高中数学总结归纳点面距离的几种求法

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点到平面的距离的几种求法-高中数学-高考-立体几何

点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法．例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ ＝．图1 图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ，Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ，则三棱锥Ｂ-ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ，可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２，Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝，ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．。

人教A版高中数学选择性必修第一册第1章 1.4.2 第1课时距离问题讲义

1．4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题学习目标1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．知识点一点P 到直线l 的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l 的距离为a 2－(a ·u )2 (如图)．知识点二点P 到平面α的距离设平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为|AP →·n ||n |(如图)．思考怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？答案两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．1．空间内有三点A (2,1,3)，B (0,2,5)，C (3,7,0)，则点B 到AC 的中点P 的距离为() A.102B ．5C.3102D ．3 5 答案C2．已知直线l 过点A (1，－1,2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3,0,4)，则P (3,5,0)到l 的距离为()A ．5B ．14C.145D.45答案C解析∵P A →＝(－2，－6,2)，P A →·n ＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n |＝5， ∴点P 到直线l 的距离为d ＝|P A →·n ||n |＝145.3．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________．答案54．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________．答案103解析点P 到平面α的距离 d ＝|P A →·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1＝103.一、点到直线的距离例1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．解因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0,0,3)，C (1,2,0)，B (1,0,0)，所以直线A ′C 的方向向量A ′C ———→＝(1,2, －3)．又BC →＝(0,2,0)，所以BC →在A ′C ———→上的投影长为|BC →·A ′C ———→||A ′C ———→|＝414.所以点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·A ′C ———→|A ′C ———→|2＝4－1614＝2357. 反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．跟踪训练1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1C ，D 1A 1的中点，求点A 到EF 的距离．解以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA ＝2，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，则EF →＝(1，－2,1)，F A →＝(1，0，－2)． |EF →|＝12＋(－2)2＋12＝6，F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，F A →在EF →上的投影长为|F A →·EF →||EF →|＝16.所以点A 到EF 的距离d ＝|F A →|2－⎝⎛⎭⎫162＝296＝1746. 二、点到平面的距离与直线到平面的距离例2如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0. 设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP →＝⎝⎛⎭⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z ， x ＋y ＋z ＝1，PE →＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1，PF →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，所以DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝⎛⎭⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0. 同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，解得x ＝y ＝417，z ＝917. 所以DH →＝317(2,2,3)，所以|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)连接AC ，则AC ∥EF ，直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离，平面PEF 的一个法向量为n ＝(2,2,3)，所求距离为|AE →·n ||n |＝117＝1717.反思感悟用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )． (4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.跟踪训练2如图所示，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱．若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．解设正四棱柱的高为h (h >0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1,1，h )，则AB 1—→＝(1,0，－h )，AD 1—→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)，设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －hz ＝0，y －hz ＝0，取z ＝1，得n ＝(h ，h ，1)，所以点C 到平面AB 1D 1的距离为d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得h ＝2.故正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为2.1．已知A (0, 0, 2) ，B (1, 0, 2) ，C (0, 2, 0) ，则点A 到直线BC 的距离为() A.223B ．1C.2D.2 2答案A解析∵A (0, 0,2)，B (1, 0,2)，C (0, 2,0)， AB →＝(1, 0,0) ，BC →＝(－1, 2，－2) ， ∴点A 到直线BC 的距离为d ＝|AB →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|BC →|2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝223. 2．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足P A ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是() A.66B.63C.36D.33答案D解析分别以P A ，PB ，PC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，则d ＝|P A →·n ||n |＝33.3．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离为() A.36B.33C.233 D.32答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0) , C 1(0,1,0) , D (0,0,1) , A (1,0,1) ，所以DA 1—→＝(1,0，－1) ，DC 1—→＝(0,1，－1) , AD →＝(－1,0,0) ，设平面A 1C 1D 的一个法向量为m ＝(x ，y ，1) ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥DA 1→，m ⊥DC 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故m ＝(1,1,1)，显然平面AB 1C ∥平面A 1C 1D ，所以平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离d ＝|AD →·m ||m |＝13＝33.4．已知直线l 经过点A (2,3,1)，且向量n ＝(1,0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4,3,2)到l 的距离为________．答案22解析因为P A →＝(－2,0，－1)，又n 与l 垂直，所以点P 到l 的距离为|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，则点A 到平面EFG 的距离为________．答案33解析建系如图，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)，所以AG →＝(0,1,0)， GE →＝(－2,1,1)，GF →＝(－1，－1,2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE →＝0，n ·GF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，此时n ＝(1,1,1)，所以d ＝|AG →·n ||n |＝13＝33.即点A 到平面EFG 的距离为33.1．知识清单： (1)点到直线的距离．(2)点到平面的距离与直线到平面的距离． 2．方法归纳：数形结合、转化法．3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础．。

