2020年高中数学解答题专题复习0630 (7)(含答案解析)
高三数学解析式试题答案及解析
高三数学解析式试题答案及解析1.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.【答案】－x(x＋1)【解析】当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.【考点】1、函数的解析式；2、二次函数的最值.3.运货卡车以每小时x千米的匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米／小时）.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（）升，司机的工资是每小时14元.（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） km/h时，最低费用的值为.【解析】（Ⅰ）行车总费用包括两部分：一部分是油耗；另一部分是司机工资，首先表示出行车时间为，故司机工资为（元）,耗油为（元），故行车总费用为二部分的和；（Ⅱ），由基本不等式可求最小值，注意等号成立的条件（时取等号），如果等号取不到，可考虑利用对号函数的图象，通过单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）设所用时间为，.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是（或，）（Ⅱ）仅当，即时，上述不等式中等号成立答：当km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元【考点】1、函数的解析式；2、基本不等式.4.已知若则等于（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】.【考点】函数的解析式.5.若定义在R上的函数满足，且当时，，函数，则函数在区间内的零点个数为（）A．9B．7C．5D．4【答案】C【解析】∵，∴，当时，，，∴，∴，通过画图找两个图像的交点个数，即零点个数.【考点】1.求函数解析式；2.分段函数图像.6.若，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，所以，所以，选D.【考点】求函数的解析式.7.已知函数，则满足方程的所有的的值为；【答案】0或3【解析】试题分析若，则或，解得a=3或a="0."【考点】1.分段函数；2.对数方程和指数方程.8.对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是A．B．C．D．【答案】C【解析】若函数f （x ）逆时针旋转角后所得曲线仍是一函数，则函数f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b 均不能有两个以上的交点 A 中函数与直线y=x 有两个交点，不满足要求； B 中函数y=lnx 与直线y=x-1有两个交点，不满足要求； C 中函数与直线y=x+b 均有且只有一个交点，满足要求；D 中函数y=x 2与直线y=x 有两个交点，不满足要求；故选C. 【考点】旋转变换点评：本题考查的知识点是函数的定义，其中根据函数的定义分析出函数f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b 均不能有两个以上的交点，是解答本题的关键．9. 已知函数在点处的切线方程为 (1)求函数的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值都有求实数c 的最小值．【答案】(1) f(x)＝x 3－3x. (2) c 的最小值为4. 【解析】(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3. 根据题意，得即解得所以f(x)＝x 3－3x.(2)令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.(－2，－，f(1)＝－2，所以当x ∈[－2,2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2. （ 需列表格或者说明单调性，否则扣2分）则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4， 所以c≥4.即c 的最小值为4.【考点】本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，待定系数法。
2020年高考数学(文数)解答题强化专练——解三角形含答案
（文数）解答题强化专练——解三角形一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a-c=2b cos C．（1）求的值；（2）若b=，求c-a的取值范围．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=7，c（-cos A）=a cos C．（1）求c；（2）若B=，点D在边BC上，且AD=5，求△ADC的面积．3.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（1）求△ABC外接圆的半径；（2）若c＝3，求△ABC的面积．4.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2A+sin2C-sin A sin C=sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝1－.(1)证明：sin A＝；(2)若sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，求tan B .6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积．7.已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.8.已知在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为．（1）求的值；（2）若，，且的中点为，求的周长．9.已知中，角的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.10.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.（1）求cos∠CAD的值;（2）若cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的长.答案和解析1.【答案】解：（1）因为2a-c=2b cos C=，整理可得，a2+c2-b2=ac，由余弦定理可得，cos B=，故B=60°，A+C=120°，所以=sin120°=；（2）由正弦定理可得，，所以a=2sin A，c=2sin C，所以c-a=2sin C-2sin A=2sin C-2sin（120°-C）=sin C-cos C，=sin（C-60°），因为0°＜C＜120°，所以-60°＜C-60°＜60°，所以，故【解析】（1）由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；（2）由已知结合正弦定理可表示c-a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．2.【答案】解：（1）∵b=7，c（-cos A）=a cos C．∴=a cos C+c cos A，由正弦定理可得=sin A cos C+sin C cos A，∴=sin（A+C）=sin B，由正弦定理可得=b=7，∴解得c=5．（2）∵B=，点D在边BC上，且AD=5，c=5，∴△ABD为等边三角形，∴在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，可得72=52+a2-2×，可得a2-5a-24=0，∴解得a=8，或-3（舍去），∴CD=a-BD=8-5=3，∴S△ACD=AD•CD•sin∠ADC=sin120°=．【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解c的值．（2）由已知可求△ABD为等边三角形，在△ABC中，由余弦定理可得a的值，进而解得CD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.【答案】解:(1)依题意，由正弦定理化简得,即=,=-1,整理得整理得+-=-bc,所以A==-,因为,所以A=,故所求外接圆半径r===;(2)因为a=,c=3,A=,所以由余弦定理=+-2bc A,得13=+9-23b,解得b=1或b=-4(舍），则=13=.【解析】【分析】本题主要考查三角函数的和角公式、以及正、余弦定理等知识，考查了运算求解能力及化归与转化能力，属于中档题．（1）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得+-=-bc,结合余弦定理，可求A==-即可得角A的值及外接圆半径r．（2）利用余弦定理，=+-2bc A,求解b值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．4.【答案】解：（1）因为sin2A+sin2C-sin A sin C=sin2B．由正弦定理可得，，由余弦定理可得，cos B=，故sin B=；（2）∵S△ABC===，所以ac=3，因为，所以=4+8=12，所以a+c+b=2+2．【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B，然后结合同角平方关系可求sin B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，然后结合余弦定理即可求解a+c，进而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．5.【答案】(1)证明:因为＝1－，所以＋＝1，所以＋＝1，所以sin A cos B＋cos A sin B＝sin A sin B，所以sin(A＋B)＝sin A sin B，在△ABC中，A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin A sin B＝sin C，根据正弦定理可得b sin A＝c，即sin A＝;(2)解:因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，根据正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，可得cos A＝＝＝，又在△ABC中，所以sin A＝＝,由(1)知sin A cos B＋cos A sin B＝sin A sin B，所以sin B＝cos B＋sin B，所以－sin B＝cos B，故tan B＝＝－.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理，考查同角三角函数的基本关系以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题.(1)由同角三角函数的基本关系以及两角和与差的三角函数公式,结合已知得sin A sin B＝sin C，然后由正弦定理求解即可;(2)由已知结合正弦定理和余弦定理,得cos A,根据同角三角函数的基本关系求出sin A，然后利用(1)中的结论求解即可.6.【答案】解：（1）已知等式a sin B+b cos A=0，利用正弦定理化简得：sin A sin B+sin B cos A=0，∵sin B≠0，∴sin A+cos A=0，则.(2)由，，，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc cos A，即得或故【解析】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sin B不为0即可确定出角A的大小；（2）由cos A，a，b的值，利用余弦定理求出c的值，再由b，c，sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．7.【答案】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又∴a sin B＝，即sin B＝＝，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝；（2）由余弦定理可知，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以△ABC面积的最大值为．【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的三角函数公式，利用基本不等式求最值,属于基础题.（1）由正弦定理得b sin A＝a sin B，结合已知，可得sin B＝＝，易得角B的大小；（2）结合余弦定理以及基本不等式可得，根据三角形面积公式，即可求得△ABC 面积的最大值．8.【答案】解：（1）由△ABC的面积为ac sin B=ac sin2B．得sin B=2sin B cosB，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，故cos B=，∴sin B==；（2）由（1）和 3sin2C=5sin2B•sin2A得16sin2C=25sin2A，由正弦定理得16c2=25a2，∵c=5，∴a=4，BD=a=2，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=c2+BD2-2c•BD•cos B=25+4-2×5×2×=24∴AD=2，∴△ABD的周长为c BD+AD=7+2．【解析】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查二倍角的正弦公式和同角的平方关系，属于中档题．（1）运用三角形的面积公式和正弦定理、二倍角正弦公式，化简整理，即可得到的值；（2）运用正弦定理和（1）的结论，首先求得边a与线段BD的长，再根据余弦定理即可得到AD的长，从而得到所求周长．9.【答案】解：（1），由正弦定理可得，，，又，，，∵,∴；（2）由余弦定理可得，又，解得，，的面积为.【解析】本题考查正弦余弦定理及面积公式.（1）利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式化简整理得出cos C,即可求出C；（2）利用余弦定理及三角形面积公式计算即可.10.【答案】解：(1)由题意，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，在△ADC中，由余弦定理得，cos∠CAD＝＝＝；(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，且∠CAD和∠BAD均为三角形内角，所以sin∠CAD＝，sin∠BAD＝，于是sinα＝sin (∠BAD－∠CAD)＝sin∠BAD cos∠CAD－cos∠BAD sin∠CAD＝×－(－)×＝，在△ABC中，由正弦定理，得＝，故BC＝＝＝3.【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，属于中档题.（1）直接利用余弦定理即可求得结果；（2）设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD，求得sinα的值，在△ABC中，利用正弦定理便可求得BC的长.。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题06 平面向量及其应用,复数(解析版)
专题6 平面向量及其应用,复数1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.预测2020年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运算考查，.一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A ．2 B ．C ．5D ．【答案】D 【解析】 因为，所以．2．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）向量(2,1), (1,1), (, 2)a b c k ==-=r r r ，若()a b c -⊥r r r ，则k 的值是( ) A ．4 B ．-4C ．2D ．-2【答案】B 【解析】()(1,2)(,2)404a b c k k k -⋅=⋅=+=⇒=-r r r，故选B.3．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量(1,1),a =r (1,3),b =-r (2,1)c =r，且()//a b c λ-r r r ，则λ=（ ）A ．3B ．-3C ．17D ．17-【答案】C 【解析】由题意(1,13)a b λλλ-=+-r r ，∵()//a b c λ-r r r，∴2(13)1λλ-=+，解得17λ=． 故选：C.4．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．92【答案】D 【解析】如图可知x ，y 均为正，设=m ,AD AB nAC AE AB AC λμ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，:,,,B D E C 共线， 1,1m n λμ∴+=+=，()()AD AE xAB y AC m AB n AC λμ+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则2x y m n λμ+=+++=，1411414149()5(52)2222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则14x y +的最小值为92，故选D. 5．（2020届山东实验中学高三上期中）i 是虚数单位，若复数21z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．0C ．i -D ．1【答案】A【解析】i Q 是虚数单位，复数22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i ++====----+-， z ∴的虚部为1-．故选：A ．6．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知复数z 满足11ii z+=-，则z =（ ） A． B ．2CD ．1【答案】D 【解析】 ∵11ii z+=-， ∴11i z i +=-()()()2111i i i +=-+1211(1)i i +-==--， ∴1z =， 故选：D ．7．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(2,1)OC m m =+u u u r．若AB OC u u u r u u u r∥，则实数m 的值为（ ）A ．15B ．35-C ．3-D ．17-【答案】C 【解析】因为//AB OC u u u v u u u v，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C.8．（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b r r 是非零向量，则2a b =r r是a a bb =r r rr 成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =v v 可知：a b v v ， 方向相同，a b a b v v v v ， 表示 a b v v ， 方向上的单位向量所以a ba b=v vv v 成立;反之不成立.故选B9．