2.3.2双曲线的几何性质2
2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2
②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
直线与双曲线的位置关系 [典例] (本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y ＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
人教A版数学·选修2-1
[解析] (1)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则4298mm＋＋792nn＝＝11，， 解得nm＝＝－2157，15， 所求双曲线方程为2x52－7y52 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 16x2－9y2＝λ(λ≠0)， 将 M8，1313代入，得 λ＝16×82－9×13132＝－576， 所求双曲线方程为 16x2－9y2＝－576， 即6y42 －3x62＝1.
D．y＝±2x
解析：y2－x2＝2 的渐近线方程为 y＝±x.
答案：A
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
2．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝________. 解析：a2＝16，b2＝m，c2＝16＋m， ∴1＋1m6＝4，∴1m6＝3，m＝48. 答案：48
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
求双曲线的离心率的方法技巧 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解； (2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解； (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质》公开课优秀课件(经典、完美、值得收藏)
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
例2 对于方程 x2 y2 1 和 x2 y2 （ 0 且 1),
4
4
所表示的双曲线有如下结论：
（1）有相同的顶点 （2）有相同的焦点
（3）有相同的离心率 （4）有相同的渐近线
其中正确的是 A. （1）（4）
B. （2）（4）
y2 52 a2
1,然后由 5 a
5 4
求得a 4,b2 25 16 9,可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是
x2 m2
c2
y2 m2
1
(4). 求与椭圆 x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为
1a
0,b
0
顶点分别是什么？
其范围、对称性、
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x 顶点（0，±a）
F1
4.双曲线的渐近线 ▲规定：直线 y
b a
x叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么y？
a
x
b
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0）
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
2.3.的2-双曲线的简单几何性质-(1-3)
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
无
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
a
e c a
原点
(其中
ya
或
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
y a
b
例3 :求下列双曲线的标准方程：
（1）与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) 16 4
（ 2 ） 与 双 曲 线 x2 y2 1 有 共 同 渐 近 线 ， 且 过 点 9 16
1(a b 0) a2 b2
a xa b yb
y
x
. .B2
F1 A1O A2 F2 x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
（3） ∆<0
∆=0
相交 ∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k 的取值范围,使直线与双曲线相交？相切？相离？
第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为 2.1．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的形状相同．(√)2．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(×)3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝ 2.(√)4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(×)5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×)一、由双曲线方程研究其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .延伸探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋nm＝1＋n m， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3； c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2 根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝2，∴c 2a2＝2，即a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4，故双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14，即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.反思感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)渐近线方程为y ＝±12x 且过点A (2，－3)．解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，∴λ＝－8 ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.三、双曲线的离心率例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为________．答案 53解析 不妨设P 为双曲线右支上一点， |PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫432＋1＝53. 反思感悟 求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．跟踪训练3 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A ．4＋2 3 B ．23－1 C.3＋12D.3＋1答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，因为△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 如图，因为AO ＝AF ，F (c ,0)，所以x A ＝c2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝c a>2.1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－14D.14答案 C解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0， 则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1， 则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍， ∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选C.2．中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4答案 A解析 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( ) A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2 答案 C解析 由题意得，a 2＝1，b 2＝m >0，∴c 2＝m ＋1 ∴e ＝c a＝m ＋1>2，∴m >1.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为________________．答案 y ＝±33x解析 由题意知，e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2，所以b 2＋a 2a 2＝43. 故b 2a 2＝13. 所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .5．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－2,2)解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ>0可得－2<k <2.1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)双曲线的离心率的求法．2．方法归纳：定义法、函数与方程、数形结合． 3．常见误区：忽略双曲线中x ，y 的范围．1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，e ＝c a ＝32.2．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过点P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 B解析 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，则P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2， 又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.6．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．