高考数学中的内切球和外接球问题.电子教案

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空间几何体的外接球、内切球问题课件-2023届高三数学一轮复习

棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为
3π
A.
B．24π
2
[答案] C
C. 6π
D．6π
(
)
五、直棱柱（圆柱）的外接球模型
h 2
R r ( )
外接球半径
2 （ r 底面外接圆半径， h 为侧棱长（高））
2
a
2r=
sin A
练习
1.在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 AB BC , AB 6, BC 8, AA1 6 ，则该直三棱柱
2023年高考第一轮复习
空间几何体的外接球、内切球
问题
一、球体的表面积与体积公式
4 3
体积 =
3
表面积 = 42
用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面
有如下性质：1. 球心和截面圆心的连线垂直于
截面.2. 球心到截面的距离d与球的半径R及截
面的半径r有下面的关系：
PS：球心在外心的正上方，球心在弦的中垂面上.
r内切球
6

a
12
R外接球
6

a
4
轴截面法
P
P
h-r
r
D
h-r
O
r
B
H
B
A
r
D
2R
O
r
R
O
2R
R
O
A
B
H
A
D
C
例已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线
：
和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积的比值为
( B )
2
A．
3
4B．9源自2 6C．98

高中数学——内切球与外接球(学案)

内切球与外接球讲高考纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一，高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答。

从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目。

分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理、下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路，力争在这部分内容不失分。

从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。

首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.1球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1.1球与正方体如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，E 、F 、H 、G 为棱的中点，O 为球的球心。

常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，则2OG R ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则1A O R '==常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。

(1)正方体的内切球，如图1。

位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =。

高中数学外接球、内切球教学设计详案

立体几何外接球、内切球问题一、教学分析：纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答•从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目•分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见•此部分是重点也是一个难点，建议分两个课时，第一个课时以基础的方法为主，第二个课时在第一课时的基础上进行总结整理并拓展。

二、学情分析：学生在高一必修二教材系统的学习了立体几何，这部分内容本身对知识掌握的要求就比较高，又是难点，再加上疫情原因，很多同学不能系统了解和掌握，而一部分学生也只能解决长方体的外接球问题，稍复杂一点就不会。

三、教学目标：知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接球、内切球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

四、教学重点：学会转化、数形结合的思想方法。

五、教学难点：构造法的要点。

六、教学过程分析问：如果是正方体，它的体对角线长和棱长什么关系2.复习圆柱的外接球问题问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆柱的外接球问：球心的位置在哪问：如果给出圆柱的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆锥的外接球问：球心的位置在哪问：如果给出圆锥的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径方程：先算出H其实我们一直是在求它们截面的外接圆的半径，长方体对角面矩形的顶点都在球面上，长方体对角面长方形外接圆的直径也就是这个长方体外接球的直径，圆柱和圆锥我们解是它们轴截面图形外接圆的半径, 把求一个空间几何体外接球半径问题转化为求一个截面图形外接圆半.复习圆锥的外接球问题O径问题的过程这就是我们所说的立体问题平面化三角形的外接圆半径除了刚才同学想到在直角三角形中用勾股定理列方程的方法，还有什么方法回想一下解三角形那一章正弦定理：比较正弦定理，不用确定外接圆的圆心知道么）活动二:问题三棱锥的三条棱PA, PB, PC 两两垂直，PA 1, PB 2, PC 3,则其外接球的半径为问：三棱锥的的顶点和长方体的顶点之间什么关系它们的外接球是不是相同的问：球心在哪，半径怎么求（求长方体体对角线长需要长方体的长宽高，这几个量我们现在解决一个几何体的外接球可能有多种办法，让学生发挥想象，提出各种方法，通过比较生成对结合体外接球问题的认识。

空间几何体的外接球和内切球问题(提高)(最新人教版优质教案)( 含解析 )