（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，()()313a b a b -⋅+=-r r r r ，则ar 与b r的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-r r r r r r r r Q ，即21113a b ⋅-=-r r ，得1a b ⋅=-r r，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅r r r r ，0θπ≤≤Q ，23πθ∴=. 故选：C.10．（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，3OC =u u u v ，OC OB ⊥u u u r u u u r ，OA <u u u r，30OC >=︒u u u r若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，x y +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设(1,0)A ，13(,22B -，33(,22C ，则3313 (,)(1,0)(,)22OC x y==+-u u u r，所以132233x yy⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪，解得2x=，1y=，所以3x y+=，故选：C．11．（2020·山东省淄博实验中学高三期末）已知复数133izi-=+，i为虚数单位，则（）A．z i=B．z i=C．21z=D．z的虚部为i-【答案】B【解析】由题：2213(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i iz ii i i i----+===-++--，所以：1z=，z i=，22()1z i=-=-，z的虚部为1-.故选：B12．（2020届山东省德州市高三上期末）已知复数z满足13z i=-+（其中i为虚数单位），则zz=（）A．1322-+B．13i22--C．1322i+D．1322-【答案】B【解析】1z =-+Q ，2z ∴==，因此，11222z z -==--. 故选：B.13．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知i 是虚数单位，1(1)i 0a +->()a R ∈，复数2i z a =-，则1z=（ ）A ．15B ．5CD 【答案】C 【解析】因为1(1)i 0a +->()a R ∈，所以10a -=，即1a =．12z i =-=，111z z z====．故选：C.14．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知复数133iz i-=+，i 为虚数单位，则（ ） A ．z i = B ．z i = C ．21z = D ．z 的虚部为i -【答案】B 【解析】由题：2213(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i i z i i i i i----+===-++--， 所以：1z =，z i =，22()1z i =-=-，z 的虚部为1-.故选：B15．（2020届山东省潍坊市高三上期末）设(1)1i x yi +=+，其中x ，y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B 【解析】由已知得1x xi yi +=+，根据两复数相等可得：1x y ==，所以|||1|x yi i +=+=故选：B.16．（2020·河南高三期末（文））设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】B 【解析】因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+， 则1355z i =-. 故选：B.17．（2020·全国高三专题练习（文））已知复数z 满足()134z i i +=+，则||z =( )AB ．54C ．52D 【答案】D 【解析】因为()134z i i +=+，所以()()()()3413434711111122i i i i z i i i i +-+++====+++-+，所以||2z ==. 故选：D.18．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知向量(1,2)a =r ，(2,)b x =r ，a b +r r 与b r 平行，则实数x 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】解：由已知(3,2)a b x +=+r r ，又()//a b b +rr r ，32(2)x x ∴=+，解得：4a =，故选：D.19．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD 【答案】C 【解析】11,3,cos 3cos 1cos 3AB AC AB AC AB AC A A A ==⋅=⋅==-∴=-u u u r u u u r u u u r u u u r故sin A =，1sin 2S AB AC A =⋅=故选：C20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知A ,B ,C 为不共线的三点,则“AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r”是“ABC∆为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方得到222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AB AC ∴⋅=u u u r u u u r ，即AB AC ⊥u u u r u u u r 故ABC ∆为直角三角形，充分性；若ABC ∆为直角三角形，当B Ð或C ∠为直角时，AB AC AB AC +≠-u u u r u u u r u u u r u u u r，不必要；故选：A21．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1【答案】D 【解析】设z ＝bi ，b ∈R 且b ≠0，则11iai++＝bi ，得到1＋i ＝－ab ＋bi ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1. 故选：D.22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知向量(),2a x =r ，()2,b y =r ，()2,4c =-r ，且//a c r r ，b c ⊥r r，则a b -=r r( )A ．3B ．10C ．11D ．23【答案】B 【解析】因为向量(),2a x =r ，()2,b y =r ，()2,4c =-r ，且//a c r r ，b c ⊥r r， 所以440440x y --=⎧⎨-=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩，即()1,2a =-r ，()2,1b =r ，所以(3,1)a b -=-r r ，因此()223110a b -=-+=r r .故选：B.23．（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u r（ ）A ．3155AB AC +u u ur u u u rB ．2155AB AC +u u ur u u u rC ．481515AB AC +u u ur u u u rD ．841515AB AC +u u ur u u u r【答案】D 【解析】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 二、多选题24．（2020届山东实验中学高三上期中）关于平面向量,,a b c r r r，下列说法中不正确．．．的是（ ） A ．若//a b r r 且//b c r r，则//a c r rB ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r rC ．若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r r，则b c =r rD ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r【答案】ACD 【解析】对于A ，若0b =r r ，因为0r 与任意向量平行，所以a r不一定与c r 平行，故A 错；对于B ，向量数量积满足分配律，故B 对； 对于C ，向量数量积不满足消去率，故C 错；对于D ，()a b c ⋅⋅r r r 是以c r 为方向的向量，()a b c ⋅⋅r r r 是以a r 为方向的相量，故D 错．故选：ACD ．25．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =u u u r u u u r ，2AD DC =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1AB CE ⋅=-u u u r u u u rB ．0OE OC +=u u u r u u u rrC．OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u rD ．ED u u u r在BC uuu r方向上的投影为76【答案】BCD 【解析】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),(0,3),(,)3E A B C D -， 设123(0,),(0,3),(1,),(,)3O y y BO y DO y ∈==--u u u r u u u r ，BO uuu r ∥DO u u u r ， 所以2313y y -=-，解得：3y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=u u u r u u u r r ，所以选项B 正确；32OA OB OC OE OC OE ++=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=u u u r u u u r ，所以选项A 错误；123(,)33ED =u u u r ，(1,3)BC =u u u r ， ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==u u u u u u r u u u r r ，所以选项D 正确. 故选：BCD26．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =u u u r u u u r，F 为AE 的中点，则（ ）A ．12BC AB AD =-+u u u r u u u r u u u rB ．1133AF AB AD =+u u u r u u u r u u u rC ．2133BF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r D ．1263CF AB AD =-u u u r u u u r u u u r 【答案】ABC【解析】∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u u v u u u v ，A 对； ∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u u v u u u v ， ∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ， 又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u u v u u u v ，B 对； ∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v ，C 对； ∴CF CB BF =+u u u v u u u v u u u v BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u u v u u u v ，D 错； 故选：ABC ．三、填空题27．（2020届山东省潍坊市高三上期末）向量()(),4,1,a x b x =-=-r r ，若a r 与b r 共线，则实数x =__________．【答案】2±【解析】//a br r Q ()40x x ∴⋅-+=，解得：2x =±.故答案为：2±28．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知向量,a b r r 满足||1a =r ，1a b ⋅=-r r ，则()a a b ⋅-=r r r __________．【答案】2【解析】()a a b ⋅-=r r r 222||1(1)2a a b a a b -⋅=-⋅=--=r r r r r r .故答案为：2.29．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若数列{}n a 的通项公式(1)(32)n n a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.【答案】15【解析】数列{}n a 的通项公式(1)(32)n n a n =--，则当n 为奇数时，()1(32)3123n n a a n n +=--++-=+，12103515a a a ++⋯+=⨯=，故答案为：15.30．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,2a b a b ==-=v v v v 且则向量a v 与向量b r 夹角的大小是_______. 【答案】6π 【解析】由2a b v v -=得223|44|7144372a ab b a b a b -⋅+=∴-⋅+⨯=∴⋅=v v v v v v v v3cos ,,.26a b a b π∴===v v v v31．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a r 、b r ,满足a b =r r ,()2a b b +⊥r r r ,则a r 与b r 的夹角为___________.【答案】120o【解析】设a r 与b r 的夹角为θ，由题意a b =r r ,()2a b b +⊥r r r ,， 可得2(2)2cos 0a b b a b b θ+⋅=+=v v v v v v ，所以1cos 2θ=-，再由0180θ≤≤o o 可得，120θ=o ，故答案是120o .32．（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b r r 满足3a =r ，2b =r ，4a b +=r r ，则a b -=r r ___________. 【答案】10【解析】由已知：3a =r ，2b =r ，4a b +=r r ，所以224a b +=r r ，展开得到22216a a b b +⋅+=r r r r ，所以23a b ⋅=r r ， 所以222210a b a a b b -=⋅+=-r r r r r r ，所以10a b -=r r ；故答案为：10．33．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =u u u v ，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u u v 的最小值 ________． 【答案】48322-【解析】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B 22M 02-，，，，，，， ∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅++⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u u v ，， ()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322- 34．（2020届山东省烟台市高三上期末） 已知向量a r ,b r 满足||1a =r ，||2b =r ()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 夹角的大小是______． 【答案】34π【解析】由()a a b ⊥+r r r 得，()0a a b ⋅+=v v v ，即20a a b +⋅=r r r ， 据此可得：2cos ,a b a b a b a ⋅=⋅⋅=-v v v v v v v ，cos ,2a b ∴==-v v ，又a r 与b r 的夹角的取值范围为[0,]π，故a r 与b r 的夹角为34π.四、解答题35．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +rr；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹角的余弦值.【答案】（1）25a b +=r r （2【解析】因为a b ⊥r r ，()()1,2,2,a b m =-=r r所以0a b ⋅=r r ，即220m -+=解得1m =所以()()()21,24,23,4a b +=-+=r r25a b +==r r（2） 若0m =，则()2,0b =r所以(1,2)a b +=r r ，-(3,2)a b =-r ra b +=r r，-a b =r r341a b ⋅=-+=r r所以cos 65-a b a b a bθ⋅===+r r r r r r。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题06 平面向量(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题06 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1 向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|a AB向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==OB OA ,，则(AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作：〈a ，b 〉 零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量． 相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b向量垂直；〈a ，b )＝90°时，向量a 与b 垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜ 它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向 ②当λ ＜0时，λ a 与a 反向 ③当λ ＝0时，λ a ＝0 (4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a ·b ＝b ·a2．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) 3．