答案 4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，所以|AB |＝4 3.7．已知双曲线方程为8kx 2－ky 2＝8(k ≠0)，则其渐近线方程为________________． 答案 y ＝±22x解析 由已知令8kx 2－ky 2＝0，得渐近线方程为y ＝±22x .8．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________.答案 3解析 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1. (2)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36， 双曲线方程为x 29－y 24＝1； 当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81， 双曲线方程为y 29－x 2814＝1. 故所求双曲线的标准方程为x29－y24＝1或y29－x2814＝1.10．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率e＝ca＝2＋ 3.11．如图，双曲线C：x29－y210＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3 B．4 C．6 D．8答案 C解析 设F 2为右焦点，连接P 2F 2(图略)，由双曲线的对称性，知|P 1F 1|＝|P 2F 2|，所以|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝2×3＝6.12.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c ，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m， 由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝a m＝2. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，点P ，Q 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，∴△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)． 因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2， 所以k AB ＝2×1×22×2＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C ．2 D.73答案 B解析 ∵P 在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝23a ， 根据点P 在双曲线的右支上，可得|PF 2|＝23a ≥c －a ， ∴53a ≥c ，又∵e >1，∴1<e ≤53， ∴此双曲线的离心率e 的最大值为53. 16．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m的值．解 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1,2x 1)，B (x 2，－2x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0， 由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2>0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23， OA →·OB →＝x 1x 2＋2x 1(－2x 2)＝－3x 1x 2＝m 2， 所以m 2＝3，即m ＝±3.。
2.3.2双曲线简单几何性质(公开课)
栏目导引
2 2 , 0和2 2 , 0 4.双曲线 x y 4 的焦点坐标是_____________________
2 2
5.双曲线 6.双曲线
24
2
7 x y 5 1 的离心率是__________
2 2
25
2
64
3 x y y x 1 的渐近线方程是__________ 4
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
线段A1A2 (2a)叫做实轴（长）
顶点 A1 (a,0), A2 (a,0)
对称性
顶点
关于x轴、y轴、原点对称
B1 (0,b), B2 (0, b)
A1（- a，0），A2（a，0） 线段 B1B2 (2b)叫做虚轴（长）
当a=b时，等轴双曲线
离心率
工具
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
y ≥ a 或 y ≤ a，x R
y2 x2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 2 a b
对称性
顶点 离心率 渐近线
工具
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
c e a
B1(0,-b),B2(0, b)
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
关于x轴、y轴、原点对称 y o (-x,-y)
对称性 顶点
(-x,y)
(x,y) x (x,-y)
栏目导引
离心率
工具
c e (0 e 1) a
y B2
图形
F1 F2
A1
0
A2
x
. .
B2
2.3.2双曲线的简单几何性质(二)()
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
c ①, a
令 c 2 a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 (3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
高中优质公开课精选课件双曲线的简单几何性质
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 a2 - b2 1 (a 0,b 0)
y a或y a, x R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
2.3.2 双曲线的简单几何性质
y
M
F1 O F2 x
一、复习回顾：
1.双曲线
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
x2 a2
y2 b2
（1 a 0,b 0）
y2 a2
x2 b2
（1 a
0,b 0）
a.b.c 的关系
c2 a2 b2
复习回顾：
2.椭圆的简单几何性质有哪些？
范围 对称性 顶点 离心率
A1 F1
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
探究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的简单几何性质
1、范围
(-x,y)
y (x,y)
x a或x a, y R 2、对称性
A1 -a o a A2
x
(-x,-y)
例2.已知双曲线的渐近线方程是y x , 焦点在坐标轴上， 2
且焦距是10，求此双曲线的方程.
题后反思：
渐近线为bx ay 0的双曲线方程可设为
高中数学第2章2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A选修21.ppt
【解】 (1)由已知设双曲线的标准方程为xa22－by22 ＝1(a>0，b>0)．则 2a＝8，∴a＝4.
由 e＝ac＝54得 c＝5. ∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∴所求双曲线方程为1x62 －y92＝1. (2)当焦点在 x 轴上时，
设所求双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)．
知新益能
双曲线的几何性质
标准方程
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
图形
范围
__|x_|≥__a__
__|y_|_≥__a_
_)、__F__2(_c_,0_)_ _F_1_(_0_,－__c_)_、__F_2_(0_,_c_) _A_1_(－__a_,_0_)_、__A_2_(a_,_0_) _A_1_(_0_,－__a_)_、__A_2_(0_,_a_)
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 x 轴上，两顶点间的距离为 8，离心率 是54； (2)焦距为 20，渐近线方程为 y＝±12x； (3)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点
M(2，－2)．
【思路点拨】 分析双曲线的几何性质 → 求a，b，c
→ 确定讨论焦点位置 → 求双曲线的标准方程
例4 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点 F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°， 试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并 求出线段AB的长． 【思路点拨】 先写出直线方程，代入双曲线方 程，利用根与系数的关系判断．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2,0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2. 由y3＝x2－x－y22＝3 消去 y 并整理得 2x2＋4x－7＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2.3.2 双曲线的简单几何性质 2
(2)直线的方程: y=±－x a
x
渐渐接近但永不相交
x a
2 2
-
y b
2 2
= 1
•
y
N Q B2 A1 O M
5.离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比
c (2)定义式: e=－
b A2 a
B1
a
x
(3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
k = b a = c - a a
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.2 双曲线的简单几何性质
一.复习引入
• 1.双曲线的定义是怎样的？
• 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x a
2y a
2 2
-
x b
2 2
= 1
• 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 回想：我们是怎样研究上述性质的？
x a
2
2
-
y b
2 2
= 1
k=
b a
=
c - a a
2
2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大,其开口越阔.