进门测1正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案C解答如图所示，为等边三角形，设的外接圆半径为，由正弦定理可得：，，设正方体边长为，则，，设外接球半径为，则，，面积，故选．2已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于．答案．解答设此球半径为，三棱柱高为，则底面积，，解得，又，，，为直角三角形，的外接圆半径,，球的表面积3在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案A解答在中，由余弦定理得，，，，，≌，，，，为等边三角形，，取中点为点，连接、，如图所示，外接球球心必在过点（外接圆圆心），垂直平面的直线上，其中，，，，，，又，，平面，，设外接球半径为，，，，，，，外接球的表面积为，故选．4三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案C解答第面是边长为的等边三角形，设底面所截外接球的截面圆的半径为，空间几何体的外接球和内切球问题知识点梳理：，，如图所示，，，设外接球半径为，，外接球，故选．5已知三棱锥的体积为，是等腰直角三角形，其斜边，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的体积为.答案解答设球的半径为，球心到平面的距离为，则由是的中点得，点到平面的距离等于，所以＝＝＝，解得＝，记的中点为，则平面.在中，＝＋，即＝＋＝，所以球的体积＝＝＝.一、外接球常见模型1. 【墙角模型】三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径方法：找三条两两垂直的线段，利用公式，即，求出．2. 【对棱相等模型】三棱锥中，已知，，，则可补形为长方体，再求外接球半径．第一步：画出一个长方体，标出互为异面直线的三组面对角线；第二步：设出长方体的长宽高分别为，，列方程组：；第三步：根据墙角模型，，即．3. 【切瓜模型】两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径，利用正弦定理解大圆三角形是通法．如图，平面平面，且(即为小圆的直径)，则球心在大圆面上，利用正弦定理即可求出外接球半径．4. 【垂面模型】三棱锥中，当一条棱垂直于某个面时，球心离底面距离为这条棱长的一半．如图平面，求外接球半径的步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(可利用正弦定理计算)，又；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；或②．如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点也是圆锥的顶点．求解步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：，解出．方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径．5. 【汉堡模型】直棱柱的外接球、圆柱的外接球如图，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接与圆柱，棱柱上下底面可以是任意三角形)．第一步：确定球心的位置，是的外心，则面；第二步：算出小圆半径，(也是圆柱的高)；第三步：勾股定理：，即．6. 【折叠模型】两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接，；第三步：解，算出，在中，勾股定理：．7. 【直角双拼模型】两直角三角形拼接在一起(斜边相同)题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径）．二、内切球1. 正方体的中心与内切球的球心重合，若正方体的棱长为，内切球的半径为，，如下图所示：2. 正四面体的中心与内切球的球心重合，正四面体的棱长为，体高为，内切球半径为，，如下图所示：证明：正四面体的棱长为，体高为，内切球半径为．正四面体的内切球半径为，正四面体的体积，得①，在中，，即，化简得②，由①②可得．3. 空间多面体的每个面的面积为，多面体的体积为，则该多面体的内切球半径为．例如，利用等体积法求四面体的内切球半径．例题精讲：6设长方体的长、宽、高分别为，，，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．答案B解答由题意可知，该球为长方体的外接球，则该球的半径，则该球的表面积为，故选．7已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若，，两两互相垂直，且，则球的体积为（）A．B ．C ．D ．答案C解答且，，，，取的中心连接，设球心为，球半径为，则，延长交于，则，，，在中，，，在中，，即，解得，，故选．8四面体中，，，点是的中点，点在平面的射影恰好为的中点，则该四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案A解答，为等边三角形，又，，为等腰直角三角形，又为中点，为中点，，，点为外接圆圆心，设球心为，则面，在中，，，在中，，，设球半径为，则，又，，即，解得，，外接圆表面积，故选．9三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案A解答将其放在长方体中如下图所示：则有，，在中，，在中，，则球的半径，表面积，故选．10已知三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（）A．B．C．D．答案C解答由于三棱柱的个顶点都在球上，所以三棱柱是直三棱柱，如图，取中点，中点，连结，，则垂直底面，又，，、分别是两底面三角形外接圆的圆心，故球心在上且是的中点，四边形是平行四边形，，，又，，，，，，，，，，，，故选．11已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为．答案．解答由题意知，是对棱相等的三棱锥，则三棱锥的六条棱可以是长方体的面对角线，如下图所示：则的外接球与长方体外接球相同，，．外12在三棱柱中，已知底面为正三角形，平面，，，则该三棱柱外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案A解答取中点为点，连接，设的外心为，三棱柱外接球球心为，连接，，为正三角形，点为的重心，又，，，，则，又平面，平面，为直角三角形，，，则外接球表面积，故选．13矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．答案C解答如图所示，取中点，则中，，在中，，，即为外接球球心，半径，又，，体积，故选．14已知矩形，，，为的中点现分别沿，将，翻折，使点，重合，记为点，则几何体的外接球表面积为．答案．解答由，，为中点，可得，，，，为长方体一角，其外接球直径为其体对角线长，，，外接球表面积为．15如图，边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，、、分别沿、、折起，使，，三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）A．B．C．D．答案B解答由题意知为等腰直角三角形，即，且，，，巩固练习：平面，四面体的外接球与以四面体扩展的长方体外接球是同一个，，故选．16如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为（）A ．B ．C ．D ．答案C解答如图所示，由于球的外切圆锥的高为球半径的倍，图中为球心，，，为圆锥的高，则设，，，与相似，又，，，，圆锥侧面积为侧，球的表面积为球，圆锥的侧面面积和球的表面积之比为：侧球,故选．17已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．答案A 解答如图，取中点，则为外接球球心，过点作底面，由于底面三角形是正三角形，所以是底面三角形的中心，连结并延长交于点，过点作交于点，则是三棱锥的高，正三角形边长为，，，又，，，，又，三棱锥，故正确．18设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．答案B解答由题意可知，该球的球心在两底面中心的连线的中点处，则球的半径，该球的表面积为：，故选．19已知圆锥的高为，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．答案B解答如图所示，设为球心，为底面圆心，则，，，在中，，即，解得，表面积，故选．20底面边长为的正三棱锥的内切球半径为，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案A解答由题可知：设该正三棱锥为，底面所对应的正三角形的高为，则，，，，，即，解得，，设外接球的半径为，则可建立勾股定理得，，解得，由球的的表面积得，　，故选．21在长方体中，，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案B解答如图，取中点，中点，连接，则平面，点为的外心，三棱锥外接球圆心在上，连接，则，平面平面，，又，，，设，则，，即，解得，点与点重合，，，表故选．22已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（）A．B．C．D．答案C解答设正四棱锥的高为，外接球半径为，，，该棱锥底面外接圆半径，该外接球球心所在圆截面如图所示，，，，该外接球体积为，故选．23已知三棱锥中，底面，，，，，则该三棱锥的内切球的体积为．答案．解答设内切球的半径为，以球心为顶点，三棱锥的三个面作为底面把大三棱锥分为四个小三棱锥，则可由等体积法得：大的三棱锥体积等于四个小三棱锥体积之和，又底面，，，，，，，，又，，由等体积得，，，由球的体积得，　．24将棱长为的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A．B．C．D．答案A解答将正方体木块削成一个体积最大的球，即求该正方体内切球的体积，则该球的半径为，，球故选．25点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（）A．B．C．D．答案C解答设球的半径为，则，，又，，，为等腰直角三角形，设为斜边上的中点，则为外接圆圆心，设为球心，则面，在中，，又为定值，最大，即为到面的距离最大，延长交球于，此时最大，有，，故选．26在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球面积是．答案．解答由题可得，将正四面体展开成菱形，连接，交于，如图所示，则长即为最小值，即，，为中点，，设，，由余弦定理得，，，，正四面体棱长为，将正四面体可补形为正方体，棱长为正方体面对角线，补形得正方体棱长为，其外接球半径为，其外接球表面积为．27已知在直角梯形中，，，，将直角梯形沿折叠成三棱锥，当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的体积为．答案．解答由题意，直角梯形中，，，，如图所示，取的中点，连接，连接、交于点，，直角梯形中，，四边形是正方形，，，将其沿折叠成三棱锥如下图所示：，为点到平面的距离，当平面平面时，最大，即有最大值，连接，平面平面，，平面，平面，，在中，，，，外接球的球心在点上，半径，．外接球28三棱锥中，平面，，的面积为，则三棱锥的外接球体积的最小值为（）A．B．C．D．答案D解答如图，平面，平面，，，设，则，在中，，令的外接圆半径为，则，三棱锥外接球直径为，，当且仅当，即时，等号成立，，即三棱锥的外接球体积最小值为，故选．29三棱锥内接于半径为的球，过球心，当三棱锥体积取得最大值时，三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．答案D解答三棱锥内接于半径为的球，过球心，如下图所示，当在点的正上方，时，三棱锥体积最大，此时，，，，与是正三角形，，，表故选．30如图，在三棱锥中，平面平面，，，现将一小球放入三棱锥内，往三棱锥内注水，当注水的体积是三棱锥的体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于．答案．解答如下图，分别取、、、中点、、、，连接，，，，，，设则，，，，，，，相似比都是，，，公共，≌，，，面，面，又，面面，，为中点，，平面平面，平面平面，，面，已证面面，面，，，，同理可得，，，，，，，，，，即，，，即面是水面，≌，，，，面，面，，，，，，，，，同理可得，，表表，球．31已知三棱柱的侧棱垂直于底面，该棱柱的体积为，，，，若在该三棱柱内部有一个球，则此球表面积的最大值为（）A．B．C．D．答案C解答，，，可知为直角三角形，，，设内切圆半径为，可知，，，内切圆半径为，又柱体的体积为，且侧棱垂直于底面，，，，可知在该三棱柱内部有一个球的最大半径为，由球的表面积得：　，故选．32正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切．(1)棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．(1)答案．解答正三棱锥的高为，底面边长为，可知底面正三角形的高为，可得侧面等腰三角形的高为，，可知表底侧．(2)答案表面积，体积．解答设球的半径为，以球心为顶点，棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分为三个小三棱锥，则根据等体积得：，，由球的表面积公式得：，由球的体积公式得：．33边长为的等边的三个顶点，，都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为．答案．解答设球的半径为，，，连接外接圆圆心与球心，，如图所示，平面，，在等边三角形中，，，，又，．34已知球面上有四个点，，，，球心为点，在上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为．答案．解答由题可得，为三棱锥外接球直径，当为等腰直角三角形，底面面积最大，面面，且等腰时，过点到平面的高最大，此时，高就是．此时，，三棱锥体积为，，球的表面积为．35在三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥的外接球表面积为．答案．解答在中，由余弦定理得，，，由正弦定理可得，外接圆直径为，平面，，三棱锥外接球半径为，，该外接球的表面积为．36已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为．答案解答设球的半径为，是球的直径，，，三角形与三角形都是等腰直角三角形，有，且、．平面平面，，是等腰直角三角形，且面．三棱锥的体积为，，解得．球的表面积为：．37一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．答案．解答由三视图可知该几何体为三棱锥，作出原图如下：其中面平面，，平面，其外接球的球心在上，设球心为，，则，解得，外接球的半径，外接球的表面积为．38如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球的球画上，则球的表面积是（）A．B．C．D．答案A解答由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示，则有面，，且，，，故其外接球半径，其表面积，故选．39在三棱锥中，，，，的中点为，的余弦值是，若，，，都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．答案C解答根据题意作出下图，，，，又为中点，，为等边三角形，则，根据余弦定理：，，，，，，，，，，，面，面，面，，又，，面，又，三棱锥可看成长方体一角，外接圆半径，，，，球，，故选．40在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则（）A．B．C．D．答案B解答，，，，为，，又，，、均在面内，面，又，外接圆半径①，又外接球表面积为，，②，联立①②可得，（舍去），故选．41已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（）A．B．C．D．答案A解答分别取和的外心，，分别过，作平面和平面的垂线相交于点，即为球心，取中点，连接，，则，，如图所示：，出门测（15分钟）可知，又、为三角形的外心，，四边形为正方形，且边长为，，，球的半径为，球的表面积，故选．42已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径，是等腰直角三角形，，若，三棱锥的体积是，则球的表面积为．答案．解答可将三棱锥在长方体中还原，如图所示，，，，，，三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，，球的表面积为．43直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．答案．解答在直棱柱中，，故可将其变形为长方体，其中，、、为长方体的棱，该三棱柱外接球半径为：，该外接球表面积为．44已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球的表面上，则球的体积为（）A．B．C．D．答案A解答设圆锥的高为，底面圆的半径为，，，，，球即该圆锥的外接球，设球的半径为，，，，球的体积为：，故选．45如图，虚线小方格是边长为的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案D解答由题可得，该几何体的直观图如图所示，其中，，即为该几何体外接球直径，由三视图可得，，，该外接球的表面积为，故选．46如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案B解答由题意可知该几何体是三菱锥，把该三棱锥放入长宽高分别为，，的长方体中，则该三棱锥的外接球，即为长方形的外接球，如图所示：且外接球的直径为，所以该外接球表面记为，故选．47如图，在四面体中，平面，是边长为的等边三角形．若，则四面体外接球的表面积为．答案．解答由正弦定理可得，正的外接圆直径为，设四面体的外接球半径为，平面，，，，四面体外接球的表面积为．48某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．答案A解答该几何体的直观图如图所示：由三视图及图象可知：、、两两垂直，则三棱锥可补为以、为邻边的长方形为底面，为侧棱的长方体，其外接球半径为，外接球表面积．49中国古代数学专著《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥为鳖臑，且平面，，，该鳖臑的外接球的表面积为，则阳马的外接球的体积为（）A．B．C．D．答案D解答由题可得，在三棱锥中，，平面，，，即、、两两垂直，三棱锥的外接球直径，设，，三棱锥的外接球表面积为，，，，在阳马四棱锥中，、、两两垂直，其外接球直径为，，，其外接球的体积为，故选．41。

