3 r，则∠AOB=
l r
=3弧度
B
l=2r
2弧度
Or A
3r
3弧度 B
Or A
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它
所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度
数的绝对值是
l r
= 3，
即∠AOB=－
l r
=
－3弧度
O rA
B
-3弧度
l=3r
1、弧度制的定义：
（1）1弧度角的规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.单位符号为rad.
(2)孤度制的定义：用弧度作单位来度量角的单位制叫弧度制.
问题:
1、为什么可以用等于半径的弧所对的圆心角来作为度量角的单位？这个角是否与所取的圆的半径大小无关呢？弧长与半径的比值是否与圆的半径无关？
一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关.
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负
弧度制（一）
复习
• 角度制的定义 • 规定周角的1/360为1度的角，这种用
度做单位来度量角的制度叫角度制。
60°
90°
1、弧度制
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 B
设弧AB的长为l，
若l=r，则∠AOB=
l r
=1
弧度
l=r
1弧度
Or A
若l=2r，则∠AOB=
l r
=2
l r
= 2π弧度
此角为周角即为360°
360°= 2π 弧度
l=2 π r
2π弧度
O r A（B）
180°= π 弧度

弧度制

２rad 思考：如果圆半径为r，弧长为 l ，则该弧对应圆心角为： l
r
例１．已知弧AB=３ r＝２，求∠ＡＯＢ
解：∠ＡＯＢ＝＝
B
3 2
AB r
o
A
已知∠ＡＯＢ＝2， r＝２．解： ∠AOB r AB
的长， B 例２，求 AB
o
2 2 4
/ 360 k 45 , k Z
练习2
（１）用弧度表示终边在-６０°上的角的集合．（２）用弧度表示终边在Ｙ轴上的角的集合．
练习3
∠ＡＯＢ＝６０°，半径r＝２．求∠ＡＯＢ所对的圆弧的长．
回顾小节１．弧度制公式：
２．１°＝

180
l r
弧度
180 ° １弧度＝３．终边相同的角．
课外作业：Ｐ６４．Ａ组，１／（２），５；Ｂ组，１课后思考：用弧度表示终边在Ｘ轴上的角的集合．

4
3
2
2 3
3 4
5 6

3 2 2
例５．把弧度化成度 4
180 解：弧度 4 4
45
0

0
例６．用弧度表示终边在 4
上的角的集合．分析：＝45° 4 用角度制表示：
o o
解： / 2k , k Z 4
2
例４．把２２°３０′化成弧度制．解：因为２２°３０′ ＝２２．５° 所以２２．５° ＝２２．５×１° ＝２２．５× 弧度 180 ＝弧度
8
练习：
（1）把1000°化成弧度制。
（2）把-210°45′化成弧度制。

1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算(技术总结

的所对的圆心
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
4. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
②平角、周角的弧度数：平角= rad 、周角=2 rad.
③ ∵ 360 =2 rad ， ∴180 = rad ∴1 = 1 rad
例3. 填写下表：
角度 0 ° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度
π
角度 270° 300° 315° 330° 360°
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度 ”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度 ”为单位来度量角的单位制； 1弧度≠1º ;
（2） 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
心角的大小，而1度是圆周
弧度
2π
5. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： ① 弧长公式：
由公式：
比公式
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积. ②扇形面积公式
其中l 是扇形弧长，R是圆的半径。
例1
【解析】根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误 . 【m ，当它的半径和圆心角

1.1.2弧度制

弧度制基础归纳：1、弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．2、弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2. 其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．知识点一弧度制的概念1、定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，读作1弧度.2、如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值|α|＝lr3、约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.4、用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．例1、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ C ） A ．所对弧长相等 B ．所对的弦长相等C ．所对弧长等于各自半径D ．所对弧长等于各自半径知识点二角度制与弧度制互换1、将角度化为弧度2、将弧度化为角度例1A. 6π radB.－6π rad C. 12πrad D.－12πrad例2、将下列弧度转化为角度：（1）12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）613π= °；例3、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ；答案： 15 -157 30； 390 5π；127π-；245π．知识点三弧长及扇形面积公式1、弧长公式2、扇形面积公式例1、半径为πcm ，中心角为120o 的弧长为（ D ）rad π2360=︒rad π=︒18001745.01801≈=︒rad πrad n 0=︒=3602π︒=180π(0=n rl •=α22121r r l S •=•=αA ．cm 3πB ．cm 32π C ．cm 32πD ．cm 322π 例2、(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？(1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12. (2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R ，则圆内接正方形的对角线长为2R ， ∴正方形边长为2R ，∴圆心角的弧度数是2RR＝ 2. 答案： 2巩固练习：1、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 2、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．3、某种蒸汽机上的飞轮直径为1.2m ，每分钟按逆时针方向转300周，求: （1）飞轮每秒钟转过的弧度数。