例1 求双曲线 9 y 16 x 144 的实半轴长,虚半轴长,
2 2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程： 可得:实半轴长 a=4 虚半轴长 b=3 半焦距 c= 4 2 32 5 焦点坐标是 (0,-5),(0,5) 离心率
2 2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大, 其开口越阔.
y
L!
y
B
图形
A1
高中数学人教版选修2-1教案 2.3.2双曲线的简单几何性质
板书设计
2.3.1双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义
2.双曲线的标准方程例题
3.直线与双曲线的位置关系：
①相交两一点:直线与渐近线平行
②相切一点:有一个公共点，△=0
③相离:没有公共点，△＜0
注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化为二次方程
教学反思
1.为让学生类比直线与椭圆的关系研究直线与双曲线的关系，通过动手实践，让学生分析直线与双曲线的关系是什么？
2.通过系列例题，在老师的指导下，让学生自己推导出直线与双曲线的关系，以提高学生的运算能力。
例1.如果直线 与双曲线 没有公共点，求k的取值范围.
变式1：如果直线 与双曲线 有两个公共点，求k的取值范围.
变式2：如果直线 与双曲线 的右支（左支）有两个公共点，求k的取值范围.
变式3：如果直线 与双曲线 的两支都有公共点，求k的取值范围.
变式4：如果直线 与双曲线 的只有一个公共点，求k的取值范围.
（二）相切（三）相离
只有一个公共点没有公共点
总结：位置关系与公共点的个数：
一个公共点
两个公共点
相交：
相切：一个公共点
相离：无公共点
活动二：从“数”上探究直线与双曲线位置关系
直线 ： ，双曲线 ：
两式联立消去y得：
1.若 时：直线 和双曲线 的渐近线平行或者重合
重合：无交点平行：有一个交点
2.若 时：
相交，相切和相离.
问题2：从图形上看，直线与椭圆有几种位置关系？
相交，相切和相离
问题3：直线与双曲线有几种位置关系？也具有类似圆或者椭圆的位置关系吗？
人教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线的简单几何性质(第2课时)》教学设计
2.3.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的几何性质，能利用几何性质解决实际问题；2.掌握直线与双曲线的位置关系的判断.（二）学习重点1.双曲线的几何性质；2.双曲线各元素之间的相互依存关系.（三）学习难点1.双曲线的离心率、渐近线问题；2.直线与双曲线位置关系.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第59页至第61页.（2）想一想：直线与双曲线的问题关系有哪些？如何判定？（3）写一写：与22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线方程：22221()()x y a b λλ-=+-. 与22221(0,0)x y a b a b-=>>共渐近线的双曲线方程：2222x y a b λλ-=≠（0）. 2.预习自测1.下面说法正确的是（ ）A.若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.B.过点(1,0)A 作直线l 与双曲线221x y -=只有一个公共点，这样的直线可作2条.C.直线:l y x =与双曲线22:12y C x -=有两个公共点.D.过双曲线外一点可以作双曲线的两条不同切线.答案：C解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】直线与双曲线交于一点，两者可能是相切，也可能是相交，故A 错误；过(10)A ，且与渐近线平行的直线也与双曲线221x y -=只有一个交点，故B 错误；过原点不能作任何直线与双曲线相切，故D 错误.点拨：直线与双曲线问题需注意考虑特殊情况，比如与渐近线平行的直线等等.（二）课堂设计1.知识回顾复习双曲线的几何性质：（1）范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥.这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；（2）对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；（3）顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；（4）渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； （5）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（e >1）. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.2.新知讲解探究一：方程与几何性质●活动① 师生互动，深入理解问题1：椭圆22464x y +=的焦点是？问题2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？ 问题3：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是。
公开课双曲线的简单几何性质
2.3.2 双曲线 的简单几何性 质
F
y
FO
M
x
一、复习回顾：
y
F1
o
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
M
F2
x
y
M F2
F1
定义
图象
x
方程
x2 a2
y2 b2
a.b.c 的关系
（ 1a0,b01） .双曲线 y2
a2
bx22
（ 1a0,b0）
c2a2b2
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
选做：
3.数学思想方法：
01 “类比学习法”和“数形结合法”
作业：
02
1.设直 x3线 ym0(m0)与 必（做3）：双 ,6P6;B2a x组习曲 2 21题2b y.32 2 线 A组1(a40,b0) 的两条渐近 点 A 线 ， B.若 分P点 别 (m,0)满 交|足 于 PA ||PB |， 求该双曲.线的离心率
（1）定义：
（2）e的范围？
（3）e的含义？
e是表示双曲线开口大小的一个量,
ec
a2b2
e越大开口越大
1(b)注2意观察(动画演
示
）
aa
a
小结 图形
. .y B2 F1 A1O A2F2
x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围