高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1

浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。

在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。

【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。

空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。

空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。

这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。

对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。

所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。

除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。

下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。

一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。

把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。

2、可以用空间两点间距离公式。

如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。

二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。

其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。

所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。

高中数学线面距离方法汇总

高中数学线面距离方法汇总全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，线面距离是一个重要的概念，涉及到线和平面之间的最短距离。

在解决数学问题时，线面距离方法可以帮助我们快速准确地求解各种题目。

今天我们就来总结一下高中数学中常见的线面距离方法。

一、直线和平面的距离1. 点到平面的距离公式设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)在平面上，则点P到平面的距离为：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²)其中(a,b,c)为直线上的一点。

3. 平行线面距离如果直线l平行于平面Π，直线和平面之间的距离为两者所含向量的点积模的比值，也就是直线上的一点到平面的距离就是这一点到平面上任意一点的距离。

二、两平面之间的距离如果两个平面Π1和Π2的法向量分别为n1和n2，平面到平面的距离为：d = |d|sinθd是两平面之间的距离，θ是n1和n2的夹角。

如果两个平行的平面Π1: Ax+By+Cz+D1=0和Π2:Ax+By+Cz+D2=0，它们的距离为：三、点到线的距离设线段两端点为A和B，点P到线段的距离为点P到直线AB的距离，如果点P在直线AB的延长线上，则点P到线段的距离等于点P到端点A或B的距离。

设两条线段AB和CD，线段到线段的最短距离取决于它们的垂直距离，并且有可能在端点处取得最小值。

我们可以通过求解两线段组成的四边形的四边长度来求解线段到线段的最短距离。

通过以上总结，我们可以看到，在高中数学中，线面距离方法应用广泛，涉及到点、线、面之间的距离。

在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择合适的方法，通过计算距离来求解各种问题。

希望本文对大家在学习数学时有所帮助。

【字数：583字】第二篇示例：高中数学中，线面距离方法是指计算线段与平面之间的距离的一种数学方法。

在几何学中，线段与平面之间的距离是一种重要的概念，它在实际问题中经常被用到，比如在建筑设计中确定物体之间的距离，或者在物理学中计算物体移动的距离等。

高中数学第三章空间向量与立体几何点到平面的距离若干求解方法素材1

点到平面的距离若干求法1定义法求点到平面距离（直接法）定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法.定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。

以下几条结论常常作为寻找射影点的依据：（1)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

（2）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。

（3）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。

设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线.（4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。

例如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D''''-棱长为a,求点A'到平面AB D''的距离。

(注：本文所有解法均使用本例）图4解法一（定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ,垂足为H ,下面证明A H '⊥平面AB D ''。

图5AA '⊥平面A B C D ''''∴B D ''⊥AA ' 又在正方形A B C D ''''中,对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=AA '⊂平面AA E '， A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'A H '⊂平面AA E '∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义,A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。

高中数学第1章点、直线、面的位置关系7 点到面的距离和线面角学案苏教版必修2

点到面的距离和线面角知识点课标要求题型说明点到面的距离和线面角1. 理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角；2. 理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离选择题填空题解答题求点到面的距离和斜线与平面所成的角其实质是垂直关系的应用，其中寻找一个点在平面内的射影是解决问题的难点。

二、重难点提示重点：掌握点到面的距离和线面角的解法。

难点：如何寻找点在平面内的射影。

考点一：点到平面的距离1. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。

2. 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。

【要点诠释】直线到平面的距离常常转化为点到平面的距离求解。

【规律总结】求点面距离的常用方法①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形。

②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解。

③体积法：利用三棱锥的特征转化位置来求解。

（后面章节）考点二：直线和平面所成的角1. 斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

2. 正投影过平面α外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影），线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影，如图所示。