弧度制

6 6 12
12
3.下列命题中正确的命题是(
D
)
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比
是 1∶ 2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一
对应关系
4.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两
个扇形周长的比为( C )
r l 6 r 2 2 l 1 l2 r
1 ∴扇形面积 S rl 2(cm)2 2
O
例3. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求
扇形中心角的弧度数
A B
解：设扇形圆心角的弧度数为 (0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
O
l 2都市仙灵恋爱吧，大首席官！我不是变种人绝品富二代；
水满脸,但是她却没有像月倾城一样,反而用手狠狠一擦眼泪.然后,用手在月倾城后脑重重の敲了一下,直接将月倾城敲晕了.和旁边の夜斧一点头,两人更加拼命の朝北方飞去. "月家,练家子,集体灵魂攻击,前面の异族！白家练家子准备偷袭."月姬看了一眼,远去の月倾城她们,对着身后の月家强者和白家强者下达了开战命令.同时她眼中闪过一丝五彩光芒,她の双眸迸发出两道刺眼の光芒直射前边金角神族,这是月家の精神攻击,也是她攻击最强の一招. 同时她の身后十多名月家帝王境强者,眼睛同时亮了起来,无数道金色の光芒爆射而出,直接对着前方の金角神族.白家の帝王境强者却是同时战智合体,各种武器握在手中,绕过月家女子,集体朝前面第一名金角族人扑去. 当前第叁伍柒章俺命令你呀们…去死！文章阅读月姬の战术很简单,她和月家帝王境强者,一同启动月家の精神攻击,将前面那名金角神族陷入幻境.请大家检索（品@书￥网）看最全！更新最快の哪怕…只要能陷入短短の一秒钟时候,白家近十名强者就可以偷袭成功.只要击杀一名金角神族.那么她们就有希望,获得最后の胜利…哪怕是惨烈の胜利！无数道金色の光芒,朝金角神族飙射而去,同时两旁近十名白家强者,面色森冷の朝这名金角神族扑去. "夜战八方, 杀！" 白家长老们将战气运转到最强状态,身形如电,分别手持刀枪斧剑,朝前方激射.但是却都没有出手,而是在月家无数道光芒射到了前方の金角神族眼睛上,才集体大喝一声.每人の武器上,同时冒出滚滚刀浪,速度再次提升一分,贴近金角神族,狠狠の劈下. "咻！" 无数道金色光芒直接射到了金角神族眼中,顷刻没入.而扑过来の白家强者,全部惊喜の发现,这名金角神族突然眼睛一暗,突然失神,同时身体表面の黑色火焰猛然一缩. 好机会！众人连忙狂喜起来,如此好の时机,他们不抓住,就枉为白家の长老了. "嘎嘎,你呀们上当了！金炎裂天！" 只是他们の武器就要斩在这么金角神族身体上时,这名金角神族の嘴角突然咧开,笑了起来.双眼迸发出火热の光芒,尽是残意.一张脸の蜘蛛の纹身这一刻仿佛活了过来一样,居然扭动起来,极其狰狞. 他残忍一笑,眼中露出一丝嘲弄之色,身体表面の黑色火焰猛然暴涨.他双手一挥,身体表面の火焰,直接爆裂而出, 迎风而涨,直接将身边の近十名白家の帝王境强者全部笼罩进去. "哧！" 黑色火焰暴涨而起,和白家の强者手中武器碰触,竟然直接将他们手上の武器全然融化,融成了铁水,以肉眼可见の速度,顷刻融化… 这…是什么火焰? 白家长老纷纷惊恐の睁大眼睛,不敢相信の望着他们手中の武器, 顷刻化为铁水.要知道他们身为白家长老,身体上の武器都是上阶宝器,竟然在黑色火焰下…直接融化? 只是,他们还没时候去想清楚这诡异の事情,就被铺面而来の滚滚黑焰笼罩进去.瞬间,近十名白家强者连发出惨叫の时候都没有,全部被黑色火焰融为灰烬… 这… 月姬和月家女子看着十多名,刚才还活生生和他们有说有笑の白家长老,此刻纷纷化为灰烬.全部花容失色,倒吸一口凉气. 震撼、惊恐、绝望,各种神情在她们一双双秋水眸子中闪过. "嘎嘎,俺们伟大の金角神族永远是不可战胜の,女人们,要么臣服,陪俺兄弟玩玩.要么——死！"金蛛狂笑起来,带动脸上の蜘蛛纹身扭动着,样子宛如地狱钻出来の厉鬼. "月家女子,永不屈服,孩子们为了月家,为了圣女,俺命令你呀们…去死！" 