高考热点三角恒等变换题型归纳
高考数学复习考点题型专题讲解2 三角恒等变换与解三角形
高考数学复习考点题型专题讲解专题2 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；3.正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.1.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( )A.tan(α－β)＝1B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1D.tan(α＋β)＝－1 答案 C解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C. 2.(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________. 答案 2 2解析由题意得S△ABC＝12ac sin B＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×12＝8，则b＝2 2.3.(2021·浙江卷)在△ABC中，B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________；cos ∠MAC＝________.答案213239 13解析由B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos B＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52＋12－162×213×23＝23913.4.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长.(1)证明法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A ＝bsin B＝csin C，可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*).由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b22，ab cos C＝a2＋b2－c22，2bc cos A＝b2＋c2－a2，则上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，解得b＋c＝9，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝14.热点一 化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形. 例1 (1)(2022·天津模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6(2)已知α，β均为锐角，cos(α＋β)＝－513，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.3365B.－3365 C.6365D.3365或6365答案 (1)C (2)C解析 (1)由α，β为锐角， 则－π2<α－β<π2，由sin(α－β)＝－1010， 得cos(α－β)＝31010，又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴sin(α＋β)>0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，∵cos(α＋β)＝－513，∴sin(α＋β)＝1213， 又∵sin⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－35或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝35(舍去)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1213×45＝6365.规律方法 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.训练1 (1)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )A.－53B.－59C.59D.53(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.答案(1)A (2)π3解析(1)sin α＋cos α＝33，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1 3，整理得：2sin αcos α＝－23<0，∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝5 3 .∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－15 3，则cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53，故选A.(2)由cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，得sin α＝1－cos2α＝437，sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.热点二 三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.例2 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋2β)＝75sin α.(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值. (1)证明 因为sin(α＋2β)＝75sin α，所以sin[(α＋β)＋β]＝75sin[(α＋β)－β]，所以sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β ＝75[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]， 所以sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.① 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π).若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0， 与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos β≠0.由①两边同除以cos(α＋β)·cos β， 得tan(α＋β)＝6tan β.(2)解 由(1)知tan(α＋β)＝6tan β， 则tan α＋tan β1－tan αtan β＝6tan β，因为tan α＝3tan β，所以tan β＝13tan α，所以43tan α1－13tan 2α＝2tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0，所以43－tan 2α＝2，所以tan 2α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＝1，从而α＝π4.易错提醒 等式两边除以同一个三角函数式时要注意论证这个三角函数式不为零. 训练2 求证：(1)cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos 4α. (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 (1)左边＝2cos 22α－1＋4cos 2α＋3 ＝2(cos 22α＋2cos 2α＋1) ＝2(cos 2α＋1)2 ＝2(2cos 2α－1＋1)2＝2(2cos 2α)2＝8cos 4α ＝右边.(2)左端＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α＝右端. 热点三 正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径).2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例3 (1)(2022·丽水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos B ＋b cos C ＝2，且b 2＋c 2－a 2＝2bc ，则三角形ABC 的外接圆半径的长为( ) A.2B.22C.2D.1(2)(2022·泰安三模)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( )A.56B.76C.53D.73答案 (1)D (2)D解析 (1)∵c cos B ＋b cos C＝c ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 22a ＝a ，即a ＝ 2.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，∵0<A <π，∴A ＝π4， 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2sinπ4＝2R ，解得R ＝1，故选D.(2)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，所以AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，则sin A ＝74，故tan A ＝73.故选D. 规律方法 1.利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.2.涉及边a ，b ，c 的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练3 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＝13，a sin A－c sinC＋b sin A＝0，则ba＝( )A.53 B.73C.72 D.52(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b cos C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________.答案(1)A (2)6 3解析(1)由正弦定理及a sin A－c sin C＋b sin A＝0，得a2－c2＝－ab，又由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝b2－ab2ab＝13，∴ba－1＝23，得ba＝53.(2)因为3b cos C＝3a－c，由正弦定理得3sin B cos C＝3sin A－sin C，又A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，即sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，所以3sin B cos C＝3(sin B cos C＋cos B sin C)－sin C，所以3cos B sin C＝sin C，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos B＝1 3，又A＝C，所以cos B＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝2sin2A－1＝13，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝63.热点四正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：分析→列关系式→求解→检验2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝12ab sin C形式的面积公式.例4 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473 答案 B解析 如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°，则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°， 所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.例5(2022·北京海淀区模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求A ；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第①组条件：a＝19，c＝5.第②组条件：cos C＝13，c＝4 2.第③组条件：AB边上的高h＝3，a＝3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解(1)因为a sin B＝3b cos A，由正弦定理可得sin A sin B＝3sin B cos A，又B∈(0，π)，所以sin B≠0，则sin A＝3cos A，即tan A＝3，又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即19＝b2＋25－5b，解得b＝2或3，不符合题意，故不能选第①组条件.若选择第②组条件，因为C∈(0，π)，cos C＝13，所以sin C＝223，由正弦定理asin A ＝csin C可得a＝c sin Asin C＝42×32223＝33，则sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝32×13＋12×223＝22＋36，此时△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×33×42×22＋36＝43＋3 2.若选择第③组条件，因为AB边上的高h＝3，所以b sin π3＝3，则b＝332＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得9＝4＋c2－2c，解得c＝1＋6，此时△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.规律方法(1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练4 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝732247，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________(π＝3.14，sin∠ACB＝93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案 20 m解析 设半球的半径为r m ， 则2πr 2＝1 200，∴r ≈14， ∴BC ＝5r ＝70 m. 在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin ∠BAC，则AB ＝BC sin∠ACB sin∠BAC ＝70×93247×224773＝180(m)，∴BD ＝90 m ， 则CD ＝BD －BC ＝20 m.(2)(2022·青岛二中调研)从①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (ⅰ)求B 的大小；(ⅱ)若b ＝2，△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 (ⅰ)若选①：因为2b sin A ＝a tan B ＝a sin B cos B ，所以2ab ＝abcos B， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.若选②：因为a 2－b 2＝ac －c 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 若选③：因为3sin B ＝cos B ＋1， 所以3sin B －cos B ＝1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3. (ⅱ)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以ac ＝2，所以(a ＋c )2－3ac ＝4， 所以(a ＋c )2＝10， 所以a ＋c ＝10，所以△ABC 的周长为2＋10.一、基本技能练1.(2022·岳阳二模)已知sin α＋2cos α＝0，则sin 2α＝( ) A.－45B.－35C.－34D.23答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝0，即sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×（－2）4＋1＝－45，故选A. 2.计算2cos 10°－sin 20°cos 20°所得的结果为( )A.1B. 2C.3D.2 答案 C 解析2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 B解析 因为在△ABC 中，A －B ＝π2， 所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ， 所以cos B ＝3sin B ， 所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6， 所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6，故选B.4.(2022·杭州模拟)若3sin 2α－2sin 2α＝0，且sin α≠0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A.－7210B.－22C.－210D.22答案 A解析 由题意可得32sin 2α－sin 2α＝0，所以3sin αcos α－sin 2α＝0， 即sin α(3cos α－sin α)＝0， 又sin α≠0，所以tan α＝3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α－sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝－7210. 5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D 看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79 m 到达点E ，此时看点C 的仰角为45°，若BC ＝2AC ，则楼高AB 约为( )A.65 mB.74 mC.83 mD.92 m 答案 B解析 设AC ＝x (x >0)，则由已知可得AB ＝3x ，BE ＝BC ＝2x ，BD ＝AB tan∠ADB＝33x ，所以DE ＝BD －BE ＝33x －2x ＝79， 解得x ＝7933－2≈24.7，所以楼高AB ≈3×24.7＝74.1≈74(m).6.(多选)(2022·重庆模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，b ＝2，c ＝3＋1，则下列说法正确的是( ) A.C ＝75°或C ＝105°B.B ＝45° C.a ＝6D.该三角形的面积为3＋12答案 BC解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4＋23－2×2×(3＋1)×12＝6，所以a ＝ 6.由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa＝2×326＝22， 由于0°<B <120°，所以B ＝45°. 所以C ＝180°－B －A ＝75°.△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×2×(3＋1)×32＝3＋32.7.(2022·南通模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________. 答案 －13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×13－1＝－13.8.(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________. 答案3101045解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α， 所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010，k ∈Z .因为sin β＝3sin α－10＝－1010， 所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.9.(2022·绍兴模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，△ABC 的面积为3154，则a ＝________. 