3. 直线和平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。

特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角。

（2）范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°。

（3）画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO。

【核心归纳】求解斜线和平面所成的角的一般步骤是：①确定斜线与平面的交点即斜足；②经过斜足上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；③求解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形。

高中数学常见题型解法归纳异面直线上两点间的距离和球面距的求法

高中数学常见题型解法归纳异面直线上两点间的距离和球面距的求法【知识要点】一、两种距离的定义及常见解法1、异面直线上两点间的距离常见求法：如果两条异面直线a b 、所成的角为θ，它们的公垂线AA '的长度为d ，在a 上有线段A E m '=，b 上有线段AF n =，那么EF =“±”符号由实际情况选定）.2、球面距：球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离常见求法：求弦AB 的长度→解OAB ∆得圆心角AOB ∠的大小（O 是球心）→利用公式AB l r α= 求,A B 两点间的球面距. 【方法讲评】【例 1】两条异面直线,a b 的距离是1厘米，它们所成的角为060，,a b 上各有一点,A B ,距离公垂线垂足的距离都是10厘米，求,A B 两点间的距离.【解析】根据题意进行画图得，【点评】（1）求异面直线上两点间的距离，实际上就是解三角形，本题就是把异面直线上两点间的距离AB 放到ACB ∆中，再解三角形ACB ∆.注意分类讨论.（2）本题也可以直接代异面直线上两点间的距离公式求解.注意“±”号的取舍.【反馈检测1】正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则异面直线11AC 与1AB 间的距离为（）A ．12 B【例2】如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1OO =,A B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2π，则,A B 两点间的球面距离为 .【点评】求两点的球面距离就是求弧长，求弧长就要转化成求弦长，求弦长再转化成解三角形. 【反馈检测2 】如图，O 是半径为l 的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是( )A.4πB.3πC.2πD.42πG高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第58讲：异面直线上两点间的距离和球面距离的求法参考答案【反馈检测1答案】CA 1【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】要求过,E F 两点的球面距离，则要求EOF ∠的弧度数；为此，则要求出弦EF 的长度, 则应过,E F 做平行于平面OBC 的平面交OA 于G ，由于,E F 分别是 AB 和 AC 的中点，可知2GE GF ==，从而求出1EF =，那么得到3EOF π∠=，则点,E F 在该球面上的球面距离为3π本题要特别注意，,E F 为弧的中点，弦EF 的长不等于BC 的一半！。

求平面上两点的距离

求平面上两点的距离平面上两点的距离是数学中一个基本的概念，也是计算几何中一个重要的问题。

在平面上，任意两个点之间的距离可以使用距离公式来计算。

本文将详细介绍平面上两点的距离的计算方法及其应用。

平面上任意两点的距离可以用直线距离来表示。

假设平面上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。

根据勾股定理，即斜边平方等于两直角边平方和，我们有以下公式：d = √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2其中，d表示两点之间的距离。

在计算平面上两点的距离时，我们需要知道两点的坐标。

通过这个公式，我们可以得到两点之间的直线距离。

除了使用勾股定理，我们还可以使用其他方法来计算两点之间的距离。

例如，我们可以将平面上的两点A和B连接起来，将得到的线段分割成若干小段，然后使用勾股定理计算每个小段的长度之和。

这种方法被称为分段近似，可以更精确地计算两点之间的距离。

当我们需要计算非常长的直线距离时，分段近似可以提供更准确的结果。

在实际应用中，计算平面上两点之间的距离具有广泛的用途。

例如，在地理信息系统中，我们可以使用距离计算来测量两个地点之间的实际距离。

这对于规划路线、测量土地面积和监测地理数据非常重要。

在建筑设计中，计算两点之间的距离可以帮助我们确定建筑物的尺寸和形状，确保在有限的土地上合理安排空间。

在计算机图形学中，我们可以使用距离计算来确定图形的位置和大小，从而实现图像的渲染和变换。

另外，我们还可以通过两点间的距离来解决几何中的一些问题。

例如，在平面上给定三个点A、B和C，如果我们知道点A到点C的距离和点B到点C的距离，我们可以使用这些信息来确定点C的位置。

同样地，如果我们知道一个点和几个已知点的距离，我们可以使用这些距离关系来确定这个点的位置。

这在地理定位、航行和三角测量中都有应用。

最后，在现实生活中，计算平面上两点之间的距离还可以根据需要扩展到三维空间。

我们可以将上述公式和方法应用于空间中的点之间的距离计算。

高中数学点到平面的距离公式？

高中数学点到平面的距离公式？点到平面的距离公式为：设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d=|a*n|/|n|，即：a向量与n向量的数量积除以n向量的模。