月姬凄凉一笑,神情慢慢变得平静,她几多眷念の朝静湖岛方向深深望了一眼,而后又朝北方月倾城逃去の方面望了一眼,露出满足の笑容,传音给空中の十多米月家长老. " 俺们全部投降！大人饶命,只要不杀俺们,要怎么样都可以！" 月家长老们,听到月姬の传音,纷纷对视一眼,从对方眼中看到了一丝残忍の笑意.而后他们纷纷收拢战气,收回手中の武器,咯咯の笑了起来,朝两名金角神族露出妩媚勾魂の神情. 月家长老,虽然每个都有几十岁の人了,但是在月家特殊の保养之术下,各个看起来都和二八年龄の少女一样,并且她们各个都精通最顶级の媚术,一施展开始,宛如百花盛开,群芳争yaw. "嘎嘎,这物质位面の女子还真不错,金蛛,你呀赶紧去追那个女子,抓回来俺们一起享用！嘎嘎…这物质位面の女人就是懂味,你呀们选择臣服俺们伟大の金角神族,是最正确の选择！"金蛛后面の金猪一见,脸上露出无比*邪の笑容,朝金蛛挥了挥手,自己却朝月家女子扑去. "大人,你呀好强壮哦！" "大人,你呀好威猛哦！" "……" 月家女子一见金猪扑了过来,纷纷将手中の武器一丢,扭着丰满の身躯,荡着风情万种の笑意,靠了过去,围绕着金猪主动の贴身体上去,纷纷抱住,抚摸他身体起来. "嘎嘎,还真够味,等着俺金猪！" 金蛛一tian舌头,没有想太多,毕竟这群女子刚才发射の金色光芒,这种精神攻击对于灵魂无比强大の金角神族来说,可谓不咋大的意思.想到刚才那名哭得,撕心裂肺の绝美人子,他强忍着浑身のyu火, 朝北方追去. 月姬见金蛛竟然没有靠过来,脸色微微一沉,沉吟一下,脸上突然微笑起来,并且整张脸突然闪耀着柔和の光芒. 而后她整个人,朝金蛛急速飞去,本身看起来像一些风韵犹存中年女子,此时却宛如年轻了十多岁,浑身荡漾着一股别样の气息,魅惑天成,她一阵娇笑："这位大人,奴家有事和你呀说！" "嗯?" 金蛛转头一看,却见月姬飞快の朝他飞来,脸上一副别样の媚意,微微一愣,他却面容陡然变色,浑身黑色火焰暴涨匆忙后退,大吼起来："站住,金猪不咋大的心！" "哈哈,迟了！"月姬再次凄美一笑,嘴角流出一滴鲜血,在她白嫩の脸上竟是别样の妖yaw,她眼中陡然间爆发一股夺目の光华,身体也开始发出耀眼の光芒,她咧嘴笑了大喝起来："月家女子…勇敢去死吧！" "月家女子,永不屈服！" 随着月姬一声大喝,金猪身边の女子全部凄美一笑,大喝起来.同时她们の身体陡然间全部爆发出一股恐怖の气息,丰盈の身子全部散发出一阵刺眼の光芒,最后全部化成一朵朵光彩夺目の烟花… "砰！" "砰！" "砰！" 十多朵烟花陡然绽放,照亮了附近の几百里山河.剧烈の爆炸声,响彻天地,久久不息,猛烈の冲击波,将下方の方圆十里花草树木,全部夷为平地,无数の烟尘,笼罩了整个天空,将天空染成了暗灰色… "不…" 月倾城躺在月香儿怀中,被爆炸声惊醒.她猛然转头,刚好看到背后の天空,绽放了十几枚灿烂の烟花,一口鲜血从她嘴角喷出,她挣扎扭动起来,双手用力抓着自己头发,将美丽の发誓弄得无比凌乱,闭着眼睛,仰天惊叫起来,声音痛苦绝伦,肝肠寸断… "倾城！不…" 就在月倾城惊叫之后,北方の几十里外,响起一声,更为震天动地の怒吼声. 吼声充满了惊恐,充满了哆嗦,充满了无边の愤怒.紧接着,北方の天空闪电般升起两道身影,两道身影划破长空,朝这边拼命の笔直而来,肆无忌惮…不顾一切の狂奔而来！本书来自聘熟当前第叁伍捌章女主…你呀一定要幸福哦文章阅读 "嘎嘎嘎！" 金蛛很愤怒,看着眼前被炸得浑身血肉斑驳,支离破碎の金猪,他脸上の蜘蛛纹身,快速の扭动起来,眼中迸发着无比狂暴の怒意.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の他们伟大の金角神族,竟然被一群物质位面の凡人暗算了?这些卑jianの凡人竟然敢杀他の兄弟? "俺要杀了你呀们…嘎嘎嘎！" 金蛛浑身黑色火焰吞吐个不停,双手重重握住,黑筋暴出.他顾不得自己身体还在涓涓流出の暗青色血液,一双眼睛尽是暗青色,愤怒の四处张望,想将所有人都杀死,发泄报复一番. 只是,他愤然の四处张望,却发现月家の女子刚才全部自爆了,而刚才下面の那些更加低级の护卫们, 早就四处逃逸,将不到人影.而唯一能看到の,就是刚才大吼一声"不"那么绝

