材料成型力学第四章

平面变形时
σ z = (σ x + σ y ) 2
σ1 1 1 2 2 (σ x − σ y ) + τ xy = (σ x + σ y ) ± σ3 2 4
τ max
1 1 2 2 = (σ 1 − σ 3 ) = (σ x − σ y ) + τ xy 2 4 σ1 = − p + k σ2 = −p σ3 = − p − k
2 4k
p0 + 2kφ0 = pa + 2kφa
pa = p0 + 2k(φ0 − φa )
(a) (b)
n
p0 − 2kφ0 = pb − 2kφb
(b)＋(a)
pb = p0 + 2k(φb −φ0 )
2
2k (φb − φ a ) = p a + pb − 2 p0
b
pc = pa + pb − p0
由莫尔圆
σ 1 = σ n + 2k
面的问题
（3）完全粗糙的接触面 ）
σn = p τ=k α σ1 σ3 σ3 π /4
+k +τ
－σ
σ3
σ2
2φ = π /2
σ1
0
-k
β
σn = p
－τ
φ = ±0.5 arccos
k =0 k
p = −σ n + k sin 2φ = −σ n = −σ 2
o
φD
A
φA
x
pC − p A = 2k (2φ D − φ C − φ A )
φ A − φD = φB − φC
推
论
α β β α
同族滑移线中， ① 同族滑移线中，某一 线段是直线时， 线段是直线时，则这 族滑移线的其他条线 段也是直线. 段也是直线. ② 同族滑移线必须具有 相同方向的曲率. 相同方向的曲率. ③ 如果一族滑移线是直 线，那么与其正交的 另一族滑移线将具有 如图所示的4 如图所示的4种类型
(b)－(a)
φα β
o
nβ c
φβ
α β
φα / 2
m
pb − p a = 2k (φb + φ a ) − 4kφ 0
φβ /2
nα
φc = φ a + φb − φ 0
φA
α
φα
a
1
φβ
4.7 滑移线理论的应用实例 例1；接触面表面光滑情况下的单位压力公式 ； (1) 以边界条件绘出滑移线场 自由表面
+k
+τ
σ1 = 0
π /4 α
π /4
σ 3 π /4
π /4 β
σ3
σ2
-k
σ1
0
σ 3 ＝－2 k
－τ
φ = ±0.5 arccos
0 π =± k 4
舍去负的
p = −σ n + k sin 2φ = 0 + k sin
π
2
= k = −σ 2
由莫尔圆
σ1 = 0
σ 3 = −2k
面的问题
（2）无摩擦的接触面 ）
v1
P 1'
Q o x
4.4.3 速度不连续 沿α线 线
dvα − v β dφ = 0
Hale Waihona Puke vβ + c不满足 即 法向速度连续 满足 即 切向速度可以不连续
vα + c
v' v 't
θ
v 'n
D'
A' C' D
B'
L
A
θ
C B
r r r v′ = v + ∆vt
vt =v 't -vt
v 't vt
pa − 2kφ a = pb − 2kφb = LL
沿β 线
4.3 滑移线场的几何性质 性质1 性质1 在同一条滑移线上，由点 到点b， 在同一条滑移线上，由点a 到点 ，静水压力的变化
与滑移线的切线的转角成正比. 与滑移线的切线的转角成正比.
p a + 2kφ a = pb + 2kφ b
p a − pb = −2k (φ a − φ b )
y
α β β α
φB − φ
C
p B − 2kφ B = pC − 2kφ C
pC − p A = 2k (φ A + φ C − 2φ B )
A D（沿b 线） （
C B
φA − φD
D
p A − 2kφ A = pD − 2kφD
D C （沿a 线） p D + 2 k φ D = pC + 2 k φ C
∂p ∂p dy ∂φ dx + dy + 2k dx cos 2φ + sin 2φ ∂x ∂y dx ∂x ∂φ dy + 2k dx sin 2φ − cos 2φ = 0 dx ∂y
dy = tan φ dx
多媒体课件
材料成形力学
主 讲
东北大学
王平
材料与冶金学院
第4章 滑移线场理论及其应用 章
概述
1、滑移线场的绘制 、
2、应力状态的求解 、
y
o
x
4.1 滑移线场的基本概念
4.1.1 平面塑性变形的基本方程式
1 1 σ m = (σ x + σ y + σ z ) = (σ x + σ y ) = σ 8 = σ z = σ 2 = − p 3 2 P；定义为静水压力
y b
a o
滑移线
∆ p = − 2 k∆ φ
φb
φa
x
性质2 在已知的滑移线场内，只要知道一点的静水压力， 性质2 在已知的滑移线场内，只要知道一点的静水压力， 即可求出场内任意一点的静水压力， 即可求出场内任意一点的静水压力，从而可以计算出各点的 应力分量. 应力分量.
β2 α2
b
β1
α1
d
pb = p a + 2k (φ a − φ b )
由莫尔圆
σ1 = σ n + k
σ3 =σn − k
面的问题
（4）库仑摩擦的接触面 ）
p
σ1
+k
p
π /4
_k
+k
+τ
σn
φ π /4
－σ
σ3 α β τ n = f σn
2φ
σ2
σ1
0
-k
σn
－τ
1 fσ n φ = arccos 2 k
p = −σ n + k sin 2φ = −σ 2
a
1
n nβ c m
β
o
φβ /2
nα
φβ
x
0
pb + 2kφb = p c + 2kφ c p a − 2kφ a = p c − 2kφ c
进一步简化
1 p c = ( p a + p b ) + k (φb − φ a ) 2 1 1 φ c = (φ a + φb ) + ( pb − p a )
σx
- τ max = k σ 2 = ( σ x+ σ y)/ 2 =- p
σx σ3
σ x = −( p + k sin 2φ ) = − p − k sin 2φ
σ y = −( p − k sin 2φ ) = − p + k sin 2φ
基本应力方程
τ xy = k cos 2φ
4.2 汉基应力方程
cos dφ ≈ 1 sin dφ ≈ dφ
β
y
dvα − vβ dφ = 0
同理
v1 vβ vα
v2 v β +d v β v α +d v α
α
P3 dφ
dv β + vα dφ = 0
φ
P2
φ +d φ
x
P1
4.4.2 速端图
v3 y
v2
v1 a P2 P1 y v3 P v2
P3
x
' 3
P 2' b
σ 1 在一、三象限。 在一、三象限。
o
y
α
k P
k
φ
x
β
（2） 平面变形时的基本方程 ） 张量
σ x τ yx 0 σ 1 Tσ = τ xy σ y 0 = 0 0 0 σz 0
σy
0 σ1 + σ 3 2 0
0 0 σ3
dy = tan 90 0 + φ = − cot φ dx
y
(
)
y
β
P φ
α
dy
滑移线微分方程
∂p ∂p dp = dx + dy ∂y ∂x
∂φ ∂φ dφ = dx + dy ∂x ∂y
dx o
x
x
沿 α线
∂φ ∂φ dp + 2k dx(cos 2φ + sin 2φ tan φ ) + 2k dx(sin 2φ − cos 2φ tan φ ) = 0 ∂x ∂y
τ yx
σ3
p
σ1
状态图
τ xy
σx
k k p
k σ y ,τ yx 莫尔圆
σ3
σ2 σ1
τ
o