1点到平面的距离公式是什么点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。

点到平面的距离公式：Ax+By+Cz+D=0。

平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。

是由显示生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性(也就是说平面没有边界)，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。

在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。

2点和平面的位置关系点与平面几种位置关系：属于和不属于直线和直线几种位置关系：平行,相交,异面,重合直线和平面几种位置关系：属于,平行,相交平面和平面几种位置关系：平行,相交,重合3点和平面的离差是什么1、点到平面的离差是什么意思。

2、点与平面的离差是什么。

3、点到平面的离差怎么算。

4、点到平面的离差的计算公式。

1.点到平面的离差的绝对值就是点到平面的距离。

2.绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。

3.|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。

4.在数学中，绝对值或模数|x|的非负值，而不考虑其符号，即|x|=x表示正x，|x|=-x表示负x(在这种情况下-x为正)，|0|=0。

5.例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。

6.数字的绝对值可以被认为是和零的距离。

七种距离

O
D
A C E B
例5：
已知二面角α -l-β 的大小是1200，A,C l , B , D
且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a, AC=2a, 求（1）BD的长；（2）BD和AC所成角的余弦值；（3）BD和AC的距离。
α C B O A l E D β
思考：已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为1，求异面直线 AB1 与 A1C1 的距离。
E
D
A B
O
C
3、点到平面的距离
从平面外一点引这个平面的垂线垂足叫做点在这个平面内的射影
A
这个点和垂足间的距离叫做点到平面的距离
H
线面垂直点的射影
点面距离
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1 B1
C1
(1)A到面A1B1CD
D
A B
C
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1 B1

C B A D
二、点到直线的距离
1、过该点(如图所示点P)作直线(图中l)的垂线，点P与垂足Q之间的线段│PQ│长度.
P P
Q
l

O
Q
l
2、过P作直线l所在平面的垂线，垂足为O，过O作直线l的垂线，垂足为Q，连结PQ，则|PQ|为所求的距离(利用三垂线定理)
正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题
a
B
A
C
D
b
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离
异面直线的距离公式：
d l m n
2 2
2
2mn cos
练习已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ,说出下列各对棱所在直

高中数学：点到平面的距离的求法

高中数学：点到平面的距离的求法
方法二：间接法（利用等体积法构造关于所求距离的方程）
小结：两种方法的优缺点：
直接法需要脑力思考较多，所以证明过程比较计算过程长，但整题计算量小；
间接法是通过构造含有所求距离的方程，最后通过解方程的思想计算出点到平面的距离，相对来说更侧重计算。

方法三：点到直线距离公式的向量推导方法
已知直线：和点，为点到直线的距
离。

现不妨设且，则直线的斜率为，其方向
向量为，从而易知其法向量，又设点为直线上的任一点（如图所示），于是有：
由平面向量的有关知识，可得：
显然，当或时，上述公式仍成立。

上述推导方法利用了向量的数量积知识来进行推导出了点到直线的距离公式，这是一种比较重要有数学思想方法。

我们还可将这种思想方法进一步推广到在立体几何中，如何利用空间向量解决求点到平面的距离问题。

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高中数学课件空间两点间的距离公式

|P1P2|=____________________________. 特殊情况：空间中任意一点P(x,y,z)与原点O的距离为
|OP|=____________.
“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”). 点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为a.( ) 空间两点间的距离公式与两点顺序有关.( ) 点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是1.( ) 在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到坐标轴的距离分别等于相应坐标的绝对值.( )
答案：
【解析】(1)
所以1+m2=1,所以m=0. 答案：0
(2)因为
所以答案：
(3)过点M作x轴的垂线，垂足的坐标是(2，0，0)，
空间两点间的距离公式观察空间两点间的距离公式,一般地,空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为
探究1：观察公式,探究以下问题空间两点间的距离公式有何特征?
已知A(2，5，-6)，点P在y轴上，|PA|=7，则点P的坐标是 ( ) A.(0，8，0) B.(0，2，0) C.(0，8，0)或(0，2，0) D.(0，-8，0) 【解析】选C.因为点P在y轴上，所以可设P(0,b,0), 因为|PA|=7，A(2，5，-6)，所以解得b=2或b=8.
( )
1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于
P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
2.设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离为到点
【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解.
先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.