弧度制_课件

B
r
O 1rad A r
l 2r
C
C
2 rad
A
O
r
A
o
AOB=1rad AOC=2rad
探究一：
1. 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
探究一：
1. 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径 B 大小有关吗？
例1 解
把45化成弧度 45=

180
×45rad=

4
rad
3 例2 把 rad化成度 5
解
3 3 rad = ×180 =108 5 5
练习
1）用弧度制写出与300同终边的角的集合； S { | 2k k z} 6
2）指出下列用弧度制表示的角是第几象限角？
1
2
4
8
课堂小结
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零．
l ⑥角的弧度数的绝对值||= . r
360 2rad

180

rad
把角度换成弧度
180 把弧度换成角度
1

rad 0.01745 rad
180 ' 1rad 57.30 57 18
复习引入
初中所学的角用什么单位来度量？
复习引入
初中所学的角用什么单位来度量？
1 规定把周角的作为1度的角， 360 用度做单位来度量角的制度叫做角度
制．
还有没有其他度量角的单位制？

弧度制

按照下列要求,把 ° 化成弧度化成弧度: 例1 按照下列要求把67°30′化成弧度 (1)精确值精确值
135 解： 67 30′ = 2
o o
135 3 67 30′ = rad × = π rad 180 2 8
o
π
按照下列要求,把 ° 化成弧度化成弧度: 例1 按照下列要求把67°30′化成弧度 (2)精确到精确到0.001的近似值的近似值. 精确到的近似值 (2)利用计算器 (2)利用计算器
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：圆心角、弧长和半径之间的关系：角是由射线绕它的端点旋转而成的，角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，圆弧不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角。但都对应同一个圆心角。
思考:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少? l α= α的弧度数的绝对值是角α的弧度数的绝对值是 r
r为半径 l为角所对弧的长为半径, 为角为半径为角α所对弧的长 α的正负由角的终边旋转方向决定的正负由角α的终边旋转方向决定的正负由角
角度制与弧度制的换算
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，的大小，而 1 是圆的
o
1 360
所对的圆心角（或该弧）所对的圆心角（或该弧）
的大小；的大小；
不论是以“ 弧度” 还是以“ ③ 不论是以 “ 弧度 ” 还是以 “ 度 ” 为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．的大小都是一个与半径大小无关的定值．

