75 可降阶的高阶微分方程分解
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高数同济六版课件D75可降阶高阶微分方程
例题一
求解一阶线性微分方程$y' - 2xy = x^2e^{x^2}$，并给 出初始条件$y(0) = 1$下的特解
01
例题二
分析一阶线性微分方程$y'
+
frac{2}{x}y = x^2$的解的结构，并讨
论初始条件对解的影响
02
03
例题三
通过常数变易法求解一阶线性微分方 程$y' - y = xe^x$，并验证所得解的 正确性
物理应用
在物理学中，许多实际问题可以抽象为可降阶高阶微分方程的形式，如振动、 波动、电磁场等问题。通过求解这些方程，可以得到实际问题的解析解或近似 解。
解题方法概述
变量替换法
通过引入新的变量或函数，将原方程转化为低阶微分方程或易于求解 的形式。
积分法
利用积分公式或技巧，对方程进行逐次积分，从而降低微分方程的阶 数。
常用变量代换技巧
幂函数代换
将方程中的某一项或几项用幂函数代替，降 低方程阶数或化简方程。
三角函数代换
利用三角函数的性质进行代换，将方程转化 为三角函数方程进行求解。
指数函数与对数函数代换
根据指数函数与对数函数的性质进行代换， 简化方程形式。
通过变量代换化简复杂方程
分析方程结构，选择 合适的代换方法。
01
方程特点
方程中不显含未知数y，但可能 显含y的导数。
02
03
求解方法
示例
通过变量代换，将原方程转化为 新变量的微分方程，进而求解得 到通解。
x^2y'' + 3xy' = 0，通过变量代 换t = y'，可将其转化为一阶线 性微分方程。
显含未知数y但可化为不显含形式型微分方程
求解一阶线性微分方程$y' - 2xy = x^2e^{x^2}$，并给 出初始条件$y(0) = 1$下的特解
01
例题二
分析一阶线性微分方程$y'
+
frac{2}{x}y = x^2$的解的结构，并讨
论初始条件对解的影响
02
03
例题三
通过常数变易法求解一阶线性微分方 程$y' - y = xe^x$，并验证所得解的 正确性
物理应用
在物理学中，许多实际问题可以抽象为可降阶高阶微分方程的形式，如振动、 波动、电磁场等问题。通过求解这些方程，可以得到实际问题的解析解或近似 解。
解题方法概述
变量替换法
通过引入新的变量或函数，将原方程转化为低阶微分方程或易于求解 的形式。
积分法
利用积分公式或技巧，对方程进行逐次积分，从而降低微分方程的阶 数。
常用变量代换技巧
幂函数代换
将方程中的某一项或几项用幂函数代替，降 低方程阶数或化简方程。
三角函数代换
利用三角函数的性质进行代换，将方程转化 为三角函数方程进行求解。
指数函数与对数函数代换
根据指数函数与对数函数的性质进行代换， 简化方程形式。
通过变量代换化简复杂方程
分析方程结构，选择 合适的代换方法。
01
方程特点
方程中不显含未知数y，但可能 显含y的导数。
02
03
求解方法
示例
通过变量代换，将原方程转化为 新变量的微分方程，进而求解得 到通解。
x^2y'' + 3xy' = 0，通过变量代 换t = y'，可将其转化为一阶线 性微分方程。
显含未知数y但可化为不显含形式型微分方程
高等数学课件--D75可降阶高阶微分方程-PPT文档资料
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f( y ,y ) 三、y 型的微分方程
d p d y d p d p 令y p ( y ), p 则 y dy dx d y d x dp 故方程化为 p f (y, p) dy 即得 设其通解为 p ( y , C ), 1
O
T t
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2 d x F t 0(t )C 1 dt m 2 T dx 利用初始条件 C 0 ,于是 t 0 0 得 1 dt 2 dx F t 0 (t ) dt m 2T 2 3 F t t C 两边再积分得 x 0( ) 2 m 2 6 T
x x 两端积分得 Ar y 0 得 C 0 , sh p C ,由 0 1 1 a
设 OA a ,则得定解问题: 1 2 y 1 y a
y
悬链线
M
T
则有
x y sh a
x
两端积分得 y a ch C ,由 yx a , 得 C 0 2 0 2 a x x a x a a 故所求绳索的形状为 y a ch (e e ) a 2 2019/3/12 同济版高等数学课件
第七章 第五节 可降阶高阶微分方程
(n ) y f (x ) 型的微分方程 一、
f ( x ,y ) 二、 y 型的微分方程
f( y ,y ) 三、 y 型的微分方程
2019/3/12
同济版高等数学课件
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(n ) 一、 y f (x ) 型的微分方程
例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
f( y ,y ) 三、y 型的微分方程
d p d y d p d p 令y p ( y ), p 则 y dy dx d y d x dp 故方程化为 p f (y, p) dy 即得 设其通解为 p ( y , C ), 1
O
T t
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2 d x F t 0(t )C 1 dt m 2 T dx 利用初始条件 C 0 ,于是 t 0 0 得 1 dt 2 dx F t 0 (t ) dt m 2T 2 3 F t t C 两边再积分得 x 0( ) 2 m 2 6 T
x x 两端积分得 Ar y 0 得 C 0 , sh p C ,由 0 1 1 a
设 OA a ,则得定解问题: 1 2 y 1 y a
y
悬链线
M
T
则有
x y sh a
x
两端积分得 y a ch C ,由 yx a , 得 C 0 2 0 2 a x x a x a a 故所求绳索的形状为 y a ch (e e ) a 2 2019/3/12 同济版高等数学课件
第七章 第五节 可降阶高阶微分方程
(n ) y f (x ) 型的微分方程 一、
f ( x ,y ) 二、 y 型的微分方程
f( y ,y ) 三、 y 型的微分方程
2019/3/12
同济版高等数学课件
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(n ) 一、 y f (x ) 型的微分方程
例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
可降阶的高阶微分方程
即 由
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.