平面点到点的距离公式

平面点到点的距离公式
平面上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离可以使用以下公式来计算：
d = √((x2 x1)^2 + (y2 y1)^2)。

其中，d表示点A和点B之间的距离。

这个公式也被称为欧几里得距离公式，它描述了两点之间的直线距离。

现在，我们来探讨一下这个公式在实际生活中的应用。

在日常生活中，我们经常会遇到需要计算两点之间距离的情况。

比如，当我们开车或步行到一个目的地时，我们可能需要计算起点和终点之间的距离，以便选择最佳的路线。

这个距离公式也在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。

在数学上，这个公式可以用于计算两个点之间的距离，从而帮助我们理解和解决各种几何问题。

在物理学中，这个公式可以用于描述物体之间的距离和位置关系。

在工程学领域，这个公式可以用于设计和建造各种工程结构，如桥梁、建筑物等。

总之，平面点到点的距离公式是一个非常有用的工具，它在各个领域都有着重要的应用。

通过理解和运用这个公式，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，从而提高我们的生活质量和工作效率。

高中数学总结归纳点到直线的距离公式及其应用

点到直线的距离公式及其应用一、知识要点1．点00()P x y ，到直线x a =的距离0d x a =-；点00()P x y ，到直线y b =的距离0d y b =-； 2．点00()P x y ，到直线0l Ax By C ++=：的距离d =；3．点00()P x y ，到直线l y kx b '=+：的距离d =；4．利用点到直线的距离公式，可求得两平行线110l Ax By C ++=：与22120()l Ax By C C C ++=≠间的距离d =．推导方法如下：由于A B ，不同时为零，不妨设0A ≠，令0y =，得直线1l 与x 轴的交点10C P A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，点P 到直线2l的距离d ==即为两平行线间的距离；当0A =时，公式d =也成立．二、应用指南要牢记上述公式的特点及应用条件，重点掌握公式d =及其应用；还要会利用所得到的方程求点的坐标或求直线方程中的参数、求轨迹方程；有些问题根据图形的几何性质，抓住点到直线的距离这一突破口，就能找到解题捷径．平行线间的距离可转化为点到直线的距离，也可利用平行线间的距离公式求解．三、解题指导 1．求距离例1 已知(23)(21)(02)A B C ---，，，，，，求ABC △的面积．分析：欲求ABC △的面积，可先求出直线AB 的方程，再求点C 到直线AB 的距离．解：由两点式，可求出直线AB 的方程为：240x y --=，点C 到直线AB 的距离等于ABC △中AB 边上的高h，h =，又AB =182ABC S AB h ∴==△·．2．求点的坐标例2 求直线220l x y --=：上到直线230l x y '+-=：解：设()P a b ，为直线l 上到l '的点，则220a b --=，22b a =-，所以点P 的坐标为(22)a a -，．125a ∴=或25． ∴所求点的坐标为121455⎛⎫ ⎪⎝⎭，或2655⎛⎫- ⎪⎝⎭，．3．求方程利用点到直线的距离可确定直线方程中的参数，从而求得直线方程；利用点到直线的距离列方程可求动点的转迹方程．例3 已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，正方形一边所在的直线为350x y +-=，求其他三边所在直线的方程．解：由方程组22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，的解，可得正方形的中心为(10)-，．设正方形相邻两边的方程为30x y p -+=和30x y q ++=．因为中心(10)-，==．12123975p p q q ∴=-===-，，，（舍去）． ∴其他三边所在直线的方程分别为330x y --=，390x y -+=，370x y ++=．例4 点()P x y ，到定点M的距离与到直线x =2，求点()P x y ，的轨迹方程．= 化简，得所求的轨迹方程为2244x y +=．4．求最值（创新应用型）例5 已知51260x y+=(40)P，到直线51260x y+=的距离4013d==，∴所求最小值为40 13．四、感悟与体验点到直线的距离公式是解析几何常用的基本公式之一．解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关，应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题．随着对解析几何的深入学习，我们对点到直线的距离公式及其应用会有更深更广的认识．。