答案 4解析 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理可知2b ＝3c ， ∵b －c ＝14a ，可得c ＝12a ，b ＝34a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，sin A ＝1－cos 2A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×34a ×12a ×154＝3154，解得a ＝4.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ， sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，若c ＝3，则a ＋b 的值为________. 答案 3 2解析 因为c 2＝a 2＋b 2－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π), 所以C ＝π3. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2R ＝332＝23， 又sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ， 所以23sin A ＋23sin B ＝2×23sin A ×23sin B ， 即a ＋b ＝2ab .因为c＝3，所以由余弦定理得9＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－322(a＋b)，解得a＋b＝32或a＋b＝－322(舍去).11.(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝3sin C.(1)求∠C；(2)若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长. 解(1)因为sin 2C＝3sin C，所以2sin C cos C＝3sin C.因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝3 2，又C∈(0，π)，故C＝π6.(2)因为△ABC的面积S＝12ab sin C＝12×a×6×12＝63，所以a＝4 3.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝48＋36－72＝12，所以c＝23，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝43＋6＋23＝6(3＋1).12.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝7，cos ∠ABD＝2 2.(1)求AB的长；(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.解 (1)在△ABD 中，由cos ∠ABD ＝22， 得∠ABD ＝45°.又∠BAD ＝60°，所以∠ADB ＝75°，所以sin ∠ADB ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2＋64，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，得AB ＝BD sin ∠ADB sin ∠BAD ＝42＋3146.(2)由∠BAD ＋∠BCD ＝180°，可知∠BCD ＝120°， 设CD ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 则7＝1＋x 2－2x ·cos 120°， 化简，得x 2＋x －6＝0， 解得x ＝2或x ＝－3(舍).所以S △BCD ＝12BC ·CD sin 120°＝12×1×2×32＝32，S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD＝12×42＋3146×7×22＝73＋2112. 所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝73＋2112＋32＝133＋2112.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南京模拟)在△ABC中，下列说法正确的是( )A.若A>B，则sin A>sin BB.存在△ABC满足cos A＋cos B≤0C.在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形答案AD解析对于A，若A>B，则a>b，则2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故A正确.对于B，由A＋B<π，得A<π－B，于是cos A>－cos B，即cos A＋cos B>0，故B错误.对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故D 正确.故选AD.14.(多选)(2022·山东师大附中模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b －2a ＋4a sin2A ＋B 2＝0，则下列结论正确的是( )A.角C 一定为锐角B.a 2＋2b 2－c 2＝0C.3tan A ＋tan C ＝0D.tan B 的最小值为33答案 BC解析 ∵b －2a ＋4a sin 2A ＋B 2＝0，∴b －2a ＋4a sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝0，∴b －2a ＋4a cos 2C2＝0，∴b －2a ＋4a ·1＋cos C2＝0， ∴b ＋2a cos C ＝0，∴cos C <0，∴角C 一定为钝角，A 错误；b ＋2a cos C ＝0⇒b ＋2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0⇒a 2＋2b 2－c 2＝0，B 正确；b ＋2a cos C ＝0⇒sin B ＋2sin A cos C ＝0⇒3sin A cos C ＋cos A sin C ＝0⇒3tan A ＋ tan C ＝0，C 正确； tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－2tan A－3tan 2A －1＝23tan A ＋1tan A≤33， 经检验“＝”取得到，D 错误，综上选BC.15.(2022·湖州调研)在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝2π3，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD .则cos∠ABC ＝________，sin∠DAC ＝________. 答案1114437解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB cos∠BAC ＝25＋9－2×5×3×cos 2π3＝49，所以BC ＝7.又由正弦定理得AC sin∠ABC ＝BCsin∠BAC，即sin∠ABC ＝AC sin∠BAC BC ＝5314.又∠ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以cos∠ABC ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. 在△ABD 中，设AD ＝BD ＝x ，由余弦定理得x 2＝x 2＋9－2×3×1114x ，解得x ＝2111， 所以DC ＝BC －BD ＝5611.在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin∠BAC，所以sin∠ACB ＝AB sin∠BAC BC ＝3314. 在△ADC 中，由正弦定理得DCsin∠DAC＝ADsin∠ACB，所以sin∠DAC＝DC sin∠ACBAD＝437.16.(2022·福州质检)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝________.答案π2解析由题意可知，四边形ABPQ为等腰梯形.如图，连接OP，过点O作OM⊥QP，垂足为点M，交AB于点C，则OC⊥AB，OM平分∠AOB，M为线段PQ的中点.设∠AOC＝θ，则AB＝20sin θ，OC＝10cos θ，设AQ＝QP＝BP＝x，过点Q作QE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，因为∠PBA ＝∠QAB ＝60°， 所以AE ＝BF ＝12x ，CM ＝PF ＝32x ，EF ＝QP ＝x ， 所以AB ＝2x ，所以AB ＝20sin θ＝2x ， 即x ＝10sin θ，所以OM ＝OC ＋CM ＝10cos θ＋32x ＝10cos θ＋53sin θ， 所以OP 2＝OM 2＋MP 2＝(10cos θ＋53sin θ)2＋(5sin θ)2＝100cos 2θ＋75sin 2θ＋1003sin θcos θ＋25sin 2θ＝100＋503sin 2θ， 因为sin 2θ∈[－1，1]， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，OP 2最大，也就是OP 最长，此时∠AOB ＝π2.17.(2022·临沂预测)在①a sin(A ＋C )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6；②1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )；③2tan B tan A ＋tan B ＝bc.这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＋c ＝23，a ＝6，________， (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积.解 (1)选①，由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 化简得sin A ＝32cos A ＋12sin A ， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选②，因为1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )，所以1－cos(C －B )＋cos(C ＋B )＋2cos C cos B ＝1＋2cos(C ＋B )＝1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选③，因为2tan B tan A ＋tan B ＝b c， 由正弦定理，得2tan B tan A ＋tan B ＝sin B sin C， 而2×sin B cos B sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin B cos B sin A cos B ＋sin B cos A cos A cos B ＝2sin B cos B sin C cos A cos B＝2sin B cos A sin C ＝sin B sin C ， 因为sin B ≠0，sin C ≠0，所以cos A＝1 2，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)由(1)知，a2＝b2＋c2－2bc cos π3＝(b＋c)2－3bc，a＝6，b＋c＝23，所以bc＝2，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×2·sinπ3＝32.。
高中数学一轮复习重难点 三角恒等变换(十年高考)
5.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.（2023课标II ，7）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin2α=（）．A.358B.158-+ C.354D.154-【答案】D【解析】因为21cos 12sin 24αα=-=，而α为锐角，解得：sin 2α=14==．故选：D ．2.（2023课标I ，8）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A.79B.19C.19-D.79-【答案】B【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B3.(2021全国乙文,6,5分)cos 2π−cos25π12=()A.12答案D 解析解法一:cos 2π125π12=π12=cos2π12−sin2π12=cos π6=解法二:cos 2π12−cos25πcos2−cos2=cos π4cos π6+sin π4−cos π4cos π6−sin π4×4.(2021全国甲理,9,5分)若α∈0,tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan2α=cos2−sin,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin,∴2sin2α=cosαcos2α+sinαsin2α,即4sinαcosα=cos(2α-α)=cosα,又cosα≠0,∴4sinα=1,∴sinα=14,∴cosαtanαA.疑难突破将tan2α转化为sin2cos2是本题的突破口.5.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tanθ=-2,则sino1+sin2psinrcos=() A.-65 B.−25 C.25 D.65答案C sino1+sin2psinrcos=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθ·cossinrcos=sinosinrcosp2sinrcos=sinosin2rcos2r2sinbcospθ=sin2rsinbcossin2rcos2=tan2rtan tan2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C.6.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosβ,则()A.tan(α-β)=1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α+β)=-1答案C因为sin(α+β)+cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ,22cosβ=(2cosα-2sinα)sinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,所以sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.7.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α=13,则cos 2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B 本题考查三角恒等变换.由sin α=13,得cos 2α=1-2sin 2α=1-2=1-29=79.故选B.8.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=43,则sin 2α=()A.-79B.-29C.29D.79答案A ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=169,∴sin 2α=-79.解后反思涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换.9.(2017山东文,4,5分)已知cos x=34,则cos 2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cos x=34,所以cos 2x=2cos 2x-1=2-1=18.10.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=()A.6425B.4825C.1D.1625答案A当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinvos sin 2α+cos 2α=1+4tan tan 2α+1=1+4×34916+1=6425,故选A.解后反思将所求式子的分母1用sin 2α+cos 2α代替,然后分子、分母同除以cos 2α,得到关于tan α的式子,这是解决本题的关键.评析本题主要考查三角恒等变换,用sin 2α+cos 2α代替1是解题关键..11.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=-13,则cos 2θ=()A.-45B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得sinθ=因而cos2θ=1-2sin2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.12.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案D原式=sin20°cos10°+cos20°@sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.13.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tanπ5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvosπ5+cosLinπ5sinvosπ5−cosLinπ5=tanrtan π5tanKtanπ5,∵tanα5故选C.14.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp−tan1+tan(rp·tan=12−131+12×13=17,故选A.15.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2+)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.16.(2016课标Ⅱ,9,5分)若α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D∵α=35,∴sin2α−2α2α=2cos−α-1=2-1=-725.故选D.思路分析利用诱导公式化sin2α−2α,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.一题多解−αα+sinα)=35⇒cosα+sinα1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D.导师点睛求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.17.(2022浙江,13,6分)若3sinα-sinβ=10,α+β=π2,则sinα=,cos2β=.答案45解析设a=sinα,b=sinβ=cosα,则3−=10,2+2=1,解得a b∴sinα=acos2β=1-2sin2β=1-2b2=45.18.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2∴A=2,b=1.19.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan=tanKtan5π41+tanMan5π4=tanK11+tan=15,解得tanα=32.20.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin+=35,则tan−=.答案-43解析解法一:∵sin+=22×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=325①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-425②,由①②得sinθ=-210,cosθ=7210,∴tanθ=-17,∴tan4=tanK11+tan=-43.解法二:∵−θ=π2,∴sinθ=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos4=45,∴θ=45,∴4θ=43,∴tan−θ=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.21.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案22解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=22.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp−tan1+tan(rptan=17−(−2)1+17×(−2)=3.23.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°24.(2015四川文,13,5分)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是.答案-1解析由sinα+2cosα=0得tanα=-2.2sin αcos α-cos 2α=2sinvosKcos 2αsin 2α+cos 2α=2tanK1tan 2α+1=2×(−2)−1(−2)2+1=−55=-1.25.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2.(1)求tan ;(2)求sin2sin 2α+sinvosKcos2K1的值.解析(1)因为tan α=2,所以tan +=tanrtan π41−tanbtan π4=2+11−2×1=-3.(2)因为tan α=2,所以sin2sin 2α+sinvosKcos2K1=2sinvossin 2α+sinvosK(cos 2α−sin 2α)−(sin 2α+cos 2α)=2sinvos sin 2α+sinvosK2cos 2α=2tan tan 2α+tanK2=2×222+2−2=1.26.(2014江苏,15,14分)已知απ,sin α(1)求α的值;(2)求2α的值.解析(1)因为α2,π,sin α=55,所以cos α=-1−sin 2α=-255.故α=sin π4cos α+cos π4sin α=22×−+22×55=-1010.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×55×−=-45,cos 2α=1-2sin 2α=1-25=35,所以2α=cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α=−×35+12×−评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。
