第七讲 矩阵的微分与积分

dx(t ) Ax(t ) ，其解为 dt
x(t ) e(t -t0 ) A x(t0 )
特 别 地 ， t ＝ 0 时 x(t ) etA x(0) etAc . 对 该 解 求 导 , 可 验 证
dx(t ) AetAc Ax(t ) ， dt
x(t ) e0 Ac Ic c x(0) ,表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确.
f x 11 f x m1 f x1n ， 特别地，x [ x1 , x2 , f xmn
df f ( ) mn dX xij
数量函数 f(x) , xn ]T 时，
1
对向量变量 x 的导数为 df ( f , f , , f )T （即函数 f(x)的梯度向量，记为 gradf） dx x1 x2 xn 例2 (1)设常向量 [a1 , a2 ,
第七讲 矩阵微分与积分
一、函数矩阵的微分和积分 1. 函数矩阵导数定义：若函数矩阵 A(t ) (aij (t ))mn 的每一个元素 aij ( t ) 是变量 t 的可微函数，则称 A(t)可微，其导数定义为 dA(t ) A(t ) ( daij (t ) ) . mn dt dt 注：类似可以定义高阶导数，又可以定义偏导数。 例 1 求函数矩阵
, an ]T ，向量变量 x [ x1 , x2 , , xn ]T 且 f ( x) T x x T ，求 df ;
dx dX
(2)设常矩阵 A (aij )mn ，矩阵变量 X ( xij )mn 且 f ( X ) tr ( AX ) ，求 df ; (3) 设常矩阵 A (aij )mn ，向量变量 x [ x1 , x2 ,
, xn ]T 且 f ( x) xT Ax ,求 df .（P77）
dx
例3
已知矩阵变量 X ( xij )mn ，且 det X 0 ,证明 d det X (det X )( X 1ห้องสมุดไป่ตู้)T .(P77)
dX
三、矩阵分析应用 1、 （1）一阶线性齐次常系数常微分方程组
1 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组 dt a11x1 (t ) a12 x2 (t ) a1n xn (t ) dx (t ) dx (t ) 2 a21 x1 (t ) a22 x2 (t ) dt dxn (t ) a x (t ) a x (t ) n1 1 n2 2 dt a2 n xn (t )
3. 函数矩阵积分定义：若矩阵 A(t ) (aij (t ))mn 的每个元素 aij ( t ) 都是区间 [t0 , t1 ] 上的可积函数，则 称 A(f(X)ft)在区间 [t0 , t1 ] 上可积，并定义 A(t)在 [t0 , t1 ] 上的积分为 4. 积分性质（1）
t
t1
证（5）
d tA (e ) AetA etA A . dt
1 d tA d 1 1 1 A( I tA t 2 A2 ) AetA ; (e ) ( I tA t 2 A2 t 3 A3 ) A tA2 t 2 A3 2! dt dt 2! 3! 2! 又 d (etA ) d ( I tA 1 t 2 A2 1 t 3 A3 ) A tA2 1 t 2 A3 ( I tA 1 t 2 A2 ) A etA A . dt dt 2! 3! 2! 2!
ann xn (t )
式中 t 是自变量, xi (t )(i 1,2, , n) 是 t 的一元函数, aij (i, j 1,2, , n) 是常系数.令 x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )]T ，
A [aij ]n ，则原方程组变为矩阵方程
e
0
t
- sA
b(s)ds c(0)
t
（由积分性质(3)可验证 c(t)是解） ， 由初始条件 x( 0 ) c( 0 ) ， 有 x(t ) etA[ x(0) e- sAb(s)ds] .
0
例 4 求解微分方程组初值问题 (P81)
dx (t ) 1 x(t )1 x3 (t ) 1 dt dx2 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t ) 1 dt dx3 (t ) 3 x3 (t ) 2 dt 4 x1 (t ) x1 (0) 1, x2 (0) 0, x3 (0) 1,
解
-sin t
cos t
x2 (t )
-sin t
cos t r2 r2 cos t - r1 sin t
（2） 、一阶线性非齐次常系数常微分方程组 dx1 x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )]T ; dx(t ) dt a11 x1 (t ) a12 x2 (t ) a1n xn (t ) b1 (t ) 令 ，化为矩阵方程 Ax(t ) b(t ) . T b ( t ) [ b ( t ), b ( t ), , b ( t )] ; dt 1 2 n dx2 a x (t ) a x (t ) a x (t ) b (t ) 21 1 22 2 2n n 2 A (a ) dt ij n
例
dx1 x2 求解微分方程组 ， 初始条件为 x1 (0) r1 dt x (0) r 2 2 dx 2 -x 1 dt
cos t sin t r1 r1 cos t r2 sin t . 上讲已求得 tA cos t sin t ，故 x (t ) e x(t ) 1 etAx(0)
0
t1 . A(t )dt t aij (t )dt 0 mn
t [ A(t ) B(t )]dt = t
1 0
1 1 0
t
t
1
0
t A(t )dt ± t B(t )dt ；
1 0
1 1
（2） t A(t ) Bdt = t A(t )dt B, t AB(t )dt = A t B(t )dt ； t t t t

0

0

0

t （3） d A(s)ds A(t ) （当 A(t)在[a,b]连续时，对 t [a, b] ） ； a dt
（4） A '(t )dt A(b) - A(a) （当 A(t)在[a,b]连续可微时）.
a
b
二、数量函数对矩阵变量的导数 1.定义：设 f(X)是以矩阵 X ( xij )mn 为自变量的 mn 元函数，且 f (i 1, 2, , m; j 1, 2, n) 都存在，规 xij 定 f 对矩阵变量 X 的导数为
盾方程组的最小二乘解。为应用，考虑实矩阵与实向量的情形。 定 理 1 设 A Rmn , b Rm , 若 x0 R n 是 线 性 方 程 组 Ax b 的 最 小 二 乘 解 则
x0 为 方 程 组
AT Ax AT b 的解，称之为 Ax b 的法方程组。
作业：p85
12，13，14，17，18，19
sin t cos t t 的导数。 t A(t ) et t 2 2 0 1 t3
2. 导数性质：若 A(t), B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则
d da dA （1） d [ A(t ) B(t )] dA dB ； （2） d [ A(t ) B(t )] dA B A dB ； （3） [ (t ) A(t )] ； A dt dt dt dt dt dt dt dt dt d dA 1 （4） [ A1 (t )] A1 ； A （当 A(t)可微时） dt dt d d （5） d etA AetA etA A, cos tA - A sin tA , sin tA A cos tA (A 与 t 无关)； dt dt dt
3
解
1 A 1 4
0 2 0
1 ， 0 3
上讲已求得 …….
2、最小二乘问题 最小二乘问题：设 A Cm n, b , 当线性方程组 Ax b 无解时，对任意 x C n 都在 Ax b 0 . Cm
2 此时希望找出向量 x0 C n ，使得 || Ax b ||2 达最小，即求 x0 arg min || Ax b ||2 的问题，称 x0 为矛 n xC
dxn an1 x1 (t ) an 2 x2 (t ) dt
ann xn (t ) bn (t )
采用常数变易法求解之:齐次方程的解为 etAc ，可设非齐次方程的解为 etAc(t ) ，代入方程，得：
2
dx d tA dc dc 即 dc e-tAb(t ) ， c(t ) (e )c(t ) etA Ax(t ) etA Ax(t ) b(t ) ； dt dt dt dt dt