75 可降阶的高阶微分方程分解

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二、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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(1 x2 )y 2xy
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
y
2
dv dt
o
代入方程得
积分得
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利用v
t0
y
t0
0,
y
t 0
l,
得 C1
2kM l
v2 2kM 1 1 , y l
v dy, dt l
y dy
dt
2k M l y
注意“－”号
两端积分得
l y y2 l arccos y l
利用y t0 l, 得C2 0, 因此有
例6*. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2 y dt2
k
mM y2
M : 地球质量 m : 物体质量
l R
y t0 l, y t0 0
设
v
dy dt
,
则
d2 dt
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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例2*. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
H
( : 密度, s :弧长)
A g s
ox
两式相除得
故有
y
1 a
x
0
(其中a
H
g
)
1 y2 dx
y 1 a
1 y2
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设 OA a, 则得定解问题:
y
1 a
1 y2
悬链线
y
M
令 y p(x), 则 y d p , 原方程化为 H a A gs
dx
ox
Ar sh p ln ( p 1 p2 )
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m
d2 dt
y
2
k
mM y2
,
y l
R
o
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
yR
1 R
l( 2g
lR R2 l arccos
R) l
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说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为
例3. 求解
y x0 1, y x0 3
解:
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例5. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
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第五节
第七章
可降阶的高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
m
d2 dt
y
2
o
y t0 0 , y t0 wenku.baidu.com0
R
令 v dy，解方程可得
l
dt
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
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例7.
解初值问题
y e2y y x0
0 0,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
对方程两边积分, 得
o Tt
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dx dt
F0 m
(
t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) dt m 2T
两边再积分得
x
F0 m
(t2 2
t3 6T
) C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t3 ) 2m 3T
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且
初初速度为0, 求质点的运动规律.
解: 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F F0 (1
t T
)
两端积分得
Ar sh
p
x a
C1,
则有
得C1 0,
两端积分得
得C2 0
故所求绳索的形状为
y
a ch
x
a (exa
x
e a
)
a2
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
y x3 3x 1
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例4*. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
y
T
M
M 点受切向张力T 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有