三角恒等变换常考题型及解析
。 ？ 则 ｔ ｎ ． ｔ ｎ 卢 的 值 为
因 为 Ａ、 Ｂ是 锐 角三 角 形 的 内角， 所 以 一 ＜
Ａ ２ ； Ｂ吉 ； ｃ詈 ； Ｄ＿ 詈 － 析由 ｃ ｏ 一 詈 一ｓ （ ａ ＋ — １
（ ） ．
ｆ ｃ ｏ ｓ （ ａ － ｐ ） 一 善，
ｃ ｏ ｓ （ ａ ＋卢 ） 一 ，
ｃ ｏ ｓ ［ － （ Ａ－ －Ｂ） －Ａ］ 一２ ｓ ｉ ｎ Ａｓ ｉ ｎ （ Ａ－ －Ｂ） ，
故 ｃ ｏ ｓ （ Ａ－ －Ｂ） Ｃ Ｏ Ｓ Ａ—ｓ ｉ ｎ Ａｓ ｉ ｎ （ Ａ—Ｂ） 一０ ， 即
…
二 ＆ 例４ 已知函数 ， （ ｚ ） 一２ ｃ ｏ ｓ ２ ＋ｓ ｉ ｎ ｚ 一４ ｃ ｏ ｓ ｚ ．
求， （ ｚ ） 的最 大值 和最 小值 ．
，（ ｚ ） 一２ （ ２ ｃ ｏ ｓ 一１ ） ＋（ １ 一ｃ ｏ ｓ 。 ｚ ） 一４ ｃ ｏ ｓ ｚ一
所以 ｔ ａ ｎ ａ ・ ｔ ａ ｎ ： ＝ ＝ １
ＳＩ ｎ Ａ
一ｔ ａ ｎ Ｂ， 则有 （
） ．
Ａ ｓ ｉ ｎ ２ Ａ —Ｃ Ｏ Ｓ Ｂ 一 ０：
三角恒 等 变换是 三 角 函数 部分 常 考 的 知识 点 ， 是
求三 角 函数极值 与最 值 的一 个 过 渡步 骤． 有 时 求 三角 函数 周期 、 对称轴等， 需 要 将 三 角 函 数 式 化 成 一 个 角 的三 角 函数形 式 ， 其 中化 简 的过 程 就用 到 三 角 恒等 变 换． 有关 三角 恒等变 换 的常考 题 型及解 析 总结如 下．
拉角
３ 借 助切 、 弦 互化解 决 三角 函数求值 问题
专题18 三角恒等变换 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题18三角恒等变换知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα==sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【方法技巧与总结】1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±；1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；；2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3.拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-；④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+；②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+ ；22sin 39cos 2139cos 21+ ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+ .（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（）ABCD例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（）.A ．14B ．78C ．14±D ．78±（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（）AB ．12C ．12-D．例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α的值为_____________．例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin 2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（）A ．12B ．12-C ．2D ．-2例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．78-B ．78C ．D 例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．B ．C ．12D 例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2325B ．2325-C D ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-例17．（2022·广东茂名·模拟预测）已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D（多选题）例18．（2022·江苏·高三专题练习）已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+=则（）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-=D ．cos cos αβ=【方法技巧与总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.题型四：给值求角例19．（2022·全国·模拟预测）已知263ππα<<，sin 4sin cos tan 15315315πππππαα⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则α=______．例20．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知3sin 44ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求αβ-的值为_____．例21．（2022·河北石家庄·一模）已知角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin sinπ12tan π12cos cos 12αα-=+，则α=______.例22．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若()0,απ∈，且cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则α的值为___________.例23．（2022·全国·高三专题练习）若sin 2α=()sin βα-=且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是______．例24．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若sin 2α=，()sin βα-=且π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+=（）A ．7π4B ．π4C ．4π3D ．5π3例25．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知α、β都是锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，那么α、β之间的关系是（）A ．4παβ+=B ．4αβ-=πC ．24παβ+=D ．22παβ+=例26．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知11tan ,tan ,37αβ==-且,(0,)αβπ∈，则2αβ-=（）A ．4πB ．4π-C ．34π-D ．34π-或4π【方法技巧与总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.题型五：正切恒等式及求非特殊角例27．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若角α的终边经过点()sin 70,cos70P ︒︒，且tan tan 2tan tan 2m αααα++⋅=，则实数m 的值为（）A．B．CD例28．（2021·重庆八中高三阶段练习）sin10︒︒=（）A ．14B C ．12D例29．（2020·=（）A ．1BC D ．例30．（2022·全国·高三专题练习）()tan 30tan 70sin10︒+︒︒=___________.例31．（2022·江苏南通·高三期末）若11sin α=，则α的一个可能角度值为__________.例32．（2022·江苏扬州·模拟预测）1tan 751tan 75-︒=+︒___________．例33．（2022·贵州黔东南·一模（文））若()1tan 3αβ+=，()1tan 6a β-=，则tan 2α=___________.例34．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒=______．【方法技巧与总结】正切恒等式：当A B C k π++=时，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．证明：因为tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-，tan tan ()C A B =-+，所以tan tan tan (1tan tan )A B C A B +=--故C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++．【过关测试】一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于x 轴对称．若3cos 5α=，则()()cos cos αβαβ+-=（）A ．725-B ．15C ．15-D ．7252．（2022·全国·模拟预测（理））已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则cos()αβ-=（）A ．0B ．12C D ．13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1tan 3αβ+=，则tan β=（）A ．17-B ．17C ．1D ．2或64．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若24m n +=，=（）A ．－4B ．－2C ．2D ．45．（2022·山东烟台·三模）若21π2cos cos 23αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．BC ．D 6．（2022·全国·模拟预测（文））设角α，β的终边均不在坐标轴上，且()tan tan tan αββα-+=，则下列结论正确的是（）A ．()sin 0αβ+＝B ．()cos 1αβ-＝C ．22sin sin 1αβ+=D ．22sin cos 1αβ+=7．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知15αβ+= ，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ++-=---（）A ．BC ．1D8．（2022·全国·高三专题练习）若10,0,cos ,cos 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A B ．C D ．二、多选题9．（2022·海南海口·二模）已知(),2αππ∈，tan sin tan 22αβα==，则（）A ．tan α=B ．1cos 2α=C ．tan β=D ．1cos 7β=10．（2022·河北邯郸·二模）下列各式的值为12的是（）.A ．sin17π6B ．sinπ12cos π12C ．22cossin 121π2-πD ．2πtan 8π1tan 8-11．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知α，β，0,2πγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2παβγ++=，则（）A．若sin cos αα+=，则tan 1α=B ．若tan 2α=，则sin()βγ+=C ．tan α，tan β可能是方程2670x x -+=的两根D ．tan tan tan tan tan tan 1αββγβα++=12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()4cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（）A ．3sin 25α=B ．()cos αβ-=C．cos cos αβ=D ．1tan tan 3αβ=三、填空题13．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．14．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知ππ0sin 24αα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭sin 1tan αα=+________.15．（2022·3cos()cos()12παπα-++=-，则cos(23α2π-=_____________.16．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）()()()sin 75cos 4515θθθ++++=__________.四、解答题17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若02πβ-<<，cos 24βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ-的值．18．（2022·江西·高一期中）已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.19．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）（1）已知tan 2θ=-，求sin (1sin 2)sin cos θθθθ++的值；（2）已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且α，(0,)βπ∈，求2αβ-．20．（2022·江西·高一阶段练习）在①4tan 23α=，②sin α补充到下面的问题中，并解答．已知角α是第一象限角，且．(1)求tan α的值；(2)求()π3πsin 2cos πcos 22ααα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．21．（2022·北京市第九中学高一期中）已知1tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求(1)求sin α的值；(2)求()()()2212sin πcos 2π5πsin sin 2αααα+---⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值；(3)若()sin αβ+cos β的值.22．（2019·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））()1的值；()2已知30,,,242ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1tan 2αβ-=，17tan β=-，求2αβ-的值．23．（2020·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++=，tan α的值.。
题型10 6类三角恒等变换解题技巧(解析版)
题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）技法01拼凑思想的应用及解题技巧知识迁移12()[()()]221[()()]2424a a αββαααβαβπππβαβαβαα=⋅=--=++-⎛⎫=+--+=-- ⎪⎝⎭例1-1．（全国·高考真题）tan255°=【高考数学】答题技巧与模板构建【详解】000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==-【详解】由πππππ2sin 2sin 2cos sin 32666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππtan tan πππ66tan tan 8ππ3661tan tan 66αααα⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--===== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+-⨯ ⎪⎝⎭1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知【答案】A【解析】易知()()sin sinβααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sinαβ-，分别在()sin αβ-=利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin αβ∴-==当()sin αβ-=()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---57=-=，304πβ<< ，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin β=故选：A .【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.【答案】A【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简cos tan22sin AA A=-，求sin A ，再求tan A ，再由两角差的正切公式求tan B .【详解】因为cos tan22sin A A A=-，所以sin2cos cos 22sin A AA A =-，所以22sin cos cos 12sin 2sin A A AA A=--，又A 为锐角，cos 0A >，所以()22sin 2sin 12sin A A A -=-，解得1sin4A =，因为A 为锐角，所以cos A =，tan A =又tan A B -=（）所以()()()tan tan tan tan 1tan tan A A B B A A B A A B --⎡⎤=--===⎣⎦+-故选：A.【答案】D【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据α，β的范围即可求出结果.【详解】由已知可将()()2ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--，则cos[()()]cos[()()]12cos()cos()αβαβαβαβαβαβ++-++--+=-++，2cos()cos()2cos()cos()10αβαβαβαβ+----++=，[cos()1][2cos()1]0αβαβ+---=，即cos()1αβ+=或1cos()2αβ-=．又π02αβ<<<，所以π0π,02αβαβ<+<-<-<，所以cos()1αβ+≠，所以选项A ，B 错误，即1cos()2αβ-=，则π3αβ-=-，所以π3βα-=．