《圆锥曲线解题十招全归纳》

《圆锥曲线解题十招全归纳》

招式一：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2

y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE

∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2

(1)y k x y x

=+⎧⎨

=⎩消y 整理，得2222

(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2

2

4

2

(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2

1

04

k <<

② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211

(,)22k k k

--。 线段的垂直平分线方程为：

221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则2

11

(,0)22

E k -

ABE ∆为正三角形，∴211

(

,0)

22

E k -到直线AB 的距离d 。

AB =2

2

1k k =

+2d k

=

22

1k +=13k =±满足②式此时05

3

x =。

【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于

解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123

301y x x x b x x y x b ⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩

，进而可求出AB

的中点1

1(,)22M b --

+，又由11

(,)22

M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦

长公式可求出AB ==．

招式二：动弦过定点的问题

例题2、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为32，

且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I ）由已知椭圆C 的离心率32c e a ==，2a =,则得3,1c b ==。从而椭圆的方程为

2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由

122

(2)44

y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222

121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根，

21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211

22

11284(,)1414k k k k -++，

同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2

22

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122

k k k k t -∴

=-+，直线MN 的方程为：121121

y y y y x x x x --=--，

∴令y=0，得211212x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t

=

又

2t >，∴402t

<

<椭圆的焦点为(3,0)4

3t

∴

=，即433t = 故当43

3

t =

时，MN 过椭圆的焦点。 招式三：过已知曲线上定点的弦的问题

例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22

221x y a b

+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶

点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =

对称，求直线PQ 的斜率。

解：(I)

2BC AC =，且BC 过椭圆的中心O

OC AC

∴=0AC BC =2

ACO π

∴∠=

又

A (23,0)∴点C 的坐标为(3,3)。

A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：

22

2

112x y b += 将点C (3,3)代入方程，得2

4b =，∴椭圆E 的方程为

22

1124

x y += (II)

直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，

∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：

3(3)y k x -=-，即3(1)y kx k =+-，由223(1)3120

y kx k x y ⎧=+-⎪⎨

+-=⎪⎩消y ，整理得： 222(13)63(1)91830

k x k k x k k ++-+--=3x =是方程的一个根，

229183

313P

k k x k --∴=+即2

291833(13)P k k x k --=+同理可得：2

291833(13)

Q

k k x k +-=+ 3(1)3(1)P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+＝()23P Q k x x k +-＝

2

123(13)

k k -+

2222918391833(13)3(13)

P Q k k k k x x k k --+--=-++＝2363(13)k k -+13P Q PQ

P Q y y k x x -∴==- 则直线PQ 的斜率为定值

1

3

。