高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)-精选.pdf

高考数学中的内切球和外接球问题
一、有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面
体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接
球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点 . 考查
学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要
学习 .
五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为
125
A. 12
125
B. 9
125
C. 6
125
D. 3
D
A
O
C
图4 B
解设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为 24 ，则该球的体积为 ______________.4 3 . 2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条
棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为
.14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。 ——张小娴
OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相
等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 .∴外接球的半径
5 R OA
V 球 4 R3 125
2 .故
3
6 .选 C.

高中数学内接球问题教案

高中数学内接球问题教案
教学目标：
1.了解内切球概念及相关性质。

2.能够应用内切球的性质解决相关问题。

教学重点：
1.理解内切球的定义及性质。

2.掌握内切球问题的解题方法。

教学难点：
1.能够灵活运用内切球的性质解决实际问题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1.呈现一个内切球问题：“一个正六边形的内切球的半径是3cm，求正六边形的边长。

”
二、讲解内切球的概念及性质（10分钟）
1.内切球的定义：一个球体可以放在一个多面体的内部，并且恰好与多面体的每个面相切，则这个球体称为这个多面体的内切球。

2.内切球的性质：内切球与多面体的每个面都有一个公共的点。

3.内切球的半径等于多面体的边的垂直距离。

4.利用内切球的性质可以简化多面体的几何问题。

三、示例分析（15分钟）
1.通过示例讲解内切球问题的解题方法。

2.引导学生发现内切球问题的规律和特点。

四、练习与讨论（10分钟）
1.让学生自行解答一些内切球问题，并交流解题思路。

2.引导学生讨论解题方法的合理性和有效性。

五、作业布置（5分钟）
1.布置相关练习题目，巩固学生对内切球问题的理解和应用。

教学总结：
1.总结内切球的概念及性质。

2.强调内切球问题的解题方法和技巧。

教学反思：
1.在教学中要注重引导学生发现问题的规律和特点，培养他们的解题能力和思考能力。

2.教师要根据学生的实际情况调整教学内容和教学方法，确保教学效果达到预期目标。

第50讲、外接球、内切球、棱切球(学生版)2025高考数学一轮复习讲义

第50讲外接球、内切球、棱切球知识梳理知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为2a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为22==R a ，即正四面体外接球半径为=R ．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD 中，==AB CD m ，==AC BD n ，==AD BC t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩b c m a c n a b t ，三式相加可得222++=a b c 222,2++m n t 而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224+=+a b c R，所以=R．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是∆ABC 的外心，则1⊥OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径1=AO r ，111122==OO AA h （1=AA h 也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()2=+h R r⇒=R R 知识点五：直棱锥外接球如图，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径．解题步骤：第一步：将∆ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为∆ABC 的外心，所以1⊥OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径1=O D r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sin sin sin ===a b c r A B C )，112=OO PA ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)=+R PA r ⇔2=R②2221=+R r OO ⇔=R ．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：222+=r h R h ．2、侧棱相等模型：如图，P 的射影是∆ABC 的外心⇔三棱锥-P ABC 的三条侧棱相等⇔三棱锥-P ABC 的底面∆ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取∆ABC 的外心1O ，则1,,P O O 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径1=AO r ，再算出棱锥的高1=PO h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()=-+R h R r ，解出222+=r h R h ．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD 中，⊥AB AD ，⊥CB CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O 为公共斜边BD 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，===OA OC OB OD ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD 外接球的球心，公共的斜边BD 就是外接球的一条直径．知识点九：垂面模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知平面⊥PAB 平面ABC ，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知二面角--P AB C 大小为α，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为(,,)O x y z ，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程来计算R ．如图2，当>PC CB 时，球心在圆锥内部；如图3，当<PC CB 时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，=-OC h R 或-R h ，故222()-+=h R r R ，所以222+=h r R h ．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，其外接球的半径为R ，三者之间满足22(2+=h r R ．3、球内接圆台2222222122⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭r r h R r h ，其中12,,r r h 分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即3体积表面积=V R S知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形必考题型全归纳题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为例2．（2024·吉林·则球的表面积为．例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球O 表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球O 的表面积是变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为25π，AB =AD 1111ABCD A B C D -的体积为.变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，BC =，14BB =，则长方体外接球的表面积为．题型二：外接球之正四面体模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD 的表面积为且A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为．例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．例6．（2024·全国·的正四面体的外接球体积为.变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体P BDE -和边长为1的正方体1111ABCD A B C D -有公共顶点B ，D ，则该正四面体P BDE -的外接球的体积为.变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体-P ABC 中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2024·高一单元测试）在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2==AC BD ，AD BC =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，AB CD ==AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 外接球的体积为（）A ．45πBC D ．例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥S ABC -中，5SA BC ==，SB AC ==，SC AB ==）A ．50πB ．100πC ．150πD ．200π变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==2PB AC ==，PC AB ==-P ABC 外接球的体积为（）AB C D ．6π题型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD 的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则此直三棱柱的表面积是（）A ．16+B ．8+C ．8+D ．16+例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,90BC AB BCC ==∠= ，AB ⊥侧面11BB C C ，且直线1C B 与底面ABC 则此三棱柱的外接球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（）A ．48πB ．60πC ．64πD ．84π题型五：外接球之直棱锥模型例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且4PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为．例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥面ABC ，ABC 为等边三角形，且PA AB ==-P ABC 的外接球的表面积为．例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC ，其中PA ⊥平面,120,2ABC BAC PA AB AC ∠=︒===，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为.变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥D ABC -中，ABC 为等边三角形，DC ⊥平面ABC ，若6AC CD +=，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的最小值为.变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AB BC CA ===，异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为4，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为.变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，BC CD ⊥，BE DE ⊥，120CBE ∠=︒，且2AB BC BE ===，则该四棱锥的外接球的表面积为.变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,4PA =,π3BAC ∠=,BC =,则三棱锥-P ABC 外接球的体积是．题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥PABC ﹣的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为π3，且PA =O 的表面积为例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥-P ABC 中，点D 在棱PA 上，且满足2PD DA =，CD PB ⊥，若AB =P BCD -外接球的表面积为.变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥-P ABC 的侧棱与底面所成的角为60︒，高为，则该三棱锥外接球的表面积为.变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥-P ABC中，1PA =，AB =，该三棱锥的外接球体积为．变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台111ABC A B C -中，AB =116A B =，1AA =111ABC A B C -的外接球表面积为（）A ．64B ．64πC ．256π3D ．64π3变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A ．32πB ．33πC ．34πD ．35π变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为．变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，=，若四棱锥P ABCD -的体积为2563，则该四棱锥外接球的体积为．变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =）A ．332πB ．33πC ．572πD ．57π题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ===，26AB AC ==，π3BAC ∠=，则该三棱锥外接球的表面积为．例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥S ABC -中，2SA SB CA CB AB =====，二面角S AB C --的大小为60︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的各侧棱长均为且3,AB BC AC ===-P ABC 的外接球的表面积为.变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠= ，则球O 的体积为.变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥S ABC -中，2SA SB SC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为A ．27B ．9C ．323πD ．163π变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥A BCD -中，2AB BC AC CD ====，120BCD ∠=︒，二面角A BC D --的大小为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A ．