则C 错，D 对，故选：D技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧知识迁移升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin2αα-=，22cos 1cos 2αα+=【详解】因为π2sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2cos sin 363αα⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππcos 22cos 133x α⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭412199=⨯-=-．【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.1．（2023·全国·模拟预测）已知cos(α+【答案】A【分析】根据题意，求得4cos cos 5αβ=，再求得cos()1αβ-=，结合倍角公式，即可求解.【详解】因为3cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，且1sin sin 5αβ=，所以4cos cos 5αβ=，可得cos()cos cos sin sin 1αβαβαβ-=+=，所以2cos(22)cos 2()2cos ()11αβαβαβ-=-=--=.故选：A ．【答案】C【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出πsin()6α+，再利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由cos αα=πsin(6α+所以22πππ1cos(2cos 2(12sin ()123663ααα+=+=-+=-⨯=-.故选：C【答案】A【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据()2sin 222sin 14παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭计算可得.【详解】由已知得()()2sin cos 3αβαβ+++=，()1sin cos sin 3ααβ-=，所以()()2sin cos cos sin 4443πππαβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++=++⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1sin cos sin sin 43παβααβ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以sin cos 4παβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 4παβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin sin cos cos sin 444πππαβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()227sin 222sin 12149παβαβ⎛⎫-=-+-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：A .【答案】D【分析】先对两式进行平方，进而可求出()cos αβ-的值，根据二倍角公式求出结论.【详解】解：因为2sin sin αβ-=2cos cos 1αβ-=，所以平方得，()22sin sin 3αβ-=，()22cos cos 1αβ-=，即224sin 4sin sin sin 3ααββ-+=，224cos 4cos cos cos 1ααββ-+=，两式相加可得44sin sin 4cos cos 14αβαβ--+=，即1cos cos sin sin 4αβαβ+=，故()1cos 4αβ-=，()()217cos 222cos 121168αβαβ-=--=⨯-=-.故选：D.技法03 三倍角公式的应用及解题技巧知识迁移sin3α=3sin α―4sin 3αcos3α=―3cos α+4cos 3α tan3α=3tan α―tan 3α1―3tan 2α=tan αα+α例3．已知在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 的对边依次为 a 、b 、c ,a =6,4sin B =5sin C , A =2C , 求 b 、c边长。
三角恒等变换题型总结(超给力)
三角恒等变换一、两角和、差的三角函数公式βα-C cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin ββα+C cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β.βα+S sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin ββα-S sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin ββα+T tan （α＋β）＝tan tan 1tan tan αβαβ＋－βα-T tan （α－β）＝tan tan 1tan tan αβαβ－＋二、二倍角公式cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＝2sin αcos αtan 2α＝22tan 1tan αα－变形公式：cos 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1cos 2α＝1－2sin 2α2sin 2α＝1－cos 2αsin 2α＝1cos 22α－.降幂公式cos 2α＝2cos 2α－12cos 2α＝cos 2α＋1cos 2α＝cos 212α＋.降幂公式sin 2α半角公式cos 2α半角公式ααααcos 1cos 12cos 2sin 2tan +-±==αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=三、辅助角公式a sin x ±b cos x （x ±ϕ），其中tan ϕ＝ba 四、万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-=ααα2tan 1tan 22tan -=五、同角的三大关系①倒数关系tan α•cot α=1②商数关系sin cos αα=tan α；cos sin αα=cot α③平方关系22sin cos 1αα+=六、积化和差与和差化积积化和差)]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积2cos 2sin 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-七、方法总结1、三角恒等变换方法、三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，.（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==），（3）“变式’形公式展开和合并等。
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
专题5.5 三角恒等变换(解析版)
专题5.5三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；4sin(2cos sin πααα±=±.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin αα2＋cos ；1－sin αα2－cos .（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin αsin α2±cos 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50︒︒-︒︒等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-︒【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒=-+=-=故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αβ+=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αβαβαβααβα-+-=+-===-⎡⎤⎣⎦+++⨯.故选：D3．已知,αβ均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，则()sin αβ-=（）A ．35B ．45C．3D ．23【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααββ+=+=，则2153sin 44β=，又,αβ均为锐角，所以sin β=cos β=所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩，解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.故选：B5．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）ABC ．D ．±22【答案】D【解析】sin sin()13πθθ++=，则1sin sin cos 122θθθ++=，即3sin 122θθ+=，故1sin cos 223θθ+=，所以sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 62πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭故选：D6．下面公式正确的是（）A ．3sin cos 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．2cos212cos θθ=-C ．3cos sin 2πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．cos()sin 2πθθ-=【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1θθ=-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 错误；对D ，cos()sin 2πθθ-=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为（）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【答案】B【解析】：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，所以()tan()tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()tan tan 41tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯.故选：B 8．设1cos1022a =-，22tan131tan 13b =+，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a<<【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =︒=︒+︒=︒=︒，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b ︒︒︒===︒︒=︒︒+︒+︒，sin 25c =，因为函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()63πα+=-，则2cos(2)3πα-=（）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【答案】B 【解析】：因为sin()6πα+=2cos 2cos 263παππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣+⎭⎝⎦6cos 2πα⎪+⎛⎫=- ⎝⎭212n 6si πα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎭⎣+⎝⎦21123⎡⎤⎛⎢⎥=--=- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：B 10．若11tan ,tan()72βαβ=+=，则tan =α（）A ．115B ．112C ．16D ．13【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72βαβ=+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αββααββαββ-+-+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯.故选：D.11．已知3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C．3-D．3【答案】B【解析】：因为3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3cos cos sin sin 166ππααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即13cos sin 122ααα⎫-+=⎪⎪⎝⎭3sin 12αα-=1cos 123πααα⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 2cos 2662πππαα⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 133ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21213⎡⎤⎢⎥=--=⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，则()cos αβ-=（）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3cos 5α=-由5cos ,13ββ=-是第三象限角，可得12sin 13β=-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A13．若sin 25α=，()sin 10βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又∵sin 2,2,,,242πππααπα⎡⎤⎡⎤=∴∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴cos 25α==-.又∵35,,,224πππβπβα⎡⎤⎡⎤∈∴-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴()cos βα-==，于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦5105102⎛⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易得5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦，则74αβπ+=.故选：B.14．)sin20tan50=（）A ．12B ．2C D ．1【答案】D【解析】原式()()()()sin20sin 50cos502sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos50cos 9050++===-2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααβαβ=+=<<<<，则角β的值为（）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【答案】A 【解析】∵0,022ππαβ<<<<，0αβπ∴<+<，由1cos 7α=，()sin αβ+=，得sin α=11cos()14αβ+=±，若11cos()14αβ+=，则sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+1110714=-<，与sin 0β>矛盾，故舍去，若11cos()14αβ+=-，则cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++111147147=-⨯+⨯12=，又(0,)2πβ∈，3πβ∴=.故选：A.16．若7171212ππα<<，且7cos 268πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5cos 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．B ．CD ．14-【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得215sin 1216πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 122πα⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以15sin 124πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以5cos cos sin 1221212ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A17．已知sin cos αα-=0απ≤≤，则sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．34410-C ．D 【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=⎝⎭，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 45πααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，即2sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0απ≤≤，所以3444πππα-≤-≤，所以044ππα<-≤，即42ππα<≤，所以22παπ<≤，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππααα⎛⎫-= ⎪⎝⎭23145252⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭故选：D18．若10,0,cos ,cos 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B ．C D ．【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0,022ππαβ<<-<<所以3,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则122cos 233βα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C 19．已知π43cos sin 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．45-B ．45C ．5-D ．5【答案】A【解析】由πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ππ3πcos cossin sin sin sin 6623αααααα⎛⎫++=+=-=⎪⎝⎭，所以，π4cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2πππ4cos cos πcos 3335ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.20．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos()α-=（）A ．10B ．10C ．10-D ．222110【答案】C【解析】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．又2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 45πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，cos()cos cos cos cos sin sin 44444410ππππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 2cos 2)2sin(2)223f x x x x x x π=+=+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；(2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,26x ππ∈--时，22(,0)33x ππ+∈-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+︒-︒C ．