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ③性质：设a ，b 是非零向量，则： a ·b ＝0⇔a ⊥ba 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜ 特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<|a ·b |≤|a | |b |3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 (5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a(6)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b (2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直， (2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜． 解答：选C ．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k k -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值． (2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值． 【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ． 当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k CB k AB , ∵A 、B 、C 三点共线，∴//，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1． 【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5 已知向量a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1，2)． (Ⅰ)若a ∥b ，求tan θ 的值；(Ⅱ)若｜a ｜＝｜b ｜，0＜θ ＜π，求θ 的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画． 解：(Ⅰ)因为a ∥b ，所以2sin θ ＝cos θ －2sin θ ，于是4sin θ ＝cos θ ，故41tan =θ． (Ⅱ)由｜a ｜＝｜b ｜知，sin 2θ ＋(cos θ －2sin θ )2＝5，所以1－2sin2θ ＋4sin 2θ ＝5． 从而－2sin2θ ＋2(1－cos2θ )＝4，即sin2θ ＋cos2θ ＝－1， 于是22)4π2sin(-=+θ又由0＜θ ＜π知，49π4π24π<+<θ，所以45π4π2=+θ，或47π4π2=-θ 因此2π=θ，或43π=θ．例6 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) (A)－2(B)22-(C)－1(D)21-【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a ，b ，c 是单位向量，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 221〉,〈cos 121-≥+-=⋅⋅c b a故选D ．例7 在△ABC ，已知23||.||32BC ==⋅，求角A ，B ，C 的大小． 【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c由||||32AC AB AC AB ⋅⋅=得bc A bc 3cos 2=，所以23cos =A 又A ∈(0，π)，因此6π=A由23||||3BC =⋅得23a bc =，于是43sin 3sin sin 2==⋅A B C 所以43)sin 23cos 21(sin ,43)6π5sin(sin =+=-⋅⋅C C C C C ，因此 02cos 32sin ,3sin 32cos sin 22=-=+⋅C C C C C ，即0)3π2sin(=-C由6π=A 知6π50<<C ，所以34π3π2,3π<--C ，从而03π2=-C ，或π3π2=-C ，即6π=C ，或32π=C ，故 6π,32π,6π===C B A ，或⋅===32π,6π,6πC B A【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ ∈R ，b ＝λ aD ．存在不全为零的实数λ 1，λ 2，λ 1a ＋λ 2b ＝02．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ 是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且2=，则顶点D 的坐标为( ) A ．)27,2(B ．)21,2(-C ．(3，2)D ．(1，3)4．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量)cos 3,(cos ),sin ,sin 3(A B B A ==n m ，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 二、填空题5．设a ＝(2k ＋2，4)，b ＝(8，k ＋1)，若a 与b 共线，则k 值为______． 6．已知向量),3(),2,1(m OB OA =-=，若AB OA ⊥，则 m ＝______． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MN MP 21=，则P 点坐标为______． 8．已知a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 和b 的夹角是______． 三、解答题9．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB 相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求实数x 的值．10．已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10．(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a ．11．若向量a 与b 的夹角为60°，｜b ｜＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，求向量a 的模．§6－2 向量的应用【知识要点】1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式． 【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．例1若·==⋅⋅，求证三角形ABC 是正三角形， 【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论． 证明0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅，即与BC 边上的中线垂直，所以AB ＝AC ，同理BC ＝BA ，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD 中，若⋅⋅⋅⋅===，判断四边形ABCD 的形状． 【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究． 解答1从几何意义上设k ====⋅⋅⋅⋅若k ＞0，则∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k ＜0时，也不可能，故k ＝0，即四边形ABCD 为矩形．解答2从运算上，0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 同理；0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 于是BC AD //，同理CD AB //，得到四边形ABCD 是平行四边形；∴02)()(==+=-=-⋅⋅⋅⋅⋅ ∴BC AB ⊥，∴四边形ABCD 为矩形．【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1,3(-=m ，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，求角A ，B 的大小．【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A 角的三角方程，从而求出三角形的内角A ，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．解：∵ 0sin cos 3=-=⊥⋅∴A A n m n m ，即3tan =A ，∴三角形内角;3π=A ∵a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝1，,2π=C ∴⋅=6πB 【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OBOA OM AB AM 、MB AM +===、等都说明M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．例4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积⋅求出cos A 进而求sin A ；②余弦定理正弦定理解：(1))4,3(),4,3(--=--=c 由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形， 过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A[法二].cos ||||),4,2(),4,3(AC AB A AC AB AC AB ⋅=-=--=⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A 【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．例5 若等边△A B C 的边长为32，平面内一点M 满足3261+=，则 =⋅______．解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0，0)，)3,3(),0,32(B A ，利用向量坐标运算，求得)21,233(M ，从而求得)25,23(),21,23(--=-=，运用数量积公式解得为－2．另外，还可以通过向量的几何运算求解．解：),3265()6131()()(--=--=⋅⋅⋅ 660cos 3232,32||||=⨯===⋅⋅ ，得到.2-=⋅【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．例6 已知向量a ＝(cos a ，sin a )，b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0) (Ⅰ)求向量b ＋c 的长度的最大值；(Ⅱ)设4π=α，且a ⊥(b ＋c )，求cos β 的值． 【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，则 ｜b ＋c ｜2＝(cos β －1)2＋sin 2β ＝2(1－cos β )．∵－1≤cos β ≤1，∴0≤｜b ＋c ｜2≤4，即0≤｜b ＋c ｜≤2．当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2． 解法2：∵｜b ｜＝1，｜c ｜＝1，｜b ＋c ｜≤｜b ｜＋｜c ｜＝2 当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝(－2，0)，即｜b ＋c ｜＝2， b ＋c 的长度的最大值为2．(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，a ·(b ＋c )＝cos α cos β ＋sin α sin β －cos α ＝cos(α －β )－cos α ． ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α －β )＝cos α ．由4π=α，得4πcos )4πcos(=-β，即).(4ππ24πZ ∈±=-k k β ∴4ππ2+=k β或β ＝2k π，(k ∈Z )，于是cos β ＝0或cos β ＝1．解法2：若4π=α，则)22,22(=a ，又由b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0)得,22sin 22cos 22)sin ,1(cos )22,22()(-+=-⋅=+⋅ββββc b a ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β (cos β －1)＝0∴sin β ＝1－cos β ，平方后sin 2β ＝(1－cos β )2＝1－cos 2β ，化简得cos β (cos β －1)＝0 解得cos β ＝0或cos β ＝1，经检验，cos β ＝0或cos β ＝1即为所求例7 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角,3π=C 求△ABC 的面积． 【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题 证明：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即Rbb R a a 22⋅⋅=，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．解(2)由题意可知m ⊥p ，m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ，由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1) ∴33πsin 421sin 21===⋅⋅C ab S 例8 已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos xx x x -==b a ，其中].2π,0[∈x(1)求a ·b 及｜a ＋b ｜；(2)若f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜的最小值是23-，求λ 的值． 【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识． 解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin2cos 23cos =-=⋅b a ]2π,0[,cos 22cos 22)(||2∈=+=+=+x x x b a b a或]2π,0[,cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22∈=+=-++=+x x x x x x x b a (2)f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜＝cos2x －4λ cos x ＝2cos 2x －4λ cos x －1＝2(cos x －λ )2－2λ 2－1 ∵],1,0([cos ]2π,0[x x ∴∈①当λ ≤0时；f (x )的最小值是－1，不可能是23-，舍； ②当0＜λ ＜1时，f (x )的最小值是23122-=--λ，解得;21=λ③当λ ≥1时，f (x )的最小值是2341-=-λ，解得185<=λ，舍；∴⋅=21λ【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．练习6－2一、选择题1．若为a ，b ，c 任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) 2．设)31,(cos ),sin ,23(αα==b a ，且a ∥b ，则α 的值是( ) A ．)(,4ππ2Z ∈+=k k α B ．)(,4ππ2Z ∈-=k k α C ．)(,4ππZ ∈+=k k α D ．)(,4ππZ ∈-=k k α3．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．已知：△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且=++，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上二、填空题5．若向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，且a 与b 的夹角为3π，则｜a ＋b ｜＝______． 6．已知向量a ＝(cos θ ，sin θ )，向量)1,3(-=b ，则｜2a －b ｜的最大值是______． 7．若)1,2(),3,1(x ==b a ，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x ＝______．8．已知向量)5,3(),6,4(==OB OA ，且OB AC OA OC //,⊥，则向量＝______ 三、解答题9．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，｜b ｜＝1，求｜a ＋2b ｜．10．P 在y 轴上，Q 在x 轴的正半轴上，H (－3，0)，M 在直线PQ 上，,0=⋅23-=．当点P 在y 轴移动时，求点M 的轨迹C 方程．11．已知向量a ＝(sin θ ，1)，2π2π),cos ,1(<<-=θθb (1)若a ⊥b ，求θ ；(2)求｜a ＋b ｜的最大值．习题6一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2 a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．给出下列五个命题： ①｜a ｜2＝a 2；②aba b a 2=⋅；③(a ·b )2＝a 2·b 2； ④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．①③④ D ．②⑤3．函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1，1) D ．a ＝(－1，1) 4．若a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．已知在△ABC 中，,⋅⋅⋅==则O 为△ABC 的( ) A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心二、填空题6．已知p ＝(1，2)，q ＝(－1，3)，则p 在q 方向上的正射影长为______；7．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①．2=+ ②．AF AB AD 22+= ③．AB AD AD AC ⋅⋅= ④．)()(EF AF AD EF AF AD ⋅=⋅其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．8．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OB y OA x OC +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λ b )，则实数λ 的值______；若b ba a a a c )(⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为______；10．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a ·b ＝－2，则｜a ＋b ｜＝______．三、解答题11．已知).1,3(),3,1(-==b a(1)证明：a ⊥b ；(2)若k a －b 与3a －k b 平行，求实数k ；(3)若k a －b 与k a ＋b 垂直，求实数k ．12．