823πB ．803πC ．27πD ．2449π变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体ABCD 中，2AB AC BC BD CD =====，AD =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．163πB ．5πC ．20πsD ．203π题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8π，该圆锥内接于球O ，则球O 的表面积为.例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为500π3，则该圆台的侧面积为（）A ．60πB ．75πC ．35πD ．变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．250π3B ．500π3C ．100π3D ．125π3变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A ．175π3B ．75πC ．238π3D ．259π3题型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD 是边长为2的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒.若A ，B ，C ，D 四点在某个球面上，则该球体的表面积为.例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正ABC 边长为1，将ABC 绕BC 旋转至DBC △，使得平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为．例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面ABC ⊥平面,PAB AC BC ⊥，点D 是AB 的中点，,2PD PB PB PD ⊥==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1A C 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为．变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥-P ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,6AB =,4BC =,AB BC ⊥,PAB 为等边三角形,则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为．变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD 中，π,42ADB ABC BD BC ∠=∠===，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，连接AC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ⊥，且PA PB ==ABC 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形ABCD 中，483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为．变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π，则该三棱锥体积的最大值为.变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥-P ABC 中，2PA PC BA BC ====，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积的最小值为．变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，90,90,2ADB ABC BD BC ∠∠==== ，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.题型十：外接球之二面角模型例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，90ADC ∠= ，二面角D AC B --的平面角为30 ，则三棱锥D ABC -外接球表面积的最小值为（）A ．()161πB ．()163π-C ．()161πD ．()163π例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC 中，PA PB ⊥，ABC 是边长为2的等边三角形，若二面角P AB C --的大小为120︒，则四面体PABC 的外接球的表面积为（）A ．13π9B ．26π9C ．52π9D ．104π9例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥,S ABCD SA -⊥平面,,4ABCD AD DC SA BC ⊥==，二面角S BC A --的大小为π3.若点,,,,S A B C D 均在球O 的表面上，则该球O 的表面积为（）A ．152π3B ．52πC ．160π3D ．54π变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体ABCD 中，ABC 与BCD △都是边长为6的等边三角形，且二面角A BC D --的大小为60︒，则四面体ABCD 外接球的表面积是（）A ．52πB ．54πC ．56πD ．60π变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD ，其中小三角形纸板的斜边AC 与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a ，现将小三角形纸板ACD 沿着AC 边折起，使得点D 到达点M 的位置，得到三棱锥M ABC -，如图2．若二面角M AC B --的大小为23π，则所得三棱锥M －ABC 的外接球的表面积为（）A ．273a πB ．24a πC ．2143a πD ．227a 变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在PBC 中，PA BC ⊥，AM PB ⊥，6BC =，4PA =，沿PA 将PAB 折起，使得二面角B PA C --为60°，得到三棱锥-P ABC ，如图2，若AM PC ⊥，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．64πD ．80π变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，30AD BD AC BC DAB CBA ∠∠⊥⊥== ,,，二面角D AB C --的大小为60 ，若球O 的表面积等于36π，则三棱锥D ABC -的体积等于（）AB ．8C D变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥A BCD -中，,,224AB BC BC CD CD AB BC ⊥⊥===，二面角A BC D --为60︒，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A ．16πB ．24πC ．18πD ．20π题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC-的体积为83，则球O 的体积为（）A ．4πB ．203πC ．6πD ．323π例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥S ABC -的体积为12，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，若SC 是其外接球的直径，则球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SA 为球的直径,ABC ∆是边长为2的等边三角形,三棱锥S ABC -的体积为3,则球的表面积为()A ．8πBC ．16πD ．1283π变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥S ABC -各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若2AB BC ==，23ABC π∠=，三棱锥S ABC -的体积为4，则球O 的表面积为A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥S ABC -的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC AB ⊥，2BC SB SC ===，则该球的表面积为()A ．4πB ．6πC ．9πD ．12π变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥-P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥-P ABC 的体积为a ，则球O 的体积为A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ︒==∠=，三棱锥S ABC -的体积为12，则球的表面积为A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥-P ABC 的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．163πB ．403πC ．643πD ．803π变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知SC 是球O 的直径，,A B 是球O球面上的两点，且1,CA CB AB ===S ABC -的体积为1，则球O 的表面积为A ．4πB ．13πC ．16πD ．52π题型十二：外接球之共斜边拼接模型例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面是菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 是对角线AC 与BD 的交点，若1PB =，3APB π∠=，则三棱锥P BOC -的外接球的体积为（）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，PC =，AB =2CA CB ==，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．143πB ．283πC ．9πD ．12π例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥A SBC -中，10,,,4AB ASC BSC AC AS BC BS π=∠=∠===若该三棱锥的体积为153，则三棱锥A SBC -外球的体积为（）A ．πB ．3πC ．5πD ．43π变式47．在矩形A B C D 中，==4,3A B B C ，沿A C 将矩形A B C D 折成一个直二面角--B A C D ，则四面体A B C D 的外接球的体积为（）A ．π12512B ．π1259C ．π1256D ．π1253变式48．三棱锥-P A B C 中，平面⊥P A C 平面A B C ，=2A C ，⊥P A P C ，⊥A B B C ，则三棱锥-P A B C 的外接球的半径为题型十三：外接球之坐标法模型例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，(2,0,0),(0,3,0),(0,0,5),(2,3,5),A B C D 则四面体ABCD 外接球体积是（）A ．25πB ．36πC ．1083πD ．288π例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：m ）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为2m 例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥A BCD -中，,2,AD AB AB AD ACD ⊥== 为等边三角形，三棱锥A BCD -的体积为23，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为.变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在Rt ABC 中，2C π=，2AC BC ==，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D CD ⊥，如图②.若F 是1A B 的中点，则四面体FCDE 的外接球体积是（）A ．2πBC ．6D ．12变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，⊥AE 面ABCD ，2EQ QD = ，2EP PB = ，12ER RC = ，若RP RQ ==，则四棱锥E ABCD -外接球表面积为（）A ．44πB ．54πC ．176πD ．216π变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，AD ＝2，M 是棱11B C 的中点，过点B ，M ，1D 的平面α交棱AD 于点N ，点P 为线段1D N 上一动点，则三棱锥1P BB M -外接球表面积的最小值为．变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ､1AA 的中点，G 为面对角线1B C 上一个动点，则三棱锥1A EFG -的外接球表面积的最小值为.变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥-P ABC 的外接球半径的取值范围为．题型十四：外接球之空间多面体例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为2cm ．例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为.例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于．变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（）A ．11πB ．(8π+C ．(8π+D 题型十五：与球有关的最值问题例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱ABC A B C '''-中，,4AC BC AC BC ⊥==，棱柱的侧棱足够长，点P 在棱BB '上，点1C 在CC '上，且1PA PC ⊥，则当△1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的体积为.例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，3π,24BCA AC BC ∠===，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，三棱锥1E BCC -外接球的体积为.变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC⊥BC ，AC =3BC =，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为．变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC 为等腰直角三角形且4BA BC ==，若该三棱锥体积的最大值为323，则其外接球的表面积为.变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，2AB AC BC m ===，M 为AC 的中点，若三棱锥P ABM -的顶点均在球O 的球面上，D 是球O 上一点，且三棱锥-D PAC O 的体积为.变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD，则这个球的表面积为.题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球的球心为O ，则球O 的体积为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱111ABC A B C -存在内切球，若3,4,AB BC AB BC ==⊥，则该三棱柱外接球的表面积为（）A ．26πB ．27πC ．28πD ．29π例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32π3，则该正方体的体积为（）A ．4B ．16C ．8D ．64变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（）A ．B ．5:1C ．:1D ．6:1变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，D 是侧棱BB '上一点，E 是侧棱CC '上一点，若线段AD DE EA '++的最小值是在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（）A ．2:1B ．3:2C ．7:3D ．7:4变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，。