可降阶的高阶微分方程
y
( x3 6
ex
2x)dx
x4 24
ex
x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解 令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p
C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0， ）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
可降阶的高阶微分方程高阶线性微分方程及其通解结构PPT课件
第7页/共24页
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p
ln
y lnC1，
p
C1
y，即
dy dx
C1 y，分离变量得 :
2 y 1 x 1.
注意： 在求特解的过程中，
出现任意常数后，
马上用初值条件
代入， 确定任意常数，
可以使运算简化.
当出现几支函
数时，可根据已知条件定出其中一支.
10
第10页/共24页
第四节
第十章
高阶线性微分方程及其通解结构
一、二阶线性微分方程的通解结构 二、n阶线性微分方程的通解结构
11
第11页/共24页
y1( x) k2 (无妨设k1 0) y2 ( x) k1
y1( x) 常数
y2( x)
思考: 若 y1( x), y2( x)中有一个恒为0,则y1( x), y2( x)必线性 _相__关___ .
17
第17页/共24页
y P(x) y Q(x) y 0 (1)
定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
1
第1页/共24页
4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p
ln
y lnC1，
p
C1
y，即
dy dx
C1 y，分离变量得 :
2 y 1 x 1.
注意： 在求特解的过程中，
出现任意常数后，
马上用初值条件
代入， 确定任意常数，
可以使运算简化.
当出现几支函
数时，可根据已知条件定出其中一支.
10
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第四节
第十章
高阶线性微分方程及其通解结构
一、二阶线性微分方程的通解结构 二、n阶线性微分方程的通解结构
11
第11页/共24页
y1( x) k2 (无妨设k1 0) y2 ( x) k1
y1( x) 常数
y2( x)
思考: 若 y1( x), y2( x)中有一个恒为0,则y1( x), y2( x)必线性 _相__关___ .
17
第17页/共24页
y P(x) y Q(x) y 0 (1)
定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
1
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4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
可降阶的高阶微分方程
d x dt
d x dt
3 3
dx dt
y
y,
dy dx ,
2
2
dy dt
dy dx dx dt
d( y dy
d( y
dy dx
)
dx d x dt
)
y(
dy dx
) y
2
2
d y dx
2
2
,
dt
dx
7
F ( x , x , , x
( n)
) 0,
dx dt
y,
dy dx y,
把（3.1.6）代入（3.1.8），并记
得:
X 0 - x at y y
2
把 x 作为自变量，上式两边关于x 求导得:
-1 a dt dx yy - y y
2
,
19
dt dx
dy dt dt dx
yy ay
2
（3.1.9）
dx dt ) (
dp ,
解
设 y p, 则 y p
代入方程, 得
dy 2 p 1 dp 2 C 1 C1 0 , y p -1 2 y dy
dy dx 2 y
2 3
3
3
y
2
3
2x C2 C2
3 2 2
2 1 2 , 3 2 3
c1 ,
x c2e
c1t
(c2 0), 显然x0也是原方程的解.
1
故原方程的解为 x c2e c t .