x2 a2
教学设计2：2.3.2双曲线的几何性质
2.3.2双曲线的几何性质教学目标1．知识与技能(1)使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．(2)掌握双曲线标准方程中a，b，c的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明．(3)能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题．2．过程与方法(1)通过与椭圆的性质的类比，获得双曲线的性质，培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．(2)通过对双曲线的性质的求解和应用，加深双曲线方程的求解及性质的理解，体会数形结合思想的应用．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．教学重点：从知识上来讲，要掌握如何利用双曲线标准方程的结构特征研究双曲线的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究双曲线性质的过程中思维的过程展现，如类比思维、数形结合等．教学难点：双曲线渐近线方程和离心率的求解及应用．通过动画展示，让学生形象地体会双曲线渐近线的真正内涵，渐近线方程与双曲线方程的内在联系、渐近线斜率与离心率的关系．双曲线的几何性质问题导思已知双曲线方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．1．双曲线的对称轴和对称中心各是什么？【答案】坐标轴、坐标原点．2．双曲线与坐标轴有交点吗？【答案】与x轴有两个交点(－a,0)，(a,0)，与y轴没有交点．3．双曲线方程中x，y的取值范围是什么？【答案】|x|≥a，y∈R.双曲线的几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e ＝ 2. 典例精析例1 已知双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其离心率.解：由已知，得2c =8,2a =6，因此 c =4，a =3，b 2=c 2-a 2=42-32=7.又因为此双曲线的焦点在x 轴上，因此所求的双曲线的标准方程为 离心率是 题型二 由双曲线的方程研究其性质例2求双曲线16x 2-9y 2=144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程．解：把双曲线的方程化为标准方程由此可知，实半轴长a =3，虚半轴长b =4. 半焦距c = 5 .因此双曲线的实轴长2a =6，虚轴长2b =8 ； 顶点坐标是(3,0)(-3,0); 焦点坐标是(-5,0),(5,0); 渐近线方程为 题型三 双曲线标准方程的实际应用22197x y -=43.c e a ==221916x y -=43.y x =±例3 一双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，它的最小直径为24m ，上口直径为26m ，下口直径为50m ，高为55m.在如图所给的平面直角坐标系中，求此双曲线的近似方程（虚半轴长精确到0.1m ）解：在给定的直角坐标系中，设双曲线的标准方程为由已知冷却塔的最小直径A `A =24m ，上口直径C `C =26m ，下口直径B `B =50m ， 设BC 的在工作表分别为y 1，y 2，其中y 1<0，y 2>0.因为B (25，y 1),C (13，y 2)在双曲线上，所以解得2222100-(,),x y a b a b =>>222222222511213112--y b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1.y ==可知a =12，点BC 的横坐标分别为25，13. 因为塔高为55m ，所以y 2-y 1=55，即解得b ≈24.5.因此双曲线的近似方程为 变式训练1、求双曲线4x 2－y 2＝4的实轴长、虚轴长、焦点、顶点坐标、离心率和渐近线方程． 解 原方程可化为x 2－y 24＝1， 所以，a ＝1，b ＝2，c ＝5，因此，双曲线的实轴长和虚轴长分别为2a ＝2,2b ＝4，两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线的两个顶点是A 1(－1,0)，A 2(1,0)， 离心率e ＝ca＝5，渐近线方程为y ＝±2x .2、求以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，两个焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．解 ∵椭圆x 216＋y 29＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4b 1＝3，∴c 1＝7.∴对双曲线⎩⎨⎧a 2＝c 1＝7c 2＝a 1＝4，∴b 2＝3，∴双曲线方程：x 27－y 29＝1.∴实轴长2a ＝27，虚轴长2b ＝6，离心率e ＝477，渐近线y ＝±377x .3、求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (2)焦距是10，实轴长是虚轴长的2倍； (3)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有公共渐近线．解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．2512.y b ==5512,b +=2222112245-..x y =∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.把点(－5,3)代入双曲线方程，得a 2＝16. ∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(2)由题意得2c ＝10,2a ＝4b ，即c ＝5，a ＝2b . 利用c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝20，b 2＝5.由于双曲线的焦点所在的轴不确定，故双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1或y 220－x 25＝1.(3)法一 当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22，故可设方程为x 22b 2－y 2b 2＝1，代入点(2，－2)，得b 2＝－2(舍去)．当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，代入点(2，－2)，得a 2＝2.