cos 75︒︒D ．cos15︒︒【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos 12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒=-︒-︒︒C ：cos 754sin15230︒︒=︒︒=︒=D ：cos152sin(3015)2sin15︒︒=︒-︒=︒.故选：ABC23．已知函数2()sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x 在区间,2m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，则3m π≥【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x xf x x x π-⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 不正确；当2x m π-≤≤时，++366x m πππ-≤≤，因为()f x 在区间,2m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，即11sin 622x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，所以sin 16x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以+62m ππ≥，解得3m π≥，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x ∈，时，()f x 的（）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π[0]2x ∈，时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ≤+≤，得06x π≤≤，所以()f x 的增区间为π06⎡⎤⎢⎣⎦，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【答案】ACD 【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x ⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭π2cos 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +≤+≤+∈，得：π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ，即()f x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD 三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36⋅-⋅(2)sin7cos37cos(7)sin(37)⋅+-⋅-(3)ππcos sin 1212⋅(4)22ππsincos 88-【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)2-.【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900⋅-⋅=+==.(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37⋅+-⋅-=⋅-⋅1sin(737)sin(30)2=-=-=-.(3)ππ1π1cossin 1212264⋅==.(4)22πππsin cos cos 8842-=-=-.27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πββ<<=()sin αβ+的值.【答案】(1)34-(2)5-【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α=±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sin 3tan cos 4ααα==-(2)π0,cos 2ββ<<=，故sin β==；()34sin =sin cos cos sin 55αβαβαβ++==28．已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin 10βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.【答案】(1)证明见解析(2)3.4πβ=【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα⨯===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πβαπ<-<，且()sin 10βα-=所以()cos βα-==()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=-+-⎣⎦3247225105102⎛=⨯-+⨯ ⎝⎭又5224πππαβπα<+<<+<，所以3.4πβ=29．已知α，β为锐角，π33sin 314α⎛⎫-=⎪⎝⎭，()11cos 14αβ+=-．(1)求cos α的值；(2)求角β．【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ336πα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭-，，又π33sin 314α⎛⎫-=⎪⎝⎭所以π13cos 314α⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以ππcos =cos +33αα⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππ1cos cos sin sin =33337αα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为α，β为锐角，所以0αβ<+<π，则()sin 0αβ+>，因为()11cos 14αβ+=-，所以()sin 14αβ+==．又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==，故()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦111714=+=因为β为锐角，所以π3β=．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αβ，都是锐角，()3cos 5αβ+=，求sin β的值.【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a αααααα⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，1sin 2a =.(2)因为αβ，都是锐角,所以0αβ<+<π，()4sin 5αβ+==，13sin cos 22a a =⇒=，()()()43sin cos c 0s 13si o 55n sin sin 221αβααβααββα-=-+=+-=+-=⨯⨯⎡⎤⎣⎦31．已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αβ+(2)()()sin cos αβαβ+-；(3)()cos 22αβ+.【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αβαβ+=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αβαβαβ-++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αβαβαβαβαβαβαβ-+-+-++====++++++。
2024年新高考数学复习知识梳理与题型归纳第25讲简单的三角恒等变换教师版
第25讲简单的三角恒等变换思维导图知识梳理题型归纳题型1三角函数式的化简【例1-1】已知(0,) ，化简：(1sin cos )(cossin )22．【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果．【解答】解：(0,) ∵，2(1sin cos )(cossin )(12sin cos 2cos 1)(cos sin )22222222cos(sin cos )(cos sin )2cos cos 222222cos |2cos |2cos22，故答案为：cos ．【跟踪训练1-1】设42x()A．2sin xB．2cos xC．2sin xD．2cos x，然后结合已知角的范围进行化简即可．【解答】解：∵42x，，sin cos sin cos 2sin x x x x x ．故选：A ．【跟踪训练1-2】若为第四象限角，则可以化简为()A．2sinB．2cosC．2tanD．2tan【分析】由a 为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解．【解答】解： ∵为第四象限角，1sin 1sin 2sin 2tan cos cos cos．故选：D ．【名师指导】1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．题型2三角函数式的求值【例2-1】2cos 4836cos36(cos 27sin 27)B．1C．1D．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．12(sin 72cos72)72222 ．故选：D ．【例2-2】若sin 11cos 3 ，则22cos 3sin 2sin2．【分析】由已知可得3sin 1cos ，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．【解答】解：∵sin 11cos 3，3sin 1cos ，22cos 3sin 22(2cos 1cos 2)21cos sin 2．故答案为：2 ．【例2-3】若 为锐角，且(4cos50tan 40)tan 1 ，则( )A．60B．50C．40D．30【分析】先利用三角函数公式化简4cos50tan 40tan 3，从而求出 的值．【解答】解：4cos50tan 40 4sin 40tan 404sin 40cos 40sin 40cos 40 2sin80sin(3010)cos 4012cos10cos1022cos 403cos1022cos 40，tan ∵为锐角，030 ，故选：D ．【跟踪训练2-1】cos104cos10(sin10)A．1C．D．2【分析】由已知结合二倍角公式及和差角公式对已知进行化简即可求值．【解答】解：原式cos102sin 20cos102sin(3010)sin10sin10 故选：C ．【跟踪训练2-2】化简：2255sin 40sin 50cos sin的结果为．【分析】利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．【解答】解：2255cos10cos10sin80211sin 40sin 50sin 40cos 40sin80sin8022cos sin．故答案为：2．【跟踪训练2-3】化简求值：（Ⅰ）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15；（Ⅱ）4cos70tan 20 ．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解；（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．【解答】解：（Ⅰ）1sin 7sin8cos15sin(158)sin8cos15sin15cos8tan 45tan 30tan(4530)2cos7sin8sin15cos(158)sin8sin15cos15cos81tan 45tan 30（Ⅱ）350cos504cos 70cos 20sin 202sin 40sin 202cos50sin(5030)224cos 70tan 20cos 20cos 20cos 20cos 20【跟踪训练2-4】若3sin()5 ， 是第三象限角，则cos sin22cos sin 22．【分析】根据题意可得3sin 5 ，4cos 5 ，再化简cossin1sin 22cos cos sin 22 ，代值计算即可．【解答】解：2cossin (cos sin )1sin 2222cos cos sin (cos sin )(cos sin )222222，∵3sin()sin 5， 3sin 5 ，∵为第三象限角， 4cos 5， 1sin 1cos 2 故答案为：12【跟踪训练2-5】已知sin 是方程25760x x 的根，则233sin()sin()tan (2)22cos()cos()cos()22．【分析】解一元二次方程求得sin 的值，在老鹰利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的三角函数式，可得结果．【解答】解：sin∵是方程25760x x 的根，3sin 5，2233sin()sin()tan (2)cos (cos )tan 1522sin (sin )(cos )cos 4cos()cos()cos()22，故答案为：54．【跟踪训练2-6】已知02x，1sin cos 5x x ．（1）求sin cos x x 的值；（2）求2sin 221tan x sin xx的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得sin cos x x 的值．（2）由题意利用三角函数的恒等变换及化简所给的式子，结合（1）的结论，可得结果．【解答】解：（1）∵已知02x ，cos sin x x ，1sin cos 5x x ∵，平方可得112sin cos 25x，242sin cos 25x，7sin cos 5x x ．（2）22241sin 222sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )2425571tan 1tan cos sin 1755x sin x x x x x x x x x x x x．【跟踪训练2-7】若cos (1)1 ，则 的一个可能值为()A．70B．50C．40D．10【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos cos 40 ，比较各个选项即可得解．【解答】解：∵cos (1)1，coscos102sin 40 sin 802sin 40cos 40 ，的一个可能值为40 ．故选：C ．【跟踪训练2-8】已知角,(0,)4 ，3sin sin(2) ，24tan 1tan 22，则．【分析】从24tan1tan 22．中解出tan ，利用配角法化简3sin sin(2) ，即将其中的2 用() ， 用() 代换，从而求出tan() ，利用三角函数值求解得 的值．【解答】解：24tan1tan 22∵，2tan 1 ，1tan 2．3sin sin(2) ∵，3sin sin()cos cos()sin ．3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ．sin()cos 2cos()sin ．tan()2tan 1 ．又,(0,)4，4．故答案为：4．【跟踪训练2-9】已知sin()7 ，13cos()14 ，02．（1）求sin()3的值；（2）求角 的大小．【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的变换的应用求出结果．（2）利用三角函数的角的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sin()sin 7，由于02．所以1cos 7，故11sin()sin cos cos sin 333727214．（2）02．所以02，由于13cos()14 ，所以sin()14，故：1131cos cos[()]cos cos()sin sin()7142．由于02．所以3．【名师指导】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数．－π2，题型3三角恒等变换与三角函数的综合应用【例3-1】已知ABC 中，sin()sin()sin 2B A B A A ，则ABC 的形状为()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．无法确定【分析】利用和角与差角的三角函数公式化简，进而分类讨论即可判断ABC 的形状．【解答】解：因为sin()sin()sin 2B A B A A ，sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos B A B A B A B A A A ，可得：sin cos sin cos B A A A ，当cos 0A 时，2A，ABC 为直角三角形，当cos 0A 时，得sin sin B A ，由正弦定理得a b ，所以ABC 是等腰或直角三角形．故选：C ．【例3-2】已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 136f x x x x．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[,]42，且32()5f ，求cos 2 ．【分析】（1）用正、余弦的差角公式展开，再用和角公式合并化简，用周期公式得到答案；（2）先计算角的范围，判断余弦的符号，求出cos(2)4 的值，再用角变换得cos 2cos[(244求解；【解答】解：（1）函数2()sin(2)cos(2)2cos 136f x x x xsin 2coscos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 23366x x x x xsin 2cos 24x x x；所以函数()f x 的最小正周期22T；（2）∵()5f )45， 3sin(2)45 ∵[,]42 ，352444， 4cos(2)45；cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 444444；故cos 210．【跟踪训练3-1】在ABC 中，如果cos(2)cos 0B C C ，那么ABC 的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【分析】结合A B C 和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为2cos cos 0B A ，即cos cos 0B A ，又A ，(0,)B ，所以cos B 与cos A 一正一负，故而得解．【解答】解：A B C ∵，cos(2)cos B C Ccos[()]cos[()]B A B A cos()cos()B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B A 2cos cos 0B A ，cos cos 0B A ，即cos B 与cos A 异号，又A ，(0,)B ，cos B 与cos A 一正一负，ABC 为钝角三角形．故选：A ．【跟踪训练3-2】已知2()sin sin cos f x x x x ，[0x ，2（1）求()f x 的值域；（2）若5()6f，求sin 2 的值．【分析】（1）首先，化简函数解析式：1())242f x x ，然后，根据[0x ，]2，求解()f x 的值域；（2）根据（1）的函数解析式，因为sin 2sin(244，先求解cos(2)43，然后求解．【解答】解：（1）2()sin sin cos f x x x x 1cos 2sin 222x x1)242x1())42f x x．[0x ∵，2，2[44x，3]4，当244x，即0x 时，()f x 有最小值0．当242x时，()f x 有最大值12．()f x 值域：[0，21]2．（2）15())2426f，得sin(2)43，[0 ∵，]2，2[44，3]4，又0sin(2)432∵，2(0,)44，得cos(2)4sin 2sin(244)cos(2)]44 26．sin 2 的值26．【名师指导】解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：构造f (x )＝a 2＋b 2x ＋ba 2＋b 2·cos 第三步：和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)；第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．。
高考文数热点题型和提分秘籍 专题16 简单的三角恒等变换(含答案解析)