球专题几何体的外接球与内切球问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册

温故知新
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π

,解得

,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习：过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2

高中数学外接球教案模板

教学目标：1. 理解外接球的概念，掌握求外接球半径的方法。

2. 通过实例，学会运用几何知识解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。

教学重点：1. 外接球的概念2. 求外接球半径的方法教学难点：1. 理解外接球与内切球的关系2. 运用几何知识解决实际问题教学过程：一、导入1. 提问：什么是球的内接体？什么是球的外接体？2. 引入外接球的概念：如果一个多面体的所有顶点都在一个球的球面上，那么这个球称为该多面体的外接球。

二、新授课1. 讲解外接球的概念，结合实例让学生理解。

2. 介绍求外接球半径的方法：a. 利用球心到多面体顶点的距离相等求半径；b. 利用几何关系，如勾股定理、相似三角形等求半径；c. 利用长方体、正方体等特殊几何体的性质求半径。

3. 通过实例讲解，让学生掌握求外接球半径的方法。

三、课堂练习1. 完成以下练习题，巩固所学知识：a. 已知一个正方体的棱长为a，求其外接球的半径。

b. 已知一个正四面体的棱长为a，求其外接球的半径。

c. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其外接球的半径。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调外接球的概念和求半径的方法。

2. 引导学生总结外接球与内切球的关系。

五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 预习下一节课内容。

教学反思：本节课通过讲解外接球的概念、求半径的方法，并结合实例进行讲解，让学生掌握了求外接球半径的基本技能。

在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重学生的空间想象能力培养，引导学生从几何图形中抽象出外接球的概念。