∴所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二 因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 21＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2.∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1.课堂检测 一、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3， 所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x2．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为2，则m 的值为________． 【解析】 显然m >0，∴e ＝1＋m ＝2，∴m ＝3. 【答案】 33．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【解析】 双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.【答案】2554．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．【解析】 双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0， 整理得3x ±ay ＝0，故a ＝2. 【答案】 25．双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．【解析】 渐近线方程为y ＝±tx ，∵2x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－2，∴t ＝12，∴t ＝14，∴双曲线方程为x 24－y 2＝1，∴e ＝1＋14＝52. 【答案】526． y ＝kx ＋2与双曲线x 29－4y 29＝1右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 29－49y 2＝1消去y 得：(1－4k 2)x 2－16kx －25＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0Δ＝25－36k 2>016k 1－4k 2>0－251－4k 2>0，∴－56<k <－12.【答案】 (－56，－12)7．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．【解析】 △ABE 是等腰三角形，AE ＝BE ，∴只需∠AEB 为锐角， ∴∠AEF <45°，∴b 2a ＝AF <FE ＝a ＋c ，∴e 2－e －2<0，∴－1<e <2. 又∵e >1，∴1<e <2， ∴e ∈(1,2)． 【答案】 (1,2)8．中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．图2－3－2【解析】 设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a ′，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则2a ＝2×2a ′，即a ＝2a ′，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为e ′＝c a ′，椭圆离心率e ＝c a ，故e ′e ＝aa ′＝2.【答案】 2 二、解答题9．(1)求焦点在x 轴上，过点(3，－2)，离心率为e ＝52的双曲线的标准方程； (2)求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(－4,0)，一条渐近线是3x －2y ＝0的双曲线方程及离心率．解 (1)焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则9a 2－2b 2＝1，① 又e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝52， 得a 2＝4b 2.②由①②得a 2＝1，b 2＝14，得双曲线标准方程为x 2－y 214＝1.(2)∵双曲线的一条渐近线是3x －2y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．∵其中一个焦点是(－4,0)， ∴4λ＋9λ＝16. ∴λ＝1613.∴双曲线方程为13x 264－13y 2144＝1，离心率e ＝c a ＝132.10．已知斜率为1的直线l 与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝42，求直线l 的方程．解 设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2y ＝x ＋b得x 2－2bx －b 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－b 2－2， ∴由AB ＝1＋k 2 x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 2 8b 2＋8＝42，解得b ＝±1，∴直线l 的方程为x －y ±1＝0.11．如图，已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)P 是双曲线C 上一点，A 、B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限．若AP →＝λPB →，λ∈[13，2]，求△AOB 面积的取值范围．解 (1)由题意，知双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255，∴ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎨⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0. 由AP →＝λPB →，得P 点的坐标为(m －λn 1＋λ，2m ＋λn 1＋λ)．将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简，得mn ＝1＋λ24λ.设∠AOB ＝2θ，∵tan(π2－θ)＝2，∴tan θ＝12，sin θ＝55，sin 2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ， ∴S △AOB ＝12OA ·OB sin 2θ＝2mn ＝12(λ＋1λ)＋1.