立体几何综合题及答案

立体几何大题

1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，

2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()II 求二面角S AM B --的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，

PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，

求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒

==∠=（I ）求证：

EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面

A

C

B A 1

B 1

C 1 D

E

（III ）求二面角F BD A --的大小。

立体几何答案

1、【解析】

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.

解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则

)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。

（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则

)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ，

)2,2,0(-=SC ，由题得

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

⎩⎪⎨⎧

-=-=++-⋅--)

2(22212)2(2)2(22

2b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。 法2：设MC SM λ=，则)12

,12,2(),12,12,

0(λ

λλλλ+-+=++MB M S

A

B

C

D M

z x

y

又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<= 故o AB MB AB MB 60cos ||||⋅=•，即

2

2)12()12(214λ

λλ++++=+，解得1=λ， 所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ，)0,2,0(=AB ， 设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则

⎪⎩⎪⎨

⎧=•=•0011AS n MA n 且⎪

⎩⎪⎨⎧=•=•0012AB n MA n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--022*******z x z y x 且⎪⎩⎪⎨⎧

==--02022222y z y x 分别令221=

=x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即

)2,0,2(),1,1,2(21==n n ，

∴3

6

6

2202,cos 21=

⋅++>=

6arccos -π。 2、解法一： 解法二：

（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （

12，2

b

，c ）. 于是DE →

=（12，2

b

，0），BC →=（-1，b ,0）.由DE ⊥平面1BCC 知

DE ⊥BC ， DE BC →→

⋅=0，求得b =1，所以 AB =AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →

=则0,0.AN BC AN BD →→→→

⋅=⋅=

又BC →

=（-1，1， 0），

BD →

=（-1，0，c ）,故0

x y x cz -+=⎧⎨

-+=⎩ 令x =1, 则y =1, z =1c ,AN →=(1,1, 1

c

).

又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）

由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，

=60°， 故 60cos ⋅⋅=⋅AC AN AC AN °，求得2

1c =

于是 ），，（211=AN ， ），，211(1-=CB

2

1

cos 1

11=

⋅⋅=

CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，

° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°

4、【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h ==

则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，

∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，()

1122,,,222P a E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

， 设AC ∩BD =O ，连接OE ，