机器人操作的数学导论——机器人运动学

1、刚体速度
1.2 刚体速度
1）刚体速度相对于空间坐标系表示 空间坐标系中固连在刚体上的一点q的为：
两边微分得速度：
转动分量 移动分量
转动分量是在空间坐标系中表示的刚体瞬时角速度，移动速度不 表示刚体坐标系原点的速度。 表示刚体上一点在t时刻经过空间 坐标系原点时的速度。
1、刚体速度
1.2 刚体速度 2）刚体速度相对于（瞬时）物体坐标系表示 刚体运动gab(t)∈SE(3)的速度：
上式的力/力矩组合F称为力旋量。 力旋量与运动旋量的自然组合可定义瞬时功。
2、力旋量和对偶旋量
2.1 力旋量 等价力旋量：如果两个力旋量对于任何可能的刚体运动所做 的功相等，则称他们为等价力旋量。 等价力旋量可以替代作用在异点的给定力旋量。 任一时间间隔瞬时功相等，可得
上式表示将作用于B坐标系原点的力 旋量变换为作用于C坐标系原点的等价力 旋量。 若多个力旋量同时作用刚体上，可先将其转化为等价力旋量，再 对其进行矢量合成，求出其合力旋量。
1、刚体速度
1.3旋量运动的速度
上节说过上式描述B系相对于A系的位形，对于定常旋量 刚体的空间速度
，
旋量运动的刚体速度：
1、刚体速度
1.3旋量运动的速度 旋量运动的刚体速度：
1、刚体速度
1.4 坐标变换
由以上两式可得两种角速度的关系：
2、力旋量和对偶旋量
2.1 力旋量 作用在刚体上的广义力包括移动分量（纯力）和作用于一点 的转动分量（纯力矩）。将其用六维矢量表示如下：
将其推广到任意机构，可得：
这是用相邻连杆坐标系的相对变换表示的开链操作运动学正解 的一般公式。
3、机器人运动学正解
关节运动由位于关节轴线的运动旋量产生，沿运动旋量轴线转动 和移动的刚体运动可表示为：
如右图，设第一关节不动，将工 具位形看成θ2的函数，有：
然后固定θ2，仅转动θ1，可得：
将其推广，可得运动学正解映射，并可以证明该映射与关节转动 移动的实际顺序无关。称为运动学正解的指数积公式
机器人运动学正解指：在给定组成运动副的相邻连杆的相对位置 情况下，确定机器人末端执行器的位行。 机器人关节空间Q由机器人关节变量的所有可能值构成，这也 可以理解为机器人的位形空间。
运动学正解问题可用如下映射来表示：
运动学正解问题就是如何构造映射gst。
3、机器人运动学正解
对右图所示的两自由度机器人 的运动学正解映射可通过将由各关 节引起的刚体运动加以组合来构成。 T对S的位形
2、力旋量和对偶旋量
2.2 力旋量的旋量坐标 任意力旋量都等价于一个作用与同一轴线的力和力矩对。下面 给出沿旋量作用的力旋量的表示 在固定坐标系A中有一旋量S： 节距h，大小M。施加一个沿直线l、大小为M\及对直线大小为hM 的力矩来构造力旋量。力旋量在A中可表示为：
称F为沿旋量S的力旋量。
2、力旋量和对偶旋量
4、机器人的雅可比矩阵
4.2 末端执行器作用力
有
用同样方法可以建立 关系
4、机器人的雅可比矩阵
4.2 末端执行器作用力 这些公式可以用来解决如下问题
4、机器人的雅可比矩阵
4.3 奇异性
4、机器人的雅可比矩阵
4.3 奇异性 奇异性的几种常见类型
4、机器人的雅可比矩阵
4.1 雅可比矩阵 由前面知识知道，末端执行器的空间瞬时速度可表示为：
将上式写成
称矩阵 为机器人的空间雅可比矩阵，对任一位 形，它将关节速度矢量映射为对应的末端执行器速度。