设向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，(t ∈R )．(1)求a ·b(2)求u 的模的最小值．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.73tan =C(1)求cos C ；(2)若25=⋅，且a ＋b ＝9，求c ．14．已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴相交于点A ，B ，j i j i ,(22+=，分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数g (x )＝x 2－x －6，(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数)(1)(x f x g +的最小值．15．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围．专题06 平面向量参考答案练习6－1一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C二、填空题5．3或－5 6．4 7．)23,1(-- 8．45°三、解答题 9．由已知)0,2(==AB a ，所以⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，得x ＝－1．10．(1)由已知设a ＝(λ ，2λ )且λ ＞0，a ·b ＝λ ＋4λ ＝10，λ ＝2，所以a ＝(2，4)；(2)(b ·c )a ＝(2－2)a ＝0．11．6．练习6－2一、选择题1．D ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．二、填空题5．7 6．4 7．－6或9 8．)214,72(-三、解答题9．32 由已知｜a ｜＝2，｜a ＋2b ｜2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴32|2|=+b a .10．解答：设M (x ，y )，∵M 在直线PQ 上, ),0,32(),2,0(,23x Q y P --=∴ ∵)2,(),2,3(,0y y x y +=-==⋅ ∴02323.=-y y x ，即y 2＝4x ．(除原点．) 11．解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ ＋cos θ ＝0，由此得)2π2π(1tan <<--=θθ，所以;4π-=θ (Ⅱ)由a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ )得)cos (sin 23)cos 1()1(sin ||22θθθθ++=++=+b a,)4πsin(223++=θ 当1)4πsin(=+θ时，｜a ＋b ｜取得最大值，即当4π=θ时，｜a ＋b ｜最大值为.12+ 习题6一、选择题1．B 2．B 3．A 4．B 5．D二、填空题6．210 7．①、②、④ 8．2 9．λ ＝－3；90° 10．21三、解答题11．(2)k ＝±3；(3)k ＝±1．12．答案：(1)22=⋅b a ，(2)22||min =u 13．解答：(1)∵73tan =C ，∴73cos sin =C C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1 解得⋅±=81cos C ∵tan C ＞0，∴C 是锐角． ∴⋅=81cos C (2)∵20,25cos ,25===⋅∴∴ab C ab ． 又∵a ＋b ＝9 ∴a 2＋2ab ＋b 2＝81．∴a 2＋b 2＝41．∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36．∴c ＝6．14．略解：(1)由已知得)0,(k bA -，B (0，b )，则),(b k b AB =，于是.2,2==b kb ∴k ＝1，b ＝2． (2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4，521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g由于x ＋2＞0，则3)(1)(-≥+x f x g ，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 15．略解：解法1：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f '(x ＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∴f '(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5．而当t ≥5时，f '(x )在(－1，1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5． 解法2：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，f '(x )＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∵f '(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f '(1)＝t －1≥0，且f '(－1)＝t －5≥0时，f '(x )在(－1，1)上满足f '(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．。
2020年高考数学 导数 解答题专项练习(含答案详解)
2020年高考数学导数解答题专项练习（含答案解析）1.已知函数f(x)=x2-mln x，h(x)=x2-x＋a.(1)当a=0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．2.设函数已知函数f(x)=ae x-x+1.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(0,3) 上只有一个零点，求a的取值范围；3.已知函数f(x)=lnx+a(x-1)2(a>0).（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0，证明：.4.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2) e x﹣x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.5.已知函数f(x)=2lnx-2mx+x2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当时，若函数f(x)的导函数f/(x)的图象与x轴交于A,B两点，其横坐标分别为x1,x2(x1<x2)，线段AB的中点的横坐标为x0，且x1,x2恰为函数h(x)=lnx-cx2-bx的零点.求证：.6.已知函数，g(x)=mx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(3)当a=1时，求证：当x>1时，.7.已知函数f(x)=x-alnx+a-1(a∈R)．(I)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[e a,+∞]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．8.已知函数R.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．9.已知函数f(x)=ln x－kx，其中k∈R为常数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个相异零点x1，x2(x1<x2)，求证：ln x2>2－ln x1.10.已知函数f(x)=x-alnx,a∈R.（1）研究函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,且x1<x2.①求a的取值范围；②求证：x1x2>e2.11.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．12.已知函数f(x)=lnx-mx2，g(x)=0.5mx2+x，mϵR,令F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式F(x)≤mx-1恒成立，求整数m的最小值.13.已知函数f(x)=lnx-mx(m为常数).(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当时, 设g(x)=2f(x)+x2的两个极值点x1,x2(x1<x2)恰为h(x)=lnx-cx2-bx的零点, 求的最小值.14.设函数f(x)=(x－1)e x－kx2.(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．15.已知函数f(x)=ln x＋－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m∈R，对任意的a∈(－1，1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)<0成立，求实数m的取值范围．16.已知函数.(1)求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.17.设函数f（x）=alnx﹣bx2．（1）当b=1时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1，b=0时，函数g（x）=f（x）﹣kx，k为常数，若函数g（x）有两个相异零点x1，x2，证明：．18.已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．19.已知函数在处的切线与轴平行，()(1)试讨论f(x)在上的单调性；(2)①设，求g(x)的最小值；②证明：.20.已知函数f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)(其中a∈R，且a为常数)(1)当a=4时，求函数y=f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(1，+∞)，都有f(x)＞0成立，求a的取值范围；(3)若方程f(x)+a+1=0在x∈(1，2)上有且只有一个实根，求a的取值范围．2020年高考数学 导数 解答题专项练习（含答案解析）答案解析1.解：(1)由f(x)≥h(x)，得m ≤x ln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)=x ln x ，则g ′(x)=ln x －1ln x 2，当x ∈(1，e)时，g ′(x)＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x=e 时，g(x)的最小值为g(e)=e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(-∞，e]．(2)由已知可得k(x)=x-2ln x-a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)=x-2ln x 与直线y=a 有两个不同的交点．φ′(x)=1-2x =x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．又φ(1)=1，φ(2)=2-2ln 2，φ(3)=3-2ln 3，要使直线y=a 与函数φ(x)=x-2ln x 有两个交点，则2-2ln 2＜a ＜3-2ln 3.即实数a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3)．2.解:3.解：4.解：5.解：6.解：7.解：8.解：9.解：10.解：11.解：(1)a=0时，f(x)=e x－1－x，f′(x)=e x－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加(2)f′(x)=e x－1－2ax.由(1)知e x≥1＋x，当且仅当x=0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax=(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤0.5时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)=0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由e x>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<e x－1＋2a(e－x－1)=e－x(e x－1)(e x－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)=0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，综上可得a的取值范围为(－∞，0.5]．12.解：13.解：14.15.16.17.18.19.解：20.解：。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科参考答案与试题解析
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A ．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x ≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x 2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A ．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A ．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A ．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A ．2 B．0 C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A ．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A ．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g （b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n 的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．和S n﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y （元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为创作人：百里公地创作日期：202X.04.01故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．25．（12分）（•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P （a，b），圆P截X 轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X 轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d 有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，创作人：百里公地创作日期：202X.04.01P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校创作人：百里公地创作日期：202X.04.01。
2020年高考数学(理)必刷小题《06 指数函数与对数函数》(解析版)
专题二 函数06 指数函数与对数函数1．若集合()12{|222}{|log 0}x x x x a >=-<，则实数a 的值为A ．12B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】由322222x>=，解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=，解得1x a >+，因为()12{|222}{|log 0}x x x x a >=-<，所以312a +=，解得12a =． 故选A ．2．设命题21:1log 02xp q x <<()，:，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意知p ：x ＞0，q ：0＜x ＜1，显然，p ⇐q ，且p ⇏q ，故p 是q 的必要不充分条件． 故选B ．3．函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x =1时，y =a 1－a =0，所以y =a x －a 的图象必过定点(1,0)，结合选项可知选C. 4．设 1.53131log e,e ,log 4a b c ===，则 A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b <<【答案】D【解析】因为 1.531331log e (0,1),e 2,log log 4(1,2)4a b c =∈=>==∈，所以b c a >>，选D ． 【名师点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小的问题，属于中档题.多个数比较大小的问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列. 5．函数 的图象如图所示，其中 为常数，则 的取值为A ．等于0B ．恒小于0C ．恒大于0D ．无法判断【答案】B【解析】由图象可知： 且 ， 所以 ，所以 ，则 . 故选B. 6．的单调递增区间是A ．B ． - ，C ． - ，-D ．【答案】D【解析】设，则函数为减函数，根据复合函数的单调性知，要求函数 的单调递增区间， 即求函数 的单调递减区间，的图象的对称轴为 ，单调递减区间为 ， 则函数 的单调递增区间为 . 故选D.【名师点睛】本题主要考查指数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.7．函数()221x x y x =∈+R 的值域为A ．()0,+∞B ．()0,1C ．()1,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】221111212121x x x x xy +-===-+++， 20,121x x >∴+>，则11101,10,011212121x x x<<-<-<<-<+++， 即01y <<.故函数()221xx y x =∈+R 的值域为()0,1.故选B .8．设函数()()12(10)x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，， ，则()21log 3f +的值为 A ．124 B ．16C ．43D ．12【答案】C【解析】因为21log 32<<，所以()21log 3f +=()()()2221log 31log 3log 31f f f +-==-=()222433log log log 3442231log 32(log )()2242f f --=====43，故选C ．9．设偶函数()log a f x x b =-在(,0)-∞上是增函数，则()1f a +与()2f b +的大小关系是 A ．