13
微分方程
y
x0
d x dt
3 3
dx dt
y
y,
dy dx ,
2
2
dy dt
dy dx dx dt
d( y dy
d( y
dy dx
)
dx d x dt
)
y(
dy dx
) y
2
2
d y dx
2
2
,
dt
dx
7
F ( x , x , , x
( n)
) 0,
dx dt
y,
dy dx y,
把（3.1.6）代入（3.1.8），并记
得:
X 0 - x at y y
2
把 x 作为自变量，上式两边关于x 求导得:
-1 a dt dx yy - y y
2
,
19
dt dx
dy dt dt dx
yy ay
2
（3.1.9）
dx dt ) (
dp ,
解
设 y p, 则 y p
代入方程, 得
dy 2 p 1 dp 2 C 1 C1 0 , y p -1 2 y dy
dy dx 2 y
2 3
3
3
y
2
3
2x C2 C2
3 2 2
2 1 2 , 3 2 3
c1 ,
x c2e
c1t
(c2 0), 显然x0也是原方程的解.
1
故原方程的解为 x c2e c t .
13
微分方程
y
x0
可降阶的高阶微分方程
§10.3 可降阶的高阶微分方程
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
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从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
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从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
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y x3 3x 1
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例4*. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
y
T
M
M 点受切向张力T 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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例2*. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且
初初速度为0, 求质点的运动规律.
解: 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F F0 (1
t T
)
m
d2 dt
y
2
o
y t0 0 , y t0 0
R
令 v dy，解方程可得
l
dt
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
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例7.
解初值问题
y e2y y x0
0 0,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
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m
d2 dt
y
2
k
mM y2
,
y l
R
o
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
yR
1 R
l( 2g
lR R2 l arccos
R) l
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说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
两端积分得
Ar sh
p
x a
C1,
则有
得C1 0,
两端积分得
得C2 0
故所求绳索的形状为
y
a ch
x
a (exa
x
e a
)
a2
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
例6*. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2 y dt2
k
mM y2
M : 地球质量 m : 物体质量
l R
y t0 l, y t0 0
设
v
dy dt
,
则
d2 dt
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例5. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求Байду номын сангаас解为
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二、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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(1 x2 )y 2xy
例3. 求解
y x0 1, y x0 3
解:
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y
2
dv dt
o
代入方程得
积分得
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利用v
t0
y
t0
0,
y
t 0
l,
得 C1
2kM l
v2 2kM 1 1 , y l
v dy, dt l
y dy
dt
2k M l y
注意“－”号
两端积分得
l y y2 l arccos y l
利用y t0 l, 得C2 0, 因此有
第五节
第七章
可降阶的高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
H
( : 密度, s :弧长)
A g s
ox
两式相除得
故有
y
1 a
x
0
(其中a
H
g
)
1 y2 dx
y 1 a
1 y2
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设 OA a, 则得定解问题:
y
1 a
1 y2
悬链线
y
M
令 y p(x), 则 y d p , 原方程化为 H a A gs
dx
ox
Ar sh p ln ( p 1 p2 )
对方程两边积分, 得
o Tt
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dx dt
F0 m
(
t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) dt m 2T
两边再积分得
x
F0 m
(t2 2
t3 6T
) C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t3 ) 2m 3T
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例4*. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
y
T
M
M 点受切向张力T 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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例2*. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且
初初速度为0, 求质点的运动规律.
解: 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F F0 (1
t T
)
m
d2 dt
y
2
o
y t0 0 , y t0 0
R
令 v dy，解方程可得
l
dt
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
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例7.
解初值问题
y e2y y x0
0 0,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
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m
d2 dt
y
2
k
mM y2
,
y l
R
o
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
yR
1 R
l( 2g
lR R2 l arccos
R) l
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说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
两端积分得
Ar sh
p
x a
C1,
则有
得C1 0,
两端积分得
得C2 0
故所求绳索的形状为
y
a ch
x
a (exa
x
e a
)
a2
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
例6*. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2 y dt2
k
mM y2
M : 地球质量 m : 物体质量
l R
y t0 l, y t0 0
设
v
dy dt
,
则
d2 dt
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例5. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求Байду номын сангаас解为
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二、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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(1 x2 )y 2xy
例3. 求解
y x0 1, y x0 3
解:
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y
2
dv dt
o
代入方程得
积分得
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利用v
t0
y
t0
0,
y
t 0
l,
得 C1
2kM l
v2 2kM 1 1 , y l
v dy, dt l
y dy
dt
2k M l y
注意“－”号
两端积分得
l y y2 l arccos y l
利用y t0 l, 得C2 0, 因此有
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第七章
可降阶的高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
H
( : 密度, s :弧长)
A g s
ox
两式相除得
故有
y
1 a
x
0
(其中a
H
g
)
1 y2 dx
y 1 a
1 y2
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设 OA a, 则得定解问题:
y
1 a
1 y2
悬链线
y
M
令 y p(x), 则 y d p , 原方程化为 H a A gs
dx
ox
Ar sh p ln ( p 1 p2 )
对方程两边积分, 得
o Tt
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dx dt
F0 m
(
t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) dt m 2T
两边再积分得
x
F0 m
(t2 2
t3 6T
) C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t3 ) 2m 3T