2. 通过实例讲解，让学生理解外接球与内切球的关系，提高学生的逻辑思维能力。

3. 在课堂练习环节，注重培养学生的动手能力和解题技巧。

4. 课后作业布置要合理，既要巩固所学知识，又要培养学生的自主学习能力。

2022年高中数学新北师大版精品教案《球的内切与外接的解技巧》

【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，根本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握根本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．【方法点评】类型一球的内切问题使用情景：有关球的内切问题解题模板：第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．〔1〕求两球半径之和；〔2〕球的半径为多少时，两球体积之和最小．【答案】〔1〕；〔2〕当时，体积之和有最小值．【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察与和棱长间的关系即可．【变式演练1】一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？【答案】球取出后，圆锥内水平面高为．【解析】又，那么，解得．答：球取出后，圆锥内水平面高为．【点评】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降局部圆台的体积等于球的体积，列式求解．考点：空间几何体的体积；【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的外表积与体积．【答案】，．∴得：，∴．∴．【点评】球心是决定球的位置关键点，此题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的根本量，这是解决球有关问题常用的方法．比方：四个半径为的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，那么第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是，四个球心构成一个棱长为的正四面体，可以计算正四面体的高为，从而上面球离开桌面的高度为．考点：空间几何体的球体积和外表积【变式演练3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．【答案】．考点：空间几何体的球体积和外表积【变式演练4】三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，那么点到平面的距离的最大值为【答案】【解析】试题分析：由，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，那么到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，那么那么到面距离的最大值为考点：三棱锥的外接球【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法1求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．2假设球面上四点II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，那么球的外表积为【答案】【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以【考点】球的外表积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点一般为接、切点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径直径与该几何体量的关系，列方程组求解【反应练习】１．一个圆锥内接于球〔圆锥的底面圆周及顶点均在球面上〕，假设球的半径，圆锥的高是底面半径的2倍，那么圆锥的体积为___________．【答案】考点：圆锥与球．２．设三棱柱的侧棱与底面垂直，，，假设该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，那么直线与直线所成角的余弦值为〔〕A． B． C．D．【答案】B【解析】试题分析：由，假设棱柱的所有顶点都在球面上，那么同高的长方体个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为，由于长方体底面为边长为的正方形，故侧面的对角线为，由余弦定理可知，直线与直线所成角的余弦值为考点：三棱柱外接球、异面直线所成角．【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥⑶假设棱锥含有线面垂直关系，那么可将棱锥补成长方体或正方体⑷假设三棱锥的三个侧面两两垂直，那么可将三棱锥补成长方体或正方体３．【2021河省衡水第一中学模拟】某棱锥的三视图如下图，那么该棱锥的外接球的外表积为〔〕A B C D【答案】A，利用正弦定理可以求出的外接圆半径，，，平面，那么，那么球的半径，外接球的外表积为，选A4 【2021湖南湘东五校联考】正三棱锥N∥，∥,所以就是和所成角，而是等边三角形，所以故填11【2021湖南衡阳第八中学模拟】三棱锥，在底面中，，，面，，那么此三棱锥的外接球的外表积为______【答案】。

高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件

)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN，其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱，点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面

空间几何体的外接球和内切球问题讲课教案

空间几何体的外接球和内切球问题空间几何体的外接球和内切球问题类型1 外接球的问题1.必备知识：(1)简单多面体外接球的球心的结论.结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.(2)构造正方体或长方体确定球心.(3)利用球心O 与截面圆圆心O 1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法1AB DC AD BC BD AC ======例1-1、正四面体的棱长都为，求此四面体外接球和内切球的半径例1-2、四面体中，，求此四面体外接球的表面积例1-3．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（）A.3B.6C.36D.9训练1（创新110页）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.25πB.26πC.32πD.36π训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π例2-1（创新110页）体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773π B.2873π C.19193π D.76193π 例2-1（创新109页）三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π 类型2 内切球问题1.必备知识：(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.【例3】体积为4π3的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________. 空间几何体的外接球和内切球问题近几年高考题1、（2019全国1卷第12题）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A ．B ．C ． D2、（2018全国3卷第10题）．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．3．（2017全国1卷第16题）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______．4、（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.3π4 C.π2 D.π4 5、（2016年全国1卷第6题）．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是 ( )（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π6、（2016年全国3卷第10题）在封闭的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是( ) (A)4π (B)9π2 (C)6π (D)32π37、（2015年全国1卷第11题）．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）（A ） 1 （B）2 （C ）4 （D ）88、（2015年全国2卷第9题）．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π 7.(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π49、（2013年课标1卷第6题）、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 310、（2012课标卷第11题）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（）()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 2211、（2011课标卷第15题）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。

内切球和外接球常见解法讲课稿

内切与外接1 球与柱体1.1 球与正方体例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．22B ．1C ．212+D 21.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径2222l a b c R ++== 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3 球与正棱柱例3 正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为 .2 球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r ==例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥例5 在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱 23SA =,则正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是______2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝3侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．π B.3π C. 4π D.43π 接球的球心,则2SC R =. 例7 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( )A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125 3 球与球对多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例7 在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（）4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.例：与正四面体各棱都相切的球的半径为棱的一半：.例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四篇一：程序员实习总结范文以前在校很少自己做程序,对软件工程更是一无所知.来到公司,开始接触大规模(其实现在看来实习的项目其实还是很小的)软件开发,一时真的有些迷茫.比起VSS,MVC,QA,CMMI,我对JAVA,JSP,XML的一窍不通根本不值一提.大家都不想输在起点,所以都默契地在加班,这样一直持续了实习的两个月.刚来的时候始业教育显得慢吞吞,我们还经常盘算去哪哪玩之类的.我和FLYSKY(20个新生里唯一一个南区的兄弟,软件学院的)还经常出去吃各种小吃,每到一处都尝尝本地的风味,这是他的习惯.之后开始的培训还不是很难过,JAVA,C++,ORACLE,老师们讲的很好,可以说是非常好,好得我们没有几个人能听懂.大家开始发愁,我也是每天晚上都基本看书到10点.我心说得亏哥们我还练过,来之前的2月份我就自己买了一本THINKING IN JAVA,看懂看不懂怎么说也算是准备了一下JAVA.C++虽说没去上过课,但凭我的直觉我就一下看中这东西很有用,自己也看过一阵.至于ORACLE,虽然不了解,但毕竟因为佩服云飞扬的性格和敬业精神,咱SQL选修也不是白混的.专业倒还有点基础,再加上咱这自学能力也不是吹的,基本维持.可等到后来的日语课就全迷糊了:本就没有语言天赋,再加上记忆严重欠缺,总是特别害怕去上日语课.不过特别喜欢那个老师说话的感觉,加上她一直对我都很好,所以还是很用心的学着.随着培训的收尾,我们开始正式进入项目.从需求分析,概要设计到详细设计,我们一步一步的开始接触软件开发的每个细节.最受不了的就是每天都要记周报,填写自己的劳动成果.因为这个我还被QA通报了好几次呢,真的很郁闷.其实现在我很感谢这种制度化的东西,某些情况下好习惯的养成是要靠强制来确保的.详细设计之后就是企盼已久的编码,我心想终于可以做点正事了.现在回头一看才知道,其实编码只占软件开发的整个过程劳动量的1/4左右,而且其他的环节也不是想象中的那么无足轻重.编码我其实做的很不好,主要是因为需求分析阶段就没有认真仔细的理解需求和规格说明,加上编码时一个关键时段我回校和老同学叙旧.那阵项目经理(PM)就经常和我们说,有问题自己想办法,不要经常问我.PM其实是在叫我们自己酝酿,遇到难题只有憋一憋才能有真的收获.而我不在的那三天正好是大家技术/思路上的一个跃迁,很多难题的解决方法都基本成熟,大家的编码也接近50%了,所以回来时我感觉已经掉队很多.再一个就是编码中期时机器出问题,环境搭不上了,这使我更加紧张和急躁,大大影响了我的士气.后来利用五一其间的加班我终于赶完了自己的模块,达到了第一个里程碑.其实从发现落后到加班赶完这段经历,对我来说也具有里程碑的意义.不仅考验了我自己的能力和心理素质,也证明了我对集体的责任感和合作意识.我可以叫别人来帮我做赶上进度,但那样我会错过自己学习的机会,以后再遇到难题我还是不行;我也可以硬着头皮导致项目延期,那样我以后的日子保证不好过,而且这么做也不符合我的性格.事实证明我顶住压力独立完成任务不管是对集体还是对我个人都是一件大好事.紧张的编码之后是单体测试,很多人都在继续编码,原来大家的编码都是没有完全做完.本是自己给自己挑毛病的过程,我们却都用来完成之前没有完成的任务,说来不禁可笑.。