()()12f a f b +=+ B ．()()12f a f b +<+ C ．()()12f a f b +>+ D ．无法确定【答案】C【解析】因为函数()log ||a f x x b =-是偶函数，所以b ＝0，又因为函数()log a f x x b =-在(,0)-∞上是增函数，所以0＜a ＜1， 则112a b <+<+，则()1f a +>()2f b +，故选C ．10．若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】D【解析】当2x ≤时，f （x ）＝22x 22x --=，单调递减，∴f （x ）的最小值为f (2)=1；当x ＞2时，f （x ）＝()2l og x a +单调递增，若满足题意，只需()2log 1x a +≥，即2x a +≥，则2a x ≥-，∴a ≥0. 故选D ．11．若函数 ，且 的图象恒过点P ，则点P 的坐标为________．【答案】【解析】令x -1=0,得x =1,再把x =1代入 得y =1-2=-1, 所以图象恒过点P （1，-1）. 故答案为 .【名师点睛】（1）本题主要考查指数函数图象过的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力；（2）指数函数 的图象过定点（0,1）. 12．已知 ， ，则 _________．【答案】45【解析】由题意可得： ，由对数恒等式可知： ， 则 .13．函数 的定义域为_____________.【答案】【解析】由题得 >0，所以 即 则. 所以函数的定义域为.故答案为.14．满足31()164x ->的x 的取值范围是__________.【答案】(,1)-∞ 【解析】31()164x ->即3211()()44x -->，利用指数函数的单调性，可得x －3＜－2，即x ＜1．15．若函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 的解集为__________．【答案】【解析】作出 的图象如图所示：故不等式 的解集为： ．16．已知函数f (x )的定义域是(1,2)，则函数f (2x )的定义域是A ．(0,1)B ．(2,4)C ．(12，1) D ．(1,2)【答案】A【解析】∵f (x )的定义域是(1,2)，∴1＜2x ＜2，即20＜2x ＜21，∴0＜x ＜1.故选A.17．已知，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵230.30.30.30.331log 0.3log 0.2log 0.2log 0.32=<=<=，∴13122，ba ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴123log ,02b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12322,3log 2a b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而12122333log log 1,3log 4222-=<∴-<， 结合选项知224a b <-<. 故选B.18．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】00.310.3222,122<<∴<<，22log 5log 42>=，0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B ．19．已知f （x ）是定义在实数集R 上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则A ．f （20.7）＜f （﹣log 25）＜f （﹣3）B ．f （﹣3）＜f （20.7）＜f （﹣log 25）C ．f （﹣3）＜f （﹣log 25）＜f （20.7）D ．f （20.7）＜f （﹣3）＜f （﹣log 25） 【答案】A【解析】因为 是偶函数，故 ， ， 又 ， 在 上是单调增函数， 故 ，即 ， 故选A ．【名师点睛】一般地，如果 是 上的偶函数，那么 在 与 上的单调性相反；如果 是 上的奇函数，那么 在 与 上的单调性一致．20．已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增.若实数 满足 ，则 的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， 所以函数f (x )是R 上的增函数， 由题得 ，所以 ， 所以 ， 所以|m -1|＜3， 所以-3＜m -1＜3， 所以-2＜m ＜4， 因为|m -1|>0，所以m ≠1， 故m ∈ . 故选A.21．已知1()e 44x f x x -=+-，若正实数a 满足3(log )14af <，则a 的取值范围为 A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C【解析】因为1e x y -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()e44x f x x -=+-是R 上的增函数， 又因为11(1)e 441f -=+-=，所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <， 由1log a a =，知3log log 4a a a <，当01a <<时，log a y x =在()0,+∞上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log a y x =在()0,+∞上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C ． 22．已知函数()()208log 23f x x ax =-+．在(1,)-+∞上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[54,]--【解析】设()223t x x ax =-+，则08log y t =．为减函数．由函数()()208log 23f x x ax =-+．在(1,)-+∞上为减函数，可得()223t x x ax =-+在(1,)-+∞上为增函数，则有()141230a t a ⎧≤-⎪⎨⎪-=++≥⎩，解得54a -≤≤-．故实数a 的取值范围为[54,]--．23．已知函数220|l (o |,0)g x f x x x x =⎧≤⎨>⎩， ，则使()12f x =的x 的集合是__________．【答案】2{1,,2}2- 【解析】当x ≤0时，由122x=，得x ＝－1．当x ＞0时，由21|log |=2x ，得21l o g 2x =或21log 2x =-．由21l o g 2x =，解得2x =；由21log 2x =-，解得1212222x -===．故填2{1,,2}2-．24．若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为__________.【答案】13-【解析】设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，只需满足13max ()2a f x -≤即可，22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以13142,3aa -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-.25．已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．【答案】1【解析】因为x ＋2y ＝4 当且仅当 时取等号）， 所以xy 的最大值为2，所以log 2x ＋log 2y ， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1， 故答案为：1.【名师点睛】（1）本题主要考查基本不等式和对数的运算，考查对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.26．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．27．（2019年高考天津理数）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为551log 2log 52a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5c <=<，即112c <<， 所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 28．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．29．（2019年高考北京理数）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.30．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.31．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．32．（2018年高考天津卷理科）已知2log e a =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln20,1log eb ==∈，12221log log 3log e 3c ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．对于不同底而同真数的对数的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．33．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】0.22log 0.3,log 0.3a b ==，0.30.311log 0.2,log 2a b ∴==，0.311log 0.4a b∴+=，1101a b ∴<+<,即01a bab+<<， 又0,0a b ><，0ab ∴<，∴0ab a b <+<. 故选B ．34．（2017年高考北京卷理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数.35．（2017北京理）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据： 3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D ． 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =． 36．（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l o g 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 37．（2017新课标全国I 理）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D ． 【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示．38．（2018年高考江苏卷）函数()2log 1f x x =-的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥， 解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.39．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．40．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 . 【答案】1(,)4-+∞【解析】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112xx +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.。
2020高考高三数学专题练习含答案
利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！ 一、选择题：(每题5分，共60分)1．已知a 为不等于零的实数，那么集合{}R x x a x x M ∈=++-=,01)1(22的子集的个数为A ．1个B ．2个C ．4个D ．1个或2个或4个2．函数x x y cot tan -=的最小正周期是A ．2π B ．π C ．2π D ．3π 3．已知关于x 的不等式b xax ≥+的解集是[-1，0）则a +b = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．34．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB =4，则满足条件的直线l 有A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数条 5．若向量d a c b a b c a d 与则,)()(⋅⋅-⋅⋅=的夹角是A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 6．设a 、b 是两条异面直线，P 是a 、b 外的一点，则下列结论正确的是A ．过P 有一条直线和a 、b 都平行；B ．过P 有一条直线和a 、b 都相交；C ．过P 有一条直线和a 、b 都垂直；D ．过P 有一个平面和a 、b 都垂直。
7．互不相等的三个正数321,,x x x 成等比数列，且点P 1（，，)log ,(log )log ,log 22211y x P y x b a b a )log ,(log 333y x P b a 共线 )1,0,10(≠>≠>b b a a 且且则1y ，成32,y yA ．等差数列，但不等比数列；B ．等比数列而非等差数列C ．等比数列，也可能成等差数列D ．既不是等比数列，又不是等差数列8．若从集合P 到集合Q={}c b a ,,所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同映射共有A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个9．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x xx f cos sin cos cos sin sin )(给出下列四个命题：①该函数的值域为[-1，1]②当且仅当;1,)(22该函数取得最大值时z k k x ∈+=ππ③该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当0)(,)(2322<∈+<<+x f z k k x k 时ππππ 上述命题中错误命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等差数列{}{}121211,,++==n n n n b a b a b a 且各项都是正数和等比数列，那么，一定有A．1111.++++≥≤n n n n b a B b a C 、1111.++++>>n n n n b a D b a二、填空题：(每題4分，共16分)11、若31)3tan(,53)tan(=-=+πy y x ,则)3tan(π+x 的值是 .12、不等式xx m 22+≤对一切非零实数x 恒成立 , 则m 的取值范围是 .13、如图，底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD =AD , 则PA 与BD 所成的角等于 .14、若函数)3(log )(2+-=kx x x f k 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,k 上是减函数，则实数k 的取值范围是 。
专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(解析版).docx
专题06三角函数及解三角形2020年高考真题1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6周期为9 64兀3兀C. —D.兰3 2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点( 4 兀1T \将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0,又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点,十.I 4兀兀兀5 e 3所以-亍0+丁丐,解得r •2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z =A. B.【答案】A又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a =•故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解 能力，属于基础题.3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则B. cos2a<0D. sin2a<0 【答案】D【解析】方法-：由。