【高频考点解读】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．【热点题型】题型一 三角函数式的化简例1、化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .【提分秘籍】三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．【举一反三】化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋t an α·tan α2. 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin α2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos α2cos αcos α2＝2sin α. 题型二 三角函数式的求值例2、3cos 10°－1sin 170°＝( ) A ．4B ．2C ．－2D ．－4 解析：选D 3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝ 3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2－12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4 【提分秘籍】三角函数求值有三类(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于 “变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【举一反三】 化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 答案：1题型三 三角恒等综合应用例3、已知函数f(x)＝cos x·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【提分秘籍】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．【举一反三】已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，若f(α)＝22，求α的值．【高考风向标】【2015高考陕西，文6】“s i n c o s αα=”是“cos 20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】A【解析】22cos20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=， 所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________.【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++ 【高考押题】1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23 C.13 D.23解析：选D ∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 2．设tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C.3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B.512C.177 D ．－717解析：选D 依题意，角α的终边经过点P(2,3)，则tan α＝32，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－125， 于是tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－717. 4．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118B ．－118 C.1718 D ．－1718解析：选D cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 5．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116 C.116 D.186．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α s in βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2－＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3. 7．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案：π39.tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 答案：110.3tan 12°－3212°－＝________. 解析：原式＝3·sin 12°cos 12°－3212°－＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23－2cos 24°sin 12°cos 12° ＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 答案：－4 311．已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin xcos x ，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24.12．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β ＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315.。
三角恒等变换与解三角形(题型归纳)
三角恒等变换与解三角形【考情分析】1.考查特点：由于新高考删除了解答题的选做题，三角函数与解三角形成为新高考全国卷六大解答题的必选内容.在命题数量上“一大二小”的趋势比较明显，主要考查三角恒等变换、解三角形，另外三角函数及解三角形题和数列题会交替处在解答题的第一题或第二题的位置上，考查难度中等，这两个题目有时会有一道题设计成“结构不良”试题.2.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模.【题型一】三角恒等变换【题组练透】1．（2021·山东省淄博实验中学高三一模）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为10.6182m -=≈，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比10.6182m =≈，它还可以近似表示为2sin18︒，则sin 78m︒+︒的值近似等于（）A ．12B ．1C ．2D【答案】B【解析】由题()2sin 30122sin18sin 78sin 78sin 78m ︒︒︒︒︒+︒-︒++==︒︒=12cos122cos12cos121sin 78sin 78cos12⎛⎫︒+︒-︒ ⎪︒︒⎝⎭===︒︒︒，故选：B ．2．（2021·湖北十堰高三模拟）已知()2sin 3αβ+=，()1sin 3αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【答案】D【解析】由题意可得，2sin cos cos sin 3αβαβ+=，1sin cos cos sin 3αβαβ-=，所以1sin cos 2αβ=，1cos sin 6αβ=，所以tan sin cos 3tan cos sin ααββαβ==.故选：D.3.（2021·江苏盐城高三三模）满足等式)()(1tan 1tan 2αβ--=的数组)(,αβ有无穷多个，试写出一个这样的数组______.【答案】30,4π⎛⎫⎪ ⎭⎝【解析】由)()(1tan 1tan 2αβ--=，得1(tan )tan tan 2tan αβαβ-++=，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=-，所以tan tan tan tan 1tan()11tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ+-+===---，所以3,4k k Z παβπ+=+∈，所以取34αβπ+=，所以)(,αβ可以为30,4π⎛⎫⎪ ⎭⎝.4.（2021·济南市历城第二中学高三一模）已知ππ1sin cos 883θθ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin 4θ=______.【答案】2319【解析】由ππ1sin cos 883θθ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得π2sin 243θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故π2sin 243θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；22ππ21sin 4cos 412sin 2122439θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【提分秘籍】1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【题型二】正弦定理与余弦定理解三角形【典例分析】【典例】（2021·山东德州市·高三二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin cos c B C -=．（1）求角B 的大小；（2）若3a =，2c =，D 为BC 边上一点，15CD DB =，求sin BDA ∠的值．【解析】（1sin cos c B C -=sin sin cos A C B B C -=，cos cos sin sin cos B C C B C B B C +-=cos sin sin 0C B C B -=，因为sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）因为3a =，15CD DB =，所以12CD =，52DB =，ABD ∆中，由余弦定理得，222551212()222224AD =+-⨯⨯⨯=，所以212AD =，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠，故32272sin 7BDA ⨯∠==．【变式探究1】本例第（1）问变条件，sin cos c B C -=”，改为“sin sin sin A B a cC a b--=+”，求求角B 的大小【解析】ABC ∆中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==及sin sin sin A B a cC a b--=+，知a b a cc a b--=+，所以222a c b ac +-=，由余弦定理知2222cos a c b ac B +-=，所以2cos ac B ac =，所以1cos 2B =，又(0,)B π∈，所以3B π=．【变式探究2】本例第（2）问变设问，若3b =，D 为AC 边上一点，2BD =，且___，求ABC ∆的面积．（从①BD 为B ∠的平分线，②D 为AC 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．)【解析】①BD 为B ∠的平分线，3b =，所以6ABD BDC π∠=∠=，因为ABC ABD BDC S S S ∆∆∆=+，所以11112242222a c =⨯⨯+⨯⨯22a c =+，由余弦定理得，222b a c ac =+-，所以2239()3()34a c ac ac ac =+-=-，解得6ac =或2ac =-（舍)，所以ABC ∆的面积33342S ==；②D 为AC 的中点，3b =，则32AD DC ==，因为ADC BDC π∠=-∠，所以22222233(2()22233222222c a +-+-=⨯⨯⨯⨯，整理得2225a c +=，由余弦定理得，2229b a c ac =+-=，所以72ac =，所以ABC ∆的面积S ==【提分秘籍】1.正、余弦定理的适用条件:(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”采用正弦定理解决问题;(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”采用余弦定理解决问题.2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质和三角形的面积公式,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,一般地,若已知条件中的等式两边含有角的正弦、余弦或边的一次式,则考虑使用正弦定理将边化为角(或将角化为边),若含有角的余弦式或边的二次式,则考虑使用余弦定理.【题型三】解三角形的综合问题【典例分析】【典例】（2021·广东深圳市·高三一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(cos )b a C -=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2(sin sin cos )B A C C -=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ ，2cos sin A C C ∴=，又sin 0C ≠ ，2cos A ∴=3cos2A ∴=，故在ABC ∆中，30A =︒；（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，222242cos30(2b c bc b c bc ∴=+-︒=+-，4(2bc∴+，ABC ∴∆面积11sin 224S bc A bc ==+．故ABC ∆面积的最大值为2+．【提分秘籍】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值.或范围【变式演练】（2021·浙江高三模拟）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ﹐且满足222)S a b c =+-．（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B ⋅的最大值．【解析】（1）解：由题意可知13sin 2cos 24ab C ab C =⨯．所以tan C =因为0C π<<，所以3C π=；（2）解：由已知sin sin A B ⋅sin sin()A C A π=⋅--2sin sin()3A A π=⋅-11111sin (sin )22sin(2)22444264A A A A A A π=⋅+=-+=-+．因为270,23666A A ππππ<<∴-<-<,所以262A ππ-=即3A π=时，sin sin AB ⋅取最大值34.所以sin sin A B ⋅的最大值是34．1．（2021·山东师范大学附中高三模拟）函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为（）A ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】()sin cos cossin sin 66f x x x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 244x x -=+11sin 2264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令2,6x k k ππ-=∈Z ，可得,212k x k ππ=+∈Z ，则函数()f x 的图象的对称中心为1,,2124k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，因此函数()f x 的图象的一个对称中心为1,124π⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C 2．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，30B =︒，ABC 的面积为32，则b =（）A ．132B ．1+C ．223+D ．2+【答案】B【解析】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，平方得22242a c b ac +=-，又ABC 的面积为32，且30B =︒，故由1113sin sin 302242S ac B ac ac ==︒==，得6ac =，222412a c b ∴+=-，由余弦定理得22222241243cos 22642a cb b b b B ac +----====⨯，解得24b =+，又b 为边长，1b ∴=+，故选B .3．（2021·宁波市北仑中学高三模拟）若3cos 63πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos cos 3παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（）A ．223-B ．223±C ．1-D ．±1【答案】C【解析】cos 63πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，(66ππαα=-+，366πππαα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，cos cos[()cos(cos sin(666666ππππππαααα∴=-+=---，cos cos cos()cos sin()sin 3666666πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.cos cos 2cos()cos 2()136632πππααα⎛⎫∴-+=-=⨯-⨯- ⎪⎝⎭.故选：C4．（2021·浙江温州市·温州中学高三模拟）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则b ca+的取值范围是（）A ．)2+B ．)1,3+C ．()2D ．()3,+∞【答案】A【解析】由正弦定理得()sin sin sin sin sin 2sin cos 2cos sin 22cos sin sin sin B A B b c B C A A A A AA a A A A++++++====2222152cos 12cos 4cos 2cos 14(cos )44A A A A A -+=+-=+-+.因为ABC 为锐角三角形，所以0,20,202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩即0,202,2032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩所以64A ππ<<，所以cos 22A <<，所以b c a +的取值范围是)2+.故选：A.5．（2021·安徽师范大学附属中学高三模拟）已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，2,2sin 3cos ,a c A C ABC == 的面积为3，则c =（）A．B．CD．【答案】C【解析】因为a ＝2，2c sin A ＝3cos C 32=a cos C ，由正弦定理可得：2sin C sin A 32=sin A cos C ，因为()0,A π∈故sin A ≠0，所以2sin C 32=cos C ，可得：4sin C ＝3cos C ＞0，又sin 2C +cos 2C ＝1，可得，cos C 45=，sin C 35=，∵△ABC 的面积为312=ab sin C 35b =，∴b ＝5，则由余弦定理可得，2224255225c +-=⨯⨯，∴c =．故选：C ．6．（2021·湖北十堰市·高三模拟）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ；已知3a =，()()3sin sin sin sin sin sin sin sin 2A B C A B C B C +--+=，则ABC 的面积的最大值为（）A ．154B ．3154C ．14D ．34【答案】B【解析】由()()3sin sin sin sin sin sin sin sin 2A B C A B C B C +--+=，得2221sin sin sin sin sin 2A B C B C --=-，由正弦定理得22212b c a bc +-=，得1cos 4A =.因为0A π<<，所以sin A =.由3a =，得22192b c bc =+-，所以1922bc bc ≥-，解得6bc ≤，当且仅当b c ==时取等号，所以1sin 24ABC S bc A =≤△.故选：B 7．（多选题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边外别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形C ．sin sin sin +=+a b cA B CD ．