高考球的外接、内接球问题

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体或直棱柱．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
例1、如下图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，DAB 60
.
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体或直棱柱．
例3、在三棱锥中A-BCD中，AB 平面BCD ，CD BC ,
AB=3,BC=4,CD=5, 则三棱锥A-BCD外接球的表面
积
. 50
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体或直棱柱．
.( 1)6
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
例2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该
正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底
面周长为３，则这个球的体积为 4 .
8
3
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
（1）截面图为正方形的内切圆EFGH，得
；
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，
如图4作截面图，圆o为正方形EFGH的外接圆，易得
。
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1
作截面图得，圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得
。
图3
图4
图5
2.棱锥的内切球（分割法）
.
4
3
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共
斜边的中点就是其外接球的球心．

【高中数学】立体几何中外接球内切球专题课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

A．4π B．3π C．2π D．π
答案 A 解析由已知， 2R 12 12 ( 2)2 2 ， S球 4 R2 4 π．
(4)在正三棱锥 S－ABC 中，M，N 分别是棱 SC，BC 的中点，
且 AM MN ，若侧棱 SA 2 3 ，则正三棱锥 S－ABC 外接球的表面
积是________．
2
空间几何体的外接球与内切球十大模型
1．墙角模型； 2．对棱相等模型； 3．汉堡模型； 4．垂面模型； 5．切瓜模型； 6．斗笠模型； 7．鳄鱼模型； 8．已知球心或球半径模型； 9．最值模型； 10．内切球模型．
3
一、墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模
型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c2。可求出球的半径
4
2
7a 2
7
， a 2
．在正四面体
A BCD 的边长为 2，外接球的半径 R
6a 4
6
2 ，外接球的体积
V 4 R3
3
6 ．
12
(5) 已知三棱锥 A BCD ，三组对棱两两相等，且
AB CD 1 ， AD BC 3 ，若三棱锥 A BCD 的外接球表面
足为 BC 的中点 M．又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
所以球 O 的半径 R＝OA＝
5 2
2＋62＝13． 2
另解过 C 点作 AB 的平行线，过 B 点作 AC 的
平行线，交点为 D，同理过 C1 作 A1B1 的平行线，过 B1 作 A1C1 的平行线，交点为 D1，连接 DD1，则 ABCD－A1B1C1D1 恰好成为球

球的外接、内切问题-2024届高三数学二轮专题复习课件

专题：与球有关的内切与外接问题
1
一、球体的体积与表面积
二、球与①多V面球体的43接、R切3
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
D A
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
设棱长为1
正方形的对角线等于球的直径。 S乙 4 R22 =2
球外接于正方体
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
设棱长为1
A1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5、1 ，求长方体的
A O
C
A B
B
O
D D
C
典型：正四面体ABCD的棱长为 a，求其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合 4、基本方法：构造三角形利用类似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
球与棱柱的组合体问题例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )

