对数函数知识点总结

对数函数

知识点一：对数函数的概念

1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是（0，

+∞），值域为),(+∞-∞.它是指数函数x

a y = )10(≠>a a 且的反函数．

注意： ○

1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5

log 5

x

y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○

2 两个常用对数： (1)常用对数 简记为: lgN （以10为底） (2)自然对数 简记为: lnN （以e 为底）

例1、求下列函数的定义域、值域：

(1)4

121

2

-

=

--x

y ( 2))52(log 2

2++=x x y (3))54(log 2

3

1++-=x x y (4))(log 2x x y a --=

知识点二：对数函数的图象

方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。

同样：也分1>a 与10<

1log =为例

方法二： ①确定定义域; ②列表; ③描点、连线。 （1）

x y 2log =（2） x y 2

1log =

y=x o 1 1 y

x

y =log 2x o 1

1

y

x

y=x

y =x 2

1log

（3）

x y 3log =（4） x y 3

1log =

思考：函数x y 2log =与y =3log x 与y

函数的相同性质和不同性质. 相同性质： 不同性质：

例2、作出下列对数函数的图象：

知识点三：对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．

思考：底数a 是如何影响函数

x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）

规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 例3、比较下列各组数中两个值的大小：

⑴ 5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 变式训练：（1）若3log 3log n m <，求n m 和的关系。 小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．

小结2：分类讨论的思想．

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．

知识点四：换底公式 a

N

N m m a log log log =

( a > 0 , a 1 )

两个较为常用的推论：

1

1log log =⋅a b b a 2

b m

n

b a n a m log log =

（ a , b > 0且均不为1） 对数常用等式： “1”的对数等于零， 即01log =a

底数的对数等于“1”， 即1log =a a

对数恒等式:

N a N a =log ，n a n

a =log

例4、计算：（1）log 155log 1545+(log 153)2

（2）

1

.0lg 10lg 5

lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+

（3）22)2(lg 2051lg 8lg 3

2

5lg +++

g 变式训练：

（1）已知 log 18 9 = a , 18 b

= 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） （2）求x ． (1)21log 5

4-

=x ； (2)2

3

5log =x ； (3)0)22(log 22=--+x x x ． 跟踪练习： 1.计算：

)

5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++

2. 已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = 试比较)()(x g x f 和的大小。

3.

4. 1，最小值是