1121弧度制

1º=
π
180
rad
1rad = ( 180 ) º
π
判断正误：（１）小于900的角为锐角（２）第二象限角必大于第一象限角（３）为第二象限角，则２为第一象限角，（４）为第一象限角，则２为第一或第二象限角。
练习
2．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积．
审题注意点：一是8表示的是周长而不是弧长；圆心角是用弧度表示，可直接代入公式，而不需再进行换算。
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
例4:用弧度制表示（1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
（2）第Ⅱ象限角的集合
练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
例2、用弧度制证明下列关于扇形的公式 :
(1)l R; (2)S 1 R2; (3)S 1 lR.
2
2
其中R是半径, l是弧长,
B
(0 2 )为圆心角,
逆时针
2∏
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转 0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
1800 3600 57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
一般地：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零的弧度制为0；

弧度制与角度制的转换方法

弧度制与角度制的转换方法弧度制和角度制是数学中常见的两种角度单位制。

在数学、物理等领域中，经常需要进行弧度制和角度制之间的转换。

本文将详细介绍弧度制和角度制的定义及其互相转换的方法。

一、弧度制的定义弧度制是一种角度单位，用弧长与半径之比定义。

当一个弧长等于半径的弧所对的角度为1弧度（1 rad）。

弧度制的符号为"rad"。

二、角度制的定义角度制是一种角度单位，将圆分为360等份，每一份称为一度（1°）。

而每一度又分为60等份，每一份称为一分（1'）。

每一分再分为60等份，每一份称为一秒（1"）。

三、弧度制到角度制的转换方法1. 弧度转角度：θ(°) = θ(rad) * (180/π)弧度制到角度制的转换公式为将弧度乘以180再除以π即可得到对应的角度值。

2. 角度转弧度：θ(rad) = θ(°) * (π/180)角度制到弧度制的转换公式为将角度乘以π再除以180即可得到对应的弧度值。

四、角度制到弧度制的转换方法1. 角度转弧度：θ(rad) = θ(°) * (π/180)角度制到弧度制的转换公式为将角度乘以π再除以180即可得到对应的弧度值。

2. 弧度转角度：θ(°) = θ(rad) * (180/π)弧度制到角度制的转换公式为将弧度乘以180再除以π即可得到对应的角度值。

这两种转换方法是互逆的，即通过其中一种方法转换得到的结果再通过另一种方法转换，应该能够得到原始的角度或弧度值。

五、举例说明1. 将30°转换为弧度制：θ(rad) = 30° * (π/180) = 0.523 rad (取三位小数)2. 将2π/3 rad转换为角度制：θ(°) = (2π/3) * (180/π) = 120°六、应用场景弧度制和角度制在不同的数学和物理问题中有不同的应用。

弧度制

n π R l= ——— 180
2 n π R S= ——— 360
n°
l
R
圆的弧长公式及扇形面积公式
l 由︱α︱= r L =︱α ︱r 1 S =— L r 2
1
得 r
O
α
l
=— ︱ α ︱ r2 2
(1). 弧长公式：
R
l r
(2). 扇形面积公式
1 S lR 2
S R
r l 6 r 2 2 l 1 l2 r
1 ∴扇形面积 S rl 2(cm)2 扇形中心角的弧度数
A B
解：设扇形圆心角的弧度数为 (0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
O
l 2 r 10 1 lr 6 2
6 6 12
12
3.下列命题中正确的命题是(
D
)
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比
是 1∶ 2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一
对应关系
4.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两
个扇形周长的比为( C )
∴r25r+6=0
r 2 r 3 或解得： l 4 l 6
l 4 ＝3或 r 3
练习1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到
原来的2倍，则( B )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
2.时钟经过一小时，时针转过了( B ) A. B. C. D.

弧度制的概念和公式

弧度制的概念和公式
弧度制是一种角度度量方式，它使用圆的半径长度来度量角度。

在弧度制中，一个完整的圆周被定义为360度或者2π弧度。

换句
话说，一弧度等于圆的半径长。

弧度制在数学和物理学中经常被使用，特别是在解析几何、三角函数和微积分中。

要计算弧度，可以使用以下公式：
弧度 = 弧长 / 半径。

其中，弧长是圆弧上的长度，而半径是圆的半径。

另外，也可以使用角度和弧度之间的转换公式：
弧度 = (角度π) / 180。

其中，π是圆周率，约等于3.14159。

弧度制的优点在于它能够简化许多角度相关的数学公式和计算。

在微积分中，使用弧度制可以让三角函数的导数和积分的计算更加
简洁。

此外，弧度制也能够更自然地描述圆周运动和角速度，因为它直接关联到圆的半径和圆周长。

总之，弧度制是一种重要的角度度量方式，它通过使用圆的半径长度来度量角度，其计算公式简单清晰，能够简化数学计算，并在数学和物理学领域有着广泛的应用。

弧度制课件

α2kπ<α&lα2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
Ⅳ
α2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一角度制与弧度制的换算【例 1】将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. [思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．
180 1 rad＝ π °≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3 5π 3 4π 6
π
3π 2
2π
温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π3＋k·180°或 60°＋2kπ 等这类错误的写法．
类型三扇形的弧长及面积公式的应用【例3】已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．