为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z,所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0,故选：D.兀方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.C. sin2a>0>0,选项B 错误;<0,选项A 错误;【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -【答案】A2【解析】在ABC中，cosC = —, AC = 4, BC = 3, 3根据余弦定理：AB2 =AC2+BC2-2AC BC COS C，7AB- =42+32-2X4X3X-,3可得AB2 = 9，即AB — 3 ,… AB2+BC2-AC2 9 + 9-16 1由cos B = ------------------------- = ------------ =—,2ABBC2x3x3 9故cos B =—.9故选：A.5. [2020年高考全国III卷理数】已知2tan^-tan（0+ —）=7,则tan^=A. -2B. -1【答案】D【解析】2 tan - tan | ^ + — | = 7 , z. 2tan^~ tan^ + ^ =7 ,I 4 丿 1 - tan令/ = tan&,/Hl,则2/—土 = 7,整理得严_4/ + 4 = 0,解得t = 2,即tan6» = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6“边形（各边均与圆相切的正6“边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是2 71 、［/ — 71 -- 当“一 2571 6 _ 时，y = —1 二 2x^ + ^ = —+ 2^(^ e Z),3n < .30° 30°) 6n < .30° 30°) A. sin —— + tan ----- B. sin —— + tan ----- 1 n n 丿 I n n ) 3n (.60° 60°) 6n (.60° < 60°) c. sin ---- + tan ----- D. sin ----- + tan ----- I nn 丿 I nn ) 【答案】A 360° 60° 30° 【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为一 =——，每条边长为2sin —, nx6 n n 30° 所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12nsin ——, n30° 30° 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan —,其周长为12〃tan —, n n30° 30° 12nsin ----- 12ntan ---------.・.* 二 ----- n --------------- n _ 2( 30° 30°则 7i = 3n\ sin------ + tan --- I n n故选：A.【点睛】本题考查圆周率兀的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的 周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7. [2020年新高考全国I 卷】下图是函数y 二sin （亦+卩）的部分图像，贝!j sin （亦+卩）=【答案】BC=6“ sin 竺+ tan 竺, I n n ) A. sin(x + f)¥亠)【解析】由函数图像可知：- = -7T —— 2 3 71 _71 6~2 27T 则血=—=—=2,所以不选A, T 71 B.解得：cp 二 Ikn + 彳兀(£ e Z ),即函数的解析式为：y = sin| 2x + —TT + 2A ；7Z - | = sin| 2x + —+ —| = cos| 2x + — | = sin| — -2x I 3 丿(6 2丿(6丿(3 (\5/r而 cos I 2x + — I — - cos( — 2x) 故选：BC.【点睛】已知fix) =Asin(a}x +^)(A>0, e>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的 是求待定系数e 和0常用如下两种方法：竺即可求出e ；确定y 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标xo,则令 exo+0 = O(或 a )xo+<p=7t'),即可求出 <p.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出co 和<p, 若对A, e 的符号或对°的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.&【2020年高考全国I 卷理数】如图，在三棱锥P ABC 的平面展开图中，AC=1, AB = AD =也,佔丄AC, AB±AD, ZCAE=30°,贝0 cosZFCB= _______________ .【答案】4【解析】 AB 丄AC, AB = j3, AC = E由勾股定理得BC = V A B 2+AC 2 = 2 ‘71 F(P)同理得 BD =品，：.BF = BD = ^，在△4CE 中，AC = 1, AE = AD =运,ZCAE = 30 ，由余弦定理得 CF = 3+^2—240 AEcos30 =l + 3-2xlxV3x —= 1, 2:.CF = CE = 1,在 BCF 中，BC = 2, BF =愿，CF = 1,CF~ + BC 2 -BF 2由余弦定理得cos ZFCB = 七——2CFBC故答案为：—. 4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9.【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f (x) =sinx ——-—有如下四个命题: sinx®f (%)的图像关于y 轴对称.®f (x)的图像关于原点对称.1T®f (X )的图像关于直线x=3对称.®f (X )的最小值为2.其中所有真命题的序号是 __________ .【答案】②③所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数/(X )的定义域为[x\x^kn,k^Z^ ,定义域关于原点对称, / ( -x) = sin (-%) + —r = - sin x - -— = -fsinx + -^―] = -/(%),sin (—兀) sinx I sinx)所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;1 + 4-6 2x1x2 【解析】对于命题①,A 7C \ . (7C ] 1(2 丿(2 ) .(7i' 7' 7 sm —+ x12所以，函数/(x)的图象关于直线x = |对称，命题③正确;对于命题④，当一7i<x<0时，sinx<0,贝J f(x} = sinx + — <0< 2 , sinx命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.JT 210.【2020年高考江苏】已知sin2(-+ <?) = -,则sin2a 的值是▲.4 3【解析】Qsin2(—+ cr) = (-^cosa-\——sin a)2 = —(1 + sin 2a)4 2 2 21 2 1— (1 + sin 2a) = —sin 2a =—2 3 3故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考北京】若函数/(x) = sin(x+^) + cosx的最大值为2,则常数0的一个取值为 _______________IT TT【答案辽(2唸+亍心均可)【解析】因为 (兀)=cos ©sin 兀 +(sin 0 + 1)cos 兀=Jcos? 0 +(sin 0 + 1)2 sin (兀+ 0), 所以Jcos?(p + (sin(p +1『=2,解得sin0 = l,故可取^ = ~-7T7T故答案为：-(2^ + -,^eZ 均可). 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数 学运算能力，属于基础题.1T12. [2020 年高考浙江】已知 tan& = 2,则 cos2& = _______ , tan(6>-一) = ______ .3 1【答案】V 巧cos 2 0-sin 2 0 _ 1-tan 2 _ 1 -22cos 2 ^ + sin 2 0 1 + tan 2 0 1 + 223 1故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13. [2020年高考江苏】将函数y = 3sin(2x +^)的图象向右平移夕个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最 4 6近的对称轴的方程是▲ • 【答案】2-峯 24V/ 'j I r jl【解析】y — 3sin[2(x ---- ) —] = 3 sin(2x ------ ) 6 4 12小 TC TC , , x 7 TT k/C 7 x2x ------ — —F k 兀G Z)x — ----------- 1 ---- (k G Z) 12 2 24 2当k = -1时兀=——• 24故答案为：x =———24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14. [2020年新高考全国I 卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧与直线BC 的切点，四边 形 DEFG 为矩形，BC 丄DG,垂足为 C, tanZODC= - , BH//DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A 到直线5DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 ___________ cm 2.【解析】cos 20 = cos 2 0 - sin 2 0 = tan <9-1 l + tan& 2-11 + 2【答案】4 + »兀 2【解析】设05 = OA=r,由题意AM = AN = 1, EF = \2，所以NF = 5,因为 AP = 5,所以 ZAGP = 45\因为 BH//DG,所以 ZAH0 = 45°，因为AG 与圆弧4B 相切于A 点，所以Q4丄4G,即AOAH 为等腰直角三角形；在直角△0QD 中，0Q = 5_^r ，DQ = l-—r ，2 2因为 tanZ0DC = -^ = |，所以 21- —r = 25-^r ， DQ 5 22 解得 r = 2A /2 ；等腰直角MAH 的面积为恥》2屈2尽4；I 所以阴影部分的面积为S] + S?—㊁兀=4 +三-•故答案为：4 + T.扇形A0B 的面积S 2 = =3乃，【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15.【2020 年高考全国II 卷理数】/XABC 中，sin2A —sin2B—sin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求zMBC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2^AC AB，①由余弦定理得BC2 = AC2 +AB2- 2AC AB cos A，②由①，②得cos A =—.22兀因为0<4<兀，所以A =—.3(2)由正弦定理及(1)得上匕=少-=-?£ = 2巧，sin B sin C sin A从而AC = 2A/3 sin B , AB = 2^3 sin(兀一A - B) = 3 cos B一A/3 sin B.故BC + 4C + AB = 3 + 7^sinB + 3cosB = 3 + 2V^sin(B + ¥).X0<B<-,所以当B =-时，AABC周长取得最大值3 + 2^3-3 616.[2020年高考江苏】在A ABC中，角A, B, C的对边分别为°, b, c,已知a = 3,c =迈,B = 45。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷文科参考答案与试题解析
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷文科参考答案与试题解析创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4）B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合P，然后求解交集即可．解答：解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．故选：A．点评：本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（•浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．析：解答：解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．点评：本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）（•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m 考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：A根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性质判断B错误；C根据面面平行的判断定理得出C错误；D根据面面平行的性质判断D错误．解答：解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．故选：A．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．5．（5分）（•浙江）函数f（x）=（x ﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据在（0，1）上，f（x）＜0，结合所给的选项，得出结论．解答：解：对于函数f（x）=（x ﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=（﹣x）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．再根据在（0，1）上，＞x，cosx＞0，f（x）=（x ﹣）cosx＜0，故排除C，故选：D．点本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于评：中档题．6．（5分）（•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y ＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．a x+by+cz B．a z+by+cx C．a y+bz+cx D．a y+bx+cz考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：作差法逐个选项比较大小可得．解答：解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，∴ax+by+cz﹣（az+by+cx）=a（x﹣z）+c（z﹣x）=（x﹣z）（a﹣c）＞0，∴ax+by+cz＞az+by+cx；同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）=b（z﹣x）+c（x﹣z）=（z﹣x）（b﹣c）＜0，∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）=a（z﹣y）+b（y﹣z）=（z﹣y）（a﹣b）＜0，∴az+by+cx＜ay+bz+cx，∴最低费用为az+by+cx故选：B点评：本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．7．（5分）（•浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求．解答：解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P的轨迹是椭圆．故选：C．点评：本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）（•浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（）A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2+2a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定D．若t确定，则a2+a唯一确定考点：四种命题．专题：开放型；简易逻辑．分析：根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案．解答：解：∵实数a，b，t满足|a+1|=t，∴（a+1）2=t2，a2+2a=t2﹣1，t确定，则t2﹣1为定值．sin2b=t2，A，C不正确，∴若t确定，则a2+2a唯一确定，故选：B点评：本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可判断．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．（6分）（•浙江）计算：log2=，2=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数运算法则化简求值即可．解答：解：log2=log2=﹣；2===3．故答案为：；．点评：本题考查导数的运算法则的应用，基本知识的考查．10．（6分）（•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=﹣1．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．解答：解：由a2，a3，a7成等比数列，则a32=a2a7，即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），即2d2+3a1d=0，由公差d不为零，则d=﹣a1，又2a1+a2=1，即有2a1+a1+d=1，即3a1﹣a1=1，解得a1=，d=﹣1．故答案为：，﹣1．点评：本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．11．（6分）（•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，最小值是．考点：二倍角的余弦；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．解答：解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin（2x﹣）+．∴最小正周期T=，最小值为：．故答案为：π，．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．12．（6分）（•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=，f（x）的最小值是2﹣6．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．解答：解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，∴f（f（﹣2））=f（4）=4+﹣6=﹣；∵当x≤1时，f（x）=x2，由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；当x＞1时，f（x）=x+﹣6，由基本不等式可得f（x）=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6，当且仅当x=即x=时取到等号，即此时函数取最小值2﹣6；∵2﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2﹣6故答案为：﹣；2﹣6点评：本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．13．（4分）（•浙江）已知1，2是平面向量，且1•2=，若平衡向量满足•1=•=1，则||=．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：平面向量及应用．分析：根据数量积得出1，2夹角为60°，＜，1＞=＜，2＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可．解答：解：∵1，2是平面单位向量，且1•2=，∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1∴与1，2夹角相等，且为锐角，∴应该在1，2夹角的平分线上，即＜，1＞=＜，2＞=30°，||×1×cos30°=1，∴||=故答案为：点评：本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可．14．（4分）（•浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是15．考点：简单线性规划．专题：开放型；不等式的解法及应用．分由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，析：然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．解答：解：如图，由x2+y2≤1，可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，令z=﹣3x﹣4y+10，得，如图，要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．则，即z=15或z=5．由题意可得z的最大值为15．故答案为：15．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．15．（4分）（•浙江）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．解答：解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2020高三高考数学二轮复习专题训练+06+Word版含答案