2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球

第7讲外接球与内切球知识与方法1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法.（1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算外接球半径.（2）构建平面截球模型：寻找截面圆心以及球心到截面的距离，通过222R r d =+计算外接球半径.2.设球的半径为R ，有5个常用计算公式.（1）正方体外接球半径：R =，其中a 为正方体棱长，如图1.（2）长方体外接球半径：R =a ，b ，c 分别为长方体的长、宽、高，如图2.（3）正四面体外接球半径，4R a =，其中a 为正四面体棱长，如图3.（4）直三棱柱外接球半径：R =，其中r 为底面外接圆半径，h 为直三棱柱的高，如图4.（5）圆柱外接球半径：R =，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的母线长，如图5.提醒：①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式，需结合图形将其记住，还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理；②一些不能通过简单补形求解的模型，如球内接正棱锥，球内接圆锥等，可以通过分析几何关系，转化为平面截球模型计算外接球的半径.题组一1.（★★）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______.【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，故a =3322R a ==，其体积34932V R ππ==.【答案】92π2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球【提炼】正方体棱长a 与其外接球半径R 之间的关系为32R =.2.（★★★）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60DAB ∠=︒，E 为AB 中点，将ADE 与BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使点A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（）【解析】由题意，可将平面图形等腰梯形ABCD 补全为正三角形FAB ，如图，那么在完成题干所描述的翻折后，还可将CDF △沿着CD 翻折，使得点F 也与点P 重合，显然此时得到的是一个棱长为1的正四面体，即三棱锥P DCE -是棱长为1的正四面体，其外接球半径R =343V R π==.【答案】C【提炼】正四面体的棱长为a ，则其外接球半径为64a ，内切球半径为612a ，证明方法可参考附赠的小册子《高考数学常用二级结论》.3.（★★）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.【解析】长方体的外接球半径R =，其中a ，b ，c 分别为长、宽、高，故R =O 的表面积2414S R ππ==.【答案】14π【提炼】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其外接球半径2R =4.（★★）已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.323π B.4π C.2π D.43π【解析】首先得知道什么是正四棱柱，它指的是底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱，也是一种特殊的长方体，高考这种名词都是直接给，必须清楚其结构特征.外接球半径1R ==，故该球的体积34433V R ππ==.【答案】D5.（★★）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】设正四棱柱底面边长为a ，则2416a =，即2a =，其外接球的半径2242R ==，故所求球的表面积2424S R ππ==.【答案】C 6.（★★★）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______cm 2.【解析】设正四棱柱的高为h cm ，则1112=，故h =，即该棱柱的表面积(2S =+cm 2.【答案】2+题组二7.（★★★）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）B. C.132D.【解析】这道题可能不少同学会有这么一个困惑，就是题干没给出三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，是不是题干有问题呢？当然不是，事实上，斜棱柱是没有外接球的，所以题干的说法本身就隐含了三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱这一条件.本题的直三棱柱可通过补形为长方体来计算外接球半径，如图，三棱柱111ABC A B C -与长方体有相同的外接球，该球的半径为34121322R ==.【答案】C 8.（★★★）3______.【解析】本模型一般称为墙角三棱锥，可补形为正方体（或长方体）来处理．如图，将三棱锥B ACD -补全为正方体，并放到了球体之中，可以看到二者有相同的外接球，正方体棱332R =，故外接球表面积249S R ππ==.【答案】9π【提炼】三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角三棱锥）可补形为长方体或正方体来计算外接球半径.题组三9.（★★★）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π【解析】如图，设G 为ABC △的中心，ABC △外接圆半径233323r AG ==⨯=，1122a OG AA ==，球的半径22712R r OG a =+，故球的表面积22743S R a ππ==.【答案】B【提炼】①设直三棱柱底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②关键是计算底面三角形外接圆半径，对于直角三角形，外接圆半径等于斜边长的一半，若是倍，等于高的23倍；若是普通的三角形，则可利用正弦定理计算外接圆半径.10.（★★★）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA -==，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______.【解析】如图，在ABC △中，由余弦定理得222122222122BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得BC =.由正弦定理得42sin BC r BAC ==∠，解得2r =，故1112OG AA ==，所以球的半径R ==，故球的表面积2420S R ππ==.【答案】20π题组四11.（★★★）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A. B. C. D.【解析】如图，先计算ABC △外接圆的半径r ，设ABC △边长为a .则2122a ⋅⋅=，解得6a =，所以62sin 60r =︒，解得r =，所以2OG ==，当D 点位于GO 延长线上时，三棱锥D ABC -的高最大，底面积不变，此时体积最大，最大值为()1243V =⨯+=【答案】B【提炼】本题三棱锥D ABC -的体积最大时，D ABC -是正三棱锥，正三棱锥外接球的计算问题，解题的关键是构建AOG △，在这个三角形中，满足222OA AG OG =+，即222R r d =+，其实这就是前一小节的平面截球模型，只要是正棱锥，都可以采用这个办法处理.12.（★★★）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A.814πB.16πC.9πD.274π【解析】如图，由题意，得14PO =，1AO =设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，故14OO R =-.在1OO A △中，22211AO OO AO +=，即()2224R R +-=，解得94R =，故该球的表面积28144S R ππ==.【答案】A【提炼】正四棱锥外接球的有关计算，关键是构建1AOO ，在这个三角形中，利用22211OA AO OO =+建立等量关系，其实就是平面截球模型的处理方法.13.（★★★）正四棱锥S ABCD -点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_____.【解析】解法1：如图1，设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO =.设正四棱锥外接球球心为O ，半径为R ，则OA R =，11OO R =-，在1AOO 中，22211OO AO AO +=，故()2211R R -+=，解得1R =，即外接球体积为34433V R ππ==.解法2：设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO ==，因为11SO AO =，所以1O 即为球心，球的半径为1，体积34433V R ππ==，本题实际的图形是图2.【答案】43π14.（2021·全国甲卷·理·11·★★★）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC BC ⊥，1AC BC ==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212B.312C.24D.34【解析】如图，由题意，2AB =，设D 为ABC △的外心，则1222AD AB ==，2222OD OA AD =-=，所以1112211332212O ABC ABC V S OD -=⋅=⨯⨯⨯⨯ .【答案】A题组五15.（★★）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.34πC.2π D.4π【解析】如图，由题意得1OA =，112OO =，故132O A =，圆柱体积233124V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】B【提炼】圆柱外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的高.16.（★★★★）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2224h r R rh +=≥，当且仅当2h r =时等号成立，故圆柱的侧面积2S rh π=的最大值为22R π，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422R R R πππ-=.【答案】22R π题组六17.（★★）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. B.1:3C.1:D.1:9【解析】设正方体的棱长为a ，则其内切球、外接球的半径分别为12aR =，2R =，故正方体的内切球与其外接球的体积之比3113224343R V V R ππ==.【答案】C【提炼】设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径2a R =.18.（★★）如图，圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是______.【解析】如图，设球的半径为R ，则213223423V R R V R ππ⋅==.【答案】3219.（2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______.【解析】如图，该圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为R ，则OB OG R ==，1AB AG ==.由题意得PG =OP R =-，2PB PA AB =-=.在POB 中，222OB PB OP =+，故()224R R +=，解得22R =，即球的体积3433V R π==.【答案】2320.（★★★★）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）A.4π B.92π C.6π D.323π【解析】要解决这道题，得先搞清楚一件事，那就是最大的球到底是和棱柱的侧面相切，还是与底面相切？如图，可求得底面直角三角形的斜边10AC =，将底面Rt ABC △单独拿出来分析其内切圆半径r ，图中BP NQ r ==，故8PC r =-，即8CM PC r ==-，PN BQ r ==，故6AQ r =-，即6AM AQ r ==-，所以8614210AC CM AM r r r =+=-+-=-=，解得2r =，由123r AA >=知最大球的半径为32，体积3439322V ππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.【答案】B题组七21.（★★★）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC-体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】设球O的半径为R，当点C位于如图所示位置（OC⊥平面AOB）时，三棱锥O ABC-的体积最大，最大值为321136326RR R⨯⨯==，即6R=，故球O的表面积24144S Rππ==.【答案】C22.（★★★）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为________.【解析】如图，由题意知，SAC△，SBC△都是以SC为斜边的等腰直角三角形，设球O的半径为R，故31129323S ABCRV R R R-=⋅⋅⋅⋅==，即3R=，故球O的表面积2436S Rππ==.【答案】36π第8讲经典模型之对棱相等知识与方法四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.如图，设长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则222222222a b t b c n a c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得2222222m n t a b c ++++=，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R ++=，所以R =.典型例题【例题】四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，5AD BC ==，则该四面体外接球的体积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型3464233R V R π⇒===.【答案】3变式1三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥外接球表面积为（）C.432π D.43π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型24432R S R ππ⇒====.【答案】D 变式2A 、B 、C 、D四点在半径为2的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】由题意，四面体ABCD 是对棱相等模型，设AB CD x ==，则R x ==ABCD补全为如图所示的长方体，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222222413425a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：453a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体ABCD 的体积1134543452032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.【答案】20强化训练1.（★★★）四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.25πB.45πC.50πD.100π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2524502R S R ππ====.【答案】C2.（★★★）半径为1的球面上有不共面的A 、B 、C 、D 四点，且AB CD x ==，BC AD y ==，AC BD z ==，则222x y z ++=（）A.16B.8C.4D.2【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，22218R x y z =⇒++=【答案】B3.（★★★）四面体ABCD 中，5AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==接球的半径为（）A.2B. C.132 D.13【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，132R =【答案】C4.（★★★）在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ====接球的表面积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2144R S R ππ==⇒==【答案】4π5.（★★★★）在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，PB AC =，PC AB =，且4PB PC ⋅=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为________.【解析】设PB AC x ==，PC AB y ==，则4xy =，所以三棱锥P ABC -的外接球半径62R =≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为246ππ⨯=⎝⎭.【答案】6π6.（★★★★）四面体ABCD 的顶点都在球O 的表面上，4AB BC CD DA ====，AC BD ==，E 为AC 中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值之比为（）A.5:42D.5:2【解析】四面体ABCD是对棱相等模型，所以R =，将四面体ABCD 放入长方体如图，截面面积的最大值为215S R ππ==，当截面面积最小时，截面与OE 垂直，其中O 为球心，设FA a =，FB b =，FC c =，则222222216182216a a b a c b OE b r c b c =⎧⎧+=⎪⎪+=⇒=⇒=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，即截面面积的最小值为222S r ππ==，故12:5:2S S =.【答案】D。