记S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1，λ∈[13，2]．由基本不等式，得S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1≥12×2＋1＝2.当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．又S (13)＝83，S (2)＝94，∴当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2； 当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.∴△AOB 面积的取值范围是[2，83].课堂小结1．由双曲线的标准方程求双曲线的几何性质，首先应将方程化为标准形式，确定焦点所在坐标轴，再求其几何性质，求解时应注意与椭圆的几何性质区分开，不可混淆．2．渐近线是双曲线特有的几何性质，由双曲线方程要熟练写出其渐近线方程；反过来，由渐近线方程也应熟练设出相应双曲线方程．3．直线与双曲线的综合问题类似于直线与椭圆，主要利用方程思想求解，但也有不同，直线与椭圆，消元后所得方程二次项系数不为0，为真正的一元二次方程；直线与双曲线，消元后所得方程二次项系数可能为0，必要时需分类讨论.。
2.3.2双曲线的简单几何性质 课件
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.3.2
跟踪训练 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点 坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
2 2 x y 解 将 9y2－4x2＝－36 变形为 9 － 4 ＝1， x2 y2 即32－22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13，
2 2
2
2
2
2
2
2
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.3.2
例 1 求双曲线 9y2－ 16x2＝144 的半实轴长和半虚轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程．
2 2 y x 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程42－32＝1.
解
由此可知，半实轴长 a＝4，半虚轴长 b＝3； c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5， 焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 4 c 5 离心率 e＝a＝4；渐近线方程为 y＝± 3x.
则 c2＝10k，b2＝c2－a2＝k. x2 y2 y2 x2 于是， 设所求双曲线方程为9k－ k ＝1①或9k－ k ＝1② 把(3,9 2)代入①，得 k＝－161 与 k>0 矛盾，无解； 把(3,9 2)代入②，得 k＝9， y2 x2 故所求双曲线方程为81－ 9 ＝1.
研一研· 问题探究、课堂更高效
(2)对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的； (3)顶点：双曲线有两个顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)．
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.3.2
问题 2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度， 在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要 特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？ x y 答案 如问题 1 中图，作直线a± b＝1，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线围成一个矩形 图2.2 7 .
图2 . 2 7 b 直线的方程是 y x. a 2 2 x y 双曲线 2 2 1的各支向处延伸时 , 与这两 a b 条直线逐渐接近, 我们把这两条直线叫做
双曲线的渐近线 .
也就是说, 双曲线与它的 渐近线无限接近 但永远不相交 , .
作业:P41 习题 7、10
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(2) 2
学习目标:
了解双曲线的渐近线和离心率
自学指导:
1.双曲线的渐近线是什么样的线?有几条? 2.如何画双曲线的草图? 3.双曲线的离心率与椭圆的有什么不同? 它 主要描述双曲线的什么特征? 自学检测：P41 练习 3
4 渐近线
信息技术应用
y
如图 , 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直 矩形的两条对角线 所在的
x a x a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y a y a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y x 例1:求双曲线 2 2 1的离心率和 . 3 渐近线方程 4
2
2
例题2 :已知双曲线的中心在原 , 焦点在y轴上, 点 4 焦距为 , 离心率为 , 求双曲线的方程 16 . 3
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 标准方程 范围
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
x2 ya b
顶点 焦点 轴长、焦距
(a,0), (a,0) (c,0), (c,0)
(0,a), (0, a)
(0,c), (0, c)
实轴2a, 虚轴2b, 焦距2c
对称性 离心率
渐近线
对称轴x轴和y轴,对称中心(0,0)
e c 1 a
直线 y
b x a
分层训练:
必做题：P41 练习 1、2 选做题: P41 习题 8、9
c 与椭圆类似, 双曲线的焦距与实轴长的比 , a 叫做双曲线的离心率. 因为c a 0, 所以双 c 曲线的离心率 e 1. a 思考 离心率可以刻画椭圆的扁平程度, 双
5 离心率
曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征 ?
操作打开的几何画板 在动态中观察图形的 , 变化与离心率的关系 .