说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列。
ξ
8、关于取球的随机变量的值和概率
例：袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色。
确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率。
分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成。
解： 设集合，其中为“取到的球为红色的球”，为“取到的球为白
色的球”，为“取到的球为黑色的球”。
},,{321x x x
M =1x 2x 3x 我们规定：，即当时，，这样，我们确定就是一个随机变量，它的自变是量取值不是一个实数，而是集合中的一个元素，即，而随机变量本身的取值则为1、2、3三个实数，并且我们很容易求得分别取1、
2、3三个值的概率，)3,2,1()(===i i x
i ξ ξ i x x =i x =)(ξ )(x ξ x M 即
说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果。
2020年高考数学真题(共13套)后附解析
2020年高考数学真题（共13套）后附解析一、2020年全国甲卷高考数学真题1. 选择题（1）设a，b为实数，若|a|＝b，则a的值为（）A. a＝bB. a＝±bC. a＝0D. a＝±1（2）已知函数f(x)＝2x＋1，则f(f(1))的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8（3）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y＝x^3B. y＝x^2C. y＝|x|D. y＝x^3－x（4）在等差数列{an}中，若a1＝1，a3＝3，则数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 4（5）已知复数z＝(1＋i)^5，则z的实部为（）A. 0B. 1C. 2D. 4（6）若点P在直线y＝2x＋1上，且P到原点的距离等于5，则点P的坐标为（）A. (2, 5)B. (3, 7)C. (4, 9)D. (5, 11)2. 填空题（7）已知函数f(x)＝x^2－2x＋1，则f(x)的最小值为______。
（8）若向量a＝(2, 3)，b＝(－1, 2)，则2a－3b＝______。
（9）在三角形ABC中，a＝3，b＝4，cosA＝3/5，则sinB的值为______。
（10）已知等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，则数列的前5项和为______。
3. 解答题（11）求函数f(x)＝x^3－3x的最小值。
（12）已知函数f(x)＝ax^2＋bx＋c（a≠0），且f(1)＝3，f(－1)＝5，f(2)＝10，求f(x)的表达式。
（13）在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝120°，求△ABC的面积。
（14）已知数列{an}的通项公式为an＝2^n，求证数列{an}是递增数列。
二、2020年全国乙卷高考数学真题1. 选择题（1）若函数f(x)＝lg(x^2－2x)，则f(x)的定义域为（）A. (－∞, 0)∪(2, +∞)B. (－∞, 1)∪(1, +∞)C. (0, 2)D. (－∞, 0)∪(0, 2)（2）在等差数列{an}中，若a1＝3，a5＝15，则数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 6（3）已知点A(2, 3)，点B在直线y＝－x上，且AB的长度为5，则点B的坐标为（）A. (－3, 3)B. (－3, 4)C. (－2, 2)D. (－1, 1)（4）下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是（）A. y＝sinxB. y＝cosxC. y＝tanxD. y＝e^x（5）若复数z满足|z|＝1，且z的实部为正数，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（6）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若a^2＋b^2＝c^2，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2. 填空题（7）已知函数f(x)＝x^2－4x＋3，则f(x)的零点为______。
【高考专项】2020年高考数学 数列 解答题专项练习40题(含答案详解)
2020年高考数学数列解答题专项练习40题1、数列{a n}的前n项和为S n，,且成等差数列.(1)求a1的值，并证明为等比数列;(2)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.2、已知数列{a n}的前n项和，{b n}是等差数列，且（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令求数列{c n}的前n项和.3、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差，且成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令,求数列{c n}的前n项和.4、已知数列{a n}满足，.（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和5、已知数列{a n}前n项和为。
（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列；求数列的前n项和。
6、设数列{a n}的前n项和为S n，若．(1)求出数列{a n}的通项公式；(2)已知，数列{b n}的前n项和记为，证明：．7、已知等差数列{a n}满足，，数列{b n}满足.（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和.8、正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和为.（3）在（2）的条件下，若对一切恒成立，求实数m的取值范围.9、已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为，求证：．10、等差数列{a n}中，已知，且为递增的等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式（），求数列{b n}的前n项和S n.11、已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且是S n与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．（1）求数列{a n},{b n}的通项和；（2）设，求数列{c n}的前n项和．12、已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，，且成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若，数列{b n}的前n项和为，求.13、记为各项为正数的等比数列{a n}的前S n项和，已知.（1）求数列{a n}的通项公式;（2）令，求的前n项和.14、设数列{a n}的前n项和为S n，已知3S n=4－4，．（1)求数列{a n}的通项公式；(2）令，求数列{b n}的前n项和Tn.15、已知数列{a n}的各项均为正数，对任意，它的前n项和S n满足，并且，，成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，为数列{b n}的前n项和，求．16、已知数列{a n}的前n项和为S n，且，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求证：数列的前n项和．17、已知数列为等差数列，且，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：．18、已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且，，；求：（1）{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，，求数列{c n}的前n项和．19、已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数．20、等差数列{a n}中，，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求的值．21、已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设(3)设，表示不超过的最大整数，求{c n}的前1000项的和22、S n为数列{a n}的前n项和.已知，.（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前项和.23、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，其中S n为{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求a n；（2）若数列{b n}满足b n=，{b n}的前n项和为T n，且对任意的正整数n都有T n ＜m，求m的最小值．24、已知数列{a n}，a=1，=a-n²-n-（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明++…+＜（n∈N）.25、已知数列{a n}的首项a1=a（a>0），其前n项和为S n，设（）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；②若对且n≥2，不等式恒成立，求a的取值范围．26、设数列{a n}的各项均为不等的正整数，其前n项和为S n，我们称满足条件“对任意的m,n∈N*. 均有”的数列{a n}为“好”数列．（1）试分别判断数列{a n}，{b n}是否为“好”数列，其中，，n∈N*，并给出证明；（2）已知数列{c n}为“好”数列．①若c2017=2018，求数列{c n}的通项公式；②若c1=p，且对任意给定正整数p,s（s>1），有c1,c2,c3成等比数列，求证：t≥s2．27、已知数列{a n}的各项均为正数，，前n项和为S n，且，为正常数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，（）．求证：①；②．28、已知数列{a n}满足…．（1）求，，的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并证明．29、等差数列{a n}的公差为正数，，其前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，，且．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设，求数列{c n}的前n项和．30、设数列{a n}的前n项和为S n，已知，（）．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）若数列{b n}满足：，．①求数列{b n}的通项公式；②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．31、已知数列{a n}的前n项和S n，且，数列是首项为1，公比为的等比数列. （1）若数列{a n+b n}是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列{a n+n+b n}的前项和.32、已知等比数列{a n}中，.（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列的前项和.33、已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，.数列为等比数列且.（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记，其前n项和为，求证：.34、已知数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）求数列{a n}的通项；（3）若数列{b n}满足为数列的前n项和，求.35、已知各项均为正数的数列{a n},满足且.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设,若的前n项和为S n,求S n；(3)在（2）的条件下,求使成立的正整数n的最小值．36、设数列{a n}的前n项和，数列满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和．37、已知数列{a n}满足，且．（1）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和S n38、已知{a n}是等比数列，满足，且成等差数列（1）求数列{a n}的通项公式（2）设，数列{b n}的前项和为，求正整数k的值，使得对任意n≥2均有g（k）≥g（n）39、已知二次函数f(x)=3x2－2x.，数列{a n}的前n项和为，点均在函数的图像上。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷参考答案与试题解析
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专数系的扩充和复数．题：分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=+++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…++ =+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，答：得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g （x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤26．（10分）（•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．点评：25．（10分）（•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
2020年高考数学 试题解析分项版之专题07 平面向量--教师版 文
2020年高考试题解析数学（文科）分项版之专题07 平面向量--教师版一、选择题:1. (2020年高考广东卷文科3)若向量AB u u u r=（1,2），BC uuu r =（3,4），则AC u u u r =A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)2. (2020年高考广东卷文科10) 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅o αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 且o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=o a bA.52 B. 32 C. 1 D. 123.（2020年高考辽宁卷文科1）已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=Q ，故选D.【考点定位】本题主要考查向量的数量积，属于容易题. 4. (2020年高考浙江卷文科7)设a ，b 是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b|5.(2020年高考重庆卷文科6)设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ，则||a b +=r r（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）10 【答案】：B6. (2020年高考天津卷文科8)在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP r =AB λr ，AQ r=(1-λ)AC r ，λ ∈R 。
若BQr •CPr=-2，则λ=（A ）13（B ）23C ）43（D ）2【答案】B【解析】如图，设==, 0,21=•==c b ，又)1(λ-+-=+=，λ+-=+=，由2-=•得2)1(4)1()(])1([-=--=--=+-•-+-λλλλλb c ，即32,23==λλ，选B.7. (2020年高考福建卷文科3)已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12B.x=-1C.x=5D.x=08.(2020年高考全国卷文科9)ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r9.(2020年高考四川卷文科7)设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =r rr r 成立的充分条件是（ ）A 、||||a b =r r且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r【答案】D【解析】若使||||a ba b =r r r r 成立，则方向相同，与b a 选项中只有D 能保证，故选D.【考点定位】本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.10. (2020年高考陕西卷文科7)设向量a r =（1.cos θ）与b r=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ C ） A22 B 12C .0 D.-1 【答案】C【解析】22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=r r r r Q 正确的是C.【考点定位】此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.二、填空题:11.（2020年高考新课标全国卷文科15）已知向量,a b r r 夹角为45︒，且1,210a a b =-=r r r ；则_____b =r12.（2020年高考安徽卷文科11）设向量(1,2),(1,1),(2,).a m b m c m a c ==+=+若（）⊥b ,则a =____________.13．(2020年高考北京卷文科13)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______。
2020年高考数学(理)大题分解专题07选考内容(含答案)
即 ( x a)( x 1) 0 ，显然恒成立；所以 a 1 满足题意；
2( x a), a x 1
当 a 1 时， f ( x)
，
2( x a)(1 x), x a
因为 a x 1时， f (x) 0 显然不能成立，所以 a 1 不满足题意；
综上， a 的取值范围是 [1, ) .