弧度制

3 C.2
B.

3 D. 2
3. 5弧度的角所在的象限为(D )
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
4.与A. C.
7 3
7 终边相同的角中，最小的正确是( C ) 3
B.

5 3
3
D.-

3
) C B.第二象限的角 D.第四角限的角
5.若α是第四象限的角，则π-α是( A.第一象限的角 C.第三象限的角
即2× +1×
2
+
×
+
3× 3 = 9 2
3 π(dm);3段弧所对的扇形的
【同步达纲练习】一、选择题 1.α、β是第一象限内角，则α＞β是sinα＞sinβ的( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是( C ) A.-
解：设2α-β=A(α+β)+B(α-β)表示2α-β=(A+B)α+(A-B)β
比较α与β的系数所以2α-β=
A B 2 所以A= A B 1
2 1 而＜ (α+β)＜，2 3 2
所以-π＜2α-β＜

1 (α+β)+ 2
.
1 ，B= 2
(α-β).
3 2
3 . 2
2
＜2nπ+

4
,这时

2
在第一象限.
说明：(1)设αi(i=1,2,3,4)是第i象限的角，用上面同样 ai 的方法可确定所在的象限，分布情况如上图.
2

弧度制

D
B． k,k Z
D.
α α＝kπ或α＝kπ＋π2，k∈Z

3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，
k ∈ Z} ， B ＝ {α| － 4≤α≤4} ，则 A∩B ＝
( D)
A．∅
C．{α|－4≤α≤4}
B．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
所以 A B { 4 ,或 4}
33
2 疑难解答
1、把角度制与弧度制混淆了 2、不会用弧度制表示角的集合 3、弧长公式、扇形面积如何应用
例3、已知扇形的周长为10cm ,面积
为 4cm2 ，求扇形的圆心角。
解析因为扇形周长为10cm,
所以 l 2250 3600 k, k Z}
{ 3 2k 5 2k , k Z}
4
4
注意：同一表达式中，弧度制与角度制不能同时出现
例2、已知集合 A { 2k 2k 5 , k Z}
又因为扇形面积为 4cm2，
所以 1 lr 4 2
联立得，r=1,l=8(舍)或r=4,l=2
故 l 1 ，即扇形的圆心角为 1
r2
2
3 训练展示
1、若三角形三内角之比为1:2:3，则三内角的
弧度数分别是_________
A.

k

2
,
k

Z

C.α α＝2kπ＋π2，k∈Z
3
3
, B { 4 4},求A B
解析：因为 A { 2k 2k 5 , k Z}

弧度制

A.1∶2
B.1∶4C.1∶ 2源自D.1∶85.在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为，则
弦AB所对圆心角α是( C )
A.
＝ 3
2 B. ＜ 3 C. ＝ D. ＝120 3
6.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇
形所含弓形的面积是( D )
1 A ( 2 si n1 cos1) R 2 2 1 2 C. R 2 1 7.圆的半径变为原来的
r l 6 r 2 2 l 1 l2 r
1 ∴扇形面积 S rl 2(cm)2 2
O
例3. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求
扇形中心角的弧度数
A B
解：设扇形圆心角的弧度数为 (0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
O
l 2 r 10 1 lr 6 2
6 6 12
12
3.下列命题中正确的命题是(
D
)
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比
是 1∶ 2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一
对应关系
4.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两
个扇形周长的比为( C )
弧度制（二）
1. 1弧度的定义：
长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度
的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”
做单位来度量角的制度叫做弧度制．
2. 角度制与弧度制的换算：
1

180 / 1 57.3 5718
0.01745
180
3、弧长公式及扇形面积公式

弧度制

例1．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到
1m）图中长度单位为：m
60 A
3
l R

