新教材高中数学第六章平面向量及其应用章末复习提升课课件新人教A版必修第二册

B.
【答案】 (1)A (2)B
向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线 性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律 的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，
1)．若(a＋kb)∥c，则实数 k 的值为( )
答案：135°
向量的长度(模)与距离的问题
已知平面向量 a，b 的夹角为π6，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC
中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 因为A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量 a，
b 的夹角为23π，且 a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．4
解析：选 D.因为 a·(a－b)＝8，
所以 a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，
所以 4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.
解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知 A，B 和 c，由 A＋B＋C＝π 求 C， 由正弦定理求 a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a，b 和 C，应先用余弦定 理求 c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A＋B ＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a，b 和 A，应先用正弦 定理求 B，由 A＋B＋C＝π 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c， 要注意解可能有多种情况． (4)已知三边 a，b，c，可应用余弦定理求 A，B，C.
A．2
B．12
C．141
D．－141
解析：选 B.由题意知，a＋kb＝(2，－1)＋k(1，1)＝(k＋2，k－1)，
由(a＋kb)∥c，得－5(k－1)＝k＋2，解得 k＝12，故选 B.
平面向量数量积的运算
如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，
AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点 E 为边
(2019·福建省闽侯二中五校教学联合体高二上 学期期中)在△ABC 中，若 lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则 该三角形的形状是( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
第六章 平面向量及其应用
章末复习提升课
平面向量的线性运算
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的
中线，E 为 AD 的中点，则E→B＝( )
A.34A→B－14A→C
B.14A→B－34A→C
C.34A→B＋14A→C
D.14A→B＋34A→C
(2)如图所示，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中
向量的夹角及垂直问题
(1)已知向量 m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m
－n)，则 λ＝( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
(2)已知 a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝ 19，则向量 a 与 b 的
夹角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
【解析】 (1)因为 m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，(m ＋n)⊥(m－n)， 所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得 λ＝－3. (2)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，因为 a＋b＋c＝0， 所以 c＝－(a＋b)，所以 c2＝(a＋b)2， 即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ， 所以 19＝4＋9＋12cos θ， 所以 cos θ＝12，又 0°≤θ≤180°，所以 a 与 b 的夹角为 60°. 【答案】 (1)B (2)C
因为 0°＜A＜180°，所以 A＝60°.
(2) 由 (1) 知 B ＝ 120 ° － C ， 由 题 设 及 正 弦 定 理 得 2 sin A ＋
sin(120°－C)＝2sin
C，即
26＋
3 2 cos
C＋12sin
C＝2sin
C，可得
0°，
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求 A； (2)若 2a＋b＝2c，求 sin C.
解：(1)由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理 得 b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.
1．已知向量 a，b 的夹角为34π，|a|＝ 2，|b|＝2，则 a·(a－2b) ＝________．
解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2×

2×2×－

22＝6.
答案：6
2．设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4，若点 M， N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于________． 解析：A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋34A→D， N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B， 所以A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D)＝418(16A→B2－9A→D2) ＝418(16×62－9×42)＝9. 答案：9
2．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量 a，b 满足|a－b|＝|a|， a·(a－b)＝0，则 a－b 与 b 夹角的大小为________． 解析：因为非零向量 a，b 满足 a·(a－b)＝0，所以 a2＝a·b，由|a －b|＝|a|可得 a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝ 2|a|，设 a－b 与 b 的 夹角为 θ，则 cos θ＝（|aa－－bb|）|b|·b＝a·b|a－||b||b|2＝|a|2－2|a2||2a|2＝－ 22， 又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝135°.
(2)因为A→C＝λA→M＋μB→D＝λ(A→B＋B→M)＋μ(B→A＋A→D)＝λ(A→B
＋12A→D)＋μ(－A→B＋A→D)＝(λ－μ)
→ AB
＋
12λ＋μA→D，且A→C
＝A→B＋A→D，所以λ12－λ＋μμ＝＝1， 1 得λμ＝＝4313，，所以 λ＋μ＝53，故选
所以|A→D|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝
4×3－2×2×

3×cos
π6＋4＝4，则|A→D|＝2.
【答案】 A
解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式：|a|＝ x2＋y2(其中 a＝(x，y))． (2)应用三角形法则或平行四边形法则． (3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2.
CD 上的动点，则A→E·B→E的最小值为( )
21
3
A.16
B.2
C.2156
D.3
【解析】 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，
建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形 ABCD 中，AB＝AD＝1，∠BAD
＝120°，所以 A(0，0)，B(1，0)，D－12， 23，设
故 cos B＝ 22，所以 B＝45°.
(2)因为 sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋
cos 30°·sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故 a＝bssiinnBA＝1＋ 3.
又 C＝180°－45°－75°＝60°，
所以 c＝bssiinnBC＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
利用正、余弦定理解三角形
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B. (1)求角 B 的大小； (2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
【解】 (1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2.
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积 为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角 坐标系)，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．
1．设向量 a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若 a⊥(ma－b)，则 m＝________．
解析：因为 a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以 ma－b＝ (m＋1，－m)． 由 a⊥(ma－b)得 a·(ma－b)＝0， 即 m＋1＝0，得 m＝－1. 答案：－1
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若△ABC
的面积为a2＋b2－c2，则 4
C＝(
)
π
π
A.2
B.3
π
π
C.4
D.6
解析：选 C.根据题意及三角形的面积公式知12absin C＝a2＋b42－c2，
所以 sin C＝a2＋2ba2b－c2＝cos C，所以在△ABC 中，C＝π4.
C(1，m)，E(x，y)，所以D→C＝32，m－
23，A→D＝－12，
3， 2
因为 AD⊥CD，所以32，m－ 23·－12， 23＝0，即32×－12＋
23m－ 23＝0，解得 m＝ 3，即 C(1， 3)，
因为 E 在 CD 上，所以 23≤y≤
所以 sin(C＋60°)＝ 22，故
sin C＝sin(C＋60°－60°)