若tan tan tan 0A B C ++<，则ABC 为钝角三角形【答案】ACD【解析】由A B >可知a b >，再根据正弦定理可得sin sin a bA B=，所以sin sin A B >，故A 正确；由cos cos a bB A =及正弦定理可知sin cos sin cos A B B A=，即sin 2sin 2A B =，又,(0,)A B π∈所以22A B =或22A B π+=，可知ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；由正弦定理知，()2sin sin 2,2sin sin sin sin sin R B C a b cR R A B C B C++===++，故C 正确；因为tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B A B C++=+-+tan (1tan tan )tan C A B C =--+tan tan tan 0C A B =<，又,,(0,)A B C π∈，故,,A B C 中有且只有一个角为钝角，故D 正确，故选ACD8．（多选题）（2021·山东泰安市·高三期中）设,,a b c 分别为△ABC 的内角,,A B C 的对边，下列条件中可以判定△ABC 一定为等腰三角形的有（）A ．cos cos a A bB =B ．cos cos a B b A =C ．sin sin b B c C =D ．2cos a b C=【答案】BCD【解析】A ：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，有A B =或2A B π+=，错误；B ：sin cos cos sin A B A B =，即in 0()s A B -=，在三角形中必有A B =，正确；C ：22sin sin B C =，在三角形中必有B C =，正确；D ：sin 2sin cos A B C =，而A B C =+，所以sin()0B C -=，在三角形中必有B C =，正确；故选BCD.9．（2021春•湖南月考）ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，2b =，sin sin 2B A =，则()A ．42sin9B =B ．1cos 3A =-C ．3c =D ．ABC S ∆=【答案】ACD【解析】因为sin sin 2B A =，所以sin 2sin cos B A A =，由正弦定理得2cos b a A =．又3a =，2b =，所以1cos 3A =，22sin 3A =，42sin 9B =．又b a <，所以7cos 9B =，1cos cos()cos cos sin sin cos 3C A B A B A B A =-+=-+==，所以3c a ==，11sin 2322ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯故选：ACD ．10．（2021·北京高三二模）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在ABC 中，若1,2AF FD ==，则AB =___________.【解析】由题意EFD △为等边三角形，则3EDA π∠=,所以23BDA π∠=根据条件AFC △与BDA V 全等，所以1AF BD ==在ABD △中，3,1AD BD ==2222cos AB AD BD AD BD BDA=+-⨯⨯⨯∠22131213132⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以AB =11．（湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）数学试题）托勒密（Ptolemy ）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，,AC BD 是其两条对角线，AB AD =，120BAD ∠= ，6AC =，则四边形ABCD 的面积为_____．【答案】9．【解析】在ABD △中，设AB a =，由余弦定理得：22222cos 3BD AB AD AB AD BAD a =+-⋅⋅∠=，所以BD =，由托勒密定理可得()a BC CD AC +=，即BC CD +=，又30ABD ACD ∠∠== ，所以四边形ABCD 的面积11sin 30sin 3022S BC AC CD AC =⋅+⋅⋅ 213()44BC CD AC =+⋅==．12.（2021·浙江温州市·高三其他模拟）如图所示，在ABC 中，已知3sin 3A =，D 为边AB 上的一点，且满足5,33AD CD BCD π==∠=，则sin B =_________，BD =__________．【答案】2236+3-【解析】令BDC α∠=，因为53AD CD ==，所以21cos cos 212sin 3A αα==-=，所以22sin 3α=，223sin sin sin cos cos sin 3336B πππααα⎛⎫=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭，在BCD △中，由正弦定理得sin sin 3BDCD B π=，解得sin 3sin 3CD BD B π=⋅=-．13．（山东菏泽2021届高三数学二模试题）如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=.求：（1）BD 的长度；（2）三角形ABD 的面积.【解析】（1）在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos 14221144BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则2BD =；（2）在ABD △中，1803045105BAD ∠=︒-︒-︒=︒，()2236sin sin105sin 45602224122BAD ∠=︒=︒+︒=⨯+⨯，由正弦定理可得sin sin AD BD ABD BAD=∠∠，所以)2sin 45221sin1022564BD AD ⨯⋅︒==︒，则)1sin 212sin 301122ABD S AD BD ADB =⋅∠=⨯-⨯⨯︒=- .14．（2021·江苏南通市·高三一模）在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.（1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】解法一：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，即2sin cos sin B C B =.因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =.又()0,C π∈，所以3C π=.解法二：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以222222a c b a b c ac+--=⋅，即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.又()0,C π∈，所以3C π=.选择条件②：因为()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，所以()()()a c a c b a b +-=-，即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.又()0,C π∈，所以3C π=.选择条件③：因为()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△，所以()sin sin sin 12s n 12i C A B b c a b C a c =+-，从而222ab a b c =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.又()0,C π∈，所以3C π=.（2）因为2c =，所以243sin 3sin 3c C π==，从而8343233a b A B -=-8343sin 333A A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos A A =-4sin 6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为203A π<<，所以662A πππ-<-<，从而1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以2a b -的取值范围为。
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换一、知识点：一）公式回顾：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，简记为C(α±β)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，简记为S(α±β)sin2α=2sinαcosα，XXX为S2αcos2α=cos²α-sin²α，XXX为C2αtan2α=(α≠kπ/2且α≠kπ)简记为T2α2、二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍，3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。
因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。
凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
二）公式的变式1±sin²α=(sinα±cosα)²cos²α=1/(1+tan²α)1-cos²α=2sin²αtan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)公式前的±号，取决于2合1公式所在的象限，注意讨论。
absinx+cosx=a+ba+b其中tanθ=b/a二、经典例题剖析：基础题型例1:已知sin2α=5π/13，0<α<π/2，求sin4α，cos4α，tan4α.例2:在△ABC中，cosA=4/5，tanB=2，求tan(2A+2B).题型二：公式的逆向运用例3:求下列各式的值：2tan15°1.化简下列各式：1) sin²22.5°cos²22.5°;2) (1-2sin²75°)/(21-tan15°);3) sin(3π/4)/[1-(tanπ/5)²].2.化简下列各式：1) sin⁴θ-cos⁴θ;2) -αcosα-(3α²/4).3.求值：1) cos(π/12)cos(π/6);2) cos36°cos72°.题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3.化简下列各式：1) 1+sin40°;2) 1-sinα;3) 1+cos20°;4) 1-cosα.1) (cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ-cos²θ)/(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) = 2sinθ/(1-cos2θ);2) (cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ)/(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) = 2cosθ/(1+cos2θ).3.已知sinx+cosx=3/2.x∈(0,π)，求sin2x和cos2x.2sinxcosx = sin2x。
《三角恒等变换》知识点及常见题型总结
简单的三角恒等变换一、考点、热点回顾模块一、两角和与差的三角函数要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路①巧变角：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等②三角函数名互化：切割化弦③公式变形使用：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±， 1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinα·cosα=（sinα±cosα）2 ④三角函数次数的降升：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=；升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= ⑤常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等模块二、简单的三角恒等变换 要点三、半角公式：sin α2＝cos 2α= tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 要点四、三角函数的积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。
2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类(解析版)
三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。
高考数学专题--三角恒等变换
高考数学专题--三角恒等变换高考考点：1、利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值2、三角恒等变换的综合应用高考中，对于三角恒等变换的考查有两种：（1）直接利用三角恒等变换求值；（2）以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.也可能与三角函数等其他知识相结合.考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1 已知π3ππcos ()2322αα⎛⎫+=-<<⎪⎝⎭,则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3236- B ．3236+ C ．636- D ．636+ 【答案】A 【解析】∵π3cos sin 23αα⎛⎫+=-=⎪⎝⎭,∴3sin 3α=-, ∴π02α-<<,∴6cos 3α=. ∴πππ323sin()sin coscos sin 3336ααα-+=+=.选A ． 调研2 已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛+σπ6cos ⎪⎭⎫⎝⎛σπ-3＝－14，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ，.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 【解析】(1)cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+σπ6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛σπ-3＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+σπ6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+σπ6＝12sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πσ＝－14，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πσ＝－12，因为α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ，，所以2α＋π3∈⎪⎭⎫⎝⎛34ππ，， 所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πσ＝－32， 所以sin 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3-32ππσ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πσcos π3－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πσsin π3＝12. (2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2 α－cos 2 αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝2123-2-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯＝2 3.☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研3 已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边过点()1,2,则tan2θ= ．【答案】43-【解析】由题意可得tan 2θ=,所以tan2θ=22tan 1tan θθ-=43-. 调研4 已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且5sin 5α=,则πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．【答案】17-【解析】由题可知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭, 因为5sin 5α=,所以25cos 5α=-,则1tan 2α=-,故2tan tan 4tan21tan 3αααα+==--,则πtan211tan 241tan27ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭. ☆技巧点拨☆ 公式的常见变形：（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=± ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-.（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=. （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-.（4）辅助角公式：sin cos a x b x +22sin()a b x ϕ=++，其中2222cos ,sin a ba ba b ϕϕ==++，tan baϕ=. 考点2 三角恒等变换的综合应用 题组一 与三角函数的图象及性质相结合 调研1 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()y f x =+()π,,π2g x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为 .【答案】32【解析】由题意得()πsin ,3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∴y =()()f x g x +=πsin sin 3x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭=ππsin sin cos cos sin 33x x x +-=33sin cos 22x x -=π3sin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ,∴ππ5π ,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π66x -=时,min 32y =.题组二 与向量相结合调研2 已知()1cos ,1x ω=+-a ,()3,sin x ω=b (0ω>),函数()f x =⋅a b ,函数()f x 的最小正周期为2π．(1)求函数()f x 的表达式; (2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()635f θ=+,求cos θ的值． 【解析】(1)()()31cos sin f x x x ωω=⋅=+-a b =π32sin 3x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 因为函数()f x 的最小正周期为2π,所以2π2πω=,解得1ω=,所以()π32sin 3f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭． (2)由()635f θ=+,得π3sin 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以πππ,336θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以π4cos 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos θ=ππcos 33θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=ππππcos cos sin sin 3333θθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=41335252⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎝⎭=43310+． 