2. （ 2020 甘肃省天水市一中高三一轮复习第一次模拟）已知函数
【肢解 1】当 a 2 时，求不等式 f ( x) 2 的解集；
【解析】（ 1）①当 x 2 时， f (x) x 2 2( x 2) x 6 2 ，解得 x 4 ，
②当 2 x 2 时， f ( x)
x 2 2( x 2)
3x 2 2 ，解得 4 x 2 ， 3
③当 x 2 时， f ( x) x 2 2( x 2) x 6 2 解得 x 2 ，
（ 2）设直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求 AB 的值 .
【肢解 1】求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程 . 【肢解 2】设直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求 AB 的值 .
【肢解 1】求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程 .
3
【解析】由 x 3y 得 y
x ，所以 l 的极坐标方程为
综上知，不等式 f ( x) 2 的解集为 (
4 , 4) U ( ,
).
3Hale Waihona Puke 【肢解 2】当 x [ 2, 2] 时不等式 f (x) x 恒成立，求 a 的取值范围 .
【解析】解法 1：当 x [ 2, 2] 时， f (x) 2 x a(x 2) ( a 1)x 2(1 a) ，
设 g( x) f (x) x ，则 x [ 2, 2] ， g ( x) (a 2) x 2(1 a) 0 恒成立，
2020年新课标全国高考数学解答题专题规范作答特训7
2020年新课标全国高考数学解答题专题规范作答特训之七17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若c =ABC △a 的值． 【解析】解：（1）由()sin 2sin 0b A a A C -+=得sin 2sin sin b A a B b A ==……3分又0A <<π，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=．……6分 （2）由c =1sin 23bc π=b =9分又在ABC △中，2222cos a b c bc A =+-，即(22223a π=+-⨯，得3a =．……12分18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面，底面为梯形，，，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积．ABCD ABCD AB CD ∥60BAD ∠=2PD AD AB ===4CD =E PC BE ∥PAD E PBD-【解析】（1）证明：设为的中点，连接，． 因为EF 为的中位线，所以，且．又，，所以，故四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．……4分（2）解：因为为的中点，所以三棱锥，……6分又，，所以为等边三角形．因此，又，，所以；……8分 因为平面，所以三棱锥的体积，，……10分 所以三棱锥的体积．……12分 19．（本小题满分12分）是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的监测数据中F PD EF FA PDC △EF CD ∥122EF CD ==AB CD ∥=2AB AB EF =∥ABEF BE AF ∥AF ⊂PAD BE ⊄PAD BE ∥PAD E PC 12E PBD E BCD P BCD V V V ---===AD AB 60BAD ∠=ABD △==2BD AB =4CD 60BDC BAD ∠=∠=BD BC ⊥PD ⊥ABCD P BCD-111223323P BCD BCDV PD S-=⋅=⨯⨯⨯⨯=E PBD-3E PBD V -=2.5PM 2.5PM 2.5PM 2.5PM随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如右图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求这18个数据中不超标数据的方差；（2）在空气质量为一级的数据中，随机抽取2个数据，求其中恰有一个为日均值小于30微克/立方米的数据的概率；（3）以这18天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量超标．【解析】解：（1）均值……2分，方差．……4分（2）由题目条件可知，空气质量为一级的数据共有4个，分别为26，27，33，34． 则由一切可能的结果组成的基本事件空间为：，共由6个基本事件组成， 设“其中恰有一个为日均值小于30微克/立方米的数据”为事件， 则，共有4个基本事件，……6分所以．……8分 （3）由题意，一年中空气质量超标的概率，……10分 ，所以一年（按天计算）中约有天的空气质量超标．……12分 2.5PM 5.2PM 40x =2133s =()()()()()(){}26,27,26,33,26,34,27,33,27,34,33,34Ω= 2.5PM A ()()()(){}26,33,26,34,27,33,27,34A =()4263P A ==94188==P 16036094=⨯36016020．（本小题满分12分）已知椭圆：经过点，且两个焦点，的坐标依次为和．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．【解析】解：(1)由椭圆定义得， 即，又，所以，得椭圆C 的标准方程为．……4分 (2)设直线的方程为，，，直线的方程与椭圆方程联立，消去得，当判别式时，得，，……6分 由已知，即，因为点，在直线上， 所以，整理得，C ()222210x y a b a b +=>>1,24A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1F 2F ()1,0-()1,0C E F C O OE 1k OF 2k 121k k ⋅=-EF 24a ==2a =1c =23b =22143x y +=EF y kx b =+()11,E x y ()22,F x y EF y ()2223484120k x kbx b +++-=22340k b ∆=+->122834kb x x k +=-+212241234b x x k-=+121k k ⋅=-12121y y x x =-E F y kx b =+()()1212kx b kx b x x ++=-()()22121210k x x bk x x b ++++=即，化简得，……8分 原点到直线的距离，，……10分 所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为．……12分 21．（本小题满分12分）已知函数． （1）求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1）的定义域为，，……2分 若，则，在定义域内单调递减；若，由得，则在内单调递减， 在内单调递增．……5分 （2）由题意，即对任意恒成立， 记，定义域为， 则，……8分 2222412803434b kb bk b k k ⎛⎫-⎛⎫+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2212127k b +=OEF d =222221212121777b k d k k +===++22127x y +=()()2ln f x ax x a =-∈R ()f x ()30f x x +>x ∈()1,+∞a ()f x ()0,+∞()22ax f x a x x-'=-=0a ≤()0f x '<()f x ()0,+∞0a >()0f x '=2x a =()f x 20,a ⎛⎫⎪⎝⎭2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()30f x x +>22ln xa x x>-+()1,x ∈+∞()22ln xp x x x=-+()1,+∞()32222ln 222ln 2x x xp x x x x --+-'=-+=设，，则当时，单调递减，所以当时，，故在上恒成立；……10分所以函数在上单调递减， 所以当时，，得， 所以的取值范围是．……12分()3222ln q x x x =-+-()226q x x x '=--1>x ()q x 1>x ()()10q x q <=0)(<'x p ()1,+∞()22ln xp x x x=-+()1,+∞1>x ()()11p x p =-＜1a -≥a [)1,-+∞。
2020年高三下学期数学解答题专题训练题精选(有答案解析) (4)
2020年高三下学期数学解答题专题训练题精选41.在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若点M为BC的中点，且AM=AC，求的值．3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．4.已知圆心在x轴上的圆C与直线l：切于点求圆C的标准方程；已知，经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于，两点．求证：为定值；求的最大值．5.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证：（1）OM∥平面PAD；（2）OM⊥平面PCD．6.已知函数．若，求在区间上的最小值；若在区间上有最大值3，求实数a的值．7.已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C=2c cos A，tan A=，求B．9.已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）=log4（4x+1）．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若函数h（x）=f（x）-在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．10.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．-------- 答案及其解析 --------1.答案：解：（1）直线l的参数方程为：（α为参数）.曲线C的极坐标方程是，即，整理得.转化为直角坐标方程为：y2=8x.（2）设t1和t2为A和B的参数，当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：，所以，t1t2=-16<0 ,故异号，所以：．O到直线AB的距离为：d=．则：=．解析：本题考查了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用以及三角形面积公式的应用．（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果．2.答案：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴2a cos B=c cos B+b cos C，利用正弦定理可得，，∵≠0，∴，∵，∴；（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得，，在△ABM中，由余弦定理得，．∵AM=AC，∴，∴，∴由正弦定理得，．解析：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由已知化简，利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：2sin A cos B=sin A，由于sin A≠0，可求cos B，结合B的范围即可得解B的值．（Ⅱ）由AM=AC，利用余弦定理得，，结合正弦定理即可得的值．3.答案：证明：（1）如图所示，由据题意得，E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC，又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）【方法一】因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1，又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1，。
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2020年高中数学解答题专题复习0630 (7)
1.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：
；；；．满足有解三角形的序号组合有哪些？
在所有组合中任选一组，并求c边长．
2.已知p：函数在上单调递减其中，q：，
其中．
如果“p且q”为真，求实数m的取值范围．
如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
3.已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，，
设对应的复数为z．
当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
4.设且，函数．
当时，求曲线在处切线的斜率；
求函数的极值点．
5.已知函数．
当时，求不等式的解集；
设，若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
6.已知函数．
若点为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P为切点的公共切线，求a的值；
若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
7.在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线l：，若动点P在直线l上的射影为R，
且，设点P的轨迹为C．
求C的轨迹方程；
设直线与曲线C相交与A、B两点，试探究曲线C上是否存在点M，使得四边形MAOB为平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图，已知圆与x轴的左右交点分别为，与y轴正半轴的交点为D，
若直线l过点并且与圆C相切，求直线l的方程；
若点是圆C上第一象限内的点，直线分别与y轴交于点，点P是线段OQ的中点，直线，求直线AM的斜率．
9.已知关于x的不等式任意恒成立，设实数m的最大值为M．
求M；
若，，且，求的最小值．
10.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．
证明：；
若，且为锐角三角形，求S的取值范围．
11.已知函数
Ⅰ求函数的单调区间和极值
Ⅱ若，求证：
Ⅲ若，，且，求证：．
12.已知函数．
讨论的单调性；
设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围．
13.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴
的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．
求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
若，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．
14.为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数
据如下表所示：
支付方式微信支付宝购物卡现金
人数200150150100
现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率．Ⅰ求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；
Ⅱ记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望．
15.已知函数在处有极值．
求的解析式；
若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
16.已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，，
设对应的复数为z．
当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
17.2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在单位：十亿元人民币下同，再创新高，比
去年十亿元多了十亿元这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据单位：十亿元，绘制如表：
年份2010201120122013201420152016201720182019编号x12345678910
416594218268销售额
y
根据以上数据绘制散点图，如图所示
根据散点图判断，与哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？
给出判断即可，不必说明理由
根据的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；注数据保留小数点后一位
把销售超过十亿元的年份叫“畅销年”，把销售额超过十亿元的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．
参考数据：，
参考公式：
对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．
18.已知p：函数在上单调递减其中，q：，
其中．
如果“p且q”为真，求实数m的取值范围．
如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
19.已知．求函数的最大值；
设，且，证明：．。