4、机器人的雅可比矩阵
4.1 雅可比矩阵 用指数积公式来表示运动学正解，
S J ST ( ) 1' 2'
4、机器人的雅可比矩阵
4.1 雅可比矩阵 定义机器人的物体雅可比矩阵 ，它满足如下关系
类似地有
的各列对应于当前位形在工具坐标系中表示的关节运动螺旋。 空间雅可比矩阵与物体雅可比矩阵之间的关系可用一个伴随变换 来描述
4、机器人的雅可比矩阵
4.1 雅可比矩阵 操作器的空间雅可比和物体雅可比矩阵可用于计算末端执行 器上一点的瞬时速度。 在物体坐 标系 空间坐标系 4.2 末端执行器作用力 机器人雅可比阵可用来描述作用在末端执行器上的力螺旋与 各关节力矩之间的关系。 （在物体坐标系中）所作功为
物体坐标系中点的速度：
b
当前物体坐标系中表 示的坐标系角速度
物体坐标系原点相对 于空间坐标系的速度 在当前物体坐标系中 的表示
1、刚体速度
1.2刚体速度
上式将运动旋量有一个坐标系变换到另一个坐标系的6x6矩阵称 为关于g的伴随变换，记为Adg
Adg描绘了物体速度运动旋量坐标到空间速度运动旋量坐标之间 的转换，Adg可逆，其逆阵为：
2.2 力旋量的旋量坐标 定理：作用于刚体的任意力旋量组等价于一个沿固定轴线的力及 一个关于该轴线的力矩。 力旋量 的旋量坐标可表示如下：
如果刚体运动含有移动分量时，旋量的大小指纯移动力，否则为纯力矩。 零节距的力旋量与纯力（非转动分量）相对应。
2、力旋量和对偶旋量
2.3 对偶旋量 如果瞬时功F· V=0，则称力旋量F与运动旋量V对偶。 对旋量S1，S2，如果关于S1的运动旋量V与沿S2的力旋量F对 偶，则称该两旋量对偶。
主要内容： 1.刚体速度 2.力旋量和对偶旋量 3.机器人运动学正解 4.机器人的雅可比矩阵
1、刚体速度
1.1转动速度 设Rab(t)∈SO(3)表示物体坐标系B运动轨迹曲线，B系与固定 的A系公原点并绕A系旋转。称A系为空间坐标系，B系为物体坐标 系。刚体上任一点q在空间坐标系中的运动轨迹为：
其在空间坐标系的速度为： （1-2） 将（1-2）式改写如下：
可以证明
均为反对 称矩阵
1、刚体速度
1.1转动速度
定义瞬时物体角速度
∈R3
由以上两式可得两种角速度的关系：
于是一点的速度可以表示为： 空间坐标系中： 物体坐标系中：
1、刚体速度
1.2 刚体速度 考虑刚体运动轨迹为单参数曲线 gab(t)∈SE(3)的一般情况
求取：
上式在形式上与运动旋量相似，类比旋转速度，定义空间速度
旋量的对偶积
用运动旋量坐标表示为：
2、力旋量和对偶旋量
2.3 对偶旋量
旋量系{S1，…，Sk}描述的是旋量{S1，…，Sk}的所有线性组 合构成的矢量空间。对偶旋量系是与Si对偶的所有旋量的集合。
Baidu Nhomakorabea
旋量系与其对偶系的维数之和为6（在SE（3）中）。
旋量系和对偶旋量系可用于分析抓取及机构的可动性。
3、机器人运动学正解

... n'
ˆ i 1 i 1

i )
（4-1）
Ad ( e e
' i
ˆ 1 1
（4-2）
可以看出，雅可比矩阵的第i列仅依赖于 由式4-2可以看出雅可比矩阵的第i列是一个将第i个关节坐标 系由参考位形变换到机器人当前位形的刚体变换。因此，空间雅 可比矩阵的第i列就是变换到机器人当前位形的第i个关节的运动螺 旋。