题组三 与解三角形相结合调研3 已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且3cos sin 3c A a C c +=. (1)求角A 的大小;(2)若5,3ABC b c S +==△,求a 的值.【解析】(1)由3cos sin 3c A a C c +=,得3sin cos sin sin 3sin C A A C C +=, ∵sin 0C ≠,∴3cos sin 3A A +=,∴31π2cos sin 2sin 3223A A A ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴π3sin 32A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, ∵ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴π2π33A +=, 即π3A =. (2)由11π33sin sin 2234ABC S bc A bc bc ====△,得4bc =, ∵222π2cos 3a b c bc =+-=()22253413b c bc bc +--=-⨯=, ∴13a =. ☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中，每个角的范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意. 强化训练： 1．已知π2tan ,tan 34m m αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则m =（ ） A ．61-或 B ．16-或 C ．6 D ．1 【答案】A2．若()()sin cos cos sin αβααβα---=,m 且β为第三象限角,则cos β的值为（ ） A ．21m - B ．21m -- C ．21m - D ．21m -- 【答案】B【解析】由题可得()()(),sin cos cos sin sin αβααβααβα---=--=sin β-=,m 所以sin m β=-.因为β为第三象限角,所以cos β=21m --.故选B ． 3．已知π1cos 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos x +πcos 3x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．32 B ．3C ．12D ．33【答案】D4．为了得到函数2π2cos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需把函数sin2y x =-的图象上所有的点（ ） A ．向右平行移动π4个单位 B ．向左平行移动π4个单位 C ．向上平行移动1个单位 D ．向下平行移动1个单位【答案】C【解析】2ππ2cos cos 21sin 2142y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以只需把函数sin2y x =-的图象向上平移1个单位，即可得到2π2cos 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故选C ． 5．若()510sin2,sin 510αβα=-=,且][π3π,π,π,42αβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦,则αβ+的值是（ ） A ．7π4 B ．9π4 C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4【答案】A6．设sin2sin ,ααα=∈()0,π,则cos α= ;tan2α= . 【答案】1,32- 【解析】∵()sin2sin ,0,πααα=∈,∴2sin cos sin ααα=, ∵sin 0,α≠∴1cos 2α=,∴π3α=, ∴2πtan2tan33α==-. 7．若πcos 4α⎛⎫-⎪⎝⎭4,5=则sin2α=__________. 【答案】725【解析】2ππ167sin2cos 22cos 121.242525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．在平面直角坐标系xOy 中,已知角α的顶点和点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上一点M 的坐标为()1,3,则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 【答案】23--【解析】由题可得,tan 3α=,所以πtan 131tan 2341tan 13ααα++⎛⎫+===-- ⎪--⎝⎭. 9．在ABC △中,若()sin 22sin A B B +=,则tan B 的最大值为 ．【答案】3310． 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79- B ．29- C ．29 D ．79【答案】A11．若tan 13θ=，则cos 2θ=（ ） A ．45-B ．15- C ．15 D ．45【答案】D【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++．故选D. 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（ ） A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )2sin sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a cA C=得223πsin sin4C =， 即1sin 2C =， 因为c <a ，所以C<A ， 所以π6C =，故选B ． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．13．已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-= .【答案】3101014．已知ππ10π,cos,243αββ⎛⎫<<<<-=⎪⎝⎭()4sin5αβ+=.(1)求sin2β的值;(2)求πcos4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】(1)79-；(2) 82315-.15．已知函数()23sin2cos 2f x x x m =--. (1)求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间;(2)若5π3π,244x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值. 【答案】(1)函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为πππ,π,63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)12m =. 【解析】(1)()23sin2cos 2f x x x m =--=31cos2sin222x x m +--=π1sin 262x m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭, 则函数()f x 的最小正周期πT =, 根据πππ2π22π,262k x k k -+≤-≤+∈Z ,得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z , 所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π,63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . (2)因为5π3π,244x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ42,π643x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 则当ππ2,62x -=即π3x =时,函数()f x 取得最大值0,即1102m --=,解得12m =. 16．已知ABC △中,角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos cos 0.a b c C a C c A b ++=(1)求角C 的大小;(2)若2,23,b c ==求ABC △的面积.【答案】(1)120 ；(2) 3.17．已知向量()2,sin α=m ,()cos ,1α=-n ,其中π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且⊥m n . (1)求sin2α和cos2α的值;(2)若()10sin 10αβ-=,且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角β. 【答案】(1)4sin25α=，3cos25α=-；(2)π4β=.18．ABC △中，D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C∠∠ ； （II ）若60BAC ∠= ,求B ∠.。
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二轮复习微专题三角恒等变换考点一 给值求值、给值求角、给角求值 【必备知识】1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑴()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑴()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑴2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． (3)半角公式：αααααααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan ,2cos 12sin ,2cos 12cos-=+=+-±=-±=+±= （4）辅助角公式:)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中2222cos ,sin ba a ba b +=+=ϕϕ。
3、常数“1”的代换:1=sin 2α+cos 2α,1=2cos 2α-cos 2α,1=cos 2α+2sin 2α,1=tanπ4.【典型例题】【例1】已知cos （α+π6）-则sin （α+11π6）的值是( )A. B.-45D.45【解析】cos(α+π6)-cos α-32(12cosα⑴sin(π6-α)=45.sin(α+11π6)=sin[2π+(α-π6)]=sin(α-π6)=-sin （π6-α）=-45.故选B.【方法归纳 】1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ⑴一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ⑴变换待求式,便于将已求得的函数值代入,从而达到解题的目的.2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：);4(24);(;)(αππαπαββαββαα--=+--=-+= )]()[(21)];()[(21;22βαβαββαβαααα--+=-++=⋅=等.【例2】已知sin α=-β)=均为锐角,则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6【解析】因为α,β均为锐角,所以-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=所以cos(α-β)=又,所以,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β).所以β=π4.故选C.【方法归纳】“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值.求出所求角的某种三角函数值.（2）界定范围.根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.（3）求角.由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小. 【例3】tan 25°+tan 35°+ tan 25°·tan 35°=________. 【解析】原式=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+ tan 25°tan 35°= (1-tan 25°tan 35°)+ tan 25°tan 35°=3.【方法归纳】求解“给角求值”问题的三个注意点(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.【类比训练】1、计算020200155sin 155cos 20sin 110sin -的值为( )A. 21-B.21C.23D.23-【解析】原式=2140sin 40sin 2150cos 20sin 20sin 25sin 25cos 20sin 70sin 00000020200===-.2、已知α,β⑴(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .【解析】因为tan α=tan[(α-β)+β]=()()tan tan 1tan tan αββαββ-+--=112711127-+⨯=13>0,所以0<α<π2.又因为tan 2α=22tan 1tan αα-=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=34>0,所以0<2α<π2,所以tan(2α-β)=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+=314731147+-⨯=1.因为tan β=-17<0,所以π2<β<π,-π<2α-β<0,所以2α-β=-3π4.【自我总结】三角函数求值有三类：（1）“给角求值”，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察可以发现非特殊角与特殊角总有一定联系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得解.（2）“给值求值”，给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”.（3）“给值求角”，实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，进而确定角.考点二 公式的灵活运用 【必备知识】1、同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用平方关系sin 2α+cos 2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用商数关系sin cos αα=tan α可以实现角α的弦切互化.(2)关系式的逆用及变形用:αααααα222222sin 1cos ,cos 1sin ,cos sin 1-=-=+=. (3)sin α,cos α的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,无分母含有sin2α,cos2α及sin αcos α的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”后求解.2、利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式; ②利用公式化成单角三角函数; ③整理得最简形式.(2) 化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.【例4】已知tanα=2，求12cos cos sin sin 2sin 2--+ααααα的值.【解析】原式=1)1cos 2(cos sin sin cos sin 222---+αααααα=αααααα22cos 2cos sin sin cos sin 2-+=2tan tan tan 22-+ααα=2-22222+⨯=1.【方法归纳】把形如xd x c xb x a cos sin cos sin ++,xc x x b x a 22cos cos sin sin ++等类型叫做“齐次式”，已知正切值，可用“弦切互化法”求值，具体思路是：①整式的分母换成1,再用平方关系,构造出分子、分母都是关于正弦、余弦的齐次式; ②把分子分母同除以余弦的齐次幂,转化为一个关于正切的分式; ③代入已知的正切值可解.【例5】若32cos )sin(),,0(=+-∈ααππα,则ααcos sin -的值为（ ） A.32 B.32- B.34 D.34- 【解析】由诱导公式得32cos sin cos )sin(=+=+-ααααπ, 平方得92cos sin 21)cos (sin 2=+=+αααα,则097cos sin 2<-=αα, 所以916cos sin 2-1)cos (sin 2==-αααα,又因为),0(πα∈,所以0cos sin >-αα, 所以34cos sin =-αα，故选C. 【方法归纳】已知正弦和余弦的表达式的值求值关键是通过平方关系,采用“完全平方式转换法”在ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅之间建立联系,比如设t =+ααcos sin ⇒21cos sin 2-=⋅t αα,22cos sin t -±=-αα (注意根据角的范围选择正负号)或者αααcos sin 2sin 1+=+，αααcos sin 2sin 1-=-，解这些题目的最基本方法是解关于ααcos sin ，的方程组,解得ααcos sin ，的值. 易错提醒:(1)平方关系最多使用一次,注意开方时正负号的选取. (2)解方程组时,注意三角函数的符号,不要产生增解. 【变式训练】已知△ABC 中,137cos sin -=+A A ,则tanA= . 【解析】由已知得sinA>0,cosA<0, |sin A|<|cos A|,tanA>-1, 由137cos sin -=+A A 两边平方,整理得16960cos sin -=⋅A A ，即16960cos sin cos sin 22-=+⋅A A A A ，分子分母同除以A 2cos 得169601tan tan 2-=+A A ， 解得125tan -=A . 考点三 利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题 【必备知识】三角函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的思路①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成k wx A y ++=)sin(ϕ或k wx A y ++=)cos(ϕ的形式;②利用公式ωπ2=T 求周期;③根据自变量的范围确定ϕω+x 的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数k wx A y ++=)sin(ϕ或k wx A y ++=)cos(ϕ的单调区间.【例6】(2020·江苏扬州9月检测)在ABC ∆,角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量)sin 2,2sin22(),cos ,(cos ),,(A CB B A b a +===，且3,//=.（1）求角A ，B ，C 的值；（2）若]2,0[π∈x ，求函数x B x A x f cos cos sin sin )(+=的最大值与最小值.【解析】（1）因为n m //，所以A b B a sin cos =. 由正弦定理得A B B A sin sin cos sin =，所以0)sin(=-B A . 又ππ<-<-B A ,所以B A =.由3=可得9sin 42sin 8222=++==A C B ，所以9sin 42cos 822=+A A，所以9)cos 1(4)cos 1(42=-++A A ， 所以01cos 4cos 42=+-A A ，所以0)1cos 2(2=-A ， 故21cos =A ， 又π<<A 0，所以3π=A ,又A=B ，所以3π===C B A .（2）由题意知，)6sin(6sin cos 6cos sin cos 3cos sin 3sin)(πππππ+=+=+=x x x x x x f ， 令6π+=x t ，因为]2,0[π∈x ，所以]32,6[ππ∈t . 易知函数t t h sin )(=在]2,6[ππ上单调递增，在]32,2[ππ上单调递减，所以函数)(t h 在]32,6[ππ上的最小值为216sin )6(==ππh ，此时x=0；函数)(t h 在]32,6[ππ上的最大值为12sin )2(==ππh ，此时3π=x .综上，可知当]2,0[π∈x ，函数)(x f 最大值为1，最小值为21.【方法归纳】利用三角恒等变换求解三角函数的最值问题，最常用的方法是辅助角法和换元法。