第8章立体几何专题10 点到面的距离-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)常考题型专题练习

点到面的距离【方法总结】1、直接作点到面的垂线，放到三角形中，利用解三角形进行求解。

2、利用等体积法进行求解【巩固练习】1、已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】过点P 作PO ⊥平面ABC 交平面ABC 于点O ，过点P 作PD ⊥AC 交AC 于点D ，作PE ⊥BC 交BC 于点E ，联结OD ，OC ，OE ，则,,AC POD BC POE ⊥⊥平面平面所以,,AC OD BC OE ⊥⊥又90ACB ∠=︒, 故四边形ODCE 为矩形. 有所做辅助线可知3PD PE ==，所以()22231CD CE ==-=，所以矩形ODCE 为边长是1的正方形，则2OC =.在Rt PCO △中，2,2PC OC ==，所以2PO =.2.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．由题设知11=AB DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH.从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，3、如图，在三棱锥-P ABC 中，==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．O MPCBA由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．(2)作CH ⊥OM ，垂足为H．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 45． 4、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，AB CD AD AB ⊥，，且24 3.AD CD AB PA PD PC ======，(1)若O 为AC 的中点，证明:PO ⊥平面.ABCD (2)求点C 到平面PAB 的距离.【解析】(1)证明：因为AB CD AD AB ⊥，，又3PA PC ==，O 为AC 的中点连接OD ，在Rt ACD ∆中，O 为AC 的中点∵222OD OP PD +=，PO OD ∴⊥又OD AC O =∴PO ⊥平面ABCD(2)解：设点C 到平面PAB 的距离为h ，5、如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，22DF BE ==，BE DF ∥，FC AF ==（1）求证：平面ACE ⊥平面BDFE ；（2）求点F 到平面ACE 的距离.DF DC ⊥，同理DF DA ⊥，∴DF ⊥平面ABCD ，∴DF AC ⊥；又四边形ABCD为菱形，∴DB AC ⊥，∵BD DF D =，∴AC ⊥平面BDFE ，∵AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BDFE .（2）解1：设F 到平面ACE 的距离为h ，ACBD O =，连接OE ，OF ，由（1）可解2：由（1）平面AEC ⊥平面BDFE ，又平面AEC平面BDFE OE =，且F ∈平面BDFE ，过F 作FH OE ⊥，垂足为H 点，则FH⊥平面ACE ，所以FH 即为点F 到平面ACE 的距离，分别以DB ，DF 为x ，y 轴建立直角坐标系，则()1,0O ，()2,1E ，6、如图，等腰梯形MNCD 中，MD ∥NC ，MN ＝12MD ＝2，∠CDM ＝60°，E 为线段MD 上一点，且ME ＝3，以EC 为折痕将四边形MNCE 折起，使MN 到达AB 的位置，且AE ⊥DC(1)求证:DE ⊥平面ABCE ; (2)求点A 到平面DBE 的距离∴MD ＝4，CD ＝MN ＝2，△CED 中，∠CDE ＝60°，ED ＝MD -EM ＝1，则由余弦定理2222cos603CE DE DC DE CD ︒=+-⋅⋅=∴CE ⊥DE ，∴CE ⊥ME ，CE ⊥AE 又AE ⊥DC ，DC CE ＝C ，∴AE ⊥平面CED 而DE ⊂平面CED∴AE DE ⊥，又DE CE ⊥，AE CF ＝E ∴DE ⊥平面ABCE等腰梯形MCD中MD∥NC，MD＝4，CD=MN＝2，CE⊥DE，DE＝1则NC=MD-2DE=2，故BC＝2，设点A到平面DBE的距离为h，因DE⊥平面ABCE7、如图，圆锥PO中，AB是圆O的直径，C是底面圆O上一点，且6CABπ∠=，点D为半径OB的中点，连PD.（Ⅰ）求证：CD⊥平面APB；（Ⅱ）当APB∆是边长为4的正三角形时，求点A到平面PBC的距离.【解析】（Ⅰ）证明：在圆锥PO 中，则PO ⊥平面ABC ，又因为CD ⊂平面ABC ，所以PO CD ⊥，60，又OB OC =，所以OBC ∆为等边三角形，因为D 为OB 中点，所以CD OB ⊥，又OB PO O =，所以CD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）依题意，4PA AB PB PC ====，8、如图，已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，//AB DC ，1222DC DD AD AB ====．