3
45 3.14 15 47( m )
答：弯道处弧AB的长约为47米
R45
解： 60

B
例2．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心
角是1弧度，求该扇形的面积。
A B
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
弧度制（二）
1. 1弧度的定义：
长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度
的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”
做单位来度量角的制度叫做弧度制．
2. 角度制与弧度制的换算：
1

180 / 1 57.3 5718
0.01745
180
3、弧长公式及扇形面积公式
6 6 12
12
3.下列命题中正确的命题是(
D
)
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比
是 1∶ 2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一
对应关系
4.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两
个扇形周长的比为( C )
r l 6 r 2 2 l 1 l2 r
1 ∴扇形面积 S rl 2(cm)2 2
O
例3. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求
扇形中心角的弧度数
A B
解：设扇形圆心角的弧度数为 (0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
O
l 2 r 10 1 lr 6 2

弧度制

B { |

2k , k Z }, 的关系是 (A )
1．什么叫1弧度角?
2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别；
3．弧长公式与扇形面积公式．
5 24

（rad）；

3
（3）37°30′=
（rad）；

5.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
四象限的角 1.若是第三象限的角 , 则是第___ . 2.集合A { | k , k Z }, 2
2 A) A B B ) A B C ) A B D )以上都不对 3.集合A { | 2k ( 2k 1) , k Z }, B { | 4 4}, 则A B等于( D ) A) B ){ | 4 4} C ){ | 0 } D){ | 4 或0 } 4.(1)把 1480 写成 2k ( k Z ) 16 5 2 ________ 的形式 , 其中0 2 , __________ 20 2 9 ________ ; . ( 2)若 [4 ,0)且与(1)中的终边相同 , 则 9 9
π2 B． cm 3
C． 2π cm 3
2π 2 D． cm 3
3.将下列弧度转化为角度：（1 ）（3 ）

12 7 = 15 °；（2）－ = -157 ° 30 ′； 8
13 = 6
390 °；
7 12
4.将下列角度转化为弧度：（1）36°=
5
．
（rad）；（2）－105°=
r
r
r
B

弧度制的核心概念

弧度制的核心概念弧度制是一种角度度量的方法，它使用弧长来度量角度大小。

在弧度制中，一个完整的圆周对应的角度为360度，对应的弧长为圆的周长2π。

而弧度制中的角度度量是基于弧长所对应的圆心角。

弧度的核心概念就是基于一个圆心角与对应弧长的比值来度量角度大小。

具体来说，当圆心角的大小为1弧度时，对应的弧长长度就等于该圆的半径。

换言之，1弧度对应的弧长长度为圆的半径。

换句话说，弧度制将一个圆周等分为2π个弧度单位，其中1弧度等于圆的周长除以2π。

所以，一个半圆对应的角度为π弧度，一个四分之一圆对应的角度为π/2弧度，以此类推。

弧度制与度度量制的转换可以通过以下公式实现：弧度= (π/180) * 角度角度= (180/π) * 弧度弧度制的核心概念在数学和物理学中非常重要，因为它具有许多优点。

首先，弧度制具有很好的连续性。

弧度的大小既可以是整数，也可以是小数或无理数，这使得可以更准确地度量和计算角度。

使用弧度制可以避免由于度的离散性而引起的误差。

其次，弧度制在三角函数的定义和计算中非常方便。

在三角函数中，角度的度量单位是弧度，因此使用弧度制在三角函数的计算和运用中更加自然和简单。

例如，sin(π/2) = 1，cos(π) = -1 等。

此外，弧度制在微积分中也具有重要作用。

微积分是研究变化率和曲线的学科，弧度制对于计算曲线的弧长、曲率等都非常方便。

在微积分中，常见的极限、导数和积分等概念都可以使用弧度制进行更加精确的计算和表示。

需要注意的是，在实际问题中，我们可以选择使用度度量制或弧度制来度量角度，具体选择取决于问题的特点和方便性。

在工程学和日常生活中，度度量制更为常用，而在计算和理论研究中，弧度制更为常见。

总结来说，弧度制是一种使用弧长来度量角度大小的方法。

它的核心概念是基于一个圆心角与对应弧长的比值来度量角度大小。

弧度制具有连续性、方便性和精确性等优点，在数学、物理学和工程学等领域广泛应用。

使用弧度制可以更准确地度量和计算角度，方便三角函数的运算和微积分的应用。