（1）求证：DB ⊥平面11B BCC ；（2）求点1A 到平面1C BD 的距离．【解析】（1）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形，90，即BD 又1BD BB ⊥，1.B B BC B ⋂=BD ∴⊥平面11BCC B ，所以1111111111A C BD C BCD C A B B D A C D V V V V V ----=---=柱9、如图，正方体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1，求点A 到平面1A BD 的距离.且1A BD 是边长为3602=设点A 到平面10、已知直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，90BAC ∠=︒.（1）求直线1A B 与平面ABC 所成角的大小；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.【解析】（1）画出空间几何体如下图所示:因为三棱柱为直三棱柱,所以1A BA ∠即为直线1A B 与平面ABC 所成角因为1AB AA =,190A AB ∠=所以145A BA ∠=即直线1A B 与平面ABC 所成角为45（2）因为直三棱柱111ABC A B C -中,11AB AC AA ===,90BAC ∠=︒.设点1B 到平面1A BC 的距离为d 则1111A BC A B B C B V V --=11．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，SA ⊥面ABCD ，3AB =，4SA =.（1）求异面直线SC 与AD 所成角；（2）求点B 到平面SCD 的距离.【解析】（1）//BC AD ∴SCB ∠是异面直线SC 与AD 所成角SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴SA BC ⊥又BC AB ⊥，,AB SA ⊂平面SAB ，ABSA A = BC ∴⊥平面SABSB ⊂平面SAB BC SB ∴⊥）SA SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴SA CD ⊥又AD CD ⊥，,SA AD ⊂平面SAD ，SAAD A = ∴CD ⊥平面SADSD ⊂平面设点B 到平面SCD 的距离为hS BCD V -=12．在直三棱柱111ABC-A B C 中，1,90AB AC BAC ︒==∠=，且异面直线1A B 与11B C所成的角等于60，设1AA =a . （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【解析】（1）∵BC ∥B 1C 1，∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角，即∠A 1BC ＝60°，又连接A 1C ，AB ＝AC ，则A 1B ＝A 1C ，∴△A 1BC 为等边三角形，由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴，∴．（2）易知B 1C 1∥平面A 1BC ，此时有B 1C 1上的任意一点到平面A 1BC 的距离等于点B 1到平面A 1BC 的距离．设其为d ，连接B 1C ，由1111B A BC C A B B V V --=求d ，又∵CA ⊥A 1A ，CA ⊥AB ，∴CA ⊥平面A 1B 1C ，并且AC ＝1，．因为△A 1B 1B 的面积，并且△A 1BC 的面积233(2)42S '=⋅=，所以1133S AC S d '⋅⋅=⋅⋅，即3d 3= ，所以B 1C 1到平面A 1BC 的距离等于．13、如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，112AB BC AD ===，E 为AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 翻折到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．（1）求证：1CD A C ⊥；（2）当BE =11A C =时，求D 到平面1A OC 的距离．【解析】（1）图1中，在四边形ABCE 中，//BC AE ，1BC AE ==，∴四边形ABCE 为平行四边形.又1AB BC ==，∴四边形ABCE 为菱形，AO BE ∴⊥，CO BE ⊥，∴在图2中，1A O BE ⊥，CO BE ⊥，又1AO CO O ⋂=，BE ∴⊥面1A OC ．1A C ⊂平面1A OC ，1BE A C ∴⊥.又在四边形BCDE 中，//BC DE ，1BC DE ==，∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，1CD A C ∴⊥；（2）法一：由（1）可知BE ⊥面1A OC ，且//CD BE ，CD平面1A OC ，CD 的长度即为点D 到平面1A OC 的距离，，11A B =，又BE CO O ⋂=，1A O ∴⊥平面OCD ．设点D 与面1A OC 的距离为d ，11A OCD D A OC V V --=，OCD S A ⋅1A OC S d ⋅1A OCS=。